Научно-исследовательская работа "Процент - универсальный инструмент"

Городская конференция учащихся

«НАУКА: ВЧЕРА. СЕГОДНЯ. ЗАВТРА.»

Направление: математика

Тема

«Процент –

универсальный

инструмент»

Фирсова Елизавета,

МОАУ «СОШ №38

имени Героя Советского Союза

Павла Ивановича Беляева» г. Орска

8В класс

Руководитель:

Лазарева Марина Сергеевна,

 учитель математики

высшей квалификационной категории

г. Орск, 2021 год

Содержание

Введение

         «Гений – это 99 процентов труда и только 1 процент таланта».

                        Томас Эдисон

Математика нужна всем людям на свете. Без знания этой науки невозможно построить дом, сосчитать деньги в кармане, измерить расстояние. Если бы человек не знал математики, он бы не смог изобрести самолёт и автомобиль, стиральную машину и холодильник, телевизор и компьютер. Во всех школах мира детей учат математике, потому что эта наука – самое главное знание, которое ещё в древности уважали и обожествляли. Поэтому каждый ученик должен подружиться с математикой.

В школьном курсе математики учащиеся 5 класса знакомятся с понятием процента. Тема «Проценты» имеет очень древние корни, но, несмотря на это, она весьма актуальна во все времена.                       

Что больше 75 процентов от 150 или 150 процентов от 75? Товар сначала повысили на 10%, а потом понизили на 10% – изменилась ли цена? Если изменилась, то как? Брать ссуду в банке или купить в кредит? Может быть выгоднее накопить денег для покупки дорогостоящей вещи? Чтобы ответить на эти и многие другие вопросы, необходимо знать, что такое «процент» и уметь решать задачи на проценты.

Процент – это одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Часто можно прочитать или услышать, например, что «в выборах приняли участие 56% избирателей», или «рейтинг победителя хит-парада равен 73%», «скидка 50% на весь товар», или «успеваемость в классе составляет 85%», «молоко содержит 1,5% жира» или «эта ткань на 100% состоит из хлопка».

В настоящее время понимание процентов и умение производить процентные расчеты, необходимы каждому человеку. Практическое значение этой темы очень велико и затрагивает различные стороны нашей жизни, в частности для решения повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов экономики и производства. Без умения понимать информацию, связанную с процентами, в современном обществе просто трудно было бы существовать. Эти обосновывается актуальность изучения темы «Процент» в школьном курсе математики, да и в жизни в целом.

Чтобы исследовать актуальность использования понятия «Процент» в повседневной жизни, в профессиональной деятельности, было проведено анкетирование учащихся 5-11 классов, родителей обучающихся и учителей. Всего в анкетировании приняли участие 210 человек (Приложение 1).

Результаты анкетирования показали, что:

1. 94% опрошенных знакомы с понятием «Процент»;
2. С понятием процент большинство человек встречались в магазине (64%), школе (48%), в рекламе (23%), а также в аптеке, банке, интернете и других сферах повседневной жизни;
3. Основными профессиями опрошенных, которые используют в своей работе понятие «Процент», стали продавец, предприниматель, юрист, бухгалтер, врач. Людям этих профессий, в основном, приходится находить процент от числа (72%).

При этом любой человек должен свободно решать задачи на проценты, предлагаемые самой жизнью, уметь посчитать различные предложения магазинов, кредитных организаций и различных банков и выбрать наиболее выгодные варианты. Но здесь возникает проблема: люди, встречаясь с процентами каждый день (скидки в магазинах, кредиты, налоги, содержание питательных веществ в продуктах), не умеют выполнять процентные расчеты, необходимые для жизни.

Гипотеза: Знания подходов к процентным вычислениям можно использовать не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

Объект исследования: Процент как универсальная единица сравнения различных данных.

Предмет исследования: Процентные вычисления в школе и в жизни.

Цель работы: обобщить типы задач в школьном курсе математики основной школы и систематизировать методы их решения для применения знаний о проценте в повседневной жизни каждого человека.

Задачи работы:

1. Узнать  историю происхождения процентов;
2. Соотнести типы задач на проценты с методами их решения;
3. Показать решение задач на проценты разными методами;
4. Найти дополнительные методы решения задач на проценты, не изучаемые в школьном курсе математики;
5. Выяснить роль процентов в разных сферах жизни человека;
6. Провести процентные вычисления в классном коллективе.

Для решения поставленных задач используются методы и приемы исследования:

1. Поиск информации в различных источниках: библиотеке, интернете, учебниках;
2. Математический метод выполнения вычислений;
3. Сравнение и обобщение информации.
4. Анализ полученных данных в ходе исследования.

Практическая значимость исследования состоит в возможности использования данного теоретического и практического материала на уроках математики в 5-6 классах, на уроках физики, химии, биологии в 8-11 классах, при подготовке к ВПР по математике в 5-8 классах, к ОГЭ по математике в 9 классе, к ЕГЭ по математике в 11 классе, а также на занятиях математического кружка в школе.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка и приложения.

Данная работа относится к теоретическим и прикладным исследованиям. В результате работы составлен cборник задач по математике «Проценты в нашей жизни».

Глава 1. История возникновения процентов

1. История происхождение процентов

Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что буквально означает «за сотню» или «со ста». История происхождения процентов началась еще в древности.

Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же сотых долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятиричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До наших дней дошли составленные ими таблицы, при помощи которых можно легко и быстро определить, какова сумма процентных денег.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Они брали с должника лихву (деньги сверх того, что брали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы». Так как слово «на сто» по латыни звучит «про центум», то сотую часть и стали называть процентом. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

У народов Индии своя история появления процентов. Проценты были известны в Индии ещё в V веке. Индийские математики по-своему считали процент. И это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. Они пользовались тройным правилом (использованием пропорции). Кроме этого, в Индии проводили более сложные операции с процентами, чем просто считать сдачу.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. Тогда уже проценты, история которых началась гораздо раньше, начали свою эволюцию.  Торговцам приходилось считать не просто проценты, а проценты с процентов, сложные проценты. Некоторые компании даже составляли свои таблицы и схемы по вычислению процентов. Эти таблицы считались коммерческой тайной и тщательно охранялись. 

Но уже в 1584 году таблицы с расчетом процентов перестали быть тайной. Дело в том, что Симон Стевин, инженер из Нидерландов, известный замечательным разнообразием научных открытий, опубликовал таблицу процентов.

В России понятие «процент» впервые ввел Пётр I в 18 веке, когда рубль стал состоять из 10 гривенников, а позже из 100 копеек. Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается с конца XVIII века. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтеховского (первое издание 1795 года) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 года).  В обоих учебниках имеется по несколько задач «на проценты по вкладу». Но                     Е. Войтеховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент».

Долгое время под процентами понималась исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Проценты принимались только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась.

2.  Версии появления знака процента

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. После этой опечатки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

3. Исторические задачи с процентами

До наших дней дошли несколько задач на проценты разных исторических эпох.

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80%  суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 140 рублей.

Задача 3. М.В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобрел полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?

Решение: Пусть примем денежку за единицу, стоимость хлеба обозначим Через х, а стоимость кваса – через у. Составим уравнения: до повышения цен х+у=1, а после повышения 1,2(0,5х+у)=1. Составим и решим систему уравнений: х+у=1 и 1,2(0,5х+у)=1. Решая систему, получаем y=2/3, x=1/3. А теперь найдем стоимость кваса после двух повышений 1,2·1,2·2/3=0,96.

Ответ: денежки хватит на квас.

        Таким образом, понятие процента зародилось еще в древности, у древних вавилонян. Известны 2 версии происхождения знака процента (%). В Приложении 2 приведены интересные факты о процентах.

Глава 2. Типы задач на проценты и методы их решения

2.1. Понятие процента

Само понятие «проценты» привычно употребляется в жизни: в разговоре, в средствах массовой информации для того, чтобы по возможности кратко сообщить количественную информация о сравнении данных, характеризующих различные ситуации.

        В повседневной жизни мы имеем дело с сотыми частями величин: сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть доллара называют центом, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – аром, сотую часть века – годом, т.е. 1 копейка – 1% рубля; 1 цент – 1% доллара; 1см – 1% метра; 1 ар -  1% гектара; 1 год – 1% века.

        Процент – это сотая часть числа.

1%=1/100=0,01.

        Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. Для решения задач необходимо знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина – 50%, четверть – 25%, три четверти – 75%, одна пятая – 20%, а три пятых – 60%. Знание соотношений из приведенной ниже таблицы облегчит решение многих задач.

Правило 1. Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

Например: 0,856 = 0, 856·100% = 85,6%

Для обратного перехода выполняется обратное действие.

Правило 2. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число

процентов на 100 .

Например: 41% = 41:100 = 0,41.

2.2. Три типа задач на проценты и основные методы их решения

        Анализ учебников математики для 5-6 классов позволил выделить три основных типа задач на проценты:        

1. Задача на нахождение процента от заданного числа;
2. Задача на нахождение числа по его процентам;
3. Нахождение процентного отношения.

При этом школьный курс математики 5-6 класса предлагает три основных метода решения задач на проценты:

1. Метод решения задачи по определению процента (в 5 классе);
2. Метод решения задачи по выражению процента в виде части (дроби) (в 6 классе);
3. Метод решения задачи по составлению пропорции (в 6 классе).

Соотнесем основные типы задач на проценты, основные методы их решения и правила в таблице.

2.3. Примеры решения типов задач на проценты основными методами

        В соответствии с приведенной выше таблицей основных типов задач на проценты и основных методов их решения рассмотрим пример решения трех задач тремя методами, но одной типичной ситуации.

2.4. Другие методы решения задач на проценты

        Кроме основных методов решения задач на проценты рационально использовать в банковских задачах, задачах на сложные проценты, задачах на смеси и сплавы другие методы их решения:

1. Метод решения на основе понятия коэффициента увеличения;
2. Метод решения по формулам простого или сложного процента;
3. Старинный метод, описанный Л. Ф. Магницким;
4. Метод «квадрата Пирсона».

2.5. Задачи на проценты из ВПР, ОГЭ, ЕГЭ по математике в 5-8, 9, 11 классах

        Рассмотренные три типа задач на проценты и основные методы их решения изучаются в 5-6 классах на уроках математики, но проверка умений решать задачи на проценты сопровождает школьника на протяжении 7 лет: с 5 по 11 классах, а именно при написании ВПР, ОГЭ, ЕГЭ.

        Анализ интернет-сайтов по подготовке к ВПР по математике в 5-8 классах позволил выделить задачи на проценты:

1. Задача №8 из ВПР 5 класса;
2. Задача №11 из ВПР 6 класса;
3. Задача №5 из ВПР 7 класса;
4. Задача №11 из ВПР 8 класса.

        Как видно из таблицы (Приложение 2) в ВПР 5 класса основные типы задач представлены в равных долях. В ВПР 6 класса недостаточно задач на процентное отношение чисел, в ВПР 7 класса, наоборот, меньше внимания уделяется нахождению числа по его проценту. А в ВПР 8 класса преобладают задачи на сушку фруктов (нахождение процента от числа) и процентную концентрацию растворов.

Изучив сборники для подготовки к ОГЭ по математике 9 класса, мы узнали, что в них встречаются задачи на проценты с прикладным применением в быту и повседневной жизни. Приведем примеры таких задач и их решения:

1. Плата за телефон составляет 350 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 12 %. Сколько рублей придется платить ежемесячно за телефон в следующем году?

Согласно условию 350 рублей - это 100%, тогда 12% - это х. Составим пропорцию:

350  = 100%

Х = 12%

Х =

 = 392 руб.

Ответ: 392 рубля придется платить ежемесячно за телефон в следующем году.

2. На счет в банке, доход по которому составляет 10% годовых, внесли 28 тыс. р. Сколько тысяч рублей будет на этом счете через год, если никаких операций со счетом проводиться не будет?

Согласно условию 28 тыс. р. - это 100%, тогда 10 % - это х. Составим пропорцию:

28000 = 100%

Х = 10%

Х =

28000 + 2800 = 30800 руб.

Ответ: 30800 рублей будет на этом счете через год.

3. Городской бюджет составляет 81 млн. р., а расходы на одну из его статей составили 15%. Сколько рублей потрачено на эту статью бюджета?

Согласно условию 81млн. р. – это 100%, х – это 15%. Составим пропорцию:

81000000 = 100%

х = 15%

х =

Ответ: 12150000 рублей потрачено на эту статью бюджета.

4. Товар на распродаже уценили на 50%, при этом он стал стоить 940 р. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

Согласно условию 940 рублей – 50%, тогда 100% -  х. Составим пропорцию:

940 = 50%

х = 100%

х =

Ответ: 1880 рублей стоил товар до распродажи.

        Кроме того, анализ сайтов по подготовке к ЕГЭ по математике показал наличие задач на проценты и в материалах ЕГЭ 11 класса.

1. Общая тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно купить на 500 рублей после повышения цен на 15 %?

Ответ: 10.

2. Железнодорожный билет для взрослого стоит 540 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от взрослого. Группа состоит из 20 школьников и 4 взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу?

Ответ: 7 560 рублей.

3. Рубашка стоила 1000 рублей. После снижения цены она стала стоить 780рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Ответ: 22%

4. Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 11% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить ежемесячно?

Ответ: 1110рублей.

5. Магазин закупает тетради по оптовой цене 2 рубля за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить в этом магазине на 30 руб.?

Ответ: 12 тетрадей.

        Таким образом, рассмотрены три основные задачи на проценты, три основных метода их решения, проведен анализ содержания ВПР, ОГЭ, ЕГЭ по математике в 5-8, 9, 11 классах на предмет содержания задач на проценты.

Глава 3. Практические задачи на проценты в школе и в повседневной жизни

        Анализ учебников по математике, сборников и интернет-сайтов по подготовке к ВПР, ОГЭ, ЕГЭ по математике в 5-8, 9, 11 классах позволил показать важность математических знаний о проценте и необходимость умения решать задачи на проценты школьнику на уроках математики. Но возникает вопрос: а другие школьные предметы оперируют понятием процента? А кроме школьников какие специалисты каких профессий используют понятие процента? А мои одноклассники? Ответы на эти и другие вопросы найдены ниже и приведены в таблице.

3.1. Проценты в школьных предметах

Проценты в биологии

Для биологии стало уже традиционным применение математической статистики, различных методов математической обработки результатов эксперимента. Все эти направления не только интересны и важны, но и весьма результативны. Многие темы, изучаемые на уроках биологии, содержат процентные величины.

Нам расскажут не только о строении и законах живой природы, но и научат решать генетические задачи, в которых очень важно, например, правильно вычислить процентное соотношение и определить степень влияния факторов на признаки живого организма. Каждый человек имеет индивидуальные параметры, определяющие его физическое развитие: рост, вес, жизненная ёмкость легких и т. п., причем значения этих параметров могут сильно варьировать для некоторой группы людей, оставаясь при этом в пределах нормы. Указать среднее значение параметра физического развития (значение в норме) позволяет процент.

Например, благодаря уроку биологии и процентам, мы узнаем состав организма человека: вода-70%, органические вещества- 24%, неорганические вещества- 6%. Также в нашем организме насчитывается 400-600 мышц. У новорожденного масса мышц составляет 20-22% от общего веса тела, масса мышц у мужчин составляет 40-45%, у женщин (в возрасте 22-25 лет) – 30% от массы тела; в пожилом возрасте отмечается постепенное уменьшение массы мускулатуры до 25-30%. Сердце – небольшой полый мышечный орган. У человека оно с кулак и весит всего 300 г, это примерно 0,4-0,5% веса всего тела. 85% энергии сердца расходуется на продвижение крови по артериям и капиллярам и только 15% – на продвижение по крупным и средним артериям и венам.

Таким образом, мы видим, что в биологии проценты применяются при проведении тех или иных исследований.

Проценты в географии

Математика и география очень тесно связаны между собой; без царицы всех наук – математики – географии было бы очень трудно существовать.

На уроках географии учитель нередко использует проценты, например: всем известно, что воздух это смесь газов. Воздух состоит из: 78,1% азота, 20,9% кислорода и 0,9% аргона (данное соотношение их содержания сохраняется до высоты порядка 100 км). На долю данных газов приходится 99,96% массы атмосферы.

Пресная вода – вода Земли, в которой соли содержатся в минимальных количествах, солёность которой не превышает 0,1 %, даже в форме пара или льда. Ледяные массивы (к примеру, айсберги) в полярных регионах и ледники содержат в себе наибольшую часть пресной воды Земли. Помимо этого, пресная вода существует в реках, ручьях, подземных водах, пресных озёрах, а также в облаках. По разным подсчётам доля пресной воды в общем количестве воды на Земле составляет 2,5-3 %. Около 85-90 % запасов пресной воды содержится в виде льда.

Так же можно сказать и об озере Байкал. Запасы пресной воды Байкал – это колодец планеты с чистой питьевой водой. В огромной котловине Байкала 23000 км3 воды. Это 20% мировых запасов пресной воды. И это 90% российских запасов пресной воды.

С помощью процентов в географии показывается какова демографическая ситуация в определенной местности, стране, мире. По соотношению количества ресурсов, населения, уровня жизни можно определить уровни жизни и развития различных регионов планеты.

Проценты в химии

В химии умение рассчитать проценты требуется при выполнении химических опытов и при решении задач. Проценты применяются при изучении темы «Растворы», «Чистые вещества и смеси», а также при решении расчетных задач по уравнениям химических реакций (массовая доля примесей в веществе, выход продукта реакции от теоретически возможного). В химии понятие «процент» применяется для характеристики элемента, его содержания в воздухе, в земной коре и т.д.

«Тела (вещества) не реагируют, если они не растворены». Так считали в древние времена алхимики, и в этом изречении есть значительная доля истины. Любые растворы состоят из растворителя и растворенного вещества. Каким бы не было агрегатное состояние растворителя, в его названии обязательно указывается «сколько процентов вещества растворено в определенном объеме растворителя». Чем больше вещества растворено, тем раствор концентрированней. Чтобы вычислить процентную концентрацию (или массовую долю растворенного вещества) необходимо воспользоваться формулой:

W =m (растворенного вещества)/ m (раствора) × 100%.

Из этой же формулы можно вывести и массу растворенного вещества, если известны масса раствора и процентная концентрация раствора.

Проценты имеют широкое практическое применение в химии. С их помощью более ярко можно донести нужную информацию. Проценты помогают многое нам узнать, надо только уметь понимать, о чём они «говорят».

Проценты в физике

В физики понятие «процент» используется при определении коэффициента полезного действия, точности измерительных приборов, при записи каких-либо результатов, определении влажности воздуха. Также в данной науке существуют такое понятие как допустимый процент напряжения в бытовых приборах, в процентах измеряется износ металла и т.д.

Относительная погрешность измерительного прибора — отношение абсолютной погрешности прибора к действительному значению величины, выраженное в процентах.

КПД – это отношение полезной работы механизма к полной его работе. Данный коэффициент тоже измеряется в процентах.

Трудно найти область нашей жизни, где бы ни применялись, проценты. Как известно, выводы опираются на анализ. А самый удобный и быстрый способ анализировать – процентный.

3.2. Проценты в производственной сфере

3.3. Проценты в семье и обществе

        Изучив источники доходов своей семьи и их размер (папа – 28000р, мама – 22000р), есть возможность соотнести доходы с расходами семьи в рублях и процентах.

Как показали расчеты, из 100% (50000р) на расходы тратится 79,1% (39050р), а в сбережения идут 21,9% (10950р).

3.4. Проценты в классном коллективе

Я решила провести свое небольшое исследование и составить математический портрет моего класса в процентах. Я провела опрос среди одноклассников и результаты данного опроса представила в виде таблиц и графически изобразила с помощью диаграмм.

        Таким образом, применение понятия процента широко: и в школьных предметах, и в производственной сфере, и в жизни семьи и общества.

Заключение

После проведения исследовательской работы мы пришли к выводу, что современный человек очень тесно связан с процентами. Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Они нас окружают почти везде. Люди многих профессий работают с процентами. Например, экономисты, бухгалтера, банкиры, продавцы и даже учителя. Учащиеся же встречаются с процентами не только на уроках математики, а и  на уроках физики, химии, биологии, географии, а также при просмотре телепередач, в сети Интернет. Знания о процентах и умение производить процентные расчеты, необходимы для каждого человека, так как с процентами мы постоянно сталкиваемся и в повседневной жизни. Давайте оглядимся по сторонам: значения в процентах указаны на упаковках с любыми продуктами, значок процента смотрит на нас с рекламных плакатов скидок и распродаж, в новостях проценты сразу бросаются в глаза, когда речь идет о повышении цен на товары или коммунальные услуги. Разве мы сможем расшифровать всю эту информацию, если не научимся решать задачи с процентами? А сколько много интересного можно узнать, если понимаешь суть процентных вычислений! Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью.

В данной работе мы изучили историю происхождения процентов, рассмотрела основные типы задач на проценты, условия которых связаны с повседневной жизнью человека. С помощью процентов я составила математический портрет своего класса в виде таблиц и диаграмм, исследовав для этого процентное соотношение девочек и мальчиков, посещаемость различных кружков, дни рождения ребят, выяснила, какому школьному предмету отдают предпочтение большинство учеников нашего класса.

Таким образом, в ходе своего исследования удалось достичь поставленной цели и обобщить типы задач в школьном курсе математики основной школы и систематизировать методы их решения для применения знаний о проценте в повседневной жизни каждого человека. Поэтому необходимо, как можно лучше знать и уметь пользоваться этой темой. Уметь грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления должен каждый современный школьник. Практическое значение данной темы очень велико и затрагивает многие сферы нашей жизни.

Гипотеза данного исследования о том, что знания подходов к процентным вычислениям можно использовать не только на уроках математики, но и в повседневной жизни, полностью подтвердилась. В заключении хочется сказать, что процент можно уверенно назвать универсальным инструментом.

Список литературы

1. БоровскихА. Что такое процент? / А. Боровских, Н. Розов // Математика.- 2012.- №1.- стр.23-25.
2. Виленкин Н.Я. Математика 5 класс. Учеб. / В.И. Жохов и др. – М, 1998. – 150 с.
3. Виленкин Н.Я. Математика 5 класс. Учеб. / В.И. Жохов и др. – М, 1998. – 154 с.
4. Зубарева И. И. Еще раз о процентах.// Журнал «Математика в школе». – 2006– №10;
5. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся.- М.:Просвещение,1984. – С. 186;
6. Математика: 5 класс: учебник/ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир; под ред. В. Е. Подольского. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 346с.
7. Математика: 6 класс: учебник/ А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир; под ред. В. Е. Подольского. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 334с.
8. Минаева С.С., Дроби и проценты. 5 – 7 классы /С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – С. 125.
9. Рязановский, А. Р. Задачи на части и проценты // Математика в школе. - № 1. - 1992. - С. 18;
10. Ященко И. В. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 /Л.О. Рослова и др. – 2016. – 463с.
11. https://math5-vpr.sdamgia.ru
12. https://math6-vpr.sdamgia.ru
13. https://math7-vpr.sdamgia.ru
14. https://math8-vpr.sdamgia.ru
15. https://math-oge.sdamgia.ru
16. https://math-еge.sdamgia.ru

Приложение 1

Анкетирование «Актуальность процентов в жизни человека»

Приложение 2 

Интересные факты с процентами

1. Самый большой прирост населения с начала 2010 года зафиксирован в Индии (1,6%), самое большое падение - в Японии (-0,088%)
2. Масса крови в организме человека составляет около 8% его массы.
3. Самая длинная кость в организме человека – бедренная, ее длина составляет обычно 27,5% от роста человека.
4. Общий вес мышц у мужчины составляет около 40% от веса тела, а у женщины - около 30%.
5. Известно, что медузы на 98-99% состоят из воды, тем не менее, медуза не растворяется в море, ее можно взять в руки.
6. Все животные и растительные существа состоят из воды: животные – на 75%, рыбы – на 75%, картофель - на 76%, яблоки - на 85%, помидоры - на 90%, огурцы - на 95%, арбузы - на 96%. Даже человек состоит из воды. 86% воды содержится в теле у новорожденного и до 50% у пожилых людей.
7. Если человек теряет 2% воды от массы своего тела, то у него возникает сильная жажда. Если проценты потерянной воды увеличатся до 10%, то у человека начнутся галлюцинации. При потере в 12% человек не сможет восстановиться без помощи врача. При потере в 20% человек умирает.
8. Вода не только дарит жизнь, но может и отнимать ее. 85% всех заболеваний в мире передается с помощью воды.
9. В мире всего 9% левшей (ведущая левая рука).
10. Человек пользуется лишь 10-ю процентами собственного мозга.
11. Организм человека состоит (в массовом отношении): из воды – на 60%, из белка – на 14%, из жиров – на 10%, из углеводов – на 1%, из золы – на 5% и других веществ.
12. Общая длина кровеносных сосудов человека — примерно 100000 км.  В покое кровь распределена так: 25% – в мышцах, 25% –  в почках, 15%  – в сосудах стенок кишечника, 10% – в печени, 8% –  в мозгу, 4% – в венечных сосудах сердца, 13% – в сосудах легких и других  органах.
13. Страна с наибольшим количеством языков: Папуа - Новая Гвинея. Хотя английский язык является в этой стране официальным, на самом деле это чистая формальность: по-английски здесь говорит не более 2% населения. Жители Папуа - Новой Гвинеи используют более 820 различных языков, что составляет 12% языков мира.
14. Самая образованная страна в мире - Канада. 50% населения этой страны имеют образование не ниже среднего специального. За Канадой следует

Израиль — 45% и Япония — 44%.

15. Страна - крупнейший производитель кислорода в мире: Россия. В Сибири растёт примерно 25% мировых лесов, которые охватывают площадь больше, чем континентальная часть США, что делает Россию самым мощным в мире переработчиком углекислого газа в ценнейший кислород.
16. Страна - крупнейший производитель опиума: Афганистан. Здесь производится невероятные 95% от всего опиума в мире.
17. Самая засушливая страна: Ливия. 99% Ливии покрыто пустыней, в некоторых регионах дождей не бывает десятилетиями.
18. Страна с самым большим количеством озёр: Канада. 60% всех озёр мира находятся на территории Канады, более 3000000 озёр, занимающих 9% канадских земель.
19. Страна с самыми толстыми гражданами: Науру. 95% населения этого маленького островного государства имеют избыточный вес. Причина? Ничего особенного, они просто слишком много едят и мало двигаются.
20. Воздух на 78% состоит из азота.

Приложение 3

Примеры задач на проценты из ВПР по математике в 5-8 классах

Приложение 4

Сборник задач по математике

 «Проценты в нашей жизни»

1. Задачи на проценты в торговле.

1. Футболка стоила 1200 рублей. После снижения цены она стала стоить 972 рубля. На сколько процентов была снижена цена на футболку? 
2. Цена на электрический чайник была повышена на 17% и составила 2340 рублей. Сколько рублей стоил товар до повышения цены? 
3. Тетрадь стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 450 рублей после понижения цены на 10%? 
4.  Флакон шампуня стоит 150 рублей.  Какое наибольшее число флаконов можно купить на 700 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
5.  Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 140 рублей за штуку и продает с наценкой 25%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1300 рублей? 
6.  Цену на пальто снизили на 30%, затем новую цену повысили на 30%. Как изменилась цена на пальто?
7. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?                                                  
8. Антикварный магазин приобрел старинный кинжал за 30 тысяч рублей. И выставил его на продажу, повысив цену на 60%. Но этот кинжал был продан лишь через неделю, когда магазин снизил его новую цену на 20%. Какую прибыль получил магазин при продаже старинного кинжала?
9. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350 рублей уценили на 40%, а через неделю еще на 5%. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45%. В каком магазине выгоднее купить этот шарф?
10. Во время распродажи масляные краски для рисования стоимостью 213 рублей за коробку продавали на 19% дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

2. Задачи на проценты в банковском деле

1. Чтобы накопить деньги на мотоцикл, Сергей вклад, размером 20000 рублей, положил в банк под сложные проценты по ставке р% годовых. После того, как вклад пролежал 1 год, банк увеличил процентную ставку на 10%. В конце второго года на счете находилось 28750 рублей. Какова годовая ставка сложных процентов была в первый и второй год?
2. Сколько лежал в банке вклад 20000 рублей, если по ставке 20% годовых (простые проценты), он достиг величины 28000 рублей?
3. Через 6 лет нам нужны деньги в размере 20000 рублей при процентной ставке 20% (сложные проценты). Какую сумму нужно положить в банк?
4. В банк положили 50000 рублей под 30% (при сложных процентах). Какова величина вклада через 4 года?
5. Вкладчик открыл счет в банке, вложив S0 = 100000  рублей по ставке сложных процентов 20% годовых. Вкладчик желает накопить не менее 200000 рублей. Через сколько лет это возможно? Какое наименьшее число лет, при которых вкладчик получит интересующую сумму?
6. Михаил получил в подарок к своему 25-летию 2000 рублей и положил их в банк, который начисляет в качестве базовой ставки 7% в год. Какова будет сумма этого вклада к тому времени, когда Михаил уйдет на пенсию (в 65 лет)? 
7. Выплачиваемый банком базовый процент составляет 10% в год. Через сколько лет удвоится сумма помещенного в этот банк вклада? 
8. Клиент взял в банке кредит 48000 рублей на год под 9% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег с тем, чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно? 
9. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?
10. Два банковских филиала обслуживали в прошлом году одинаковое количество клиентов. В этом году количество клиентов в первом филиале увеличилось на 150%, а во втором – в 2,5 раза. В каком филиале стало больше клиентов?

3. Задачи на проценты в демографической науке.

1. В городе N живет 100000 жителей. Среди них 15 % детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, домохозяйки, безработные). Сколько взрослых работает? 
2. В 1980 году население Земли составляло примерно 4600 миллионов человек. За последние 500 лет годовой прирост населения составлял в среднем 0,47%. Каким должно было быть население Земли в 2000 году, если вычислить его по этим данным? 
3. В городе Мегионе в 2011 году отделом здравоохранения уделялось большое внимание здоровью населения и проведению диспансеризации, охват которой составил 97%. Сколько человек было охвачено медицинскими услугами, если в городе проживает 55762 человека?  
4. Численность работающего населения в 2010 году в городе Мегионе составляла 41282 человека. Какой процент от общего числа жителей составляют другие категории населения (дети, пенсионеры, безработные и т.д.), если общее число жителей составило 58239 человек?  
5. Численность населения в городе Таганроге в течение двух лет возрастала на 2% ежегодно. В результате число жителей возросло на 11312 человек. Сколько жителей было в Таганроге первоначально?
6. Представители африканского племени ватузи в среднем имеют рост 210 см. Россиянин имеет средний рост 170 см. На сколько процентов рост представителя африканского племени выше роста россиянина?
7. В городе 125 тысяч жителей. 40% из них любят биатлон, из них 60% не смогли посмотреть соревнования по телевизору. Сколько любителей биатлона увидели соревнования по телевизору? Ответ дайте в тысячах человек.
8. В выборах приняло участие 60% всех жителей города, имеющих право голоса. Сколько человек приняло участие в выборах, если в городе 180 тысяч жителей, а право голоса имеют 81% горожан?
9. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом.  Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
10. Средний вес мальчиков того же возраста, что и Сергей, равен 48 кг. Вес Сергея составляет 120% среднего веса. Сколько весит Сергей?

4. Задачи на проценты в ЖКХ и на различные виды услуг.

1. В начале года тариф на электроэнергию составлял 40 копеек за 1 кВт·ч. В середине года он увеличился на 50%, а в конце года - еще на 50%. Каков стал тариф в конце года?
2. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 рублей. В связи с инфляцией она возросла на 200%. Во сколько раз повысилась стоимость проезда в автобусе?
3. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20% ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20% выше, чем в нынешнем году?
4. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 1%. Терминал принимает суммы, кратные 10 рублям. Месячная плата за интернет составляет 350 рублей. Какую минимальную сумму положить в приемное устройство терминала, чтобы на счету фирмы, предоставляющей интернет-услуги, оказалась сумма, не меньшая 350 рублей?
5. Железнодорожный билет для взрослого стоит 530 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей будут стоить билеты на всю группу?
6. В декабре цены на жильё упали на 4%, а в марте выросли на 6%.  На сколько увеличилась стоимость 1 квадратного метра жилья, если его первоначальная стоимость 60000 рублей?
7. Первоначальная стоимость коммунальных услуг была 200 рублей, через год она увеличилась на 30%, а еще через полгода еще на 20%.  Сколько стоят новые коммунальные услуги?
8. Ежемесячная плата за квартиру увеличится на 6% и семье придётся платить 1484 рубля. На сколько рублей увеличится плата за квартиру?
9. Типография каждые 2 месяца с начала года повышает цены на свои услуги на 5%.  Сколько стоит в августе тиражирование календаря, если в  январе  того  же  года  цена  составляла  80 рублей?
10. Поездка по железной дороге на новом экспрессе позволила сократить время в пути с 10 часов до 6 часов. На сколько процентов уменьшилось время поездки?

5. Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

1. Садовник для поливки роз смешивает удобрение «Росток» с 30%-ым содержанием калия и удобрение «Розочка» с 10%-ым содержанием калия и получает 600 граммов 15%-ого раствора. Сколько граммов каждого удобрения было взято?
2. Смешали 4 литра 15%-ого водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25%-ого водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
3. Смешав 30%-ый и 60%-ый растворы кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36%-ый раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ого раствора той же кислоты, то получили бы 41%-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 30%-ого раствора использовали для получения смеси?
4. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
5. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
6. Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
7. Из сосуда, доверху наполненного 93%-м раствором кислоты, отлили 1,5 литра жидкости и долили 1,5 литра 69%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 85%-й раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?
8. Кусок сплава меди и цинка в 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди?
9. Хозяйке для засолки огурцов необходимо получить 6%-ый раствор уксусной кислоты, используя 70%-ый раствор уксусной кислоты и воду. Сколько необходимо взять 70%-ого раствора и воды, чтобы получить 700 г раствора необходимой концентрации?  
10.  В санатории «Солнечный» готовят ванну из морской и пресной воды. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

6. Задачи на проценты в экологии

1. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12%, а затем повысилась на 5% по сравнению с полуднем. Сколько процентов от утренней влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?  
2.  На острове Мадагаскар из 28 местных видов птиц вымерло 24. Определите этот, самый высокий в мире, процент исчезнувших птиц. 
3. Гектар лиственного леса вырабатывает 2 килограмма летучих защитных веществ, а гектар хвойного леса - 250% от этой величины. Сколько килограммов летучих защитных веществ вырабатывает гектар хвойного леса?
4. В настоящее время леса на планете занимают около 40 млн. км2. Ежегодно эта величина уменьшается на 2%. Когда планета останется без своих «легких», если этот процесс не остановить?
5. В мире ежегодно добывается 1600 млн. м3 древесины, около 20% всей древесины идет на топливо. Сколько кубических метров древесины сжигается?
6. В суровую зиму в лесу может погибнуть до 90% птиц. Если в лесу обитало 3400 птиц, то сколько птиц осталось?  
7. Муравьи очищают лес от мусора, они могут переносить груз, в 10 раз превышающий собственный вес. Сколько лет живет муравей, если его продолжительность жизни составляет 1% от продолжительности жизни Мамонтова дерева (2500 лет)?
8. В России лесом занято около 1 млрд. га, в том числе 80% всей площади – хвойными. Бором занято около 25%, а еловыми лесами – около 17% всей площади хвойных лесов. Сколько гектаров занимают бор и еловые леса?
9. Один гектар леса в течение года способен поглощать столько углекислого газа, сколько его выдыхают 232 человека. Сколько процентов это составляет от общего числа людей, проживающих в городе Мегионе в 2010 году (численность составила 56405 человек)?
10. В лесных насаждениях происходит самоизреживание. Сколько сосновых деревьев придется на 1 га к 100 годам жизни леса, если вначале было 10000 деревьев на 1 га, к 40-летнему возрасту деревьев осталось 25% их числа, а к 100 годам жизни леса осталось только 21% деревьев, которые оставались к 40-летнему возрасту?

7. Задачи на проценты в промышленности и в сельском хозяйстве.

1. Зарплату рабочему повысили сначала на 10%, а через год еще на 20%. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?
2. Предприятие уменьшило выпуск продукции на 20%. На сколько процентов, необходимо теперь увеличить выпуск продукции, чтобы достигнуть его первоначального уровня? 
3. По плану фермерское хозяйство должно продать государству 1400 тонн мяса, но хозяйство выполнило план на 120%. Сколько тонн мяса продало фермерское хозяйство государству?
4. Объемы ежемесячной добычи нефти на первом, втором и третьем месторождениях относится как 7:6:14. Планируется уменьшить месячную добычу нефти на первом месторождении на 14% и на втором – тоже на 14%. На сколько процентов нужно увеличить добычу нефти на третьем месторождении, чтобы суммарный объем добываемой за месяц нефти не изменился?
5. При проверке влажности зерна она оказалась равной 16%. 200 кг зерна просушили, после чего зерно стало легче на 20 кг. Найти влажность зерна после просушки (с точностью до 0,1%).
6. Один рабочий обтачивает за неделю 960 изделий и израсходовал на это 12 резцов, другой рабочий на обточку 640 таких же деталей израсходовал 10 резцов. Кто экономнее расходовал резцы и на сколько процентов?
7. Бригада косарей в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во второй день 25% оставшейся части и последние 6 га. Найти площадь луга.
8. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличился выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?
9. Прибыль компании в 2009 году по сравнению с 2008 годом уменьшилась на 10%, а прибыль в 2010 году по сравнению с 2009 годом увеличилась на 25%. Рассчитайте величину прибыли, которую получила компания в 2008 году, если в 2010 году компания получила 315000 рублей прибыли. 
10. Доля бракованной продукции в 1 партии изделий бриллиантовых украшений составила 1%, во 2 партии - 1,5%, а в третьей - 2%. Первая партия составляет 35% всей продукции, вторая - 40%. Определить средний процент бракованной продукции.

8. Задачи на процентное содержание компонентов в различных  веществах.

1. Из 25 килограммов свежих яблок получили 4 килограмма сушёных. На сколько процентов уменьшилась масса яблок при сушке?
2. Фасоль содержит 23% белка, 55% крахмала и 1,8% жиров. Сколько килограммов белка, крахмала и жиров содержится в 15 килограммах фасоли?
3. Влажность свежих грибов 99%, сушеных – 98%. Как изменился вес грибов после подсушивания?
4. Из молока получается 10% творога. Сколько творога получают из 40 кг молока?
5.  Арбуз массой 20 кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%.  Какова теперь масса арбуза?
6. Полученный при сушке винограда изюм составляет 32% всей массы винограда. Из какого количества винограда получится 2 кг изюма?
7. Свежие фрукты содержат 78% воды, а сухие – 12% воды. Сколько килограммов сухофруктов получится из 40 килограммов свежих фруктов?  
8. В траве влага составляет 70 % от общей массы, а в сене – 10% от общей массы. Сколько нужно взять травы, чтобы заготовить 1000 кг сена?
9. Из молока получается 21% сливок, а из сливок – 24% масла. Сколько нужно взять молока, чтобы получить 630 кг масла?  
10.  Из пшеницы получается 80% муки. Сколько муки получится из 200 кг пшеницы?