Иррациональные уравнения
учебно-методический материал на тему

Методические рекомендации для обучающихся по изучению  темы «Иррациональные уравнения»

Методические рекомендации содержат теоретический материал и примеры с решениями.

Теоретический материал:

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

1. Из двух систем выбирают ту, которая решается проще.

2. 

Если  а < 0, уравнение не имеет корней.

Если , уравнение равносильно уравнению .

3. Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень.

 При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью решения иррационального уравнения является проверка.

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы: 
1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна); 
2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень; 
3) метод введения новых переменных.

Проверка является обязательным элементом решения.

 О.Д.З. в иррациональных уравнениях не поможет отсеять все посторонние корни. Обратите на это внимание!

При решении иррациональных уравнений, как правило, используют следующие методы:

 1) переход к равносильной системе (в этом случае проверка не нужна);

2) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

3) метод введения новых переменных.

Примеры.

1.

Решение:

Ответ: -1.

2. 

Решение:

Ответ: 14.

3. 

Решение: ОДЗ:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

х = 6 входит в ОДЗ, значит может быть корнем данного уравнения.

Проверка:

Ответ: 6

4. 

Решение: ОДЗ

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

х1 = 2; х2 = 3. Эти корни входят в ОДЗ.

 - входит в ОДЗ

 - не входит в ОДЗ

Ответ: 

5. 

Решение: ОДЗ:

Обозначим = у. Тогда х-3=у2.

у2 + 4у - 12 = 0;

у1 = -6, у2 = 2.

а)=-6. Решений нет, т.к. -6>0, а 0.

б) = 2,
х - 3 = 4,
х = 7 входит в ОДЗ.

Ответ: 7.

Методические рекомендации подготовила преподаватель математики Короткова Н.Н.