Презентация по теме "Координаты и векторы в пространстве" с двумя проверочными работами
презентация к уроку

Слайд 1

Раздел «Координаты и векторы в пространстве» Тема : «Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками»

Слайд 2

Вы уже знакомы с прямоугольной (Декартовой) системой координат на плоскости , которую в XIX в. ввёл французский математик Рене Декарт

Слайд 3

А теперь, что мы подразумеваем под координатной плоскостью . у х 0 1 1 М а b M ( a ; b )

Слайд 4

А, вот, прямоугольную систему координат в пространстве ввёл швейцарский математик Леонард Эйлер в XVIII в.

Слайд 5

x y z 0 1 Ox  Oy  Oz Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Координатные оси: Выберем в пространстве три попарно перпендикулярные координатные прямые x , y , z , пересекающиеся в одной точке 0 , соответствующей началу координат каждой оси. 1 1 Пунктиром показаны отрицательные части осей.

Слайд 6

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты: М (х, у, z) , где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.

Слайд 7

Построение точек в прямоугольной системе координат А(3;6;5) На оси Ох- отметить 3 единичных отрезка и провести прямую через эту точку, причем параллельную оси Оу На оси Оу отметить два единичных отрезка и провести прямую через эту точку, причем параллельную оси Ох Через точку пересечения двух прямых провести прямую параллельную оси О z , и отметить на ней 5 единичных отрезков вверх. х у z 0 3 6 А

Слайд 8

1). Если одна из координат точки равна 0, то точка лежит в одной из координатных плоскостей; ( например, M  Oyz , N  Oxz , K  Oxy ). x y z 0 1 1 1 Отметим некоторые свойства координат точек: 2). Если две координаты точки равны 0, то точка принадлежит одной из координатных осей; (например, P  Ox , S  Oy , R  Oz ). − 2 − 2 3 3 M ( 0 ; − 2; 3) N ( − 2; 0 ; 1) K (1; 3; 0 ) 2 2 − 2 P (2; 0 ; 0 ) R ( 0 ; 0 ; −2 ) S ( 0 ; 2; 0 )

Слайд 9

Точка лежит на оси в координатной плоскости Ох (х,0,0) О z (0,0, z) Oxy (x,y,0) Oyz (0,y,z) O х z (x,0,z) Оу (0,у,0)

Слайд 10

Найдите координаты точек А, В, С A (-1 ; 3 ; -6 ) B( - 2;-3; 4) y x z I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I O I I I В А I I I I I I I I I I С C( 3;-2; 6)

Слайд 11

Формулы середины отрезка и расстояния между точками на плоскости.

Слайд 12

Формулы середины отрезка и расстояния между точками в пространстве.

Слайд 13

Задача № 2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2) Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.

Слайд 14

Самостоятельная работа №1 1-вариант № 1. Отметьте точки в прямоугольной системе координат в пространстве: A(2 ;2;4), В(-3;-4;-5), С(-1;2;-3), О(0;2;3), К(0;0;4). № 2. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если: а) А (3;-1), В (-2;4); б) А(3;4;-6), В(-5;-3;-8). 2-вариант № 1. Отметьте точки в прямоугольной системе координат в пространстве: A(3;3;5), В(-4;-3;-5), С(-4;2;3), О(1;-3;0), К(0;5;0). № 2. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если: а) А (3;4), В (2;-1); б) А(-6;2;-3), В(-4;-6;-9).

Слайд 15

Тема: «Действия над векторами в пространстве»

Слайд 16

Дайте определение вектора. А В Вектором наз. направленный отрезок, имеющий определенную длину.

Слайд 17

Координаты вектора А(х 1 ;у 1 ;z 1 ) B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) (x 2 - х 1 ;y 2 - у 1 ;z 2 -z 1 ) Пример: определить координаты , если М(9;3;-6) и С(-5; 4;-1) (-5-9; 4-3; -1-(-6)) (-14;1;5) Координаты вектора в пространстве А В z x y O

Слайд 18

Координаты вектора А(х 1 ;у 1 ;z 1 ) B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) (x 2 - х 1 ;y 2 - у 1 ;z 2 -z 1 ) Пример: определить координаты , если М(9;3;-6) и С(-5; 4;-1) (-5-9; 4-3; -1-(-6)) (-14;1;5) Координаты вектора в пространстве А В z x y O

Слайд 19

Координаты вектора А(х 1 ;у 1 ;z 1 ) B(x 2 ;y 2 ;z 2 ) (x 2 - х 1 ;y 2 - у 1 ;z 2 -z 1 ) Пример: определить координаты , если М(9;3;-6) и С(-5; 4;-1) (-5-9; 4-3; -1-(-6)) = (-14;1;5) Координаты вектора в пространстве А В z x y O

Слайд 20

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c a b c a c b Коллинеарные, сонаправленные векторы o a o c o b Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором.

Слайд 21

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. a b c b a Коллинеарные, противоположно направленные векторы b c Если векторы а { x 1 ; y 1 ; z 1 } и b { x 2 ; y 2 ; z 2 }, то:

Слайд 22

№ 1.

Слайд 23

Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c b b

Слайд 24

Любые два вектора компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы , и компланарны. c a b c = xa + yb a b c Признак компланарности:

Слайд 25

Единичный вектор – вектор, длина которого равна 1. i – единичный вектор оси абсцисс, j – единичный вектор оси ординат, k – единичный вектор оси аппликат. x z y O

Слайд 26

Любой вектор ā можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде: Нулевой вектор можно представить в виде: где x, y, z – координаты вектора а.

Слайд 27

Решение задач № 2. № 3.

Слайд 28

Правила действий над векторами с заданными координатами. 1. Равные векторы имеют равные координаты. Пусть , х 1 = х 2 ; у 1 = у 2 ; z 1 = z 2 тогда ,

Слайд 29

Укажите пары равных векторов № 4. Дано : А(2;7;-3); В(1;0;3); С(-3;-4;5); М(-2;3;-1) Определить : пары равных векторов Решение : Равны соответствующие координаты у векторов , , значит, они попарно равны Равны соответствующие координаты у векторов , значит, они попарно равны

Слайд 30

Правила действий над векторами с заданными координатами. 2 . Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Если то ,

Слайд 31

Правила действий над векторами с заданными координатами. 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число. Если то α – произв.число 4. Каждая координата разности двух векторов равна число равна разности соответствующих координат на этих векторов. Если то , ,

Слайд 32

Выполнить задание устно: Даны векторы: Найти вектор равный:

Слайд 33

№ 5. № 1. Д/З. № 6. № 2. Д/З.

Слайд 34

Самостоятельная работа №2

Слайд 35

Тема: «Скалярное произведение векторов»

Слайд 36

Угол между векторами Угол между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. ) a b a b

Слайд 37

a d b 30 0 a b = c f 30 0 a c = b c = d f = d c = 120 0 90 0 180 0 0 0 Найдите угол между векторами

Слайд 38

Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов – число (скаляр).

Слайд 39

a b a b = a b cos 90 0 = 0 a b = 0 a b   Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 90 0 Частные случаи = 0

Слайд 40

Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами острый. a b > 0  a b < 90 0 Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами тупой. a b < 0  a b > 90 0

Слайд 41

№ 7.

Слайд 42

Формула нахождения скалярного произведения через координаты векторов a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 {x 1 ; y 1 ; z 1 } {x 2 ; y 2 ; z 2 } b a

Слайд 43

Пример 1) Найти скалярное произведение векторов: a {-6; 9} b {-1; 0} a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 a b = -6 (-1) + 9 0 = 6

Слайд 44

Пример 2)Найти скалярное произведение векторов : a {0; 0; 4} b {22; 1; 8} a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 a b = 0 22 + 0 1 + 4 8 = 32

Слайд 45

Пример 3)Найти скалярное произведение векторов: a {1; 7; 9} b {-2; 4; 0} a b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 a b = 1 (-2) + 7 4 + 9 0 = 26

Слайд 46

Д/з. Найти скалярное произведение векторов: a {1; 10; 7} b {0; 7; 0} 2) a {7; 25; 0} b {11; 0; 54} 1)

Слайд 47

Формула нахождения угла между векторами через скалярное произведение