Презентация "Интегрирование подстановкой и по частям"
презентация к уроку

Слайд 1

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Способ подстановки заключается в следующем: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя). Например, в интеграле удобно произвести замену , так как оставшаяся часть подынтегрального выражения равна . Тогда перепишем данный интеграл в виде . Полученный интеграл является табличным: Далее, произведя обратную замену , получим ответ: Решение этого примера можно кратко оформить так: = = = .

Слайд 2

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем: Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно). Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной. Производят замену под интегралом. Находят полученный интеграл. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием.

Слайд 3

Интегрирование по частям. При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрические функции, бывает удобно воспользоваться способом интегрирования по частям. Выведем формулу интегрирования по частям. Интегрируя обе части равенства d( uv ) = udv + vdu , получим или , откуда . С помощью данной формулы нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла , который может оказаться или проще данного, или даже известным. При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей , которые обозначают u и dv . Множитель u стараются выбрать так, чтобы было проще, чем u .

Слайд 4

Пример 1. Найти . Решение. Интеграл содержит произведение двух функций x и cosx . Способ подстановки не даёт возможности найти этот интеграл. Обозначим x = u, cosx dx = dv; тогда dx = du; v = sinx . Применим формулу интегрирования по частям: Пример 2. Найти dx . Решение. dx Пример 3. Найти . Решение. Имеем . Для нахождения полученного в правой части равенства интеграла снова интегрируем по частям: = x sinx + cosx + C . В результате получаем окончательный ответ: + 2 x sinx + 2 cosx + C .