Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Таксимовская средняя общеобразовательная школа №1
им. А.А.Мезенцева»

Практическая работа

ВыполнилF:

Махина Кристина

ученица 5Б класса

Руководитель:

Спицына Татьяна Дмитриевна

учитель математики

Таксимо, 2018год.

Содержание

1. Введение…………………...………………………………………………………3
2. Основная часть

1. Как люди научились считать……………………………………………………..4
2. Изменение счёта при появлении цивилизации…………………………………4
3. Старинные способы вычислений………………………………………………...5
4. Современные способы быстрого счета…………………………………………..9
5. Практическая часть………………………………………………………………..12

3. Заключение ……………………………………………………………………….15
4. Список используемой литературы………………………………………………17
5. Приложение……………………………………………………………………….18

Введение

Как – то раз я прочитала: «Быть умным вдвойне, посчитаем все в уме!», и задумалась о том, что стало совсем мало людей, умеющих считать в уме. Почему? Ну, конечно же, мы стали чаще использовать калькуляторы, считаем только на уроках математики, и порой забываем навыки счета на других уроках.

Сейчас не каждый из нас знает, какую профессию он выберет в будущем, но мы понимаем, что математика необходима для решения многих жизненных задач: покупки в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета. И нам всем придется сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого необходимо осваивать математику и нужно научиться считать.  

В наш век информационных технологий умение быстро и правильно производить в уме вычисления не утратило своей актуальности. Быстрый счёт – гимнастика для ума, помогающая в жизненных ситуациях находить хорошие и нестандартные решения. Считая в уме, человек использует те же правилами, что и при письменных вычислениях. Поэтому я решила показать, что процесс выполнения действия может быть важным и интересным занятием.  Я считаю, что основные проблемы при изучении математики в школе связаны с вычислительными навыками и поэтому целью моей работы является изучить математические трюки быстрого счета. В своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно, не прибегая к использованию калькулятора.

     Гипотеза моей работы: если я покажу, что быстрый счет облегчает вычисления, то появиться желание повысить  вычислительную культуру учащихся, и  им будет легче решать практические задачи.

Я поставила перед собой цель: найти и рассмотреть нестандартные приёмы устного быстрого счёта, которые не рассматриваются в школьном курсе математики.

Задачи:

1. Изучить историю возникновения вычислений

2. Рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас.

3. Освоить правила быстрого счета.

4. Показать математические трюки свои одноклассникам и выпускникам.

      Объект исследования: приемы быстрого счета.

      Предмет исследования: процесс вычислений.

Логика выбранной темы заключается в том, что рассмотренные мною способы быстрого счёта рассчитаны на ум «обычного» человека. Главное – продолжительная тренировка.

1. Основная часть

1. Как люди научились считать.

Никто не знает, как впервые появилось число, когда человек начал считать. Известно, что десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды, ходил на охоту, ловил рыбу, и ему приходилось считать разные предметы. Так возникала необходимость отвечать на вопросы: по сколько плодов сорвали, как разделить, чтобы хватило всем поровну, сколько нужно сделать ножей или копий, и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов – одного птенца… Они говорили «один», а если их было больше – «много». Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Потом стали выделять множества, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), такие рассуждение привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил «много».

Так, постепенно человек научился считать до трёх, затем до пяти и до десяти и т.д. Название каждого числа отдельным словом было великим шагом вперёд. Для счёта люди использовали пальцы рук, ног (ведь и маленькие дети тоже учатся считать по пальцам). Но этот способ годился только в пределах двадцати. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счёта.

2. Изменение счёта при появлении цивилизации.

По истечении времени люди начали использовать слова для обозначения чисел. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем. При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания. Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха–Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит:  «Ибон–бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон–али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба–бе» (одна нога) и «самба–али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого – нибудь другого».

«Умноженье – мое мученье, а с деленьем – беда» – говорили в старину. Людям ведь не были известны современные навыки умножения и деления. Деление было настолько долгим и большим, что представляло собой «галеру» или «лодку». Такой способ употреблялся до середины XVIII века. Упоминаются такие способы, как умножение «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

При записи дробей,  ещё долгое время,  целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.  

Вот так и зародилась потребность в счете….

3.Старинные способы вычислений

1. Умножение на пальцах

Таблицу умножения  мы  изучаем ещё в начальной школе, это  необходимые в жизни каждого человека знания. Зная её, мы легко решаем примеры на умножение: 2·3, 3·5, 4·6 и т.д., но со временем все чаще забываемся на множителях ближе к 9. А многие школьники помнят очень плохо таблицу умножения…

Овладев одной незамысловатой техникой «ручного» умножения, мы можем запросто отказаться от услуг калькулятора.

Например, 7 умножить на 8.

Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27. Этот способ умножения на 9 знаком по-моему каждому.

А еще, мне известен способ запоминания таблицы на 9 (я её часто применяю, если что…)

Теперь рассмотрим пример умножения для числа 8.

 Допустим, хотим умножить 8 на 3. Загибаем палец с № 3 и за ним палец с № 4 (3+1). Слева у нас осталось 2 незагнутых пальца, значит, нам нужно загнуть еще 2 пальца после пальца с №4 (это будут пальцы с номерами 5, 6 и 7). Осталось 2 пальца не загнуто слева и 4 пальца – справа. Следовательно, 8·3=24.

Еще пример: вычислить 8·8=?  При умножении на число от 6 до 10 нужно отнять от этого числа  пятерку, выполнить расчет с новым число х-5, а затем добавить к ответу число 40. У нас х=8, значит, загибаем палец с № 3 (8-5=3) и следующий палец с № 4 (3+1). Слева два пальца остались не загнуты, значит загибаем еще два пальца (с № 5,6). Получаем: слева 2 пальца не загнуты и справа – 4 пальца, что обозначает число 24. Но к этому числу нужно еще добавить 40: 24+40=64. В итоге 8·8=64.

Умножим 9 на 8. 9-5 =4, значит, загибаем палец №4 и следующий за ним №5. Слева три пальца разогнуты, значит, загибаем дальше три пальца. Итак на левой руке три пальца, на  правой – два. Получаем 32. Потом 32+40 = 72. Значит 9*8=72. Вот так!

2. Русский крестьянский способ умножения

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2, и уметь складывать числа. Этот способ получил название крестьянский.

Пример:  умножим  47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём  между ними  вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;                          
• оставшиеся числа в правой колонке складываем  35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
• это результат.

Пример:  умножим  56 на 82

Складываем 656  +1312+2624 = 4692.

3. Метод решетки (или «решетка Джелозия» - оконные жалюзи)

В своей  «Книге об индийском счете» математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «Метод решетки». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать сверху  (вниз и вправо).    

    1               5               7              5                                  Значит, 25*63=1575

    Ещё один пример: умножим 312 на 45

1          3                9                 14          0

Итак, запишем ответ справа налево:  14040 (так как 14 – двузначное число, то мы его разбиваем)

4. Современные приёмы быстрого счёта.

1. Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать  0 и отнять исходное число.

Например: 72·9=720-72=648

                   88·9=880-88=792

                 54·9=540-54=486

2. Умножение на 11 или метод Ферроля.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11. При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Рассмотрим пример:   43625*11

Каждая последующая цифра числа  складывается со своим правым соседом.  Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотни, 6+3=9 тысячи, 3+4=7 десятки тысяч, 4 сотни тысяч. Значит, 43625*11=479875.

Так же выполняем умножение: 8324*11=91564

                                                      11278*11=124058

                                                      9874122*11=108615342

Оказывается, очень просто!

3. Умножение на 101, 1001, 10001.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

                  87·101 = 8787

                  43·101 = 4343

Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001. Например: 34·1001 = 34034.

                   34·10001 = 340034.

4. Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

24*44=24*4*11=96*11=1056

76*22=76*2*11=152*11=1672

24*99=24*9*11=216*11=2376

5. Умножение на 111

Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10.

Например, 45*111.   Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Значит, 45*111=4995.

36*111=3996

72*111=7992

61*111=6771

Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Значит, 68*111=7548.

78*111=8658

6. Умножение на 111111.

При умножении числа на 111111 первую и последнюю цифры  надо раздвинуть на n шагов. Эти вычисления можно легко произвести в уме. Если единиц 6, то шагов будет 1 меньше, то есть 5.  Если единиц 7, то шагов будет 6 и т.д.

Например,  42 * 111 111 = 4 (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) (4+2) 2 = 4666662. (количество шагов – 5)

36*11111=3(3+6)(3+6)(3+6)(3+6)6=399996(количество шагов 5-1=4)

81*11111111= 8(8+1)…..(8+1)1=899999991(количество шагов 8-1=7)

Немного сложнее выполнить устное умножение, если сумма цифр первого множителя равна 10 или более 10. Тогда, мы добавляем по 1 к каждому разряду.

7. Умножение  на 5, 50, 500 и т. д.

Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т.д.)

            54*5=(54*10):2=540:2=270    или      54*5 = (54:2)*10= 270.

84*5= 84:2*10=420

126*5=126:2*10=630

562*5=526:2*10= 2630

824*5=824:2*10=4120               Все очень просто!

8. Умножение чисел, близких к 100.

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни; (а можно из 100 вычесть сумму недостатков)

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

 Например: 97*96

Найдем недостатки каждого числа до 100:   100-97=3,   100-96=4

97-4=93   или   100-(3+4)= 93

Составим число: 9312, так как 12=3*4 . Все!

Еще один пример:  89*92

Недостатки: 100-89=11,    100-92=8

92-11-81

Составим ответ: 8188, так как 88- это 11*8

10. Умножение на число, записанного одними девятками – 9,99,999,99999, …

Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.

Например:

8 * 9= 72

46 * 99= 4554

137 * 999= 136 863

3562 * 9999= 35616438

564*999=563436

81245*99999=8124418755

Записал, и считать не нужно!!! Хотите, проверьте!

11. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, надо число десятков умножить на следующее за ним число, а к результату справа приписать 25

 и приписываем 25, получается 2025

 и приписываем 25, получается 625

 и приписываем 25, получается 3025

 и приписываем 25, получается 7225

12. Возведение в квадрат двузначного числа, имеющее 5 десятков

Чтобы  возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, нужно к 25, так как 5 во второй степени равно 25, прибавить цифру из разряда единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число:

Вот такие математические трюки быстрого счёта я изучил. И почему на уроках математики нам этого не преподают. О них мы узнали на занятиях внеурочной деятельности «математические забавы». Я рассмотрел только трюки умножения, а дальше хочу изучить трюки на деление.

2. Практическая часть

Умеете ли вы считать? Вопрос, пожалуй, даже неуместный. Кто не умеет считать? Практически все. Каждый ответит, что для этого, особого искусства не требуется. И будет прав. Но вопрос – как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета. 

Для начала, я провела анкетирование в 5А,Б, 8А, 10 классах нашей школы (всего опрошенных – 90 человек). Задавал ребятам простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы научиться быстро считать устно? (Приложение 1)

Проводя анализ, я сделала вывод, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать.

1. Зачем нужно уметь считать?

2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

4.  Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?

5.  Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

После опроса и подведения итогов анкетирования, я провел математический диктант до  мастер-классов «Математические трюки или как научиться быстро считать» - в 5Б, 8А, 10 классах. А второй диктант  провела после мастер классов,  в этих же классах. И заодно сравнила время выполнения работ. (время сократилось почти вдвое!!!!)

 Скажу честно, что многим ребятам было интересно, они с удовольствием выполняли задания.

Результаты математического диктанта в 5 классе:

Результаты математического диктанта в 8А классе:

Результаты математического диктанта в 10 классе:

Таким образом, я поняла, что гипотеза имеет подтверждение, и я показала, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета.

В школьных учебниках не рассматриваются приемы быстрого счета, мы с ними знакомимся на занятиях внеурочной деятельности. Поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся и может быть пригодится при подготовке к экзаменам (Приложение 2). Возможно, что с первого раза не у всех  получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

Заключение

Устный счёт имеет широкое применение в повседневной жизни: он развивает сообразительность учащихся, находчивость, память, гибкость мышления, ставя нас перед необходимостью подбирать приёмы вычислений, удобные для конкретного случая. Устные вычисления дают возможность не только быстро производить расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять свои ошибки в результатах вычислений, выполненных без помощи калькулятора и соответствующих таблиц.

Описывая  старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попыталась показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики не обойтись.

Все рассмотренные мною методы устного умножения говорят о многолетнем интересе ученых, и простых людей к игре с цифрами.

Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Выводы:

• Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
•    В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

Список используемой литературы

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара:  Издательский дом «Фёдоров», 1999г.
2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
3. Минских  Е.М. «От игры к знаниям»,  М., «Просвещение»,    1982г
4. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm 
5. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html 

Приложение 1

Анкета

 1. Зачем нужно уметь считать?

 а) пригодится в жизни, например, считать деньги;

 б) чтобы хорошо учиться в школе;

 в) чтобы быстро решать;

 г) чтобы быть грамотным;

 д) не обязательно уметь считать.

 2. Перечисли, при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

 а) математика; б) физика; в) химия; г) технология; д) музыка; е) физическая культура; ж) ОБЖ; з) информатика; и) география; к) русский язык; л) литература.

 3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета?

 а) да, много; б) да, несколько; в) нет, не знаю.

 4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета?

 а) да; б) нет.

 5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать?

 а) да; б) нет.

Приложение 2