Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока
план-конспект урока по теме

Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока.

Для расчета цепей переменного тока используется представление мгновенных значений токов, напряжений, ЭДС в виде векторов.

Между мгновенным значением и векторным представлением синусоидальной величины существует взаимооднозначное соответствие – вектор несет информацию о действующем значении величины (длина вектора) и начальной фазе (угол поворота вектора относительного положительного направления горизонтальной оси). Т.е. вектор с точки зрения информации о параметрах синусоидальной величины является комплексом, совокупностью двух параметров.

Для графического изображения такого рода величин в математике существует комплексная плоскость.

Вектор на комплексной плоскости может быть представлен двумя способами: в полярной и прямоугольной системе координат.

Рассмотрим представление некой синусоидальной величины в комплексной форме -    

а=Аm sin(ωt+ψ)

Комплексное число можно представить на координатной плоскости двумя способами:

В прямоугольной системе координат,

В полярной системе координат.

В электротехнике принято обозначать комплексную единицу буквой j=.

Комплексы синусоидально изменяющихся величин обозначается -, а величин, не зависящих от времени - .

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат

+j- ось мнимых  чисел

А’’

А’

0

+1- ось действительных чисел

=А’+jА’’- комплексное число представлено в алгебраической форме,

где А’- проекция на ось действительных чисел, 

 А’’- проекция на ось мнимых чисел.

Представление комплексного числа в полярной системе координат

+j

=А- комплексное число представлено в показательной форме,

где  А- модуль комплексного числа (соответствует длине вектора),

А

 ψ – аргумент комплексного числа (соответствует повороту вектора относительно положительного направления оси действительных чисел).

ψ

+1

0

Разные формы записи комплексного числа используются для выполнения различных действий:

Для сложения и вычитания используется алгебраическая форма записи комплексного числа, а для умножения, деления и возведения в степень – показательная.

При вычислениях будет необходимо переходить из одной формы записи комплексного числа в другую:

А’= А∙cosψ, А’’= А∙sinψ

=А=А∙cosψ+А∙j∙sinψ = А’+jА’’

=, Ψ=arctg

Существует также третья, неосновная форма записи комплексного числа – тригонометрическая: А∙cosψ+А∙j∙sinψ. Она чаще всего используется для перехода из одной формы в другую.

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.

Ток в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального тока (комплексом тока) является величина, модуль которой равен действующему значению тока, а аргумент начальной фазе.

                             i=Im sin(ωt+ψi)

                                I=0,707Im

=I

Напряжение в комплексной форме.

Комплексом действующего значения синусоидального напряжения (комплексом напряжения) является величина, модуль которой равен действующему значению, а аргумент начальной фазе.  

                           u=Um sin(ωt+ψu)

                               U=0,707Um

=U

Сопротивление в комплексной форме.

Для вывода сопротивления можно воспользоваться законом Ома – комплексная величина равная отношению комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

где Z - модуль комплексного сопротивления, равен полному сопротивлению,

      φ = ψu - ψi – аргумент комплексного сопротивления, равен разности фаз между напряжением и током.

+j

0

Z’=R – проекция на ось действительных чисел равна активному сопротивлению,

Z’’=X – проекция на ось мнимых чисел равна реактивному сопротивлению.

Z’’=jX

f

Z’=R

+1

Частные случаи комплексного сопротивления.

Цепь с активным сопротивлением (R):

Цепь с идеальной катушкой индуктивности(L):

Цепь с идеальным конденсатором(C):

Цепь с реальной катушкой индуктивности (RL):

Цепь с реальным конденсатором (RC):

Проводимость в комплексной форме.

Проводимость – это величина обратная сопротивлению:

где Y - модуль комплексной проводимости, равен полной проводимости,

      -φ = ψi - ψu – аргумент комплексной проводимости.

+1

+j

Y’=G

-Y’’=-jB

Y’=G – проекция на ось действительных чисел равна активной проводимости,

f

0

-Y’’=-B – проекция на ось мнимых чисел равна реактивной проводимости.

Мощность в комплексной форме.

Из треугольника мощностей получим:

S’=P

0

+j

+1

f

S’’=jQ

где:

S – модуль комплексной мощности, равен полной мощности,

f – аргумент комплексной мощности, равен углу сдвига фаз между током и напряжением:

φ = ψu - ψi

S’=P – проекция на ось действительных чисел, равна активной мощности,

S’’=Q – проекция на ось мнимых чисел, равна реактивной мощности.

Комплексная мощность – это произведение комплексного напряжения на комплексный ток.

А.     Если ψu≠0, ψi=0 (φ = ψu – ψi= ψu-0= ψu), то комплексную мощность можно рассчитать используя комплексное напряжение и комплексный ток.

В.      Если ψu≠0, ψi≠0 (φ = ψu – ψi), тогда для определения комплексной мощности используют сопряженный комплекс тока (это такой комплекс тока у которого отрицательная начальная фаза    )

1

0

+j

-f

f

Основные законы электрических цепей в комплексной форме.

Закон Ома.

Законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа.

Алгебраическая сумма комплексных токов в узле равна нулю.

составления уравнения по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительное направление токов.

i-i1-i2-i3=0 или i=i1+i2+i3

в комплексной форме:

Второй закон Кирхгофа.

В контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов Э.Д.С. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:

Для данной схемы:

 iR1+uc+uL+iR2=e1-e2

в комплексной форме:

Оглавление

Применение комплексных чисел для расчета цепей переменного тока.        

Представление комплексного числа в прямоугольной системе координат        

Представление комплексного числа в полярной системе координат        

Основные характеристики электрических цепей переменного тока в комплексной форме.        

1.        Ток в комплексной форме.        

2.        Напряжение в комплексной форме.        

3.        Сопротивление в комплексной форме.        

4.        Частные случаи комплексного сопротивления.        

5.        Проводимость в комплексной форме.        

6.        Мощность в комплексной форме.        

Основные законы электрических цепей в комплексной форме.