Учебное пособие "Комплексные числа" по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика»
учебно-методическое пособие по теме

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Краснодарский монтажный техникум»

Краснодарского  края

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора

по учебно-методической работе

Муронова Л.А.

 Ноябрь 2013  г.

Учебное пособие

тема «Комплексные числа»

по дисциплине   ЕН.01 МАТЕМАТИКА

для  обучающихся  ГБОУ СПО «КМТ» КК

специальности 270843    Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий

Краснодар,   2013г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Пояснительная записка.

1. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексных чисел.

1. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
2. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме.
3. Натуральная степень  мнимой единицы i

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.

4. Показательная форма комплексного числа

5. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

5. Задачи для самостоятельного решения.
6. Литература.

Введение

В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом по специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий (утвержден приказом Министерства образования и науки РФ от  15.04.2010г. №  359) выпускник должен обладать соответствующими профессиональными компетенциями. Учебная дисциплина ЕН 0.1 Математика призвана вместе с другими дисциплинами сформировать следующие профессиональные компетенции:

ПК 2.4. Участвовать в проектировании силового и осветительного электрооборудования.

ПК 3.3. Участвовать в проектировании электрических сетей.

ПК 4.2. Контролировать качество выполнения электромонтажных работ.

ПК 4.3. Участвовать в расчетах основных технико-экономических показателей.

То есть  цель изучения дисциплины ЕН 0.1. Математика -  сформировать у студента навыки владения математическим аппаратом для его успешного применения в решении прикладных задач своей специальности.  Одним из таких аппаратов является методика расчета с применением комплексных чисел.

Комплексные числа – одна из основ современной физики.

Комплексные числа образуют самую настоящую замкнутую коммунитативную систему. То есть это самые полноценные числа. На этих числах выполняются любые математические операции, в том числе и извлечение квадратного корня из отрицательных чисел, что невозможно на множестве действительных чисел. Именно поэтому они нашли такое широкое применение в физике, технике и других областях.

В электротехнике для измерения сопротивления используются действительные числа, а для измерения индуктивности и электрической емкости – комплексные.

Применение комплексных чисел дает возможность использовать законы, формулы и методы расчетов, применяющиеся в цепях постоянного тока, для расчета цепей переменного тока, упрощая расчеты. Такие величины как: напряжение и ток, сопротивление и проводимость, мощность выражаются комплексными числами.

Данное учебное пособие призвано оказать помощь обучающихся ГБОУ СПО КМТ КК II курса специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий в изучении темы «Комплексные числа» для более качественного  усвоения  пройденного материала. 

Пояснительная записка

Учебное пособие по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика» предназначено для  обучающихся ГБОУ СПО КМТ КК II курса специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий и соответствуют Федеральному государственному образовательному стандарту по этой специальности (утвержден приказом Министерства образования и науки РФ от  15.04.2010г. №  359).

Выдержка из ФГОС:

ЕН.1. Математика

В результате изучения обязательной части цикла обучающийся должен:

Уметь:

находить производную элементарной функции;

выполнять действия над комплексными числами;

вычислять погрешности результатов действия над приближенными числами;

решать простейшие уравнения и системы уравнений;

Знать:

основные понятия и методы математического анализа;

методику расчета с применением комплексных чисел;

базовые понятия дифференциального и интегрального исчисления;

структуру дифференциального уравнения.

Учебное пособие является дополнением к учебнику для ссузов Богомолова Н.В. Математика для расширенного изучения темы «Комплексные числа», в соответствии с требованиями ФГОС, и дальнейшего изучения дисциплины общепрофессионального цикла ОП.03 «Электротехника», т.к. эта тема в недостаточном объеме отражена в учебнике. В учебном пособии  приведен краткий теоретический материал по темам, которые отсутствуют в учебнике и подборка задач по теме «Комплексные числа». Теоретический материал снабжен примерами задач с подробными указаниями по их решению. Подборка задач и упражнений соответствует содержанию темы и поможет студентами усвоить теоретический материал и приобрести навыки и умения решать задачи по теме «Комплексные числа».

В учебном пособии учтена специфика специальности и отражена практическая направленность курса.

1. Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексных чисел.

Неразрешимость уравнения x2 + 1 = 0  на множестве действительных чисел привела к введению так называемой мнимой единицы , т.е. мнимого (придуманного) числа, обладающего свойством: .

Тогда  x2 + 1 = 0 имеет два решения: .

Числа,  вида ,  где  ,  – мнимая единица, называют мнимыми числами.

Например, ,   ,   ,   ,    и т.п.

Числа,  вида , где ,  – мнимая единица,  называют комплексными числами.

Например, ,   ,   ,   ,    и т.п.

Форма записи  называется алгебраической.

 – действительная часть: Re(z)       –  мнимая часть: Im(z)

Такая запись позволят записывать не только комплексные числа, но и чисто мнимые и действительные, например:

Во множестве комплексных чисел нет понятий «больше», «меньше», «положительное», «отрицательное».

Числа    и        называются равными, если  и .

Числа      и    называются противоположными.

Числа    и          называются сопряженными.

1.1. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

Решением квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом всегда будут два сопряженных комплексных числа.

Пример 1: решить квадратное уравнение .

Решение.

Вычислим дискриминант

.

Представляем отрицательное число как произведение (–1) и положительного числа и заменяем (–1) на  :

.

Найдем   .

Находим корни уравнения:

 ;

.

Ответ: два сопряженных комплексных числа:    и .

1.2. Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме

Сумма               

Разность           

Произведение 

Частное           

Рекомендуется для упрощения вычислений при делении, вывести формулу для умножения двух сопряжённых комплексных чисел:

Пример 2. Выполнить арифметические действия над комплексными числами   и  .

Решение.

1)      ;

2)      ;

3)     ;

4)     .

Ответ. ;    ;   ;    

1.3. Натуральная степень  мнимой единицы i

Найдем первый четыре степени i:

,      ,       ,   .

Учитывая, что , найдем  старшие степени:

,                      ,

,        

Очевидно, что все остальные степени i  будут равны одному из предыдущих четырех значений.

Что бы возвести i в натуральную степень, надо показатель степени разделить на 4, и возвести i  в степень, равную остатку от деления.  

Пример 3:  Найти  ,  ,  ,  .

Решение.

;            

;  

;              

 .

Ответ. ,    ,   ,    .

2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу  ставится в соответствие точки плоскости с координатами , причем, это соответствие взаимно-однозначное (рис. 1).

Ось  называется действительной осью, т. к. на ней расположены точки, соответствующие числам, у которых .

Ось  называется мнимой осью, т. к. на ней расположены точки, соответствующие числам, у которых .

Таким образом, любое комплексное число  можно изобразить  на плоскости точкой с координатами , причем взаимно однозначно.

С каждой точкой  комплексной плоскости связан радиус-вектор этой точки (рис. 1).

Рисунок 1

Сложение и вычитание комплексных чисел можно выполнить по правилу параллелограмма (правило сложения и вычитания векторов), которое заключается в следующем: нужно построить параллелограмм на векторах, полученных при геометрическом представлении этих чисел. Результату суммирования будет соответствовать  вектор-диагональ этого параллелограмма. При  выполнении вычитания нужно учитывать, что разность и будет соответствовать сумме     и   .    Т.е. .

Пример 4.    Даны два комплексных числа:   и .

Изобразить их на комплексной плоскости и результаты их сложения и вычитания (рис. 2).

Решение.

Рисунок 2

Длина  вектора, соответствующего комплексному числу  называется модулем комплексного числа  и обозначается  .

Угол , образованный радиус-вектором с положительным направлением  оси , называется аргументом комплексного числа  и обозначается  (рис. 3).

Рисунок 3

Рассматривая на рис. 3 выделенный прямоугольный треугольник, получаем соотношения:  .

  ;        ;      ;

 ;       ;         ;    .

Пример 5:  Задано комплексное число . Найти  и   .

Решение.

, значит,  ;

;

;

Ответ: ;       (рис. 4)

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

Заменив в алгебраической форме записи комплексного числа     и   соотношениями    , получим: , т.е. тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Тригонометрическая форма:     

Пример 6. Перевести в тригонометрическую форму комплексное число  .

Решение.

, значит,  ;

;

Таким образом, тригонометрическая форма данного комплексного числа имеет вид:

.

Ответ. .

Пример 7. Перевести в алгебраическую форму комплексное число, заданное в тригонометрической форме .

Решение.

, значит, ,

,    

.

Таким образом, алгебраическая форма данного комплексного числа имеет вид:

.

Ответ. .

3.1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Умножение     

Деление          

Возведение в степень         (формула Муавра)

Извлечение корня

4. Показательная форма комплексного числа

В 1740 году Леонард Эйлер опубликовал  формулу, связывающую комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями:

   –  формула Эйлера.

Таким образом, если комплексное число задано в тригонометрической форме , то на основании формулы Эйлера, выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим показательную форму комплексного числа:

Показательная форма:    

4.1. Действия над комплексными числами, заданными в показательной форме.

Пусть    и    

Умножение           

Деление                 

Возведение в степень     

Извлечение корня      ,  

Пример 8. Даны два комплексных числа  и .

Произвести действия  ,    в тригонометрической и показательной форме. Результат записать в алгебраической форме.

Решение.  

Из записи чисел имеем:

Тригонометрическая форма:

Показательная  форма:

Ответ. ,  

Как видно из примеров, показательная форма упрощает запись вычислений,  и оформление решения делает более компактным.

Пример 9.   Вычислить    .

Решение.

Запишем данное комплексное число в показательной форме:

,  значит,  ;

;

Таким образом, показательная форма данного комплексного числа имеет вид:

.

Вычислим :

Переведем полученный результат в алгебраическую форму  .

Ответ: .

Пример 10. Найти все корни уравнения .

Решение.

Запишем число  16  в показательной форме:, т.е. ,  .

Тогда

При :

При :

При :

При :

Ответ.   ,    ,    ,    .

Вывод:

• Алгебраическая форма удобна при сложении и вычитании,
• Показательная форма удобна  при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня;
• Тригонометрическая  форма служит для перевода показательной формы в алгебраическую.

5. Задачи для самостоятельного решения

1. Решить  уравнение:

2. Даны два комплексных числа  и .

Найти , ,  ,  

3. Выполнить действия:

1)         2)        3)  

4.  Вычислить:

1)       2)      3)      4)     5)    6)     7)       8)

9)           10)

11)            12)

13)   14)

5. Изобразите на комплексной плоскости числа

1)        2)        3)          4)  

6. Задано комплексное число . Найти  и   .

1)        2)         3)       4)  

7. Перевести в тригонометрическую  и в показательную форму комплексное число

1)       2)        3)      4)  

5)       6)

8.  Перевести в алгебраическую форму комплексное число

9. Даны два комплексных числа  и . Найти ,  

1)     2)         

10. Выполнить действия и результат представить в алгебраической форме:

1)

2)      3)

4)     5)         6)        

7)        8)        9)

10)             11)          12)  

11.  Проверить равенство

12.  Вычислить все значения корня  и построить их геометрические изображения.

13. Найти все корни уравнения и построить их геометрические изображения.

1)     ;          2)   .

6.Литература

Основная

1. Богомолов Н.В. Математика: учеб.для ссузов.-М.:Дрофа, 2012.
2. Богомолов Н.В Практические задания по математике: учеб. пособие.-М.: Высш. Шк., 2009.
3. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ.образоват.учреждений сред.проф.образования–М.: Издательский центр «Академия», 2012.
4. Шмидт Н. М. Приложение комплексных чисел в электротехнике [Текст] / Н. М. Шмидт // Молодой ученый. — 2012. — №2. — С. 320-323.

Дополнительная

5. Дадаян, А.А Математика: учебник  – М.: Форум: Инфра- М, 2005.
6. Дадаян, А.А Сборник задач по математике – М.: Форум: Инфра- М, 2007.
7. Теоретические основы электротехники: Теория электрических цепей и электромагнитного поля: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / под ред. С.А. Башарина, В.В. Федорова. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 304 с.
8. Апанасов П.Т., Орлов М.Н. Сборник задач по математике, М.: Высшая школа, 1987    
9. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы. – М.: Наука., 1980.