Методические рекомендации для обучающихся по теме "Повторение курса основной школы""
методическая разработка на тему

Короткова Наталья Николаевна

Тема включает повторение решения линейных уранений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, основных свойств функций. Методические рекомендации содержат: определения понятий. алгоритм тешения, возможные варианты ответов ,примеры решений.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл metodicheskie_rek_k_teme_povt.docx136.83 КБ

Предварительный просмотр:

Методические рекомендации для обучающихся

по учебной дисциплине «Математика»

        Тема: « Повторение курса основной школы»

Изучение темы рассчитано на 12 часов и 6 часов внеаудиторной работы обучающихся 1 курса. Методические рекомендации содержат определения понятий, правила решения, возможные варианты ответов, примеры решений обязательных заданий по теме.

Теоретический материал

1. Решение линейных уравнений

Линейным уравнением называется уравнение вида:

ax + b = 0   где а и b – любые числа

Решить уравнение значит найти чему равно неизвестное.

    При решение линейных уравнений пользуются правилом:

  1. Раскрыть скобки
  2. Перенести слагаемые с неизвестным в левую часть, числа в правую часть, меняя знаки
  3. Сложить  подобные слагаемые
  4. Найти неизвестное

При решении линейных уравнений может быть:

1.одно число

2. любое число

3. нет решения

Примеры решения линейных уравнений:

 3(х+2)+х=6+4х         4(х+7)=3-х                2х+5=2(х+6)

 3х+6+х=6+4х           4х+28=3-х                  2х+5=2х+12

 3х+х-4х=6-6             4х+х=3-28                   2х-2х=12-5

  0х=0                         5х= -25                          0х=7

 х = любое число           х=-5                    нет решения

Решить уравнение:

 \normalsize{\frac{x+3}{4}+\frac{2x+4}{3}=3}.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю.

\normalsize{\frac{3(x+3)}{12}+\frac{4(2x+4)}{12}=3}

\normalsize{\frac{3x+9+8x+16}{12}=3}

Приведем подобные в числителе полученной дроби.

\normalsize{\frac{11x+25}{12}=3}

Умножим обе части равенства на 12 (общий знаменатель).

\normalsize{11x+25=36}

Перенесем свободный член в правую часть и выполним вычитание.

\normalsize{11x=36-25}

\normalsize{11x=11}

Ответ: \normalsize{x =1}.

  1. Решение линейных неравенств

Линейными неравенствами называются  неравенства вида

 http://mathstyle.pro/book/linear_inequalities_original_html_2081580e.gif, либо http://mathstyle.pro/book/linear_inequalities_original_html_m616a0f74.gif, либо http://mathstyle.pro/book/linear_inequalities_original_html_4b02a54a.gif, либо http://mathstyle.pro/book/linear_inequalities_original_html_m55e3a677.gif.

где a, b - числа, x - переменная.

Пример:

Решить неравенство

х+3 > 5х-5

Решаем точно так же, как и линейное уравнение. С единственным отличием: Разделить обе части неравенство на число, стоящее перед х (если это число положительное, то знак неравенства не меняется; если это число отрицательное, то знак неравенства меняется на противоположный):

   х-5х > -5-3

Приводим подобные:

-4х > -8

Осталось разделить обе части на - 4.

Делим на отрицательное число.

Знак неравенства изменится на противоположный:

Ответ: х < 2

2.Решение квадратных неравенств

Неравенство видаhttp://fizmat.by/pic/MATH/page34/im1.png

где x - переменная, a, b, c - числа, http://fizmat.by/pic/MATH/page34/im2.png, называется квадратным.

Квадратные неравенства решаются методом интервалов:

1. Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение

2. Отметить на числовой прямой найденные значения

3.Определить знаки на каждом промежутке:

построить параболу - если а>0 ветви параболы направлены вверх, если a<0 ветви параболы направлены вниз; выше числовой прямой отметить положительные значения, ниже - отрицательные значения

4. Выбрать промежутки, которые удовлетворяют неравенству

5. Записать ответ

Пример 1

Решить неравенство х2- 5х+6 >0

  1. Решить уравнение:

 корня

;    

  1. Отметим полученные значения на числовой оси:

а)

  1. Определяем знаки, которые принимает функция  на каждом их этих промежутков:

  1. Выделяем те промежутки, которые удовлетворяют неравенству (>0):

                                   

                                                                                             

  1. Записываем ответ:
  1. Решение квадратных уравнений

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Квадратные уравнения решаются с помощью дискриминанта Д

При решении квадратных уравнений может быть:

  1. Не иметь корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

D = b2 − 4ac.

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Корни квадратного уравнения можно найти по формулам:

Формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом.

 Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Пример:

 Решить квадратное уравнение:

x2 − 2x − 3 = 0

a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

Решение простого квадратного уравнения

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Неполные квадратные уравнения решаются без использования формулы дискриминанта

Пример:

Решить квадратные уравнения:

x2 − 7x = 0

x2 − 7x = 0

x · (x − 7) = 0

 x1 = 0       х – 7= 0

                 x2 = 7

5.Основные свойства функций

Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:  y = f(x), где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция).

 Множество значений x называется областью определения функции. Множество значений y называется областью значений функции.

Основные свойства функции:

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
 – область определения функции симметрична относительно нуля
 – для любого х из области определения
f(-x) = f(x)

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image003.gif

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения
f(-x) = –f(x)

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image004.gif

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image011.gif

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image013.gif

3. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image018.gif

Х123 – нули функции y = f(x)

4.Положительные и отрицательные значения

Если график расположен выше оси х , функция будет принимать положительные значения. Если ниже, то принимает отрицательные значения.

Пример:

Исследовать график функции и найти

  • область определения функции
  • область значений функции
  • нули функции
  • промежутки возрастания и убывания
  • положительные и отрицательные значения функции на отрезке

График функции

1.  Область определения функции  — это отрезок http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%20-6%3B%206%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

2. Область значений функции — это  отрезок http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%20-3%3B%207%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 

3. Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x%3D-4&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=x%3D1&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

4. Значения функции положительны там, где http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y%3E0&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1 

Это промежутки http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%20-6%3B%20-4%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%201%3B%206%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

Значения функции отрицательны там, где http://l.wordpress.com/latex.php?latex=y%3C0&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1

 У нас это промежуток [- 4; 1]

5. Функция http://l.wordpress.com/latex.php?latex=f%5Cleft%28%20x%20%5Cright%29&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1возрастает на промежутке http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%20-2%3B%204%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1и убывает на промежутках http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%20-6%3B%20-2%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1и http://l.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cleft%5B%204%3B%206%20%5Cright%5D&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1.

                                   Разработчик: Короткова Н.Н. преподаватель математики