Главные вкладки

    Практическая работа по математике для студентов 2 курса по теме иннтеграл
    методическая разработка на тему

    Налетова Ирина Александровна

    Данная разработка включает в себя следующие разделы: 

    цели работы,

    перечень справочной литературы

    порядок проведения и оформления работы

    краткий теоретический материал

    задания для самостоятельной работы студентов

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Microsoft Office document icon integral_praktich.doc398.5 КБ

    Предварительный просмотр:

    ГАПОУ АО КИТ

    Согласовано:

    Предметной  комиссией 

     «_____» __________2015г.

    Утверждено: зав отделением общеобразовательной подготовки

    Липская Е.Л./______________

    (Подпись) (ФИО)

     «____»________2015г.

    Методические рекомендации по проведению

    практической  самостоятельной работы № 3

    Первообразная функции и интеграл.

    По дисциплине «Математика»

    Специальность ____

    Разработал преподаватель

    Налетова И.А.(_............. __)

    (Подпись) (ФИО)

    «_______» _________________2015г.

    Цель работы:

    1. Формировать умения и навыки вычисления интегралов.

    1. Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда
    2. Прививать умения и навыки работы со справочным материалом

    4. Определить уровень  знаний студентов по данной теме

    Перечень справочной литературы :

    1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004
    2. Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004
    3. Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003
    4. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001

    Порядок проведения работы:

    1. Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
    2. Соответствующим образом оформить работу

    Лист 1.

    Практическая самостоятельная работа по теме

    «Производная функции и дифференциал»

    Выполнил:__________

    (ФИО)

    группа:_____________

    Проверил:__________

    Оценка:____________ 

    Лист 2.

    № примера

    Решение:

    Ответ:

    Оформление работы:


    Краткие         теоретические сведения:

    Неопределенный интеграл и его свойства.

    Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:  

                                                         F'(x)= ƒ(x).

    Пример: F(x)=cos(x)+C;  ƒ(x)=sin(x);

    Замечание: если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.

    Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b]  называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:

    ƒ(x) dx = F(x) + C,       причем  F'(x) = ƒ(x),

    ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;

    ƒ(x)dx –  называется подынтегральным выражением;

    Свойства неопределенного интеграла:

    1. (ƒ(x)dx)' = ƒ(x);

    2. d ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;

    3. d F(x) = F(x) + C;

    4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ƒ1(x)dx + ƒ2(x)dx.

    5. k·ƒ(x)dx = k·ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель.

    6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции  u(x), т.е. если  ƒ(x)dx = F(x) + C;

    ƒ(u)du =  F(u) + C;   | по свойству 3 |  

    Таблица основных интегралов.

    1.  xαdx = xα+1/ (α+1)  + C  α ≠-1

    10. = ln | x + | + C

    2.  = ln |x|  + C

    11. =  arctg()+C

    3.  ex= ex + C

    12. = ln || + C

    4.   ax dx = ax/lna + C

    13= ln || + C

    5. sin(x)dx = - cos(x) + C

    14. .∫ tg(x) dx = – ln |cos(x)| + C

    6. cos(x)dx = sin(x) + C

    15. .∫ ctg(x) dx = ln |sin(x)| + C

    7. = tg(x) + C

    16= ln |tg()| + C

    8. = -ctg(x) + C

    17= ln |tg()| + C

    9. = arcsin ( )+ C

    18..  dx = x + C  

    .

    Примеры:

     1. dx =  (8-3x)6/5 dx = | d(8-3x) = – 3dx | =  – (8-3x)6/5  (– 3dx) =

     (8 –3x)6/5 d(8-3x) =  –  (8-3x)11/5  + C.

                _____  

    2. x √4 + x²  dx = (4 + x²)1/2x dx = | d(4 + x²) = 2x dx| = 1/2 · (4 + x²)1/22x dx =

     = · ∫(4 + x²)1/2 d(4 + x²) =  =  + C;

                  ______

    3. 3sin²(x) · cos(x)dx =  (sin(x))2/3  d(sin(x)) =  5/3 (sin(x))5/3 + C

    4.  Найти интеграл.

    dx=    dx = | |  =  = arcsin (x3) + C.

     Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).

    Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале  функции φ(t). Если функция ƒ(x)  интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство:

    ƒ(x)dx = ƒ(φ(t))·φ'(t)dt

    По определению1 неопределенного интеграла

    ƒ(x)dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x)

    Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции:  ƒ(φ(t))·φ'(t).

    Для этого найдем  (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| = = F'(φ(t))·φ'(t);

    Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда (F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t)  ƒ(φ(t))·φ'(t) dt =  F(φ(t)) + C = F(x) + C = ƒ(x) dx.   ƒ(x) dx = ƒ(φ(t)) · φ'(t) dt.

    Пример:

    1. = | ex +1 = t2 ;  = t ;   ex  = t2 – 1 ;  x = ln(t2 –1 ) ;  dx = dt |  =

    =   = 2  = 2∙  =  +C.  

                                   Интегрирование по частям.

    Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что

    d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.

    Проинтегрируем это равенство:

    ∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

    UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

    ∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям.

    Пример: вычислить ∫ x · sin(x)  dx

    I способ.

     x · sin(x)  dx = | U=x;   dU = dx;   dV = sin(x) dx;  dV = sin(x) dx; V = -cos(x) | =

    = -x · cos(x) - (- cos(x)) dx  = - x · cos(x) + sin(x) + C;

    Замечание: классы функций интегрируем по частям.

    I класс – это интегралы вида:

     Pn(x) · eax dx;

     Pn(x) · sin(a·x) dx;

     Pn(x) · cos(a·x)dx , где  Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае   U = Pn(x);

    II класс – это интегралы вида:

    1.∫ Pn(x) · ln(a·x) dx;

    2.∫ Pn(x) · arcsin(x) dx;

    3.∫ Pn(x) · arctg(x) dx ,   где  в качестве   1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x);  3.U = arctg(x);

    Пример: интеграл вида:

    ex · sin(x) dx =  |  U = ex; dU= exdx;  dV= sin(x) dx; V=sin(x) dx = –cos(x);  | =  –ex · cos(x)  + ex · sin(x)  ex · sin(x) dx = –ex · cos(x)  + ex · sin(x)  ex · sin(x) dx;

    получили уравнение относительно интеграла, неизвестным является интеграл.

    2 ex · sin(x) dx  = ex · (sin(x) – cos(x) );  

    ex · sin(x) dx  =  · ex · (sin(x) – cos(x) ) + C;

    Определение определенного интеграла.

    1. Разобьем отрезок  [a,b]  на n частей точками a = xo < x1 < x2 <…< xi <..< xn = b.

    2. В каждом частичном отрезке [ Xi-1, Xi ] длиной  Δхi  выберем произвольные точки ƒ(ζi)  (i=1,n )
    3. Найдем значение функции в этих точках ƒ(ζi).

    4. Найдем сумму  - интегральная сумму.

    Каждая сумма зависит от выбора точки и от способа разбиения отрезка на части. Разбивая произвольные образом отрезок на части и выбирая различные точки, получаем последовательность интегральных сумм.

    Определение:  Если существует предел последовательности интегральных сумм, независящей от выбора точки и от способа разбиения отрезка на части, то он называется определенным интегралом от функции ƒ(х) на отрезке [a,b] и обозначается , итак по орпеделению1: , тогда площадь криволинейной трапеции: Sкр.тр.= .

    Определение:  Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b], если существует определенный интеграл от этой функции на этом отрезке.

    Пример:    1.  = π;  

    2. arctg(x) | = arctg1 – arctg(-1) = 2arctg1 =  2π/4 = π/2.

    3. = | x = sin(t),  = cos(t),  dx = cos(t)dt,  при х=0, t=0;  при х=1, t = π/2  |   = =  =  =  +0 – 0  =  .

    Площадь плоской фигуры.

    Ранее было установлено, что площадь криволинейной трапеции есть: S = ,  из свойства определенного интеграла видно, что  ƒ(х) ≥ 0, то ≥ 0,

    т.е. S ≥ 0;     если ƒ(х) ≤ 0 , то ≤ 0,  то S = ││;

           y                                                               S = S1 + |S2 | + S3.  

                  s1             s3  

                         s2                    x

    Пример: найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и кривой  y=cos(x) , где x=0, x=π.

                 

             1                    

                  S1                     π        

          0                                                        x          

                                     S2      

    S1 =  = 1;    S2 =  =  –1 ; S = S1 + | S2|  = 1 + 1 = 2.

                                   

    Объем тела вращения.

       Дана криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a,  x = b, осью Ох и кривой y=ƒ(x). Эта трапеция вращается вокруг оси Ох.  В результате получили тело.


                                                                                Сечение этого тела в каждой точке есть      

    y                                                                                       круг  с радиусом ƒ(x).

                           y=ƒ(x)                                                       Значит площадь такого сечения      

                                                                                             Q(x) = πy2 = πƒ2 (x).    

                        ƒ(x)                                                               Объем этого тела равен:

              a               x                      b                                    

                                                                  x                              Vox =   πy2dx = π y2dx.

    Аналогично находится площадь фигуры с осью Оу.  

                                                                      Фигура ограничена линиями c и d, осью Оу и

                            у                                         x = ƒ(y).

                                                                       Voy =  π  x2dy.                          

               

                                                                         

                           

                                                               x  

    Пример: найти объем тела, полученного вращением эллипса  вокруг оси Ox.

    ;                                                           V =  2πy2dx ;                                                                                                                      

                                   y                                                

                                            b  

                 -a                                        a                 x      

         

                                 

                                     -b      

    y2 = b2 (1 - );   V = 2π b2 (1 – )dx = 2π b2 (x –  ) =  2π b2(a –) =;

      1.Вычислить неопределённый интеграл:

       1.        2.         3.

      4.      5.       6.  

     7.             8.        9.  

    10.        11.         12.

    2. Вычислить неопределённый интеграл:

         

     

    3. Вычислить неопределённый интеграл:

             

         

    3. Вычислить определённый интеграл:

       

         

               

                    

    4.Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

    5. 

    6. 

    7. 

    8. 

    9. 

    10. 

    11. 

    12. 

    13. 

    14. 

    15. У=(Х+1)2;  У=0; х=0

    Х=2

    5.Найти объём тела вращения:

    1. ох

    2.ох

    3.ох

    4.оу

    5.оу

    6.оу

    7.ох

    8.ох

    9.ох

    10.оу

    11.оу

    12.оу

    13.ох

    14.ох

    15.ох


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Раздаточный материал для практических занятий по математике для 1 курса с 1 по 21 работу

    Раздаточный материал разработан в соответствии с ФГОС СПО для обучающихся 1 курса на базовом уровне. В сборнике представлены  практические и самостоятельные работы по соответствующим темам рабоче...

    Раздаточный материал для практических занятий по математике для 1 курса с 22 по 32 работу

    Раздаточный материал разработан в соответствии с ФГОС СПО для обучающихся 1 курса на базовом уровне. В сборнике представлены  практические и самостоятельные работы по соответствующим темам рабоче...

    Раздаточный материал для практических занятий по математике для 1 курса с 33 по 54 работу

    Раздаточный материал разработан в соответствии с ФГОС СПО для обучающихся 1 курса на базовом уровне. В сборнике представлены  практические и самостоятельные работы по соответствующим темам рабоче...

    Комплект практических работ по математике для студентов СПО

    Практические работы для студентов СПО по специальности Поварское и кондитерское дело...

    Практическое работа по математике по теме "Матрицы. Операции над матрицами" для 2 курса в системе СПО

    Цель работы: сформировать умение выполнять основные операции над матрицами....

    Практическое работа по математике по теме "Матрицы. Операции над матрицами" для 2 курса в системе СПО

    Цель работы: сформировать умение выполнять основные операции над матрицами....

    Практическое работа по математике по теме "Вычисление определителей" для 2 курса в системе СПО

    Цель работы: сформировать умение вычислять определители второго, третьего и n-го порядка....