Очень часто встречаются ситуации, когда две различные измеряемые величины связаны друг с другом довольно тесно, хотя и не предельно жестко. В математической статистике такие величины называют случайными в том смысле, что при их измерении получают статистический набор значений, несколько отличающихся друг от друга. Можно ли оценить тесноту статистической связи между двумя значениями, полученных при измерении случайных величин? Есть ли зависимость между ростом супругов? Зависит ли рост ребенка от роста родителей? Можно ли вычислить рост своего ребенка при достижении им взрослого возраста и как это сделать?
Вложение | Размер |
---|---|
formula_rosta_kicherova.docx | 23.95 КБ |
УДК 519.213.3
А. А. Кичерова (г. Тюмень)
ФОРМУЛА РОСТА
Получены формулы, позволяющие вычислить рост супругов, рост дочери и сына по сумме ростов родителей с учетом среднего квадратичного отклонения.
Ключевые слова: Коэффициент корреляции, теория вероятности, рост родителей, роcт детей.
Очень часто встречаются ситуации, когда две различные измеряемые величины связаны друг с другом довольно тесно, хотя и не предельно жестко. В математической статистике такие величины называют случайными в том смысле, что при их измерении получают статистический набор значений, несколько отличающихся друг от друга. Можно ли оценить тесноту статистической связи между двумя значениями, полученных при измерении случайных величин? Есть ли зависимость между ростом супругов? Зависит ли рост ребенка от роста родителей? Можно ли вычислить рост своего ребенка при достижении им взрослого возраста и как это сделать?
Предположим, что рост жены зависит от роста мужа на корреляционное значение r и рост детей зависит от суммы ростов родителей на корреляционное значение r.
В теории корреляции выводятся формулы, позволяющие вычислить коэффициент корреляции r, изменяющийся от 0 (связи не обнаружено) до 1 (связь 100%-ная), и записать линейное уравнение для связи между Х и Y (его называют уравнением регрессии).
Наличие связи между ростом родителей и ростом их детей представляется заранее очевидным, предопределенным генетически. Из повседневных наблюдений ясно, что у высоких родителей более высокие дети, чем у низких, и нужно найти лишь показатели этой связи. Мною были собраны данные по 125 парам «муж-жена» и их детей в возрасте 16-20 лет (учащиеся школ и ТюмГНГУ). Анализируя данные, можно сделать вывод, что чем больше в среднем рост мужа, тем больше рост его супруги (хотя, конечно, существуют и такие пары, которые сильно выпадают из общей тенденции).
Расположив данные в таблице, проводим некоторые вычисления, а именно: среднее арифметическое каждого столбца (рост мужа (Y), жены (Х), дочери и сына) и среднее арифметическое суммы ростов родителей. Полученные данные понадобятся для дальнейших исследований.
Следующий этап – вычисление СКО. Среднее квадратичное отклонение — в теории вероятности и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания. Вычисляют СКО по формуле:
Sx= (1)
и аналогично для величины Y. Полученные результаты на этом этапе являлись последними недостающими данными для вычисления коэффициента корреляции, который вычисляется по следующей формуле, которая известна из теории учебника и задачника В. Е. Гмурмана:
0,35 (2)
Корреляция — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин. При этом изменения значений одной или нескольких из этих величин сопутствуют систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции r. Сильной обычно считают связь, начиная с r = 0,7. Полученная сила связи довольно значительная: величины роста супругов коррелируют между собой статистически значимо. Тем самым математически доказывается, что рост партнера учитывается в большинстве супружеских пар, хотя отнюдь не во всех.
Аналогичные расчеты были проведены по детям (А – дочь; В – сын) и их родителям, на основе которых был сделан вывод: рост детей в большей степени зависит от суммы ростов родителей.
Получив значение корреляции, можем записать два уравнения регрессии: одно из них позволяет найти Y (рост мужа), если известен X, а второе – найти X (рост жены), если задан Y (формулы взяты из теории учебника и задачника В. Е. Гмурмана):
; (3)
(4)
Подставив все найденные значения в формулы 3 и 4, получим окончательно для прогнозирования роста супругов:
Y=0,39х+112,3; (5)
X=0,24у+122,2. (6)
А также формулы для расчета ростов детей:
Рост дочери = 0,5*(х+у)+0,175; (7)
Рост сына = 0,235*(х+у)+96,7. (8)
Конечно, интересно было бы дать прогноз величины роста дочери или сына за много лет до того, как они станут взрослыми или даже появятся на свет. Для этого можно воспользоваться выведенными уравнениями регрессии (7 и 8).
Так как коэффициент корреляции составил больше нуля, значит статическая связь между ростом мужа и жены, родителей и детей существует и она довольно значительна. Таким образом, мы выяснили, что рост детей в паре в большинстве зависит от суммы ростов родителей и по этим данным вывели эмпирические формулы (5, 6, 7 и 8), которыми могли бы воспользоваться мужчины и женщины, собирающиеся вступить в брак, и спрогнозировать будущий рост своих детей.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Лев Николаевич Толстой. Индеец и англичанин (быль)
Новый снимок Юпитера
Фокус-покус! Раз, два,три!
Рисуем подснежники гуашью
5 зимних аудиосказок