Практическое применение теоремы Пифагора

Творческий проект :

"Практическое применение теоремы Пифагора"

                                               Выполнила: ученица 8 А  класса

                                                                     Зинкевич Вероника Кирилловна

                                               Руководитель: Манеева Ирина Александровна

2023г.

Введение

Теорема Пифагора — это одно из самых известных утверждений в геометрии, которое связывает стороны прямоугольного треугольника. Она гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В этом проекте мы рассмотрим практическое применение теоремы Пифагора в различных областях жизни.

Цели проекта        

1. Изучить теорему Пифагора и её доказательства.
2. Исследовать практическое применение теоремы в различных сферах.
3. Создать интерактивное представление о теореме и её использовании.

Этапы выполнения проекта

1. Теоретическая часть

• Определение теоремы Пифагора.
• История открытия теоремы и её значение в математике.
• Доказательства теоремы (геометрическое, алгебраическое).

2. Практическое применение

• Архитектура и строительство: Рассчитать высоту здания, используя расстояние от точки наблюдения и угол наклона.
• Навигация: Определить кратчайший путь между двумя точками на плоскости.
• Спорт: Анализировать траекторию движения спортсменов (например, в баскетболе или футболе).
• Компьютерная графика: Использование теоремы для расчета расстояний и координат в 2D и 3D пространствах.

3. Интерактивная часть

• Создать презентацию с графиками и иллюстрациями, показывающими примеры применения теоремы.
• Разработать простую игру или интерактивную задачу, где участникам нужно будет применять теорему Пифагора для решения задач (например, найти длину стороны треугольника).

4. Практическая часть

• Провести эксперимент: измерить высоту дерева или здания, используя теорему Пифагора (например, с помощью тени и расстояния до объекта).
• Создать модель (например, из картона), на которой будет визуально представлено применение теоремы Пифагора.

Определение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (сторона, напротив прямого угла) равен сумме квадратов длины двух других сторон (катетов). Формально это можно записать следующим образом:

c2=a2+b2

где:

• c — длина гипотенузы,
• a и b — длины катетов.

История открытия теоремы и её значение в математике

Теорема Пифагора названа в честь древнегреческого математика Пифагора, который жил в VI веке до н.э. Однако, несмотря на её имя, известно, что данное соотношение было известно и использовалось задолго до Пифагора в различных культурах, включая Вавилон и Индию. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам - даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: ": когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста". На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части.

• Вавилон: Вавилоняне использовали подобные треугольники и знали о соотношении между сторонами треугольников, что подтверждают найденные клинописные таблички (около 2000 года до н.э.).
• Индия: В индийских текстах, таких как "Сулба-сутры" (около 800 года до н.э.), также содержатся указания на теорему Пифагора.

Значение теоремы в математике огромно. Она не только служит основой для изучения геометрии, но также имеет важное значение в тригонометрии, физике, инженерии и многих других областях. Теорема Пифагора помогает решать практические задачи, такие как измерение расстояний и построение различных объектов.

Доказательства теоремы

Геометрическое доказательство

Одно из наиболее известных геометрических доказательств теоремы Пифагора основано на построении квадратов на каждой стороне прямоугольного треугольника.

1. Построим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.
2. На каждом из катетов построим квадрат: один со стороной a и другой со стороной b.
3. На гипотенузе построим квадрат со стороной c.
4. Площадь квадрата на гипотенузе равна c2, а площадь квадратов на катетах равна a2+b2.
5. Путем перестановки и разбиения фигур можно показать, что площади квадратов на катетах равны площади квадрата на гипотенузе, что и доказывает теорему.

Алгебраическое доказательство

Алгебраическое доказательство можно выполнить, используя координаты.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами в точках A(0,0),  B(a,0)  и C(0,b).
2. Длина гипотенузы AC может быть найдена с помощью формулы расстояния:

с=(a-0)2+(b-0)2=a2+b2​

2. Таким образом, квадрат длины гипотенузы равен:

с2=a2+b2  Это соответствует формулировке теоремы Пифагора.

Оба доказательства показывают, что теорема Пифагора верна для всех прямоугольных треугольников и служат основой для дальнейших исследований в геометрии и других областях математики.

Практическое применение теоремы Пифагора

1.Чтобы рассчитать высоту здания, используя расстояние от точки наблюдения и угол наклона, можно использовать тригонометрию, в частности, свойства прямоугольного треугольника. Процесс можно описать следующим образом:

Шаги для расчета высоты здания

1. Определите переменные:

• Пусть h — высота здания (то, что мы хотим найти).
• Пусть d — горизонтальное расстояние от точки наблюдения до основания здания.
• Пусть θ — угол наклона (угол между линией взгляда и горизонтальной плоскостью).

2. Используйте тригонометрическую функцию:

В данном случае мы можем использовать тангенс угла наклона, который определяется как отношение противолежащей стороны (высоты здания) к прилежащей стороне (горизонтальному расстоянию):

tg(θ) =

3. Перепишите формулу для высоты:
   Чтобы выразить высоту h, можно переписать уравнение:

h=d⋅tg(θ)

4. Вычислите высоту:
   Теперь, подставив известные значения для d и θ, можно вычислить высоту здания.

Пример расчета

Предположим, что вы стоите на расстоянии 50 метров от здания, и угол наклона составляет 30 градусов.

1. Данные:

• d=50 метров
• θ=30°

2. Находим тангенс угла:

tg(30°)≈0.577

3. Подставляем в формулу:

h=50⋅tg(30°)°≈50⋅0.577≈28.85 метров

Таким образом, высота здания составляет примерно 28.85 метров.

Заключение Используя угол наклона и расстояние до здания, мы можем легко рассчитать его высоту с помощью простых тригонометрических функций.

2. Чтобы определить кратчайший путь между двумя точками на плоскости, можно использовать геометрические методы и свойства прямых линий. Вот пошаговое руководство, как это сделать:

Шаги для определения кратчайшего пути

1. Определите точки:
   Пусть у нас есть две точки на плоскости:

• Точка A(x1,y1)
• Точка B(x2,y2)

2. Изобразите точки на плоскости:
   На чертеже отметьте точки A и B.
3. Нарисуйте прямую линию:
   Проведите прямую линию между точками A и B. Эта прямая линия представляет собой кратчайший путь между двумя точками на плоскости.
4. Вычислите длину пути:
   Длину отрезка AB можно вычислить с помощью формулы расстояния между двумя точками:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2

Пример

Предположим, у нас есть точки:

• A(1,2)
• B(4,6)

1. Изображение:
   На координатной плоскости отметьте точки A и B.
2. Нарисуйте линию:
   Проведите прямую линию от A до B.
3. Вычислите длину:
   Подставим значения в формулу:

d=(4−1)2+(6−2)2=32+42=9+16=25=5

Заключение: Кратчайший путь между двумя точками на плоскости — это прямая линия, и его длину можно легко вычислить с помощью формулы расстояния.

3.Задача индийского математика 12 века Бхаскары.

"На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река
В четыре лишь фута была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?"

Решение: АВ2 = 9+16, АВ=5 футов (перевести вместе в метры) 1 фут=0,3048м, 8*0,3048=2,438 м, т.е. примерно 2,4м.

4.Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого (18 век)

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

ВС2=1252-1172 = (125-117)(125+117)=8*242=4*2*121*2

ВС=2*2*11=44 стопы

Теорему Пифагора широко применяют в строительстве, при вычислении размеров крыши, построении окон.

В мобильной связи Теорема Пифагора используется для определения высоты вышки, чтобы определённый объект попал в зону связи.

В 1808 году в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка "Пифагоровы законы и нравственные правила", начинавшаяся словами:

Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.

Вот некоторые из 325 Пифагоровых заповедей:

• Мысль - превыше всего между людьми .
• Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.
• Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.
• Юные девицы! Помятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.
• Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.
• Не пекись о скитании великого знания: из всех знаний нравственная наука, может быть, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.
• Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться.
• Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать.

Заключение

В заключении проекта следует подвести итоги о значении теоремы Пифагора в повседневной жизни и различных профессиях. Знание этой теоремы помогает решать практические задачи и развивает логическое мышление. Этот проект поможет глубже понять теорему Пифагора и её важность в различных областях, а также развить навыки работы с геометрическими концепциями.

Оформление проекта

Презентация (PowerPoint).

Источники информации:

Геометрия. 7-9 класс. Учебник - Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Геометрия. Учебник для 7-9 классов. - Погорелов А.В.

https://urok.1sept.ru

https://%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%BA.%D1%80%D1%84/