Практическая работа по математике для студентов 2 курса по теме иннтеграл
методическая разработка на тему

ГАПОУ АО КИТ

Согласовано:

Предметной  комиссией 

 «_____» __________2015г.

Утверждено: зав отделением общеобразовательной подготовки

Липская Е.Л./______________

(Подпись) (ФИО)

 «____»________2015г.

Методические рекомендации по проведению

практической  самостоятельной работы № 3

Первообразная функции и интеграл.

По дисциплине «Математика»

Специальность ____

Разработал преподаватель

Налетова И.А.(_............. __)

(Подпись) (ФИО)

«_______» _________________2015г.

Цель работы:

1. Формировать умения и навыки вычисления интегралов.

2. Формировать умения и навыки самостоятельного умственного труда
3. Прививать умения и навыки работы со справочным материалом

4. Определить уровень  знаний студентов по данной теме

Перечень справочной литературы :

1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», М: Высшая школа, 2004
2. Письменный Д. «Конспект лекций по высшей математике», ч.1., Москва, Айрис-Пресс, 2004
3. Шипачев В.С. «Задачник по высшей математике», М: Высшая школа, 2003
4. Выгодский М.Я. «Справочник по высшей математике», Росткнига, 2001

Порядок проведения работы:

1. Используя теоретические сведения выполнить предложенное преподавателем задание
2. Соответствующим образом оформить работу

Оформление работы:

Краткие         теоретические сведения:

Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение 1.: Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) на некотором отрезке [a,b], если для всех из этого отрезка выполняется равенство:  

                                                     F'(x)= ƒ(x).

Пример: F(x)=cos(x)+C;  ƒ(x)=sin(x);

Замечание: если F(x) первообразная для ƒ(x), то (F(x)+С ) тоже первообразная.

Определение 2.: Совокупность первообразных, т.е. (F(x)+С), для ƒ(x) на [a,b]  называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается:

∫ ƒ(x) dx = F(x) + C,       причем  F'(x) = ƒ(x),

ƒ(x) – называется подынтегральной функцией;

ƒ(x)dx –  называется подынтегральным выражением;

Свойства неопределенного интеграла:

1. (∫ƒ(x)dx)' = ƒ(x);

2. d ∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx;

3. ∫d F(x) = F(x) + C;

4. ∫(ƒ1(x)+ ƒ2(x))dx = ∫ƒ1(x)dx + ∫ƒ2(x)dx.

5. ∫k·ƒ(x)dx = k·∫ƒ(x)dx, где k – постоянный множитель.

6. Формулы интегрирования не меняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной x некоторой функции  u(x), т.е. если  ∫ƒ(x)dx = F(x) + C;

∫ƒ(u)du =  F(u) + C;   | по свойству 3 |  

Таблица основных интегралов.

.

Примеры:

 1. ∫dx =  ∫ (8-3x)6/5 dx = | d(8-3x) = – 3dx | =  – ∫ (8-3x)6/5  (– 3dx) =

– ∫(8 –3x)6/5 d(8-3x) =  –  (8-3x)11/5  + C.

            _____  

2. ∫ x √4 + x²  dx = ∫ (4 + x²)1/2x dx = | d(4 + x²) = 2x dx| = 1/2 · ∫ (4 + x²)1/22x dx =

 = · ∫(4 + x²)1/2 d(4 + x²) =  =  + C;

              ______

3. ∫ 3√ sin²(x) · cos(x)dx =  ∫ (sin(x))2/3  d(sin(x)) =  5/3 (sin(x))5/3 + C

4.  Найти интеграл.

dx=    dx = | |  =  = arcsin (x3) + C.

 Замена переменной в неопределенном интеграле (метод подстановки).

Теорема.: Пусть функция x = φ(t) – строго монотонная и непрерывно дифференцируемая на некотором интервале  функции φ(t). Если функция ƒ(x)  интегрируема на соответствующем интервале изменений x, то имеет место равенство:

∫ ƒ(x)dx = ∫ ƒ(φ(t))·φ'(t)dt

По определению1 неопределенного интеграла

∫ ƒ(x)dx = F(x) + C, причем F'(x) = ƒ(x)

Покажем, что функция F(φ(t)) является первообразной для функции:  ƒ(φ(t))·φ'(t).

Для этого найдем  (F(φ(t)))' = |по правилу дифференцирования сложной функции| = = F'(φ(t))·φ'(t);

Но F'(φ(t)) = ƒ (φ(t)), тогда (F(φ(t)))' = ƒ(φ(t))·φ'(t)  ∫ƒ(φ(t))·φ'(t) dt =  F(φ(t)) + C = F(x) + C = ∫ƒ(x) dx.   ∫ƒ(x) dx = ∫ƒ(φ(t)) · φ'(t) dt.

Пример:

1. = | ex +1 = t2 ;  = t ;   ex  = t2 – 1 ;  x = ln(t2 –1 ) ;  dx = dt |  =

=   = 2  = 2∙  =  +C.  

                               Интегрирование по частям.

Пусть U(x) и V(x) дифференцируемые функции на некотором интервале, известно, что

d(UV) = U ∙ dV + V ∙ dU.

Проинтегрируем это равенство:

∫d(UV) = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

UV = ∫U ∙ dV + ∫V ∙ dU ;

∫U ∙ dV = UV - ∫V ∙ dU – формула интегрирования по частям.

Пример: вычислить ∫ x · sin(x)  dx

I способ.

 ∫ x · sin(x)  dx = | U=x;   dU = dx;   dV = sin(x) dx;  ∫dV = ∫ sin(x) dx; V = -cos(x) | =

= -x · cos(x) - ∫(- cos(x)) dx  = - x · cos(x) + sin(x) + C;

Замечание: классы функций интегрируем по частям.

I класс – это интегралы вида:

 ∫ Pn(x) · eax dx;

 ∫ Pn(x) · sin(a·x) dx;

 ∫ Pn(x) · cos(a·x)dx , где  Pn(x) – это многочлен первой степени, в этом случае   U = Pn(x);

II класс – это интегралы вида:

1.∫ Pn(x) · ln(a·x) dx;

2.∫ Pn(x) · arcsin(x) dx;

3.∫ Pn(x) · arctg(x) dx ,   где  в качестве   1.U = ln(a·x); 2.U = arcsin(x);  3.U = arctg(x);

Пример: интеграл вида:

∫ ex · sin(x) dx =  |  U = ex; dU= exdx;  dV= sin(x) dx; V=∫sin(x) dx = –cos(x);  | =  –ex · cos(x)  + ex · sin(x)  – ∫ ex · sin(x) dx = –ex · cos(x)  + ex · sin(x)  – ∫ ex · sin(x) dx;

получили уравнение относительно интеграла, неизвестным является интеграл.

2 ∫ ex · sin(x) dx  = ex · (sin(x) – cos(x) );  

∫ ex · sin(x) dx  =  · ex · (sin(x) – cos(x) ) + C;

Определение определенного интеграла.

1. Разобьем отрезок  [a,b]  на n частей точками a = xo < x1 < x2 <…< xi <..< xn = b.

2. В каждом частичном отрезке [ Xi-1, Xi ] длиной  Δхi  выберем произвольные точки ƒ(ζi)  (i=1,n )
3. Найдем значение функции в этих точках ƒ(ζi).

4. Найдем сумму  - интегральная сумму.

Каждая сумма зависит от выбора точки и от способа разбиения отрезка на части. Разбивая произвольные образом отрезок на части и выбирая различные точки, получаем последовательность интегральных сумм.

Определение:  Если существует предел последовательности интегральных сумм, независящей от выбора точки и от способа разбиения отрезка на части, то он называется определенным интегралом от функции ƒ(х) на отрезке [a,b] и обозначается , итак по орпеделению1: , тогда площадь криволинейной трапеции: Sкр.тр.= .

Определение:  Функция называется интегрируемой на отрезке [a,b], если существует определенный интеграл от этой функции на этом отрезке.

Пример:    1.  = π;  

2. arctg(x) | = arctg1 – arctg(-1) = 2arctg1 =  2π/4 = π/2.

3. = | x = sin(t),  = cos(t),  dx = cos(t)dt,  при х=0, t=0;  при х=1, t = π/2  |   = =  =  =  +0 – 0  =  .

Площадь плоской фигуры.

Ранее было установлено, что площадь криволинейной трапеции есть: S = ,  из свойства определенного интеграла видно, что  ƒ(х) ≥ 0, то ≥ 0,

т.е. S ≥ 0;     если ƒ(х) ≤ 0 , то ≤ 0,  то S = ││;

       y                                                               S = S1 + |S2 | + S3.  

              s1             s3  

                     s2                    x

Пример: найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и кривой  y=cos(x) , где x=0, x=π.

         1                    

              S1                     π        

      0                                                        x          

                                 S2      

S1 =  = 1;    S2 =  =  –1 ; S = S1 + | S2|  = 1 + 1 = 2.

Объем тела вращения.

   Дана криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a,  x = b, осью Ох и кривой y=ƒ(x). Эта трапеция вращается вокруг оси Ох.  В результате получили тело.

                                                                            Сечение этого тела в каждой точке есть      

y                                                                                       круг  с радиусом ƒ(x).

                       y=ƒ(x)                                                       Значит площадь такого сечения      

                                                                                         Q(x) = πy2 = πƒ2 (x).    

                    ƒ(x)                                                               Объем этого тела равен:

          a               x                      b                                    

                                                              x                              Vox =   πy2dx = π y2dx.

Аналогично находится площадь фигуры с осью Оу.  

                                                                  Фигура ограничена линиями c и d, осью Оу и

                        у                                         x = ƒ(y).

                                                                   Voy =  π  x2dy.                          

                                                           x  

Пример: найти объем тела, полученного вращением эллипса  вокруг оси Ox.

;                                                           V =  2πy2dx ;                                                                                                                      

                               y                                                

                                        b  

             -a                                        a                 x      

                                 -b      

y2 = b2 (1 - );   V = 2π b2 (1 – )dx = 2π b2 (x –  ) =  2π b2(a –) =;

  1.Вычислить неопределённый интеграл:

   1.        2.         3.

  4.      5.       6.  

 7.             8.        9.  

10.        11.         12.

2. Вычислить неопределённый интеграл:

3. Вычислить неопределённый интеграл:

3. Вычислить определённый интеграл:

4.Найти площадь фигуры ограниченной линиями:

5.Найти объём тела вращения: