Методическая разработка темы «Координаты и векторы»
методическая разработка

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

 «НИЖНЕУДИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ»

Методическая разработка

темы   «Координаты и векторы»

по учебной дисциплине

«Математика: алгебра и начала

математического анализа; геометрия»

для студентов 1 курса

по специальности  34.02.01 Сестринское дело

Нижнеудинск, 2019

Организация-разработчик: Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  «Нижнеудинское медицинское училище».

Разработчики:  

Быкова Н.Г. – преподаватель математики, высшая квалификационная категория

Пояснительная записка

   Данная методическая разработка предназначена для проведения учебных занятий по теме  «Координаты и векторы» в соответствии с рабочей программой по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» для специальности 34.02.01 Сестринское дело.  

На изучение данной темы отводится 10 часов по рабочей программе

    Методическая разработка содержит информационный материал в виде опорного конспекта, задания  для исходного уровня знаний и контролирующего материала для закрепления  знаний, а так же задания для внеаудиторной самостоятельной работы.

Занятие №1

Тема:  «Прямоугольная система координат в пространстве»

Тип занятия: изучение нового материала

Оснащение:  раздаточный материал.

Место проведения:  учебный кабинет.

Время:  90 мин

Цели: образовательные: 

Ввести понятия:  Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

развивающие:

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

• Воспитание умения  слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

методические:

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной  деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен  уметь: 

  Применять теорию при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Понятие  вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.  Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Технологическая карта занятия

Приложение № 1.1

Контрольные вопросы.

1.  Действия над векторами в координатной форме.
2. Сложение, вычитание векторов.
3. Правило параллелограмма.
4. Даны векторы  и  Постойте векторы:

                                                 1) 2 +;

                                                 2) -2( + ;

                                                  3) - 2 - 2;

                                                   4)  ( 3 )

Приложение № 1.2

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси ( Рис. 2).

Рис. 2

Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya) и B(xb, yb) на плоскости:

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(xa, ya, za) и B(xb, yb, zb) в пространстве:

AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2

Приложение № 1.3

Приложение № 1.4

Домашнее задание

1. Выучить формулы

2. Выполнить задание

Вершины треугольника имеют координаты   А( -1; 1),   В(1; -1),  С(0; 4). Найдите длины сторон  треугольника ABC.

3. Самостоятельная работа

Подготовить реферат  на тему «Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве»  

Занятие №2. Расстояния между двумя точками

Тип занятия: изучение нового материала

Оснащение:  раздаточный материал.

Место проведения:  учебный кабинет.

Время:  90 мин

Цели: образовательные: 

Ввести понятия:  Формула расстояния между двумя точками. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

развивающие:

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

• Воспитание умения  слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

методические:

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной  деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен  уметь: 

  Применять теорию при решении задач на применения формулы расстояния между двумя точками, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Формула расстояния между двумя точками. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Технологическая карта занятия

Приложение № 2.1

Контрольные вопросы.

1. Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.

2. Формулы вычисления расстояния между двумя точками

Приложение № 2.2.

Приложение № 2.4

Домашнее задание

1. Выучить определения и формулы

2. Объясните, как задаются точки в пространстве?

∙ Какие прямые называются координатными осями?

∙ Формула расстояния между двумя точками, заданными координатами в пространстве.

Занятие №3 . Векторы.

Тип занятия: изучение нового материала

Оснащение:  раздаточный материал.

Место проведения:  учебный кабинет.

Время:  90 мин

 Цели: образовательные: 

Ввести понятия:  Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

развивающие:

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

• Воспитание умения  слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

методические:

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной  деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен  уметь: 

  Применять теорию при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Понятие  вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.  Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Технологическая карта занятия

Приложение №3.1.

Контрольные вопросы

1. вектор в пространстве,
2. длина по координатам начала и конца вектора
3. основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число
4. коллинеарные
5. компланарные  векторы.

Приложение № 3.2

В наши дни понятие «вектор» постоянно встречается в газетных и журнальных публикациях, в выступлениях политиков, ученых, педагогов. Обсуждая важнейшие процессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора развития системы образования. Понятие о векторе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованного человека. Термин «вектор» ввел в науку в середине XIX в. выдающийся ученый Уильям Гамильтон (1805-1865), профессор астрономии в Дублинском университете и королевский астроном Ирландии. Механика и астрономия дали важнейший импульс процессу создания векторного исчисления, где впервые были изучены векторные величины - сила и скорость. Еще в школе Аристотеля  был введен термин «сложение движений», т. е. скоростей и астрономы средневекового Востока  постоянно использовали «сложение движений». В 1844 г. в первой публикации по теории кватернионов Гамильтон ввел термин «вектор», образовав его от латинского слова «vehere» - «нести». Он писал: «Шаг от точки А к точке В можно рассматривать как работу по транспортировке или переносу подвижной точки из начального положения в конечное».

Так в геометрии трудами многих ученых к середине XIX в. была создана теория направленных отрезков, включающая операции сложения и вычитания, умножения на число, отыскания длин отрезков и углов между ними.

В курсе 9 класса вы изучали векторы на плоскости.  

Перед нами стоит задача – дать определение вектора в пространстве, научиться находить его длину по координатам начала и конца вектора и рассмотреть основные действия над векторами: сложение, вычитание, умножение на число, а также рассмотреть коллинеарные и компланарные  векторы.

Поставленную перед нами задачу мы будем решать на основе сравнительного анализа и установления закономерностей:  как давались определения вектора и операций над векторами на плоскости и как они формулируются для векторов в пространстве. На каждой парте лежат опорные конспекты, правую часть которых необходимо заполнить учащимся, пользуясь материалом учебника.

Определение вектора

Вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. (рис.1)

Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Нулевой вектор

Определение. Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадают. Нулевой вектор обычно обозначается как 0.Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами (рис. 2).

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

Компланарные вектора

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами. (рис. 5).

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по-этому любые два вектора всегда компланарные.

Равные вектора

Определение. Вектора a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления совпадают, а длины равны (рис. 6).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:  a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Единичный вектор

Единичным вектором или ортом - называется вектор, длина которого равна единице.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √ax2 + ay2

Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = √ax2 + ay2 + az2

Формулы сложения и вычитания векторов для плоских задач

В случае плоской задачи сумму и разность векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {ax + bx; ay + by}

a - b = {ax - bx; ay - by}

Формулы сложения и вычитания векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи сумму и разность векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующими формулами:

a + b = {ax + bx; ay + by; az + bz}

a - b = {ax - bx; ay - by; az - bz}

Формулы умножения вектора на число

Формула умножения вектора на число для плоских задач

В случае плоской задачи произведение вектора a = {ax ; ay} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax; k · ay}

Формула умножения вектора на число для пространственных задач

В случае пространственной задачи произведение вектора a = {ax ; ay ; az} и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · a = {k · ax ; k · ay ; k · az}

Приложение № 3.3

Приложение № 3.4

Домашнее задание

1. Выучить определения и формулы

2. Ответить на вопросы:

• Коллинеарные вектора

• Сонаправленные вектора

• Противоположно направленные вектора
• Единичный вектор
• Формулы длины вектора
• Формулы суммы и разности векторов.

2. Выполнить задание

Найти сумму векторов a = {-1; 3; 7} и b = {2; -5; 11}.

Занятие №4

Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний

Вид занятия: практическое занятие

Оснащение:  раздаточный материал.

Место проведения:  учебный кабинет.

Время:  90 мин

образовательные: 

Обобщение  понятий:  Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

развивающие:

• Развитие пространственного воображения учащихся.
• Развивать умения строить логическую цепочку рассуждений, анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии, обобщать и систематизировать, делать выводы.
• Развивать умение работать в должном темпе.

воспитательные:

• Воспитание умения  слушать, умения работать в малых группах.

• Воспитание познавательного интереса к предмету.
• Воспитание умений и навыков самоконтроля при выполнении самостоятельной работы

методические:

• Внедрение интерактивных технологий обучения (работа в малых группах).
• Активизация мыслительно-познавательной  деятельности учащихся.
• Создание условий для формирования знаний, умений и навыков;

Студент должен  уметь: 

  Применять теорию при решении задач на действия с векторами, координатный метод, применение векторов для вычисления величин углов и расстояний.

Студент должен знать:

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Понятие  вектора. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.  Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Тип занятия: закрепления изученного материала

Технологическая карта занятия

Приложение № 4.1

Контрольные вопросы

1. Скалярное произведение векторов.

2. Угол между векторами.

3. Проекция вектора.

Приложение № 4.2

Углом между двумя векторами, отложенными от одной точки, называется кратчайший угол, на который нужно повернуть один из векторов вокруг своего начала до положения сонаправленности с другим вектором.

Косинус угла между векторами равен скалярному произведению векторов, поделенному на произведение модулей векторов.

Формула вычисления угла между векторами

Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A1B1 оси l, где точки A1 и B1 являются проекциями точек A и B на ось l.

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz

Приложение № 4.3

Найти скалярное произведение векторов a = {-1; 8; 3} и b = {1; 0; 1}.

Самостоятельная работа

Список литературы

1. Атанасян Л.С. «Геометрия», учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М: Просвещение, 2001 г..
2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. «Математика», М: Дрофа, 2002 г.,
3. Башмаков М.И. «Математика», учебник для 10 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2008 г.
4. Башмаков М.И. «Математика», задачник для 10 кл. (базовый уровень). М: Издательский центр «Академия»», 2008 г.
5. Интернет ресурсы:

      http://festival.1september.ru/

      http://www.fepo.ru

      www.mathematics.ru