МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
учебно-методическое пособие по теме

Министерство образования и науки Самарской области

      ГБОУ СПО «Сызранский механико-технологический техникум»

                Рассмотрено на заседании ПЦК

                   общеобразовательных дисциплин

                    Протокол № __ от ________2011г.

Председатель ПЦК __________ /Зубкова Н.В./

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

 ДЛЯ СТУДЕНТОВ

ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

                                 Автор: Кузьменко Н.Н

                                                        Преподаватель ГБОУ СПО « СМТТ»

Сызрань,2011г

Пояснительная записка.

     Методические рекомендации  для студентов по изучению одного из разделов математики: «Комплексные числа» составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уровню подготовки выпускника среднего профессионального образования по дисциплине и отвечают требованиям к реализации основной образовательной программы среднего (полного) общего образования средними специальными учебными заведениями.

     Данные методические рекомендации адресованы студентам обучающихся на втором курсе по

специальности:

032002.51 Документационное обеспечение управления и архивоведения  

     Данное пособие включает теоретические сведения, необходимые для решения задач. Наличие методических указаний и примеров с подробным решением призвано облегчить освоение учебного материала студентами,  и могут быть использованы, как на аудиторных занятиях, так и при самостоятельной работе студентов.

Введение

   Понятие о комплексном числе появилось в середине 16 в. Математиков того времени заинтересовал вопрос, получения формул выражающую корни кубического уравнения через его коэффициенты.

    В 1545г. была издана книга «Великое искусство, или об алгебраических преобразованиях», в которой Дж.Кардано(1501-1576) опубликовал формулу корней кубического уравнения, открытую его современниками С. дель Ферро(1465-1526) и Н. Тартальей(1500-1557). Обнаружилось, что в случае, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардана появляются квадратные корни из отрицательного числа.  Такие числа называются мнимыми числами.

    Мнимые числа стали широко использовать при решении уравнений. На рубеже 18 и 19вв. К.Ф. Гаусс назвал мнимые числа «Комплексными числами». Он дал им геометрическую интерпретацию и доказал, что каждый многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

   В настоящее время комплексные числа широко применяются в математике, физике и технике; их применение часто упрощает решение задач.

1. Понятие мнимой единицы.

Предположим, что существует такое число, квадрат которого равен  - 1. Обозначим это число буквой i, тогда справедливо равенство (1):  

Число i будем называть мнимой единицей, а равенство (1) будем считать определением мнимой единицы.

Например:

2. Степень мнимой единицы.

Рассмотрим степени мнимой единицы:

i;
i2 = – 1;
i3 = i2*i = (– 1)i = – i;
i4 = i3*i = – i*i = – i2 = – (– 1) = 1;
i5 = i4*i = 1*i = i;
i6 = i5*i = i*i = i2 = – 1;
i7 = i6*i = (– 1)*i = – i;
i8 = i7*i = – i*i = 1;
…………………

Таким образом,

- если показатель степени числа i делится на 4, то значение степени равно 1;

- если при делении показателя степени на 4 в остатке получается 1, то значение степени равно i ;

- если при делении показателя степени на 4 получается остаток 2, то значение степени равно – 1;

- если при делении на 4 остаток равен 3, то значение степени равно – i.

Пользуясь этим, можно вычислять любую степень числа i.

Например:

а)   т.к. 28=4*7 (нет остатка)

б)  т.к. 33=4*8+1

в) т.к. 135=4*33+3

Задания для самостоятельной работы №1.

Вычислите:

1. i66; i143; i216; i137.
2. i43 + i48 + i44 + i45.
3. (i36 + i17)i23.
4. (i133 + i115 + i200 + i142)(i17 + i36).
5. i145 + i147 + i264 + i345 + i117.
6. (i13 + i14 + i15)i32.
7. (i64 + i17 + i13 + i82)(i72 – i34).

3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И СВОЙСТВА.

   Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида a+bi , где a и b –действительные числа, а i-мнимая единица. Множество комплексных чисел обозначается через C.

   Возможны случаи, когда a и b могут быть равные нулю.

- если a = 0, то комплексное число bi называют мнимым;

- если b = 0, то комплексное число a+bi = a и называется действительным;

- если a =0 и b=0,то комплексное число a+bi=0.

   Определение 2. Комплексные числа  и

называются равными, если a =c и b=d.

Например:

a) Найти x и y из равенства 3y+5xi=15-7i

Решение:

Согласно условию равенства комплексных чисел имеем 3y=15; 5x=-7.Отсюда

б) Найти x и y из равенства(2х+3у) + (х-у)I =7+6i

Решение: Согласно условию равенства комплексных чисел имеем

 2х+3у=7

 х-у=6

Решая систему уравнений получаем: х=5,у=-1

Задания для самостоятельной работы №2.

8–13. Найдите значения x и y из равенств:

8. 7x + 5i = 1 – 10iy.               9. (2x + y) – i = 5 + (y – x)i.
10. x + (3x – y)i = 2 – i.         11. (1 + 2i)x + (3 – 5i)y = 1 – 3i.
12. (2 – i)x + (1 + i)y = 5 – i. 13. (3i – 1)x + (2 – 3i)y = 2 – 3i.

   Определение 3. Суммой комплексных чисел и  называется комплексное число вида  (a+c)+(b+d)i

Например:

Найти сумму комплексных чисел  и

Решение:

   Определение 4. Произведением комплексных чисел и  называется комплексное число вида

 (ac - bd) + (ad + bc)i

Например:

 Найти произведение комплексных чисел и

Решение: Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:

(a b)2 = a2  2ab + b2,
(a  b)3 = a3  3a2b + 3ab  b3

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Например

а) (2 + 3i)2 = 4 + 2*2*3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;

б) (3 – 5i)2 = 9 – 2*3*5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;

в) (5 + 3i)(5 – 3i) = 52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25 + 9 = 34;

г) (1 + i)(1 – i) = 12 – i2 = 1 + 1 = 2

   Операции суммы и произведения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

I. Свойства суммы:

- коммутативности: ;

- ассоциативности:;

II. Свойства произведения:

- коммутативности: ;

- ассоциативности:

III. Свойство дистрибутивности:

   Доказательства приведенных свойств выполните самостоятельно.

   Определение 5. Алгебраической формой записи  комплексного числа называется запись вида z = a+bi, где i-мнимая единица.

   Сложение и умножение комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, осуществляется по обычным правилам алгебры с учетом равенства i2 = – 1.

   Например:

Пусть ;

По определению: (ac - bd) + (ad + bc)i

По свойству: 

   Определение 6: Разностью комплексных чисел

 и называется число z = x + yi, которое удовлетворяет равенству  или (c+di)+(x+yi)=a+bi

   Разность z чисел  и обозначается

Например

Вычислите: (2+6i)−(7+11i)=(2-7)+(6i-11i)= -5-5i

Задания для самостоятельной работы №3.

Вычислите:

14. (3 + 5i) + (7 – 2i).     15. (6 + 2i) + (5 + 3i)                            16. (– 2 + 3i) + (7 – 2i).  17. (5 – 4i) + (6 + 2i).
18. (3 – 2i) + (5 + i).       19. (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
20. (– 5 + 2i) + (5 + 2i).  21. (– 3 – 5i) + (7 – 2i)                      22. (2 + 3i)(5 – 7i).         23. (6 + 4i)(5 + 2i).
24. (3 – 2i)(7 – i).           25. (– 2 + 3i)(3 + 5i).
26. (1 –i)(1 + i).              27. (3 + 2i)(1 + i).
28. (6 + 4i)*3i.                29. (2 – 3i)(– 5i).

30. (3 + 5i)2.                    31. (2 – 7i)2                                        32. (6 + i)2.                      33. (1 – 5i)2.                                         34. (3 + 2i)3.                    35. (3 – 2i)3.
36. (4 + 2i)3.                    37. (5 – i)3.                                          38. (3 + 2i)(3 – 2i).         39. (5 + i)(5 – i).
40. (1 – 3i)(1 + 3i).         41. (7 – 6i)(7 + 6i).
42. (a + bi)(a – bi).         43. (m – ni)(m + ni).

  Определение 7: Комплексные числа  и называются комплексно сопряжёнными.

   Определение 8: Частным комплексных чисел и называется комплексное число z=x+yi, которое удовлетворяет равенству

или (c+di)(x+yi)=a+bi

   Частное z комплексных чисел  и  обозначается

Примечание. Отметим, что на практике деление комплексных чисел удобнее выполнять не при помощи непосредственного использования приведённой формулы, а используя равенство:

Например

Вычислить:

Задания для самостоятельной работы №4.

Выполните деление.

4. Решение квадратных уравнений с действительными коэффициентами.

    Обсудим теперь вопрос о том, как решаются квадратные уравнения  в комплексных числах. Рассмотрим уравнение  где ,b, c –– произвольные комплексные коэффициенты.

 Сделаем это на конкретном примере:

а) x2 – 6x + 13 = 0;

   Решение:

  Найдем дискриминант по формуле

D = b2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то

D = 36 – 4*1*13 = 36 – 52 = – 16;

б) 9x2 + 12x + 29 = 0

   Решение:                                                                             Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,                              D = b2 – 4ac =122 – 4*9*29 = 144 – 1044 = – 900,

Замечание: если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.                                                                  

Задания для самостоятельной работы №5.

Решите уравнение:                                                                    56.  x2 – 4x + 13 = 0.             57. x2 + 3x + 4 = 0.                        58. 2,5x2 + x + 1 = 0.            59. 4x2 – 20x + 26 = 0.

5. Геометрическая интерпретация комплексного числа

    Каждое комплексное число z = a + bi можно геометрически изобразить на плоскости точкой Z(a;b) или как вектор ОZ с началом в точке О(0;0) и концом в  точке

Z (a;b)

    Определение: Плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

   Определение: Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной (или вещественной) осью; чисто мнимые числа – точками оси ординат, которую будем называть мнимой осью.

Например:                                                                 Изобразить на плоскости числа

z1 = 5;             z2 = – 3i;

z3 = 3 + 2i;      z4 = 5 – 2i;

 z5 = – 3 + 2i;  z6 = – 1 – 5i.

Из определений суммы и разности следует, что

комплексные числа складываются и вычитаются, как векторы.

6.  Тригонометрическая форма комплексного числа.

Пусть комплексное число z = a + bi изображено в виде вектора с началом в точке O(0; 0) и концом Z(a; b).  

    Определение:  Модулем комплексного числа z = a + bi называется длина вектора, которую можно найти по формуле . Часто модуль комплексного числа обозначают -  r

   Определение: Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс. Величину угла  можно найти с помощью формул:

   Эта система имеет бесчисленное множество решений вида, где k – любое целое число. Таким образом, любое комплексное число z имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное

   Если k = 0, то мы получим главное значение аргумента, которое и будем называть аргументом комплексного числа.

Из соотношений

 и

Следует:  a = r cos , b = r sin.

Если в запись комплексного числа z вместо a и b подставить эти значения, то получим

z = a + bi = r cos  + ir sin  = r (cos  + i sin).

 Определение: Получили новую форму записи комплексного числа:   z = r (cos  + i sin), которая

называется тригонометрической формой комплексного числа.