Треугольник Паскаля

Содержание

Введение………………………………………………………………………………….3

1.Принцип построения треугольника Паскаля……………………………...…………4

      1.1 История появления треугольника………………………………………………4

      1.2 Треугольник Паскаля как разновидность треугольника и его геометрические закономерности………………………………..…………………………………………5

2.Свойства …………………………………………………………………………….  6-8

     2.1Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи……………………………………..8-9

     2.2Бином Ньютона. Биномиальное разложение с использованием треугольника   Паскаля……………………………………………………………………………….10-12

     2.3Примеры……………………………………………………………………….12-14

     2.4Треугольник Паскаля и  система двоичного кодирования…………………….14

     2.5Применение в теории вероятностей……………………………………………..15

3. Перспективы изучения треугольника Паскаля………………………………….15-16

  Заключение…………………………………….……………………….........................17

Приложения…………………………………………………………………………..18-19

  Список источников информации……………………………………………………..20

Введение

       Американский математик Мартин Гарднер писал: «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике ».

        Актуальность изучения   темы обоснована тем, что знание свойств и закономерностей треугольника Паскаля позволяет расширить математический кругозор и  применять  знания  при решении  задач.

         Широкое исследование темы в различных областях науки и продолжение поисков новых закономерностей учёными позволяет выдвинуть гипотезу: треугольник Паскаля является важным математическим объектом, таящим в себе массу интересных закономерностей и позволяющим  применять их в различных областях.

        Цель исследования: изучение  свойств и закономерностей треугольника Паскаля, примеров их  применения.

        Задачи исследования:

- изучить литературу по теме «Треугольник Паскаля»;

- выявить свойства чисел, входящих в состав треугольника Паскаля;

- определить применение свойств чисел треугольника Паскаля;

- сформулировать вывод и итоги исследования.

Объект исследования: треугольник Паскаля  как математический объект.

Предмет исследования:  свойства треугольника Паскаля.

Методы исследования:

-аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной   и специальной литературой;

- поиск информации в интернет – ресурсах;

-сравнение;

-анализ.

Практическая значимость исследования состоит в том, что результаты исследования могут использоваться при решении задач на уроках и при подготовке  к олимпиадам

        Так что же в нём так заинтриговало математиков по всему миру? Для того, чтобы подробно изучить этот треугольник я обратилась к своему учителю за консультацией, и мы решили исследовать данную проблему.

          С первого взгляда нам может просто показаться, что треугольник Паскаля это аккуратно расставленный набор цифр, а на самом деле это настоящая математическая сокровищница. Индийские  математики называли это лестницей на гору Меру,  в Иране – Треугольником Хайяма, а в Китае треугольником Янг Хуэй. Однако большей части западного мира известен, как треугольник Паскаля. Его название он получил в честь французского математика Блеза Паскаля. И, это безусловно, не очень справедливо, потому как француз внёс  несомненный вклад, но явно не был в числе изобретателей этого треугольника.

      Если   вкратце, то этот треугольник содержит  в себе массу закономерностей и  секретов. Прежде всего, это принцип его построения.

1.Принцип построения треугольника Паскаля      

1.1 История появления треугольника

             Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году  вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

       Блез Паскаль - французский математик, физик, литератор и философ.  Паскаль был первоклассным математиком. Он помог создать два крупных новых направления математических исследований. В возрасте шестнадцати лет написал замечательный трактат о предмете проективной геометрии и в 1654 году переписывался с Пьером де Ферма по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики. 

1.2.Треугольник Паскаля как разновидность треугольника

             Изучая разновидности треугольников, я выяснила, что треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами, названный в честь Блеза Паскаля и является неисчерпаемым источником всевозможных математических радостей.

             Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму.

Принцип его построения:  начнем с единицы и представим, что по обе стороны от нее располагаются невидимые нули. Сложив их попарно, получим следующий ряд.

 А теперь сделаем так еще раз и еще раз, так мы можем продолжать до бесконечности. И вскоре мы получим нечто вроде этого, хотя на самом деле треугольник Паскаля бесконечен.

        В треугольнике есть геометрические закономерности. Посмотрите на диагонали: первые две не вызывают особенного интереса – сплошные единицы,

 а после целые положительные числа, известные как натуральные числа;

 а вот числа в следующей диагонали называются треугольными, потому что из количества точек равного любому из чисел в этой диагонали можно построить равносторонний треугольник. Треугольные числа в самом  обычном и привычном  виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника - как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде. Следующая диагональ состоит из тетраэдрических чисел – поскольку по аналогии с предыдущим  пунктом каждое число равно количеству шариков, образующих тетраэдр. 

2. Свойства  треугольника Паскаля.

«Треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица "треугольной формы", в которой по боковым сторонам стоят единицы и всякое число, кроме этих боковых единиц, получается как сумма двух предшествующих чисел.»

В сочинении Паскаля "Трактат об арифметическом треугольнике", изданном в 1665г. уже после смерти автора, была опубликована следующая таблица, в которой каждое число А равно сумме предшествующего числа в том же , что и А, горизонтальном ряду, и предшествующего числа в том же, что и А, вертикальном ряду:

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника". Приведу для примера лишь 3 свойства "треугольника", найденные самим Паскалем; при этом буду исходить из того расположения "треугольника" на плоскости, какое было указанно Паскалем, и говорить о горизонтальных и вертикальных рядах.      

 Свойство 1:  Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого левого вплоть до стоящего непосредственно над числом А (в котором клетки, содержащие слагаемые, дающие в сумме А, заштрихованы).

рис.1                                       рис. 2                           рис. 3

Свойство 2:    Каждое число А в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа А. Рис. 2.                                                                                                                   Свойство 3:   Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число А (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются). Рис. 3.

Таким образом, наш треугольник отличается от "треугольника" рассматриваемого самим Паскалем, поворотом на 45 градусов.

2.1.Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи.

       Знаменитый математик Якоб Бернулли в 18 столетии отмечал: «Эта таблица имеет ряд чудесных свойств…Те, кто тесно соприкасается с геометрией, знают, что она хранит ряд фундаментальных секретов  этой области математики». Одна из «тайн» треугольника Паскаля – его связь с числами Фибоначчи. Эта тайна была раскрыта во второй половине 20 в. Независимо друг от друга несколькими математиками. Считается, что первым это сделал известный венгерский, швейцарский и американский математик Дьердь Пойа. Этот результат в течение нескольких столетий оставался неведомым как Блезу Паскалю, так и другим математикам, которые соприкасались с треугольником Паскаля.

Если строки в треугольнике Паскаля выровнять по левому краю, то суммы чисел, расположенных вдоль диагоналей, идущих слева направо и снизу вверх, равны числам Фибоначчи – 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89… (каждое число  в этой последовательности равно сумме двух предыдущих, а начинают последовательность две единицы):

  Наиболее наглядно и полно суть «задачи Пойа» и её решение в общем виде изложено в книге доктора технических наук Алексея Стахова «Введение в  алгоритмическую теорию измерения»

Есть в треугольнике Паскаля интересная особенность: чётные и нечетные числа располагаются группами, ибо есть одно негласное всем известное правило: четное + нечетное = нечетное, четное + четное = четное, нечетное + нечетное = четное. Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.

Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность.

Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

2.2.Бином Ньютона. Биномиальное разложение с использованием треугольника Паскаля

В математике широко известна следующая  формула  .    Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n верно                                                                                                    (a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + .... + cn-1a1bn-1 + cna0bn,
где числа c0, c1, c2,...., cn-1, cn называются биномиальными коэффициентами.

Наиболее часто эта формула называется бином Ньютона

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)n, где a + b есть любой бином, а n - целое число. 

Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Биномиальные коэффициенты могут быть выражены через факториалы следующим образом:

Из этой формулы вытекает следующее  «симметрическое» свойство биномиальных коэффициентов:    

Блез Паскаль предложил оригинальный способ вычисления  биномиальных коэффициентов, расположив их в виде арифметического треугольника, впоследствии названного треугольником Паскаля.

В общем виде треугольник Паскаля имеет следующий вид:

Треугольник Паскаля чаще встречается в виде значений коэффициентов бинома Ньютона для натуральных n:

Т.о.для чисел( сочетаний из n элементов по k)  имеет красивый и удобный способ их записи в виде треугольной таблицы –  называемой треугольником Паскаля.

2.3.Примеры

Так вот, каждая строка состоит из, так называемых, биноминальных коэффициентов в разложении бинома (x+y)^n, где n- это номер ряда, а отсчет начинается с нуля. Итак, если взять n =2 и разложить его в ряд, то получим x^2+2x*y+y^2, при этом коэффициенты или числа перед переменными идентичны соответствующим цифрам в ряду треугольника Паскаля. Та же картина будет и с n=3 при разложении в следующий ряд (1. Т.е. треугольник- это простой и быстрый способ определения всех таких коэффициентов.

Рассмотрим подробные решения примеров, в которых применяется формула бинома Ньютона.

Пример 1: Возведите в степень: (u - v)5.

Решение: У нас есть (a + b)n, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля и его свойства:
1          5          10          10          5          1
Тогда у нас есть
(u - v)5 = [u + (-v)]5 = 1(u)5 + 5(u)4(-v)1 + 10(u)3(-v)2 + 10(u)2(-v)3 + 5(u)(-v)4 + 1(-v)5 = u5 - 5u4v + 10u3v2 - 10u2v3 + 5uv4 - v5.
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v является нечетным числом, знак минус.

Пример 2: Возведите в степень: (2t + 3/t)4.

Решение: У нас есть (a + b)n, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1          4          6          4          1
Тогда мы имеем 

Пример3: Найдите коэффициент бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения .

Решение: В нашем примере n=10, k=6-1=5. Таким образом, мы можем вычислить требуемый биномиальный коэффициент:

Пример 4.Доказать, что значение выражения , где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: Представим первое слагаемое выражение, как  и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

2.4.Треугольник Паскаля и  система двоичного кодирования

Если в формуле

  (a + b)n = c0anb0 + c1an-1b1 + c2an-2b2 + .... + cn-1a1bn-1 + cna0bn                     принять а=в=1,то получится следующее тождество:

Это тождество лежит в основе теории двоичного кодирования, т.е.  треугольник Паскаля генерирует двоичный ряд чисел- арифметическую первооснову цифровых информационных технологий.

2.5. Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей.

И этот треугольник непросто математический шедевр. Но он очень полезен особенно когда речь заходит о вероятностях в области комбинаторики. например, семья хочет зависти 5 детей и пытаетесь просчитать вероятность осуществления своей мечты: рождения 3 девочек и 2 мальчиков. При биноминальном разложении это примет вид (девочка + мальчик)^5. Итак, мы смотрим на 5 ряд, в котором первое число соответствует 5 девочкам, а последнее 5 мальчикам, а вот 3 число как раз то, что мы ищем. 10, деленное на сумму всех вероятностей в ряду (1+5+10+10+5+1=32). Стало быть, интересующая нас вероятность равна 10/32 или 31,25%.

Еще один пример, представим, что случайным образом из 12 друзей выбираем баскетбольную команду, состоящую из 5 игроков. Так вот, сколько вариантов групп может из этого получиться. В комбинаторике эта задача будет звучать как размещение с 12 по 5 и высчитывается по этой формуле

Но достаточно взглянуть на 6 элемент 12 ряда нашего треугольника, и мы получим ответ.

3.Перспективы изучения треугольника Паскаля

Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.

Давайте обозначим через  произведение чисел в -й строке треугольника. Так, , и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для  он нашел числа , получающиеся по следующей формуле:

.

Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.

И вот удивительная вещь: когда  становится все больше, это отношение становится все ближе к числу ! Помните,  — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное . Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля.

           Вряд ли Блез Паскаль, который в 17 в. подверг арифметический треугольник первичному разностороннему исследованию, мог подозревать, какие глубинные проблемы науки затрагивает этот, на первый взгляд, несложный математический объект.
     И современная история исследований треугольника Паскаля полностью подтверждает  пророческое высказывание Мартина Гадрнера,что  треугольник Паскаля таит в себе неисчерпаемые сокровища. Мы можем отметить следующие математические результаты, которые порождает треугольник Паскаля: 
1. Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты порождают двоичные числа и, в  конечном итоге, теорию двоичного кодирования - арифметическую основу современных цифровых информационных и компьютерных технологий. 
2. Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты порождают числа Фибоначчи, являющиеся предметом исследования современной теории чисел Фибоначчи и золотой пропорции. 
3. Через числа Фибоначчи и формулу Кеплера треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты оказываются тесно связанными с золотым сечением - одним из важнейших геометрических открытий древней математики

          Все это и многие другие наблюдения  дают основание утверждать, что именно треугольник Паскаля является фундаментальным математическим объектом, который возможно  лежит в основе нового направления современной науки.

                   Заключение

Таким образом, одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Треугольник Паскаля - понятие значительно шире, чем мне представлялось.

Числа, входящие в треугольник Паскаля обладают большим количеством свойств.

Треугольник Паскаля используется для решения различных задач в области математики, теоретической физики, квантовой физики.

Треугольник Паскаля может стать  основой для создания компьютерных программ.

Тема подразумевает дополнение и развитие во многих направлениях.

Все закономерности треугольника Паскаля являются доказательством элегантного переплетения математических нитей. Причем до сих пор открываются все новые и новые секреты. Значит, действительно  треугольник Паскаля – важный математический объект.

                                                          Приложение

Задача 1.Сколькими способами можно составить букет, состоящий и 3 цветов, если в ассортименте имеется 8 различных цветов ?

Решение:

В треугольнике Паскаля число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k элементов из множества, содержащего n различных элементов, стоит на пересечении k-ой диагонали и n-ой строки.

Найду диагональ восьмую сверху и отсчитываю три числа по горизонтали.

Получу число 56.

Задача 2. Из шести солдат отделения   необходимо двоих поставить в наряд. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.        

Задача 3.Сколько различных двухзначных чисел можно составить, используя цифры  1, 2, 3, 4 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Решение:

 или      

Найду диагональ четвёртую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 6. Вычислю факториал числа 2, получу 2. Искомое произведение равно 12.        

Задача 4. У ювелира есть пять изумрудов, восемь алмазов, четыре топаза. Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него два изумруда, три алмаза и два топаза?

Решение:

Два изумруда из пяти имеющихся можно выбрать 10 способами, три

алмаза из восьми 56 способами, два топаза из четырёх 6 способами. Браслет можно сделать 3360 способами, т.е.

Задача 5

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки?

Сочетаний по три точки из одиннадцати будет 165. Три точки, не лежащие на одной прямой, составляют треугольник. Вокруг любого треугольника можно описать окружность только одну. Вокруг наших треугольников будет 165 окружностей.

Список источников информации

1. http://mech.math.msu.su/~shvetz/54/inf/perl-problems/chPascalTriangle.xhtml.

2. https://ru.wikibooks.org/wiki/Язык Си в примерах .Треугольник_Паскаля.

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Паскаля

4. Интернет-журнал «Науковедение»,№4, 2012г. Стахов. А.П. «Треугольник Паскаля – один из стратегических объектов математики»

 5. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 класс. в 2 ч.. М. :Мнемозина, 2010.

6. Успенский В.А. Треугоьник Паскаля. М.:Наука;1979.