Презентация "Аксиомы стереометрии"
презентация к уроку на тему

Слайд 1

Аксиома – это утверждение не требующее доказательства. Определение

Слайд 2

Аксиомы стереометрии – утверждения о свойствах геометрических тел, принимаемые в качестве исходных положений, на основе которых доказываются все теоремы и вообще строится вся геометрия. Определение

Слайд 3

Аксиома A1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна . A B C Если C ∉ AB, то ∃ α : A, B, C ∊ α , причем α – единственная .

Слайд 4

Аксиома A2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости . A ∊ α ; B ∊ α ; A B ⟹ AB ∊ α ;

Слайд 5

Аксиома A3 Если две плоскости имеют общую точку , то они имеют общую прямую , на которой лежат все общие точки этих плоскостей. M ∊ α ; M ∊ β ; ⟹ M a β

Слайд 6

A B C A B M a β Аксиома 1 (существование плоскости) Аксиома 2 (плоскость и прямая) Аксиома 3 (две плоскости)

Слайд 7

A C B D K M P E Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; Назвать: PE , MK , EC – прямые ; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC , прямой CE с плоскостью ADB; а) плоскости, в которых лежат прямые PE , MK , DB , AB , EC ; Решение: P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; а)

Слайд 8

A C B D K M P E Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; Назвать: PE , MK , EC – прямые ; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC , прямой CE с плоскостью ADB; а) плоскости, в которых лежат прямые PE , MK , DB , AB , EC ; Решение: P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; D ∊ ABD; B ∊ ABD; а)

Слайд 9

A C B D K M P E Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; Назвать: PE , MK , EC – прямые ; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC , прямой CE с плоскостью ADB; а) плоскости, в которых лежат прямые PE , MK , DB , AB , EC ; Решение: P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; D ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; A ∊ ABD; B ∊ ABD; а)

Слайд 10

A C B D K M P E Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; Назвать: PE , MK , EC – прямые ; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC , прямой CE с плоскостью ADB; а) плоскости, в которых лежат прямые PE , MK , DB , AB , EC ; Решение: P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; D ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; A ∊ ABD; B ∊ ABD; E ∊ CDE; C ∊ CDE; ⟹ EC ∊ ABC, AB ∊ CDE; E ∊ ABC; C ∊ ABC; а)

Слайд 11

A C B D K M P E Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; Назвать: PE , MK , EC – прямые ; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC , прямой CE с плоскостью ADB; а) плоскости, в которых лежат прямые PE , MK , DB , AB , EC ; Решение: P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; D ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; A ∊ ABD; B ∊ ABD; E ∊ CDE; C ∊ CDE; ⟹ EC ∊ ABC, AB ∊ CDE; E ∊ ABC; C ∊ ABC; а) б) С ∊ DK; C ∊ ABC; ⟹

Слайд 12

A C B D K M P E Задача 1 Дано: ABCD – тетраэдр; Назвать: PE , MK , EC – прямые ; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC , прямой CE с плоскостью ADB; а) плоскости, в которых лежат прямые PE , MK , DB , AB , EC ; Решение: P ∊ ABD; E ∊ ABD; ⟹ PE ∊ ABD; M ∊ ABD; K ∊ ABD; ⟹ MK ∊ ABD; D ∊ BCD; B ∊ BCD; ⟹ BD ∊ ABD, BD ∊ BCD; D ∊ ABD; B ∊ ABD; A ∊ ABC; B ∊ ABC; ⟹ AB ∊ ABD, AB ∊ ABC; A ∊ ABD; B ∊ ABD; E ∊ CDE; C ∊ CDE; ⟹ EC ∊ ABC, AB ∊ CDE; E ∊ ABC; C ∊ ABC; а) б) С ∊ DK; C ∊ ABC; ⟹ E ∊ CE; E ∊ ABD; ⟹

Слайд 13

Дано: A , B , C , D – не лежат в одной плоскости Задача 2 Найти: Могут ли 3 из них лежать на одной прямой? Решение. A B C D m Пусть: (A, B, C) ∊ m; D ∉ m; ∃ α : (A,C,D) ∊ α A ∊ α C ∊ α ⟹ B ∊ α ( аксиома A2) ( аксиома A 1 ) (A,B,C,D) ∊ α ; Ответ: Нет .

Слайд 14

Дано: (A,B,C) ∊ m Задача 2 Доказать: ∃ α : (A,B, С ) ∊ α Решение. A B C D m Пусть: D ∉ m; ∃ α : (A,C,D) ∊ α (A, C) ∊ α ⟹ B ∊ α ( аксиома 2) ( аксиома 1 ) (A,B,C,D) ∊ α ; Найти: Количество плоскостей ⟹ ⟹ Плоскость α – искомая плоскость. Т.к . D – произвольная точка , то таких плоскостей бесконечное множество. Ответ: бесконечное множество.