Презентация по теме "Интерполяция. Численное интегрирование"
презентация к уроку
Презентация по теме "Интерполяция. Численное интегрирование" к практическому занятию №35 "Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений" .
Для студентов 2 курса специальности "Компьютерные системы и комплексы" по дисциплине "Элементы высшей математики"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 470.1 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Интерполяция Пусть функция y =f ( x ) задана множеством своих значений для дискретного набора точек (таблицей). Эта таблица может быть результатом расчетов, либо экспериментальными точками. X i x 1 x 2 x 3 … x n Y i y 1 y 2 y 3 … y n
Интерполяция Задача интерполяции – нахождение приближенных значений функции при аргументах, не совпадающих с узловыми. Если х находится внутри интервала [ x 0 ; x n ], процесс нахождения приближенного значения называется интерполяцией . Если х находится вне интервала – экстраполяцией . Чем больше узлов, тем меньше погрешность интерполяции.
Интерполяция
Пример: В медицинской лаборатории рассматривается процесс размножения бактерий. Сняты следующие показания эксперимента: В результате интерполирования подобрана функция f ( x ) = e x . Следовательно, мы можем вычислить f (7) = 1097. Здесь мы провели экстраполяцию. T 1 мин. 3 мин. 5 мин. V 2,27 20,1 148
Интерполяционный полином Лагранжа При линейной интерполяции табличные значения функции в смежных узловых точках соединяются отрезками прямых, и функции f ( x ) приближается ломаной с вершинами в данных точках. Уравнении каждого отрезка ломаной в общем случае разные. При линейной интерполяции интерполирующая функция имеет изломы в узлах интерполяции и разрывы значений производных Изломы интерполяции можно устранить, если в качестве интерполирующей использовать такую функцию, график которой представляет собой плавную кривую, например, полином, проходящий через заданные в таблице точки. Существует много разновидностей полиномов, для которых выполнены данные условия. Мы рассмотрим полином Лагранжа (или многочлен Лагранжа). Интерполяция многочленом Лагранжа дает высокую точность, если значения функции в смежных узлах изменяются достаточно медленно.
Интерполяционный полином Лагранжа Пусть дана таблица значений: Требуется составить многочлен y = f ( x ) степени m ≤ n -1, который принимал бы заданные значения y i при соответствующих значениях x i , т.е. y i = f ( x i ) (где i =1, 2, 3, …, n ). Иными словами, график этого многочлена должен проходить через заданные n точек M i ( x i ; y i ). Обозначим через φ ( x ) вспомогательный многочлен n -степени, в котором x i - заданные табличные значения аргумента: φ ( x )=( x - x 1 )∙( x - x 2 )∙( x - x 3 )∙…∙( x - x n ) X i x 1 x 2 x 3 … x n Y i y 1 y 2 y 3 … y n
Интерполяционный полином Лагранжа Тогда имеет место равенство: или - это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.
Пример: Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей. Решение : Составим вспомогательный многочлен по формуле: φ ( x )=( x - x 1 )∙( x - x 2 )∙( x - x 3 )∙…∙( x - x n ) Для наших значений получим: φ ( x )=( x -1)∙( x -2)∙( x -3)∙( x -4) Вычислим производную по формуле: ( uvz )’= u ’ vz+uv ’ z+uvz ’ Получим: φ’ ( x )=( x -2)∙( x -3)∙( x -4)+( x -1)∙( x -3)∙( x -4) + ( x -1)∙( x -2)∙( x -4)+( x -1)∙( x -2)∙( x -3) Найдем значение производной в заданных точках х i : φ’ (1)=-6, φ’ (2)=2, φ’ (3)=-2, φ’ (4)=6 х 1 2 3 4 y 2 3 4 5
Пример: Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей. Решение : Подставим найденные значения в формулу многочлена Лагранжа: Приведем дроби к общему знаменателю, раскроим скобки, приведем подобные и получим следующий ответ: f ( x )= x +1 х 1 2 3 4 y 2 3 4 5
Численное интегрирование Если функция f ( х ) непрерывна на отрезке [ а,b ] и известна ее первообразная F( х ) , то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона–Лейбница Однако во многих случаях первообразная функция F( х ) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной, следовательно, вычисление определенного интеграла по данной формуле может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f ( х ) часто задается таблично. Поэтому важное значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.
Численное интегрирование Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. Обычный прием нахождения определённого интеграла состоит в том, что данную функцию f ( х ) на рассматриваемом отрезке [ а,b ] заменяют простого вида интерполирующей или аппроксимирующей функцией ( x ) (например, полиномом), а затем приближенно полагают: Функция ( x ) должна быть такова, чтобы интеграл вычислялся непосредственно. Мы будем рассматривать три приближенные формулы вычисления определенных интегралов.
Численное интегрирование Сформулируем начальные условия : Пусть f ( x ) - непрерывная и дифференцируемая достаточное число раз на отрезке [ а,b ] функция. Разделим отрезок [ а,b ] на n равных частей и обозначим эти точки: x 0 , x 1 , x 2 , …, x n . Соответственно значение функции в этих точках: у 0, у 1 , у 2 , …, у n . Обозначим h =( b - a )/ n – шаг.
1. Формулы прямоугольников: 1 2
2. Формула трапеций:
3. Формула Симпсона:
Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Подынтегральная функция равна: √х . При n =10 имеем h =(2-1)/10=0,1–это шаг, с которым меняются значения х. Точки деления х и значения функции в них удобно записать в таблицу:
Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Используя первую формулу прямоугольников: получим: I = 0 ,1∙(1+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378) = =0,1∙11,981 ≈ 1,20
Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Оценим погрешность по формуле: Производная функции равна: На отрезке [1;2] наибольшее значение производной равно: f’(1)=0,5 , следовательно : | f’(x)|≤0,5 . Следовательно: Ответ: I = 1,20 ± 0,025
Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Итак, у нас получился следующий результат: I = 1,20 ± 0,025 Так как интеграл у нас простой, проверим вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:
Пример: Вычислить по формуле прямоугольников интеграл разбив интервал интегрирования на 10 частей. Решение : Итак, у нас получился следующий результат: I = 1,20 ± 0,025 Так как интеграл у нас простой, проверим вычисление по формуле Ньютона-Лейбница:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/12/picture-201885-1360617673.jpg)
Презентация "Методы интегрирования"
В данной презентации рассматриваются методы интегрирования неопределённого интеграла, а также рассмотрены подробные решения неопределённых интегралов по каждому методу....
Численные методы
краткий теоретический материал + решенные примеры...
Численные методы
краткий теоретический материал + решенные примеры...
Презентация "Интегрированные уоки - средство повышения мотивации к обучению"
Презентация в краткой форме раскрывает содержание методической разаработки о значении интегрированных уроков....
![](/sites/default/files/pictures/2019/03/11/picture-1123558-1552308321.jpg)
Презентация по основам бухгалтерского учёта, Открытый интегрированный урок английский-экономика на тему" Деньги" и Презентация к открытому интегрированному уроку (английский-экономика) на тему" Деньги"
Предложенный материал поможет вам в изучении экономических дисциплин...
![](/sites/default/files/pictures/2013/12/24/picture-370972-1387902017.jpg)
Лекция "Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование."
Лекция по разделу "Численные методы".Рассматриваются следующие вопросы: 1) Линейная интерполяция. Интерполяционный полином Лагранжа.2) Численное дифференцирование.3) Методы чи...
![](/sites/default/files/pictures/2013/12/24/picture-370972-1387902017.jpg)
Презентация к уроку по теме "Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений"
Для студентов 2 курса специальности "Компьютерные системы и комплексы" по дисциплине "Элементы высшей математики"...