Практическое занятие №39

Тема : Возрастание и убывание функции

Цели:  Знать применение производной функции к нахождению промежутков возрастания и убывания функции, уметь находить промежутки монотонности функции.

Продолжительность занятия.1 час.

Оборудование карточки с заданиями, учебник, справочная литература

Методические рекомендации

1.   Найти промежутки возрастания и убывания функции:

1.Найти D(y)

2.Найти производную

3. Найти критические точки

4.Заполнить таблицу

5.Ответ: функции ↘

функция ↑

2. Работа с рисунком. Изображён график функции у(х):

1) Найти экстремумы  функции;

2) Указать промежутки возрастания и убывания функции;

  Практические задания.

                                          Практическое занятие  №40          

Тема : Экстремумы функции

Цель :

• Изучить такие понятия как точки минимума, точки максимума, точки экстремума, стационарные точки, критические точки.
• Изучить теоремы (достаточные условия экстремума).

Продолжительность занятия2 часа

Оборудование : учебник Алгебра и начала математического анализа, Алимов Ш.А.  чертежные принадлежности

Методические указания:

У                                                                                                         у

                                              y=f(x)                                                                                        y=|x|

                     -      +            знаки производной

   0                    x0                              x                                        х0=0                            

 х0 – точка минимума                                              х0 – точка минимума

х0 – стационарная точка                                       х0 – критическая точка

 Определение 1. Точку х=х0 называют точкой минимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство   f(x0)≤ f(x).

 Теорема 1.  Если в точке х0 производная меняет знак с  « - » на «+», то х0 – точка минимума.

                                                                                                                     у

у                                                                                                       x0=0                          x                

                           y=f(x)

                   +    -            знаки производной                                                  y=- |x|     

 0                   x0

х0 – точка     максимума                                          х0 – точка максимума

х0 – стационарная точка                                       х0 – критическая точка

Определение 2. Точку х=х0 называют точкой максимума функции y=f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство   f(x0)≥ f(x)

 Теорема 2.  Если в точке х0 производная меняет знак с  « + » на «-», то х0 – точка максимума.

Определение 3. Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума (от латинского слова extremum – «крайний»).

Точки

экстремума

           Точки                                                                                       Точки

     максимума                                                                               минимума

Теорема 3. Если в точке х=х0 функция имеет экстремум, то в этой точке производная либо равна 0, либо не существует.

Определение 4.  Стационарные точки – это внутренние точки области определения функции, в которых производная равна 0.

Определение 5.  Критические точки – это внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует.

Практические задания   стр.269-270  

1 вариант - №912 1,)2)   №914 1) 3) №917 (1)

2 вариант  №912 3), 4)    №914 2),4)  №917 (2)

Практическое  №41  

Тема :  Наибольшее и наименьшее значения функции

Цели: систематизировать знания  по изученной теме; проверить уровень усвоения изученного материала; применять теоретический материал при решении задач.  

Продолжительность занятия 2 часа

 Вариант 1

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке [a;b]:  

        1Вычислить значение функции на концах отрезка

  2.    найти  f '(x);

3. найти точки, в которых f '(x)=0  ,отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a;b];

  найти значение функции в этих точках

4.  выбрать из всех значений  наибольшее и наименьшее; которые можно обозначить так:   y(x) max  и     y(x)  min y(x).

                 [a;b]               [a;b]

       №1.  Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) =1-4x+x2 на отрезке   [0;4].            

      №2 . Определите наибольшее и наименьшее значения функции у= 4х-х2 на отрезке  [-1;6].

     №3    Исследовать функцию и построить ее график:

    Практическое занятие  №41  Тема :  Наибольшее и наименьшее значения функции

Цели: систематизировать знания  по изученной теме; проверить уровень усвоения изученного материала; применять теоретический материал при решении задач.    

  Вариант 2

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции  на отрезке [a;b]:

1. Вычислить значение функции на концах отрезка
2. найти  f '(x);
3. найти точки, в которых f '(x)=0  ,отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a;b];

найти значение функции в этих точках

4.  выбрать из всех значений  наибольшее и наименьшее; которые можно обозначить так:   y(x) max  и     y(x)  min y(x).

                 [a;b]               [a;b]

       №1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)  =  

          на отрезке   [-1;1].

      №2 . Определите наибольшее и наименьшее значения функции у=

 на отрезке  [-0,5;4].

     №3    Исследовать функцию и построить ее график:f(х)=  

                        Практическое занятие  №42

Тема : Векторы в пространстве

Цели: Закрепить знания и совершенствовать умения по данной теме.  

Продолжительность 2 часа

Оборудование карточки с заданиями, чертежные инструменты.                

                                                  Практическое занятие  №43

Тема Простейшие задачи в координатах

Цели:

- показать примеры решения стереометрических задач координатно-векторным методом;

- совершенствовать навыки решения зада

 Продолжительность занятия 2 часа

Контрольные вопросы:  

 1) Вывести формулу координат середины отрезка.

2) Вывести формулу длины отрезка.

3. Выполнение практических заданий

Вариант 1

1. На каком расстоянии от плоскости (хОу) находится точка А(2;-3;-5)
2. На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3;4;0)
3. Найдите координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты А(5;3;2), В(3;-1;-4)
4. Найти длину вектора АВ, если А(5;3;2), В(3;-1;-4)
5. Записать координаты вектора а, если а=4i-3k

Вариант 2

1.  На каком расстоянии от плоскости (уОz) находится точка В(-3;2;-4)
2. На каком расстоянии от начала координат находится точка В(3;0;-4)
3. Найдите координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты

А(-3;2;-4), В(1;-4;2)

4. Найти длину вектора ВА, если А(-3;2;-4), В(1;-4;2)
5. Записать координаты вектора b, если b=5j+i
6.  Индивидуальная дифференцируемая работа на карточках
7. Iуровень (карточка №1)

1.Даны векторы а=4j – 3j; b{-3;1;2}. Найти координаты вектора с, если с=2а– 3b

               2. Найти: значения m и n, при которых векторы a и b коллинеарны,  если    a{1;-2;m}, b{n;6;3}. Сравнить длины и направления векторов a и b

 II уровень (карточка №2)

1. Вершины куба ABCDA1B1C1D1  имеют координаты A(3;-1;1) В(-1;-1;1), С(-1;3;1), С1(-1;3;5). Найти: координаты вершины В1 и D1. Разложить по координатным векторам вектор A1C.
2. Докажите, что точки A,B и C лежат на одной прямой: A(6;-1;0), B(0;3;-2), С(3;1;-1

                                 Практическое занятие  №44

                     Тема «Скалярное  произведение  векторов».    

 Цели:знать формулы скалярного произведения векторов, уметь находить  скалярный квадрат, скалярное произведение векторов.

Продолжительность занятия :2 часа

Контрольные вопросы: 1.Что такое скалярное произведение векторов  2.Формула нахождения скалярного произведения векторов.

 3. Скалярный квадрат

4. Нахождение угла между векторами.

Практические задания:

                                   Практическое занятие №45

Тема : Правила нахождения первообразных

               ЦЕЛЬ РАБОТЫ:

1. Корректировать знания, умения и навыки в теме: «Вычисление первообразной функции».
2. Закрепить и систематизировать знания по теме.
3. Определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности уч-ся.

ОБОРУДОВАНИЕ: таблицы первообразных некоторых функций, микрокалькуляторы.

Продолжительность работы 2 часа

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Ответить на контрольные вопросы:

      а) Что называется первообразной функции?

      б) Сформулируйте основное свойство первообразной.

      в) Сформулируйте три правила нахождения первообразных.

2. Изучить образцы решенных примеров.
3. Выполнить задания для самоконтроля.
4. Изучить условие заданий для практической работы.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР 1. Выясните, является ли  первообразной для функции  на R?

РЕШЕНИЕ. Находим

.

Следовательно, по определению  является первообразной для функции  на R.

ПРИМЕР 2. Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

РЕШЕНИЕ. По основному свойству первообразных любая первообразная функции  записывается в виде . Координаты точки  графика искомой первообразной должны удовлетворять уравнению:

.

Отсюда находим, что

,

С = 2.

Следовательно, уравнение искомой первообразной имеет вид: .

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ.

Выберите правильный вариант ответа.

1. Функция  является первообразной для функции:                         а);      б);      в).
2. Дана функция . Первообразная для функции g(x), график которой проходит через точку , это:

а)  ;  б) ;   в) .

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.

Вариант 1.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

 Вариант 2.

1. Является ли функция  первообразной для функции  на R?
2. а) Найдите общий вид первообразных для функции .

б) Для функции  найдите первообразную, график которой проходит через точку .

 Практическое занятие  №46    Тема: «Вычисление площади криволинейной трапеции».

Цель: Формирование у обучающихся навыков вычисления площади криволинейной трапеции.

Знать формулу для нахождения площади криволинейной трапеции.

Уметь находить площадь криволинейной трапеции; уметь вычислять определённый интеграл        

Продолжительность занятия 2часа

Контрольные вопросы:                                      

1. Дайте определение первообразной функции.

2. Назовите первообразные основных функций.

3. Найдите первообразные функций: , , , .

, , ,

.

Для вычисления площадей трапеции применяется следующая теорема.

Теорема. Если  - непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , а  - её первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке , т. е. .  Площадь криволинейной трапеции вычисляют с помощью формулы Ньютона-Лейбница:    .

Пример1. Вычислить площадь S  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , , .

                                        Решение.

.

. , .

 (кв. ед.)

Если криволинейная трапеция ограничивается графиками двух функций, то площадь фигуры определяется по формуле: .

Закрепление нового материала.

№ 360  в) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение.

.

 (кв. ед.).

Ответ:  кв. ед.

Выполнение практической части работы

Вариант 1

№1Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , , , .

№2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

__________________________________________________________________

Вариант 2

№1 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: , , , .

№2 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , .

                                  Практическое занятие №47

Тема : Площадь поверхности цилиндра

Цели: –  научиться строить чертежи к задачам;

–  научиться находить основные элементы  цилиндра;

–  научиться находить площади боковой и полной поверхностей  цилиндра.

Оборудование : учебник, конспект, плакаты, модели.

Продолжительность занятия 2 часа.

Порядок выполнения работы:

Вопросы для повторения:

1. Что называется цилиндром? Дайте определение радиусу, высоте, образующей цилиндра.
2. Какая фигура является осевым сечением цилиндра? Когда сечением цилиндра является круг?
3. Чему равны боковая и полная поверхности цилиндра?

Выполнение практической части работы

 1 вариант –

№1. Осевое сечение цилиндра- квадрат, диагональ которого равна 20 см.Найдите высоту цилиндра.

№2.Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота h , а расстояние между прямой АВ  и осью цилиндра d . Найти h, если r = 10дм. d= 8дм , АВ=13дм

№3Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как  : 4. Найти угол между диагональю осевого сеченияцилиндра и плоскостью основания.

2 вариант.

№1. . Осевое сечение цилиндра- квадрат, диагональ которого равна 20 см.Найти площадь основания цилиндра.

№2. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота h , а расстояние между прямой АВ  и осью цилиндра d . Найти d, если h = 6 см, r = 5 см.АВ = 10см.

№ 3. 3Площадь основания цилиндра относится к площади осевого сечения как  : 4. Найти угол между диагоналями осевого сечения.

Дополнительное задание : Площадь осевого сечения цилиндра 108 кв. см., диаметр основания 6см. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

                           Практическое занятие № 48

Тема: Вычисление площади боковой и полной поверхности конуса.

Цель урока:  формирование  умений и навыков по вычислению площади поверхности конуса.

Продолжительность занятия: 2 часа

Рекомендации по выполнению практической работы:

1. Прочтите задание.

2. Запишите условие задачи.

3. Запишите кратко дано

4. Выполните рисунок.

5. Запишите решение и ответ.

Краткие теоретические положения:

Площадь боковой поверхности конуса: 

Площадь полной поверхности конуса:

Задача. 
Площадь основания конуса  36π см2, а его образующая 10 см.  Вычислить боковую поверхность конуса.

Решение. 
Зная площадь основания, найдем его радиус.

S=πR2

36π=πR2

R2 =36 =R=6 

Площадь боковой поверхности конуса найдем по формуле: 
S = πRl , где  R - радиус основания , l - длина образующей, 
откуда 

Ответ: .

Задания для практической работы

1 вариант

1.  Высота конуса равна 6 м, образующая равна 10 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Образующая конуса равна 18 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

3. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса,

если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?

2 вариант

1. Радиус основания конуса равен 3 м, высота равна 4 м. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

2. Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислить площадь полной поверхности конуса.

3. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 2,5 раза?

                   Практическое занятие № 49

Тема: Решение задач по теме « Тела вращения»

Цель: Применение знаний при решении задач.

Методические рекомендации:

Для решения задач важно правильно построить изображение фигур.

1.   При построении цилиндра:

Изображение цилиндра лучше начинать с построения осевого сечения цилиндра, в котором нижнее основание изображено штриховой линией.

Приняв верхнее и нижнее основания прямоугольника за диаметр цилиндра, рисуют равные эллипсы, при этом в нижнем основании невидимую часть эллипса изображают штриховой линией.

h – высота цилиндра,   r  – радиус основания

2. При построении конуса:

Надо сначала провести диаметр основания конуса штриховой линией, а затем из его середины провести перпендикуляр – высоту конуса; отметить на перпендикуляре вершину конуса;

Нарисовать в основании эллипс, изображая штриховой линией его невидимую часть. Соединить концы диаметра с вершиной конуса. Если нужно  - провести осевое сечение, отметить необходимые по условию задачи элементы.

h – высота конуса,  r -  радиус основания,    l -  образующая конуса.

3.   Наглядным является такое изображение шара, в котором большой круг или любое сечение шара горизонтальной плоскостью изображены в виде эллипсов.

R – радиус шара

Литература:  

1.   Л.С. Атанасян «Геометрия 10, 11 кл.»  стр. 119, 124,  129

1 вариант.

1.   Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого 20 см. Найти высоту цилиндра и площадь основания цилиндра.

2.   Расстояние от центра шара радиуса 14 см до секущей плоскости равно 11 см. Вычислите площадь сечения.

3.   Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 дм2,  высота конуса равна 1,2 дм. Вычислите площадь основания и образующую конуса.         

2 вариант.

1.  Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания 10 см. Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси так, что в сечении цилиндра получается квадрат. Найти расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

2.  Расстояние от центра шара радиуса 15 см до секущей плоскости равно 13 см. Вычислите площадь сечения.

3. Угол между образующей и осью конуса равен 45º , образующая равна 6,5 см. Найти площадь боковой поверхности конуса и площадь основания.

Сделайте выводы, ответив на вопросы.

1. Почему цилиндр, конус и шар называют телами вращения?
2. Чем отличается шар от сферы?
3. Какой фигурой является осевое сечение цилиндра? Как находится площадь осевого сечения цилиндра, если известны радиус и высота цилиндра?
4. Какой фигурой является осевое сечение конуса? Как вычисляется площадь осевого сечения конуса, если известны радиус и высота конуса?
5. Какой формулой в конусе можно связать длину образующей (l), высоту(h) и радиус (R) ?
6. Площадь сферы вычисляется по формуле , выведите формулу для вычисления площади сферы через диаметр.
7. Приведите примеры реальных объектов, которые являются телами вращения. (например, корпус фломастера – это цилиндр) Приведите не менее трех примеров.

Практическая работа № 50

Тема: Вычисление объёма пирамиды, конуса и шара.

Цель: Применение знаний при решении задач.

Методические рекомендации:

1. Объём пирамиды вычисляется по формуле:    ,   где  S – площадь основания, h - высота

2.   Объём конуса вычисляется по формуле:  ,   где  S – площадь основания, h – высота

3.       Объём шара равен:          R3 

Литература:  

1.   Л.С. Атанасян «Геометрия 10, 11 кл.»  стр. 151, 153, 157.

1 вариант.

1.   Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 3 см, плоский угол при вершине 60º. Найти объём пирамиды.

2.   Образующая конуса равна 4 см. а угол при  вершине осевого сечения равен 90º . Найти объём конуса.

3.   Прямоугольный треугольник,  гипотенуза которого равна 12 см, а острый угол 45º , вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.

4.   В цилиндр вписан шар радиуса R. Найти отношение объёмов цилиндра и шара.

2 вариант.

1.   В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45º . Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найти объём пирамиды.

2.  Высота конуса равна диаметру его основания. Определить объём конуса, если его высота равна Н.

3.   Прямоугольный треугольник,  гипотенуза которого равна 6 см, а острый угол 45º , вращается вокруг катета. Найти объём полученного тела вращения.

4.   В сферу вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого составляет с основанием угол α. Найти объём цилиндра, если радиус  сферы равен r.  

Практическая работа №51

Тема «Решение задач на вычисление вероятности события»

Цель работы:

Приобретение базовых знаний в области теории вероятности. Повторение и систематизация знаний по данной теме.

      Продолжительность занятия 2 часа

Литература

1. Алгебра и начала анализа 10-11классы: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]-16-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 2011.-464с.

2. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб,: Издательство "Лань", 2011. - 464 с.

Ход работы:

1. Познакомиться с теоретическим материалом.
2. Выполнить краткий конспект в рабочих тетрадях (основные определения, формулы, примеры).
3. В тетрадях для практических работ выполнить практическую работу
4. Сдать преподавателю тетради для практических работ.

1. Основные понятия

К основным понятиям теории вероятности относятся: испытание, событие, вероятность.

Испытание – реализация комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Например, бросание монеты – испытание; появление герба или цифры – события.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Например, выстрел по цели — это опыт, случайные события в этом опыте – попадание в цель или промах.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. События называются несовместными, если ни какие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместные события.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов данного испытания: P(A)=m/n.

Если В – достоверное событие, то Р(В)=1; если С – невозможное событие, то Р(С)=0, если А – случайное событие, то 0<Р(А)<1.

Правила суммы и произведения (комбинаторика)

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать объект либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.

2. Примеры

1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность появления четного числа очков.

Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему. Событию благоприятствуют три исхода (появление двух, четырех и шести очков), поэтому n=6,  m=3,   Р(А)=3/6=1/2

2. В партии из 100 деталей имеется 5 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной.

Решение.  Событие А – взятая деталь оказалась бракованной.

n=100,  m=5,  Р(А) = = 0,05

3. В партии из 100 деталей имеется 6 бракованных. Найти вероятность того, что взятые наугад 2 детали окажутся бракованными.

Решение.В этой задаче нас не интересует порядок расположения выбранных деталей, поэтому воспользуемся формулой для подсчета числа сочетаний из 6 элементов по 2.

т.е. m = 15, n=100, тогда  Р(А) = = 0,15.

Практическая работа №51

Тема «Решение задач на вычисление вероятности события»

Цель работы:

Приобретение базовых знаний в области теории вероятности. Повторение и систематизация знаний по данной теме.

2. Задачи для практической работы  №51

1. В коробке 10 конфет, из которых 2 конфеты с белой начинкой, 3 с красной начинкой и 5 с черной начинкой. Наудачу извлечены 3 конфеты. Какова вероятность того, что все 3 конфеты с разной начинкой?
2. На 6 одинаковых карточках написаны буквы О, В, А, М, К, С. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МОСКВА?
3. В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определить вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся девочками?
4. В группе 20 студентов, среди них 14 юношей. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6-ти студентов будут 3 девушки и 3 юноши.
5. « Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. « На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было, собралась, да призадумалась »:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;

б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать;

г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек все-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?

                                   Практическое задание № 52

        Тема: «Равносильность   равнений»

Цели:

• обобщить и систематизировать знания учащихся по наиболее  уравнений с одной переменной.
• развитие мышления учащихся; развитие познавательного интереса и умений учебно-познавательной деятельности.
• воспитание организованности, самоконтроля и взаимоконтроля.

Продолжительность занятия  - 2 часа

Методические рекомендации

Краткое обсуждение  тех теоретических знаний, которыми они обладают и пользуются при решении уравнений.

Допустим, нам необходимо решить уравнение

3-(2х- 5) = 2х + 5.

Преобразуем данное уравнение, выстраивая цепочку уравнений и стараясь получить уравнение вида ах = b, т.е. линейное уравнение

6х - 15 = 2х + 5,                6х - 2х = 5 + 15,                4х = 20.

Откуда получаем, что 5 - корень уравнения. Причём, как последнего уравнения, так и любого из уравнений данной цепочки, так как они являются равносильными уравнениями. По сути, решением уравнения и является выстраивание подобных цепочек уравнений.

1)        Определение. Два уравнения с одной переменной f(х) = g(х) и h(х) = р(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не имеют корней.

Например, уравнения  - 4 = 0 и (х + 2)(2Х - 4) = 0 равносильны; равносильны и уравнения х2 + 1 = 0 и = - 2 - они не имеют корней.

2)        Определение. Если каждый корень уравнения         f(х) = g(х)         (1)

является в то же время корнем уравнения        h(х) = р(х)         (2),

то уравнение (2) называется следствием уравнения (1).

Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень 5, уравнение  - 25 = 0 имеет корни ± 5. Так как корень уравнения х - 2 = 3 является корнем уравнения х2 - 25 = 0, то уравнение х2 - 25 = 0 является следствием,, уравнения х - 2 = 3.

Следовательно, два уравнения называют равносильными тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

3)        Если в ходе преобразований, при переходе от одного из уравнений к уравнению-следствию, мы неуверенны в равносильности выполняемого перехода, то у последнего уравнения могут появиться посторонние корни в отношении исходного уравнения. Поэтому все полученные корни уравнения- следствия необходимо проверить, подставляя их в исходное уравнение. Тем самым, проверка найденных корней уравнения является не проверкой верности выполненных технических преобразований, а неотъемлемой частью, этапом решения уравнения.

4) Итак, мы выяснили, что в процессе решения уравнений (а ещё более при решении неравенств) на каждом этапе преобразований крайне важно знать, равносильный ли переход мы совершаем. Сформулируем и обсудим ряд важных для нас положений.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

Теорема 3. Показательное уравнение (где  > 1,  1) равносильно уравнению f(х) = g(х).

Определение. Областью определения уравнения f(х) = g(х) или ОДЗ переменной уравнения называется множество тех значений х, при которых одновременно имеют смысл обе части уравнения f(х) = g(х).

Теорема 4. Если обе части уравнения f(х) = g(х) умножить на одно и то же выражение h(х), которое имеет смысл всюду в области определения (ОДЗ) уравнения f(х) = g(х) и при этом нигде в этой области h(х)  0, то уравнения f(х) = g(х) и h(х)∙ f(х) = h(х) g(х) равносильны.

То есть, мы можем обе части уравнения умножать или делить на одно и то же отличное от нуля число, не нарушая при этом равносильности уравнений.

Теорема 5. Если обе части уравнения f(х) = g(х) неотрицательны на ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же степень n получится уравнение  gn(x), равносильное исходному уравнению.

Теорема 6. Если f(х)>0, = g(х)>0, то уравнение logα 2 f(x) = log αg(x), где а>0,  , равносильно уравнению f(х) = g(х).

6) Выводы. Исходное уравнение преобразуется в процессе решения в уравнение-следствие, значит, необходимо обязательное выполнение проверки всех найденных корней, если: расширилась ОДЗ уравнения; возводились в одну и ту же чётную степень обе части уравнения; выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и тоже выражение с переменной.

Пусть на дано уравнение g(x) Возведя в квадрат обе части уравнения, получим уравнение f(х) = g2(х) которое можно записать так:

(-g(x))(+g(x))=0

Откуда получаем совокупность уравнений: .

Имеем постороннее уравнение, и могут появиться посторонние корни. Следовательно, необходима проверка корней. Если мы захотим выполнить равносильный переход и обойтись без проверки, то исходное уравнение

равносильно смешанной системе:

5) Выводы. При решении иррациональных уравнений - возведении обеих частей уравнения в чётную степень, принадлежность полученных корней ОДЗ уравнения не позволяет сделать вывод, о том являются ли эти корни посторонними или нет. Поэтому выполнение проверки корней обязательно и это этап решения уравнения. Если корень не принадлежит ОДЗ то он, конечно, посторонний корень уравнения. В то же время, записывая систему равносильную уравнению, мы не нарушаем логики решения уравнения: ведь уравнение с пустой ОДЗ равносильно системе, не имеющей решений.

Задания для практической работы

Вариант 1    1. Найти функцию, обратную к данной: а) у = – 3х + 2; б) у = 2 – х3;в) у = .

                      2. Выяснить равносильны ли уравнения:

                     2х² - 9х – 5 = 0 и х(6х – 13) = 14х +15

                     Решить уравнения

         а) ;                         б );

                    4. Решить уравнение:

Вариант 2

1. Найти функцию, обратную к данной:

а) у = 2х – 3; б) у = х2 – 3; в) у = 

2. Выяснить равносильны ли уравнения:

5х² + 4х – 1 = 0 и х(2х +11) = - 6 - х²

Решить уравнения

а) ;                         б) .

4. Решить уравнение:

                         Практическое задание  № 53

Тема «Общие методы решения уравнений»

Цели

1. Систематизировать, обобщить знания и умения у по применению различных методов решения уравнений.
2. Развивать умение наблюдать, обобщать, классифицировать, анализировать математические ситуации.

Оборудование:  учебник, карточки

Продолжительность занятия -2 часа

Методические рекомендации

1.«Замена уравнения

h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)» с образцом применения. (Метод 1).

 «Метод разложения на множители». (Метод № 2).

. «Метод введения новой переменной». (Метод № 3).

 «Функционально-графический метод». (Метод № 4).

1. Практическая работа по карточкам № 3 из дидактических материалов. (см. Приложение)

Вариант 1

Вариант 2

                                          Литература

         1.Алгебра и начала анализа 10-11кл. в двух частях. Учебник и задачник для                общеобразоват. учреждений. / А. Г. Мордкович – М.: Мнемозина, 2004.

          2. Алгебра и начала анализа 11кл. Самостоятельные работы. / Под ред. А. Г.                                    Мордковича – М.: Мнемозина, 2007.

3.Алгебра и начала анализа. Контрольные работы 10-11кл. / А. Г. Мордкович, Е. Е. Тульчинская, 2005.

4.Тесты для промежуточной аттестации 10кл. / Под ред. Ф. Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион, 2007.

5.Алгебра. Открытые уроки (обобщающее повторение в 7,9,10 кл.). /Авт. сост. С.Н. Зеленская – Волгоград: Учитель, 2007.

6.Интернет - ресурсы. http://images.yandex.ru/

                                        Практическое занятие  №54

                                Тема: «Равносильность неравенств»

       Цели : обобщить и систематизировать знания по теме «Неравенства»,  рассмотреть способы решения некоторых логарифмических неравенств.анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;

Оборудование  справочная литература, карточки

Продолжительность занятия 1 час

1. Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую;
2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число;
3. Применение правил умножения многочленов и формул сокращённого умножения;
4. Приведение подобных членов многочлена;
5. Возведение неравенства в нечётную степень;
6. Логарифмирование неравенства , т.е замена этого неравенства неравенством

преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел

1. Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)
2. Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)
3. Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)
4. Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)

  Практическая часть работы:

                                      Практическая работа №55
Тема  «Решение иррациональных уравнений и неравенств»

Цель работы: Научиться решать иррациональные уравнения и неравенства, используя основные определения и алгоритм для решения иррациональных уравнений и неравенств.

Продолжительность занятия 2 часа

Методические рекомендации:
Уравнение, содержащую переменную под знаком корня, называется иррациональным.
Алгоритм решения иррационального уравнения:
Записать уравнение
Возвести обе части иррационального уравнения в нужную степень
Решить полученное уравнение
Проверить полученные корни уравнения, подставив их в исходное уравнение
Записать ответ

1.2 Решение иррационального неравенства сводится к решению равносильной ему системы иррациональных неравенств или совокупности систем рациональных неравенств

.

Практическая часть работы

                                   Практическое занятие №57

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Продолжительность занятия 2 часа

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

1. Системы линейных уравнений

(общие сведения)

Пусть задана система  линейных уравнений с  неизвестными

(1)

Решением системы (1) называется совокупность чисел (, , …, ), которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество – система неопределенная. Если система не имеет решений, она называется несовместной. Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.

2. Метод Крамера

При решении методом Крамера используем определители -го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

.

ТЕОРЕМА. Если определитель системы , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

; ; … ; ,

где определитель  может быть получен из главного определителя путем замены -го столбца на столбец из свободных членов.

Пример 1.

Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

и три вспомогательных определителя:

; ; .

Определитель  составлен из определителя  путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях и  соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

;

;

;

.

Неизвестные , ,  находим по формулам

; ; ;

; ; .

Ответ: ; ; .

Пример2. Решить систему  методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов:, . Далее вычисляем определители:

;

;

;

.

По теореме Крамера ; ; . Ответ: ; ; .

Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: , , . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

Условия неопределенности и несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Если определитель системы , то система является либо несовместной (когда  и ), либо неопределенной (когда  и ). В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения.

Условия несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

Условия неопределенности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система уравнений (1) не имеет решения (если ).

Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система (1) имеет бесконечно много решений.

Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений (1) имеет единственное решение.

                             3. Метод Гаусса

Эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Идея метода Гаусса состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, которая легко исследуется и решается.

Пример 3.

.

В результате элементарных преобразований добиваются того, чтобы в последнем уравнении системы осталось одно неизвестное (), во втором – 2 неизвестных ( и ) а в первом – 3 неизвестных (, , ). За ведущее уравнение берется то, в котором коэффициент при  равен 1. Если такого уравнения нет, то его легко получить, разделив любое из уравнений системы на коэффициент при .

Ведущим уравнением данной системы будет последнее. Перепишем систему так:

(2)

Умножаем первое уравнение на (-2) и складываем со вторым, чтобы избавиться от  во втором уравнении. Результат сложения записываем на месте второго уравнения. Далее первое уравнение умножаем на (-5) и складываем с третьим, чтобы избавиться от  в третьем уравнении. Результат записываем на месте третьего уравнения. Первое уравнение при этом переписываем без изменений. Получим:

 (3)

Системы уравнений (2) и (3) эквиваленты, т. е. они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Умножаем второе уравнение системы (5) на (-1) и складываем с третьим, чтобы избавиться от  в третьем уравнении. Первое уравнение при этом не трогаем. Результат записываем на месте третьего уравнения. Тогда

.

Из последнего уравнения . Подставляем это значение  во втрое уравнение системы и находим :

.

В первое уравнение подставляем значения  и , получаем

.

Ответ: ; ; .

Рекомендуется сделать проверку.

Тема: «Решение систем линейных уравнений»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Содержание практической работы

Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

а) б)

Задание 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Задание 3. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

а) б)

Задание 4.

а) При каком значении а система не имеет решений?

Задание 5. Решить систему уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса а) 

б) 

12