Практические работы по математике 10 и 11 классы
рабочая программа на тему

II КУРС

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №1

«Вычисление производной с помощью определения»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производной функции по определению».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

       а) Что такое приращение аргумента и приращение функции?      

       б) В чем состоит геометрический смысл приращений  и ?

       в) В чем состоит геометрический смысл отношения ?

       г) Сформулируйте определение производной функции в точке.        

2. С помощью обучающих таблиц повторить планы вычисления приращения функции, производной функции в точке по определению и изучить образцы решенных примеров.
3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4. Изучить условие заданий для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.

ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ

1. Приращение аргумента и приращение функции.

   На рисунке  - приращение  аргумента в точке ,   - приращение функции в точке .

Задание. Вычислите приращение функции  в произвольной точке, если:

а) ;      б) .

Примеры1. Вычислите приращение функции  в произвольной точке х0, если:

1. ;  2) ;  3) ;  4) ;  5) ;                        6) ;  7) ;  8) ;  9) .

                           2. Производная функции.

Определение. Производной функции  в заданной точке x называется предел отношения приращения функции  в этой точке к приращению аргумента , когда  стремится к нулю, т.е.

                                .

Задание. Вычислите производную функции  в точке , если:

а) ;  б) .

Примеры2. Вычислите производные следующих функций:

1)  в точке ;   2)  в точке ;    3)  в точке ;   4)  в точке ;   5)  в точке ;    6)  в точке ;

 7)  в точке ;   8)  в точке .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .
2. Найдите приращения  и  в точке , если .
3. Найдите производную функции f в точке  по определению, если  при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 2.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .
2. Найдите приращения  и  в точке , если .
3. Найдите производную функции f в точке  по определению, если  при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 3.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .
2. Найдите приращения  и  в точке , если .
3. Найдите производную функции f в точке  по определению, если  при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

Вариант 4.

1. Найдите приращение функции f в точке , если .
2. Найдите приращения  и  в точке , если .
3. Найдите производную функции f в точке  по определению, если  при = 1.
4. Найдите мгновенную скорость точки, движущейся прямолинейно по закону , в момент времени , если .

                                 ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №2

«Вычисление производных алгебраических функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных алгебраических функций».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

      а) Сформулируйте определение функции.      

      б) Сформулируйте правила вычисления производных  алгебраических  функций.

       в) В чем состоит механический смысл производной?

       г) Тело движется по прямой согласно закону х(t). Запишите формулы для нахождения скорости и ускорения тела в момент времени t.      

2. По образцу выполнить тренировочные задания.
3. Изучить условие заданий для практической работы.
4. Оформить отчет о работе.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Решите неравенство: , если .

РЕШЕНИЕ. Пользуясь правилами дифференцирования алгебраических функций и формулами дифференцирования элементарных функций, вычислим производные:

;

.

Таким образом, нужно решить неравенство:

.

:

Разложим числитель дроби на множители .Неравенство  методом интервалов.

Нули числителя: х = 1, х = 5. Нуль знаменателя: .

                                                                                         О т в е т: .

ПРИМЕР 2. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени .

РЕШЕНИЕ. Скорость движения – это производная от пути по времени, следовательно,

.

Значит, в момент времени  скорость данного движения такова: .

Так как нам известна скорость движения как функция времени, мы можем найти ускорение этого движения:                                         .

Значит, в момент времени  ускорение данного движения равно: .

                                                                                          О т в е т: 46; 24.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

1. Решите неравенство , если .
2. Тело движется по прямой согласно закону . Найдите скорость и ускорение точки в момент времени .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

а) ; б) ; в) .

Вариант 2.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите неравенство , если .

Вариант 3.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 4.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 5.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Решите уравнение , если .

Вариант 6.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ;  в) .

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону . Через сколько секунд после начала движения точка остановится?

Вариант 7.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. Найдите х,  при котором , если .

Вариант 8.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

2. По прямой движутся две материальные точки по законам  и . В каком промежутке времени скорость первой точки больше скорости второй?

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №3

 «Вычисление производных сложных функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление производных сложных функций».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблица производных элементарных функций; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Какая функция называется сложной? Приведите примеры сложных функций.      

      б) Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.

2. По образцу выполнить тренировочные задания.
3. Изучить условие заданий для практической работы.
4. Оформить отчет о работе.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Заданы функции . Задайте формулой сложную функцию h, если: а) ; б) .

РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции  таким образом:

.

                     б) Функцию h можно представить в виде сложной функции  таким образом:

.

ПРИМЕР 2. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция : а) ; б) .

РЕШЕНИЕ. а) Функцию h можно представить в виде сложной функции , где

.

б) Функцию h можно представить в виде сложной функции , где  .

ПРИМЕР 3. Найдите производные сложных функций: а) ; б) .

РЕШЕНИЕ. а) Так как , где , то  и , откуда  .

                       б) Так как , где , то  и , откуда  .

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ.

1. Задайте формулами элементарные функции f и g, из которых составлена сложная функция , если .
2. Найдите производную сложной функции .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;  б) ;    в) ;   г) ;   д) .

Вариант 2.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;  б) ;   в) ;  г) ;  

д) .

Вариант 3.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) .

Вариант 4.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) .

Вариант 5.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;    

г) ;   д) .

Вариант 6.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;  

 д) .

Вариант7.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) ;

Вариант 8.

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;  

 д) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №4

«Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Решение прикладных экстремальных задач».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

       а) Какую точку называют критической точкой функции?

       б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

       в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

       г) Опишите схему исследования функции.

2. С помощью обучающих таблиц повторить планы нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, решения прикладных экстремальных задач и изучить образцы решенных примеров.
3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4. Изучить условие заданий для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.

ОБУЧАЮЩИЕ ТАБЛИЦЫ

1. Наименьшее и наибольшее значения функции.

Задание. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции  на промежутке .

Примеры. Применяя указанный выше план, найдите наименьшее и наибольшее значения функции  на промежутке , если:

1) , ;   2) , ;  

3), ;  4), ;    

5) , ;  

6) ,  ;  7) , ;  8) , ;  

9) , .

2. Геометрические задачи на нахождение оптимальных значений величин.

Задание. Из кружка жести радиуса R вырезается сектор и из оставшейся части круга делается коническая воронка. При какой величине угла вырезаемого сектора объём воронки будет наибольшим?

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Из квадратного листа жести со стороной 12 м надо изготовить бак с квадратным основанием без крышки наибольшего объема. Найдите размеры бака и его объем.

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Какой из прямоугольников с периметром 2p имеет наибольшую площадь?

Вариант 3.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа. Чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

Вариант 4.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 м. И площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Вариант 5.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Из куска картона 32 см 20 см требуется изготовить открытую сверху коробку наибольшей вместимости, вырезая по углам квадраты и затем, загибая выступы для образования боковых сторон коробки. Найдите объем коробки.

Вариант 6.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Требуется сделать коробку, объем которой должен равняться 108 см. Коробка открыта сверху и имеет квадратное дно. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

Вариант 7.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. На странице книги печатный текст должен занимать (вместе с промежутками между строк)

160 см. Ширина полей на странице слева и справа должна быть равна 2 см, а сверху и снизу –   5 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Вариант 8.

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке .
2. Материальная точка совершает прямолинейное движение по закону , где t – время в секундах, s – путь в метрах. В какой момент времени t скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой наибольшей скорости?

                                 ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №5

«Свойства функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Свойства функций».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Что называется функцией?

б) Что такое естественная область определения функции?

в) Какая функция называется четной, нечетной?

г) Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 2.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 3.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 4.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 5.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 6.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 7.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

Вариант 8.

1. Найдите , если .
2. Найдите область определения функции .
3. Установите, является ли функция  четной, нечетной или не является ни четной, ни нечетной.
4. Найдите точки пересечения графика функции  с осью ОУ и нули функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №6

«Исследование функции и построение ее графика»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Исследование функции и построение ее графика».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

      а) Какую точку называют критической (стационарной) точкой функции?

      б) Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.

      в) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

      г) Опишите схему исследования функции.

2. С помощью обучающей таблицы повторить план исследования функции и изучить образцы решенных примеров.
3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4. Изучить условие заданий для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Задание. Исследуйте и постройте графики функции:

                а) ;                          б) .

Примеры. Исследуйте и постройте графики функций:

1) ;  2) ;   3) ;    4) ;       5) ;  6) ;        7) ;      8) ;      9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 2.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 3.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 4.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 5.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 6.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 7.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

Вариант 8.

1. Исследуйте функцию  на максимум и минимум.
2. Исследуйте с помощью производной функцию  и постройте ее график.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №7

Повторение к экзамену: «Производная»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Повторить знания уч-ся в теме: «Производная».
2. Организовать деятельность уч-ся по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности учащихся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по математическому анализу, таблицы производных элементарных функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Изучить условие заданий для практической работы (тест).
2. Оформить отчет о работе (форму отчета выбирает преподаватель).

Тест 1. Определение производной.

1 вариант.

1. Приращение функции  в точке  при  равно:

а) –0,19;     б) 0,21;     в) 0,20;     г) –0,09.

2. Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3. Производная функции  в точке  равна:

а) 5;     б) 4,5;     в) 6;     г) 3,5.

4. Какая из приведенных функций является производной функции ?

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2 вариант.

1.  Приращение функции  в точке  при  равно:

а) 0,42;     б) –0,38;     в) 0,40;     г) –0,39.

2.  Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4.  Какая из приведенных функций является производной функции ?

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3 вариант.

1. Приращение функции  в точке  при  равно:

а) –0,19;     б) 0,21;     в) 0,19;     г) –0,21.

2. Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3. Производная функции  в точке  равна:

а) –1,5;     б) 1,5;     в) –0,75;     г) 0,75.

4. Какая из приведенных функций является производной функции ?

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4 вариант.

1.  Приращение функции  в точке  при  равно:

а) 0,63;     б) 0,60;     в) –0,59;     г) –0,57.

2.  Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) 1,2;     б) 2;     в) –1,2;     г) 2,5.

4.  Какая из приведенных функций является производной функции ?

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

Тест 2. Правила нахождения производной.

Степенная и тригонометрические функции.

1 вариант.

1.  Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) 0,5;     б) 1;     в) –0,5;     г) –1.

4. Производная функции  в точке равна:

а) 0,5;     б) –0,5;     в) 1;     г) 0.

2 вариант.

1.  Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) 0,5;     б) 1;     в) –0,5;     г) –1.

4. Производная функции  в точке равна:

а) 0,5;     б) –0,5;     в) 1;     г) 0.

3 вариант.

1.  Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) 0,5;     б) 1;     в) –0,5;     г) –1.

4. Производная функции  в точке равна:

а) 0,5;     б) –0,5;     в) 1;     г) 0.

4 вариант.

1.  Производная функции  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) 0,5;     б) 1;     в) –0,5;     г) –1.

4. Производная функции  в точке равна:

а) 0,5;     б) –0,5;     в) 0;     г) 1.

Тест 3. Правила нахождения производной.

Логарифмическая и показательная функции.

1 вариант.

1.  Производная функции  равна нулю в точках:

а) ;     б) ;     в) ;     г)  .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) 3,5;     в) –1,5;     г) 1.

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2 вариант.

1.  Производная функции  равна нулю в точках:

а) ;     б) ;     в) ;     г)  .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) 1,5;     г) .

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3 вариант.

1.  Производная функции  равна нулю в точках:

а) ;     б) ;     в) ;     г)  .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) –1,25;     б) ;     в) –0,75;     г) 1,5.

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4 вариант.

1.  Производная функции  равна нулю в точках:

а) ;     б) ;     в) ;     г)  .

2.  Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) 3;     в) 1;     г) 1,5.

3.  Производная функции  в точке  равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Производная функции  в точке равна:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

Тест 4. Геометрический смысл производной.

1 вариант.

1.  Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами  равен:

а) 1,25;     б) 0,25;     в) 1,5;     г) 0,625.

2.  Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой равен:

а) –1;     б) ;     в) 1;     г) .

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой  равен:

а) 8;     б) 2;     в) –2;     г) 0.

4. Уравнением касательной к графику функции  в точке с абсциссой является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2 вариант.

1.  Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами  равен:

а) –0,5;     б) 0,25;     в) –1;     г) 0,75.

2.  Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой равен:

а) 3;     б) 4;     в) 7;     г) .

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой  равен:

а) ;     б) 10;     в) ;     г) 6.

4. Уравнением касательной к графику функции  в точке с абсциссой является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3 вариант.

1.  Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами  равен:

а) 1,25;     б) 0,25;     в) 1,5;     г) –0,75.

2.  Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой равен:

а) 6;     б) 4;     в) 8;     г) –0,75.

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой  равен:

а) 0;     б) 7;     в) –1;     г) 1.

4. Уравнением касательной к графику функции  в точке с абсциссой является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4 вариант.

1.  Угловой коэффициент секущей к графику функции , проходящей через точки с абсциссами  равен:

а) 3;     б) 0,25;     в) 1,5;     г) –2.

2.  Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой равен:

а) 4;     б) 2,5;     в) 1,5;     г) 3,5.

3. Угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой  равен:

а) 1;     б) –1;     в) 6;     г) 0.

4. Уравнением касательной к графику функции  в точке с абсциссой является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

Тест 5. Физический смысл производной.

1 вариант.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону , равна

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Точка движется по прямой по закону . Её мгновенная скорость  равна:

а) 8;     б) 6;     в) 10;     г) 9.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону  равно:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Тело массой m движется по закону . Сила, действующая на тело в момент времени , равна:

а) 0;     б) ;     в) ;     г) .

2 вариант.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону , равна

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Точка движется по прямой по закону . Её мгновенная скорость  равна:

а) 11;     б) 13;     в) 12;     г) 10.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону  равно:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Тело массой m движется по закону . Сила, действующая на тело в момент времени , равна:

а) 0;     б) ;     в) ;     г) .

3 вариант.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону , равна

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Точка движется по прямой по закону . Её мгновенная скорость  равна:

а) 6;     б) 8;     в) 10;     г) 9.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону  равно:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Тело массой m движется по закону . Сила, действующая на тело в момент времени , равна:

а) 0;     б) ;     в) ;     г) .

4 вариант.

1. Скорость точки, движущейся по прямой по закону , равна

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Точка движется по прямой по закону . Её мгновенная скорость  равна:

а) 18;     б) 16;     в) 20;     г) 14.

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону  равно:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Тело массой m движется по закону . Сила, действующая на тело в момент времени , равна:

а) ;     б) 0;     в) ;     г) .

Тест 6. Исследование функций.

1 вариант.

1. Областью определения функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Область значений функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3. Функция  возрастает на промежутке:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Критическими (стационарными) точками функции являются:

а) ;     б) ;     в) ;     г)  ,.

2 вариант.

1. Областью определения функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Область значений функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3. Функция  убывает на промежутке:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Критическими (стационарными) точками функции являются:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ,.

3 вариант.

1. Областью определения функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Область значений функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3. Функция  убывает на промежутке:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Критическими (стационарными) точками функции являются:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ,.

4 вариант.

1. Областью определения функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Область значений функции  является:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

3. Функция  возрастает на промежутке:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

4. Критическими (стационарными) точками функции являются:

а) ;     б) ;     в) ;     г) ,.

Тест 7. Наибольшее и наименьшее значения  функции.

1 вариант.

1. На отрезке  функция  достигает наибольшего значения в точке с абсциссой:

а) –1;     б) –2;     в) 3;     г) 0.

2. Наименьшее значение функции  на интервале  равно:

а) ;     б) 2;     в) ;     г) 2.

3. Положительное число, сумма которого со своей обратной величиной имеет наименьшее значение, равно:

а) 1;     б) 2;     в) ;     г) .

4. Стороны прямоугольника наибольшей площади при его периметре 12 м равны:

а) 2 и 4 м;     б) 3 и 3 м;     в) 1 и 5 м;     г) 1,5 и 4,5 м.

2 вариант.

1. На отрезке  функция  достигает наименьшего значения в точке с абсциссой:

а) –1;     б) 3;     в) 4;     г) 0.

2. Наибольшее значение функции  на интервале  равно:

а) ;     б) ;     в) –2;     г) .

3. Число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение, равно:

а) 1;     б) 2;     в) ;     г) –1.

4. Стороны прямоугольника наименьшего периметра при его площади 114 м2 равны:

а) 4 и 36 м;     б) 8 и 18 м;     в) 12 и 12 м;     г) 9 и 16 м.

3 вариант.

1. На отрезке  функция  достигает наименьшего значения в точке с абсциссой:

а) –1;     б) 0;     в) 1;     г) –2.

2. Наибольшее значение функции  на интервале  равно:

а) ;     б) 0;     в) ;     г) 2.

3. Число, квадрат которого превышает его куб на максимальное значение, равно:

а) 1;     б) 2;     в) ;     г) –1.

4. Стороны прямоугольника наименьшего периметра при его площади 64 м2 равны:

а) 2 и 32 м;     б) 4 и 16 м;     в) 6,4 и 10 м;     г) 8 и 8 м.

4 вариант.

1. На отрезке  функция  достигает наибольшего значения в точке с абсциссой:

а) –3;     б) 2;     в) 0;     г) –2.

2. Наименьшее значение функции  на интервале  равно:

а) 0;     б) ;     в) 1;     г) .

3. Отрицательное число, сумма которого со своей обратной величиной имеет наибольшее значение, равно:

а) ;     б) –2;     в) ;     г) –1.

4. Стороны прямоугольника наибольшей площади при его периметре 16 м равны:

а) 4 и 4 м;     б) 2 и 6 м;     в) 3 и 5 м;     г) 3,5 и 4,5 м.

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №8

«Вычисление первообразных функций»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление первообразной функции».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

      а) Что называется первообразной функции?

      б) Сформулируйте основное свойство первообразной.

       в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

2. Изучить образцы решенных примеров.
3. Выполнить задания для самоконтроля.
4. Изучить условие заданий для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Выясните, является ли  первообразной для функции  на R?

РЕШЕНИЕ. Находим

.

Следовательно, по определению  является первообразной для функции  на R.

ПРИМЕР 2. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

РЕШЕНИЕ. По основному свойству первообразных любая первообразная функции  записывается в виде . Координаты точки  графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению:

.

Отсюда находим, что

,

С = 2.

Следовательно, уравнение искомой первообразной имеет вид: .

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Выберите правильный вариант ответа.

1. Функция  является первообразной для функции:                         а);      б);      в).
2. Дана функция . Первообразная для функции g(x), график которой проходит через точку , это:

а)  ;  б) ;   в) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?

2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 2.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 3.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 4.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 5.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 6.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 7.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

Вариант 8.

1. Является ли функция  первообразной для функции ?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №9

«Вычисление определенного интеграла»

    ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление определенного интеграла».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

       а) Что называется первообразной функции?

       б) Сформулируйте основное свойство первообразной.

       в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

       г) Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

2. Изучить образцы решенных примеров.
3. Выполнить задания для самоконтроля.
4. Изучить условие заданий для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Вычислите интеграл .

РЕШЕНИЕ. Найдем множество всех первообразных для функции :

.

Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, получаем:

.

                                                                                             О т в е т: .

ПРИМЕР 2. Выясните, при каком отрицательном значении переменной а верно равенство

?

РЕШЕНИЕ. Поскольку для  одной из первообразных является ,

.

Следовательно, нужно решить уравнение:

,

,

,

.

Отрицательный корень этого уравнения – это число –1.

О т в е т: -1.

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Выберите правильный вариант ответа.

1. Значение  равно:  

а);   б) ;   в) .

2. Равенство  (где a > 0) верно, если а равно:

а) 1;   б) 2;   в) 3.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Вычислите интегралы:   а) ;                     б) .
2. Докажите справедливость равенства: .

Вариант 2.

1. Вычислите интегралы:   а) ;               б) .
2. Докажите справедливость равенства: .

Вариант 3.

1. Вычислите интегралы:   а) ;                   б) .
2. Докажите справедливость равенства: .

Вариант 4.

1. Вычислите интегралы:   а) ;                      б) .
2. Докажите справедливость равенства: .

Вариант 5.

1. Вычислите интегралы:   а) ;                       б)
2. Верно ли неравенство:  ?

Вариант 6.

1. Вычислите интегралы:   а);                    б) .

3. Верно ли неравенство: ?

Вариант 7.

1. Вычислите интегралы:   а) ;                   б) .
2. Верно ли неравенство:  ?

Вариант 8.

1. Вычислите интегралы:   а) ;                          б) .
2. Верно ли неравенство:  ?

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №10

«Применение интеграла для вычисления площадей и объемов»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Применение определенного интеграла для вычисления площадей и объемов».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

      а) Какую фигуру называют криволинейной трапецией? Приведите примеры криволинейных трапеций.

      б) Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.

       в) Покажите на рисунках и запишите интегральные формулы, с помощью которых можно вычислить площади фигур, не являющихся криволинейными трапециями.

       г) Запишите и с помощью иллюстрации прокомментируйте интегральную формулу для вычисления объемов тел.

2. С помощью обучающей таблицы повторить план вычисления площади криволинейной трапеции и изучить образцы решенных задач.
3. Выполнить задания для самоконтроля (в таблице).
4. Изучить условие заданий для практической работы.
5. Оформить отчет о работе.

ОБУЧАЮЩАЯ ТАБЛИЦА

Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке  знака функции , прямыми  и отрезком . Площадь S криволинейной трапеции находится по формуле

.  (*)

Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

                а) ;            б) .

Примеры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. ;  2) ;    3) ;     4) ;

5) ;  6) ;    7) ;    8) ;

9) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа.

 Площадь фигуры, изображенной на  

рисунке, вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 2.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа.

 Площадь фигуры, изображенной на

рисунке, вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

Вариант 3.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ;    б) 4;    в) .

Вариант 4.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ;    б) ;    в) .

Вариант 5.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна , если, а равно:

 а) ;    б) 0,5;    в) .

Вариант 6.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна , если b равно:

 а) ;    б) 4;    в) .

Вариант 7.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:  

а) ;    б) ;    в) .

Вариант 8.

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: .
2. Выберите правильный вариант ответа. Площадь фигуры, ограниченной линиями , равна:

а) ;    б) ;    в) .

                                                        I КУРС

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №1

Повторение школьной алгебры: «Преобразование выражений»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Повторить знания уч-ся в теме: «Преобразование числовых и буквенных выражений».
2. Организовать деятельность уч-ся по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по алгебре, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. С помощью справочных пособий по алгебре повторить:

а) правила действий над обыкновенными дробями;

б) формулы сокращенного умножения;

в) способы разложения выражения на множители;

г) правило сокращения дробей.

2. Изучить условие заданий для практической работы.

3. Оформить отчет о работе.

Правила действий над обыкновенными дробями:

;       ;        

Формулы сокращенного умножения:

;   ;

;      

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Вычислите значение выражения: .

2. Упростите выражение: .

Вариант 2.

1. Вычислите значение выражения: .
2. Упростите выражение: .

Вариант 3.

1. Вычислите значение выражения: .
2. Упростите выражение: .

Вариант 4.

1. Вычислите значение выражения: .
2. Упростите выражение: .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №2

«Преобразование выражений, содержащих радикалы» 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Преобразование выражений, содержащих радикалы».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

      а) Дайте определение корня n-ой степени. Что такое арифметический корень n-ой степени?

      б) Перечислите свойства арифметических корней n-ой степени.

2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Найдите значение выражения: .
2. Решите уравнение: .
3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .
4. Какое из чисел больше:  или ?

Вариант 2.

1. Найдите значение выражения: .
2. Решите уравнение: .
3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .
4. Какое из чисел больше:  или ?

Вариант 3.

1. Найдите значение выражения: .
2. Решите уравнение: .
3. Вычислите: а); б) ; в) ; г) .
4. Какое из чисел больше:  или ?

Вариант 4.

1. Найдите значение выражения: .

2. Решите уравнение: .
3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .
4. Какое из чисел больше:  или ?

Вариант 5.

1. Найдите значение выражения: .
2. Решите уравнение: .
3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .
4. Какое из чисел больше:  или ?

Вариант 6.

1. Найдите значение выражения: .
2. Решите уравнение: .
3. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .
4. Какое из чисел больше:  или ?

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №3

 «Решение иррациональных уравнений»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение иррациональных уравнений».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Изучить памятку для решения иррациональных уравнений.
2. По образцу выполнить тренировочные задания.
3. Изучить условие заданий для практической работы.
4. Оформить отчет о работе.

ПАМЯТКА

При решении иррациональных уравнений следует учитывать, что:

1. подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным и значение корня неотрицательно;
2. все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения;
3. используются два основных метода – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и введение новой переменной;
4. при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому проверка является составной частью решения.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ. Уединим радикал и затем возведем обе части в квадрат

Проверка показывает, что х1 = 0 – посторонний корень.

                                                                                                              ОТВЕТ: 9.    

ПРИМЕР 2. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную . Тогда  и уравнение примет вид

 или  - не подходит по смыслу.

Далее

.

ОТВЕТ: - 5; 2.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

Решите уравнения:

а) ;    б) ;    в) .

Вариант 2.

Решите уравнения:

а) ;         б) ;     в) .

Вариант 3.

Решите уравнения:

а) ;     б) ;     в) .

Вариант 4.

Решите уравнения:

а) ;     б) ;     в) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №4

 «Преобразование выражений, содержащих степени

с дробными показателями»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Преобразование выражений, содержащих степени с дробными показателями».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Дайте определение степени с натуральным, отрицательным и дробным показателями.

б) Перечислите свойства степеней с рациональным показателем.

2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА

Вычислите:

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

Вычислите: а) ;   б) ;    в) ;      г) .

Вариант 2.

Вычислите: а) ;   б) ;    в) ;    г) .

Вариант 3.

Вычислите: а) ;     б) ;     в) ;       г) .

Вариант 4.

Вычислите: а) ;    б) ;     в) ;     г) .

Вариант 5.

Вычислите: а) ;    б) ;      в) ;     г) .

Вариант 6.

Вычислите: а) ;    б) ;    в) ;      г) .

Вариант 7.

Вычислите: а) ;     б) ;     в) ;    

    г) .

Вариант 8.

Вычислите: а) ;     б) ;       в) ;  

  г) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №5

 «Преобразование выражений, содержащих степени

и логарифмы»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Преобразование выражений, содержащих степени и логарифмы».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты; микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а) Дайте определение логарифма числа.

б) Запишите основное логарифмическое тождество.

в) Перечислите основные свойства логарифмов.

2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Найдите: а) ;      б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 2 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 2.

1. Найдите: а) ;      б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 3.

1. Найдите: а) ;       б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 3 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 4.

1. Найдите: а) ;      б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 0,7 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 5.

1. Найдите: а) ;      б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 5 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 6.

1. Найдите: а) ;      б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 0,2 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 7.

1. Найдите: а) ;     б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение .
4. Найдите х, если .

Вариант 8.

1. Найдите: а) ;     б) .
2. С помощью основного логарифмического тождества вычислите: .
3. Прологарифмируйте по основанию 10 выражение .
4. Найдите х, если .

                               ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №6

Повторение школьной алгебры: «Решение рациональных

уравнений и неравенств»                                      

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Повторить знания уч-ся в теме: «Решение рациональных уравнений и неравенств».
2. Организовать деятельность уч-ся по переводу своих знаний от усвоения отдельных фактов и понятий к их обобщению в целостную систему знаний.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, справочные пособия по алгебре, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Выполнить обучающий тест и проверить свои результаты по таблице ответов.
2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Решите неравенство .

РЕШЕНИЕ. Это рациональное неравенство решим методом интервалов. Отметим на числовой прямой «жирными» точками нули числителя (–1; 3 и 7) и «прозрачными» – нули знаменателя (–4 и 2). Если бы заданное неравенство было строгим, нужно было бы все нули сделать «прозрачными». Эти точки разобьют числовую прямую на 6 интервалов:

Выясним знак данной дроби на каждом из этих интервалов, используя пробные числа, принадлежащие интервалам.

          Можно поступать иначе. Для этого в выражении в каждом из множителей переменная х должна иметь знак «+» ((х – 2), а не (2 – х); (х – 7), а не (7 – х)). Этого всегда можно добиться, умножая неравенство на –1 и меняя одновременно его знак столько раз, сколько надо. Отметив нули выражения на числовой оси, справа налево расставим знаки по следующему правилу: сначала «+», меняем знак на нечетной степени и сохраняем его на четной.

          Теперь остается выписать ответ – промежутки, на которых поставлен знак «+», так как знак данного неравенства . Важно не забыть х = 3.

           ОТВЕТ: .

ПРИМЕР 2. Решите неравенство .

РЕШЕНИЕ. Это квадратное неравенство можно решить методом интервалов, но проще – графически. Рассмотрим функцию, заданную уравнением . Графиком ее является парабола.

 Заметим, что для нас совершенно не важны точные характеристики параболы (где находится ось, пересечение с Оу и т. п.) Достаточно знать, что ее ветви направлены вверх (а > 0) и что она пересекает ось Ох в двух точках, являющихся корнями уравнения .

Выполним схематический рисунок:

Из рисунка видно, что квадратичная функция принимает положительные значения вне отрезка, соединяющего ее корни.

ОТВЕТ:

  ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1        

1. Решите неравенства:

а) ;

б)  ;

в) .

2. Решите систему неравенств:

Вариант 2

1. Решите неравенства:

а) ;

б) ;

в) .

2. Решите систему неравенств:

                    ТЕСТ 1.  Квадратное уравнение и его корни.

1. Какое из уравнений является квадратным:

1) ;                                       3)  

2)                                4)  

2. В квадратном уравнении  укажите его коэффициенты:

1)                            3)

2)                            4)  

3. Определите, какое из приведённых уравнений является равносильным уравнению

1)                                  3)

2)                                 4)

4. Найдите корни уравнения

1) 0, 3;                      2) –3, 3;                     3) не имеет корней;                      4)3.

5. Какие из чисел  - 4, - 2, - 1, 0, 2  являются корнями квадратного уравнения  

1) – 2, 0;                  2) 0, 2;                   3) – 4, - 1;                               4) – 4, 0?

6. Решите уравнение  

1) – 2, 0;               2) – 2, 2;                     3) 2;                                       4) 0.

ТЕСТ 2.  Формула корней квадратного уравнения.

1. Вычислите дискриминант квадратного уравнения :

1) 49;                       2) –1;                        3) 1;                            4) 25.

2. Определите, имеет ли квадратное уравнение  корни и если имеет, то сколько:

1) имеет один корень;                  2) не имеет корней;                    3) имеет два корня.

3. Найдите корни уравнения :

1) –1, –9;                         2) –1, 9;                            3) –9, 1;                       4) 1, 9.

4. Решите квадратное уравнение :

1) ,1;                         2) –1, ;                           3) , 1;                      4) , 1.

5.Решите уравнение :

1) –2, ;                       2) ,2;                          3) , 2;                      4) , 2.

6.Найдите корни уравнения :

1) 1, 6;                           2) –1, 6;                             3) –1, -6;                     4) –6,1.

ТЕСТ 3.  Теорема  Виета.

1. Найдите сумму корней уравнения :

1) 18;                     2) 11;                     3) –18;                     4) 1.

2. Найдите произведение корней уравнения :

1) 27;                     2) –24;                   3) 1;                         4) 24.

3. Найдите сумму корней уравнения :

1) 10;                     2) –10;                      3) –2;                     4) 2.

4. Найдите произведение корней уравнения :

1) 3;                     2) 9;                   3) –9;                         4) 16.

5. В уравнении  один из корней равен 8. Найдите второй корень и коэффициент  :

1) ;       2) ;      3) ;    4) .

6. Один из корней уравнения  равен –2. Найдите второй корень и коэффициент :

1) ;       2) ;     3) ;     4) .

7. Найдите подбором корни уравнения :

1) 4, 14;                         2) –7, 8;                          3) 5,10;                            4) 7,8.

ТЕСТ 4.  Дробно-рациональные уравнения.

1. Какое из уравнений является дробно-рациональным:

1) ;    2) ;      3) ;     4) ?

2. Решите уравнение :

1) 2;                       2) –1;                      3) 1;                          4) 3.

3.   Решите уравнение :

1) –2;                       2) 5;                      3) 2;                          4) –1.

4. Найдите корни уравнения :

1) 1,5;                       2) –2, 3;                      3) –3, 2;                          4) 2, 3.

5. Определите, при каком значении  значение функции  равно 2:

1) 4;                       2) 3;                      3) 8;                          4) 9.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант  1.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;      б) .

Вариант 2.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;               б) .

Вариант 3.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;        б) .

Вариант 4.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;   б)  .

Вариант 5.

3. Решите уравнение: .
4. Решите неравенства:

а) ;       б) .

Вариант 6.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;     б) .

Вариант 7.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;      б) .

Вариант 8.

1. Решите уравнение: .
2. Решите неравенства:

а) ;     б) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №7

«Решение показательных уравнений и неравенств»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение показательных уравнений и неравенств».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Под руководством преподавателя пройти все уровни тренировочного раздела.
2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

ТРЕНИРОВОЧНЫЙ РАЗДЕЛ

«начальный»  уровень:

1 уровень:

2 уровень:

экзаменационный материал:

а)          б) ;         в) ;

г) ;        д) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций .
2. Решите уравнение:  а) ;   б) ;   в) .
3. Решите неравенство:  а) ;   б) .

Вариант 2.

1. Постройте в одной координатной плоскости графики функций .
2. Решите уравнение:  а) ;   б) ;   в) .
3. Решите неравенство:  а) ;   б) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №8

«Решение логарифмических уравнений и неравенств»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Решение логарифмических уравнений и неравенств».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Изучить памятку для решения логарифмических уравнений и неравенств.
2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

Памятка для решений логарифмических уравнений

, причем

1.   Уравнение вида

     Решить равносильное уравнение ;

2.   Уравнение вида

     а) найти ОДЗ: ;

     б) решить уравнение ;

     в) выбрать из корней уравнения .

3. Уравнение вида

Решить уравнение относительно переменной, входящей

в выражение с переменной.

При решении логарифмических уравнений полезно помнить

некоторые свойства логарифмов:

     - основное логарифмическое тождество

    ;                                  ;    

    ;     ;      

   ;                  ;                    

   ;                   ;  

     - формула перехода к новому основанию

    Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)

                         натуральный логарифм (по основанию )

При решении логарифмических уравнений применяются также методы логарифмирования и потенцирования.

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Решите уравнения: а) ;   б) ;

в) .

2. Решите неравенство: .

Вариант 2.

1. Решите уравнения: а) ;       б) ;

в) .

2. Решите неравенство: .

Вариант 3.

1. Решите уравнения: а) ;                                                            б) ;

в) .  б) ;

Вариант 4.

1. Решите уравнения: а);                  б);

в) .

2. Решите неравенство: .

ПРАКТИЧЕСКАЯ  РАБОТА №9

«Тригонометрические функции углов поворота»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Тригонометрические функции углов поворота».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: инструкционно-технологические карты, микрокалькуляторы.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

а)  Что такое угол в 1 радиан?

б)  Дайте определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла .

в) Как зависят знаки   от того, в какой

координатной четверти расположена точка ? Назовите эти

знаки.                      

2. Изучить условие заданий для практической работы.
3. Оформить отчет о работе.

Опорный чертеж

На рисунке совмещены декартова система координат и окружность единичного радиуса. Окружность «эквивалентна» понятию координатной прямой (начало отсчета – точка пересечения окружности с положительной частью оси Ох, положительное направление – против часовой стрелки, единичный отрезок выражен через число ). На окружности отмечены точки, полученные при повороте радиуса окружности, совпадающего с

положительной частью оси Ox, на различные углы . Абсциссы этих точек  , ординаты  . Дополнительно проведены две касательные к окружности (линии тангенса и котангенса).

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере:; б) в градусной мере:
2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения  и , если  равно .
3. Определите знак:   и .
4. Вычислите: а) ;  б) .

Вариант 2.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: ; б) в градусной мере: .
2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения  и , если  равно .
3. Определите знак: и .
4. Вычислите: а) ;    б).

Вариант 3.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере: ; б) в градусной мере: .
2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения  и , если  равно .

3. Определите знак: и ;

4.Вычислите: а);    б) .

Вариант 4.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере ; б) в градусной мере.
2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения  и , если  равно .
3. Определите знак:   и .
4. Вычислите: а) ;

б) .

Вариант 5.

1. Выразите величину угла: а) в радианной мере ; б) в градусной мере.
2. Отметьте на единичной окружности точку . Покажите на чертеже значения  и , если  равно .
3. Определите знак:    и .
4. Вычислите: а) ; б) .