Индивидуальный проект на тему "Методы решения тригонометрических уравнений"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Шелопугинская средняя образовательная школа

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине «Математика»

на тему:

«Методы решения тригонометрических уравнений»

       Выполнил: обучающийся 11 «А» класса

                                                     Тимуров Ихтиёр Бахтиярович

Руководитель: учитель высшей

категории математики и информатики

Чупрова Нина Павловна

с. Шелопугино, 2022 г.

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ        2

ПАСПОРТ ПРОЕКТА        3

ВВЕДЕНИЕ        4

Глава 1. Теоретическая часть        6

1.1.        Простейшие тригонометрические уравнения        6

1.2.        Однородные тригонометрические уравнения        7

1.3.        Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.        8

1.4.        Неоднородные тригонометрические уравнения.        9

1.5.        Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.        10

Глава 2. Решение тригонометрических уравнений        12

2.1.        Решение простейших уравнений        12

2.2.        Решение однородных тригонометрических уравнений        13

2.3.        Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным        14

2.4.        Решение неоднородных тригонометрических уравнений.        15

2.5.        Задание №12 ЕГЭ.        17

2.6.        Решение уравнений, содержащих обратные функции.        19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        20

Список используемой литературы        21

                                              ПАСПОРТ ПРОЕКТА

ВВЕДЕНИЕ

Тригонометрические уравнения являются важнейшим и при этом самым сложным этапом изучения тригонометрии, который нередко вызывает затруднения у многих учеников. Именно поэтому очень важно подробно рассмотреть данную тему и изучить основные методы и способы решения данных уравнений.

Актуальность: Тригонометрические уравнения на протяжении многих лет встречаются в задании ЕГЭ №5, а также в задании №12 повышенной сложности. Полное и всеобъемлющее изучение методов их решения позволит справиться с любой задачей на ЕГЭ, а также систематизировать мои знания в области тригонометрии.

Цель работы: Изучение методов и способов решения тригонометрических уравнений.

Задачи проекта:

• Изучить различные методы и способы решения тригонометрических уравнений.
• Выявить наиболее рациональные способы решения для различных случаев тригонометрических уравнений.
• Научиться применять рассмотренные методы для решения задания №12 ЕГЭ по математике, а также для решения задач повышенной сложности.
• Классифицировать тригонометрические уравнения по методам решения, и представить собранный материал в виде дидактический «копилки».

Методы исследования: анализ и классификация материала, систематизация знаний.

Новизна проекта: на основе собранных материалов была осуществлена систематизация и классификация тригонометрических уравнений по методам их решения, а также подробно рассмотрено применение изученных методов к решению задачи №12 ЕГЭ.

Практическая значимость:

1. Возможность использования результатов работы на уроках математики.
2. Повышение интереса к предмету математики.
3. Расширение моих знаний и умений в решении тригонометрических уравнений.
4. Продукт: дидактический материал для уроков математики в виде дидактической «копилки».

Объект исследования: тригонометрические уравнения.

Предмет исследования: методы и способы решения тригонометрических уравнений.

Глава 1. Теоретическая часть

1. Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения- это уравнения вида:

 , , ,

Для решения простейших тригонометрических уравнений используются формулы:

Частные случаи:

2. Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида  называют однородным тригонометрическим

уравнением первой степени; уравнение вида  называют однородным уравнением второй степени.

Итак, дано уравнение  , где

Разделив обе части уравнения на , получим:

В итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению:

Рассмотрим теперь тригонометрическое уравнение второй степени:

Разделим обе части уравнения на :

Получившееся уравнение решается путём введения новой переменной  а затем сводится к простейшему.

Если коэффициент a равен нулю, уравнение принимает вид:

.

Данное уравнение решается методом разложения на множители:

 или .

Получились два уравнения, одно из которых простейшее, а другое сводится к простейшим.

Примечание: делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно только в том случае, когда мы уверены, что это выражение не обращается в ноль. Синус и косинус одного аргумента не могут быть одновременно равны нулю, следовательно деление на  или  не приведёт к потере корней.

3. Тригонометрические уравнения, сводящиеся к квадратным.

Уравнение вида  или  называется тригонометрическим уравнением, сводящимся к квадратным.

Для решения уравнений данного вида следует ввести новую переменную  или . В результате приходим к квадратному уравнению bt+c=0. Решаем полученное уравнение относительно переменной t, затем подставляем полученные значения в выражение, которое было обозначено за t.

Если в уравнении присутствуют различные тригонометрические функции, например:

, то для его решения можно представить  как , сведя уравнение к виду: .

4. Неоднородные тригонометрические уравнения.

При решении неоднородных тригонометрических уравнений применяются следующие формулы:

В некоторых случаях для решения неоднородного уравнения удобно воспользоваться универсальной подстановкой:

Для решения неоднородных уравнений вида  используется метод введения вспомогательного аргумента:

1. Найти коэффициент (вспомогательный аргумент);
2. Разделить обе части уравнения на найденный коэффициент (вспомогательный аргумент);
3. Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса суммы и разности аргументов.
4. Решаем простейшее уравнение.

5. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Для решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, необходимо знать:

1. Уравнения, обе части которых представляют одноимённые обратные тригонометрические функции различных аргументов.

Использование тождеств при решении уравнений с разноимёнными обратными тригонометрическими функциями.

Примечание: при решении уравнений видов, обозначенных в таблице номерами 1-4, их корнем может быть число, для которого  и .

Глава 2. Решение тригонометрических уравнений

1.  Решение простейших уравнений

1. Решите уравнение: .

1) По формуле получаем: ;

2)

Ответ: .

2. Решите уравнение .

1. ;

    ;

3. ;

4. ;

Ответ: ;

Примечание: для решения простейших уравнений удобно пользоваться тригонометрической окружностью, в этом случае пользоваться формулами не придётся. Решим уравнение   с помощью окружности (рис.1):

1. Проведём прямую ;
2. Отметим точки пересечения прямой с окружностью и определим их значения;
3. Запишем значения, соответствующие этим точкам: ;

Ответ: , .

2. Решение однородных тригонометрических уравнений

1.Решите уравнение

1. Данное уравнение относится к однородным первой степени. Для его решения поделим обе части на .

;

2. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

Ответ: .

1. Решите уравнение =0.

1. Уравнение относится к однородным второй степени. Поделим обе части на

2. Выполним замену переменной:

3. Решаем квадратное уравнение.

4. Обратная замена:

5. Решаем простейшие уравнения.

1)                2)

            Ответ: ,

3.  Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным

Решите уравнение: .

1. Сведём к одной тригонометрической функции, заменив  на .

;

;

2. Введём новую переменную: .

;

3. Решим квадратное уравнение:

корень  не удовлетворяет условию.

4. Обратная замена:

5. Решаем простейшее уравнение с помощью тригонометрической окружности (рис.2).

Ответ: .

4.  Решение неоднородных тригонометрических уравнений.

1. Решите уравнение:

1. Для решения сведём все части уравнения к одному аргументу. Для этого воспользуемся формулой двойного угла.

;

;

2. Разложим уравнение на множители. Для этого вынесем общий множитель .

;

   или    ;

3. Решим совокупность простейших уравнений.

;              ;

;          ;

Ответ: , .

2. Решите уравнение: .

1. Сведём все части уравнения к одной тригонометрической функции. Для этого воспользуемся формулами приведения.

;

;

2. Воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

;

;

3. =0       или   ;

       Ответ: ,     - .        

3. Решите уравнение:

1. Поделим обе части уравнения на вспомогательный аргумент 2;

;

2.  и  соответствуют табличному значению

;

3. По формуле синуса суммы получаем:

;

4. Решаем простейшее уравнение:

;

.

Ответ: .

                   2.5 Задание №12 ЕГЭ.

1. Дано уравнение .

а) Решите уравнение;

б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

а) Используем формулу приведения:

;

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

;

Вынесем общий множитель:

;

или ;

                                         ;

                                         ;

б) Существует множество способов отбора корней, однако наиболее рациональным и удобным является графический способ отбора корней на координатной прямой (рис.3).

1) Отметим на прямой отрезок ;

2) Отметим точки  , , ;

3) Отсчитываем от этих точек  соответственно до тех пор, пока не попадём в отрезок .

4) Получаем точки .

2. Решите уравнение .

1. Определим область допустимых значений :

2. Покажем ОДЗ на тригонометрической окружности (рис.4).
3. Решаем уравнение:

;

 или

4. С учётом ОДЗ получаем:

Ответ:.

6.  Решение уравнений, содержащих обратные функции.

1. Решить уравнение .

1. Преобразуем уравнение: ;
2. По определению арктангенса: ;

;

3. Решаем квадратное уравнение:

;

; .

Ответ: 4; -1.

Решим равносильную систему:

;

Получаем:

;

Ответ: -0,5.

3. Решить уравнение .

1. Решим равносильное уравнение:

;

2.  Получаем:

;  

3. При   выражение  меньше нуля, следовательно этот корень посторонний.

Ответ: 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанной работы были выполнены все задачи, поставленные в данном проекте, а именно:

• Были изучены основные методы решения тригонометрических уравнений;
• Уравнения классифицированы по методам решения;
• Были рассмотрены решения уравнений различных уровней сложности;
• Изученные методы решения были применены к решению задания №12 ЕГЭ.

Также в работе были рассмотрены тригонометрические уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции, не входящие в школьный курс математики, что позволило расширить и углубить знания в области тригонометрии.

На основании проделанной работы и изученных материалов можно сделать вывод: тригонометрические уравнения занимают особое место в разделе Тригонометрия. Уравнения часто представляют собой математические модели реальных ситуаций, процессов, происходящих в астрономии, в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, и так далее. Поэтому важно владеть различными методами и способами решения тригонометрических уравнений.

Список используемой литературы

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс [Книга]. - Москва : Мнемозина, 2020.
2. РЕШУ ЕГЭ. Математика профильного уровня [В Интернете]. - https://math-ege.sdamgia.ru/test?theme=167.
3. Удалова Н. Н. Математика [Книга]. - Москва : Эксмо, 2017.
4. Шабунин М. И. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс [Книга]. - Москва : Просвещение, 2012.