Решение уравнений cos x=а
учебно-методический материал

Решение уравнений cos x =а

• — это абсцисса точки на единичной окружности,  полученной поворотом                точки с координатами (1;0) вокруг начала координат на угол  ,  т.к. радиус окружности равен  1, то абсцисса, а следовательно  

 уравнение  cosx = a , если ∣а∣  1 не имеет решения.

 .  

Рассмотрим решение простейших уравнений:

cosx = 1

На единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1.

Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, , , , ,... Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов . Все эти углы могут быть записаны одной формулой:

где, — множество целых чисел.

cosx = -1

Снова, на единичной окружности есть всего лишь одна точка с абсциссой  равной  -1.

Эта точка соответствует углу и всем углам, отличающихся от   на несколько полных оборотов в обе стороны.

cosx = 0

Точки с абсциссой   равной 0  образуют на единичной окружности вертикальную диаметральную пару.

Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из   прибавлением целого числа (полуоборотов):

Абсциссу равную  имеют две точки окружности.  Так как   = ,   =), то

Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой:

Все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:

Обе формулы можно записать одной формулой:

Таким образом, каждое из уравнений   =    и    =  имеет бесконечное множество корней. На отрезке [ 0; ] каждое из этих уравнений имеет только один корень:  х1 =     - корень уравнения  =   и   х1=  - корень уравнения    =  .

Число      называют арккосинусом числа    и записывают arccos   ;

число   называют  арккосинусом числа ( -)  и  записывают arccos (- ) =

Вообще, уравнение = а, где -1  имеет на отрезке  0  только один корень. Если  а0, то корень заключен в промежутке  [0;  ];  если а;].

Этот корень называют арккосинусом числа  a и обозначают arccos a

Арккосинусом числа а[  -1;1] называется такое число ], косинус которого равен a:

arccosa=, если сos

арк---величина угла

соs—косинус которого

а------равен а

Например, arccos  =  =    и 0   т. е. для того. чтобы найти arccos, надо найти величину угла, cos которого будет равен

Пример:

Найти arccos

Выражение arccos показывает, что косинус угла  x равен   (cosх =)

Далее просто находим точку на числовой окружности, косинус  которого равен  .  Эта точка получена в результате поворота точки с координатами (1;0)  на угол     или величину этого угла можно записать как  arccos

Обрати внимание!

Если cos= , то arccos =

В первом случае по точке на числовой окружности определяем значение косинуса, а во втором — наоборот, по значению косинуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арккосинус.

Рассмотрим решение уравнения в общем виде.

Решить уравнение     cosx=b, где  b

Еще раз напоминаю, что косинус- это абсцисса точки, полученной в результате поворота на угол, косинус которого равен  b. Величина угла  равна аrccos b . Имеем вертикальную пару точек с абсциссой b

 Следовательно, решение нашего уравнения  в общем виде  запишем следующим образом

х =

Т,к. arccosx

Например, arccos (-) =  =  =

Подведем  итог:

Общее решение уравнения cos t =a ,  где  a

t =

Частные случаи

Примеры.

1.  сosх = 0,2 – решение этого уравнение найдем по общей формуле

х=,    в нашем примере а = 0,2 значит

х = ,  0,2 не табличное значение, следовательно ответ оставляем в общем виде.

Ответ:  х =

2.  cos3x = 0

Это частный случай. Косинус равен нулю, когда угол равен   +2.

В нашем случае угол равен 3х, следовательно получаем уравнение                                3х =  +2.  Чтобы найти x, разделим обе части на 3, получим  х = + Z.

Ответ:  х = + Z.

3. 3cos  -1 = 0.

Приведем уравнение к простейшему виду, т. е. найдем значение косинуса угла   3сos

cos  = 

 = +2

x= +4

Ответ. x= +4

4.  cos( x -  ) = 0 .  Частный случай, косинус равен нулю, если угол равен                         +2,  следовательно

( x –  ) =  +2

x =   +   +2

x =  + 2

Ответ:   x =  + 2

5. (1 + 2cosx)(2 – 5cosx ) = 0   Произведение двух множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Получаем два уравнения:

 1 + 2cosx = 0,                                                 2 – 5сosx = 0

2cosx = - 1,                                                       - 5cosx = - 2

 cosx  = - ,                                                          cosx =

x =  ) + 2,                x =   ) +  2,

 x =  +  2, т.к.

 arccos (-) =  =  =

 Ответ:        x =   ) +  2,

                      x =  +  2.

6.  2соsх – 5 = 0

Решение:      2соsх = 5

 соsx = 2,5;     2,5 ∉[-1; 1],значит уравнение не имеет решения.

Ответ:   нет решения.

Дома: Параграф 33,  номера 568, 569, 571, 572,573,576 (НЕЧЁТНЫЕ)

https://youtu.be/pEZ9A0HXUiE 

Немного истории

Символ arccos появляется впервые в 18 веке в работах математика Шерфера и известного французского ученого Жозефа Луи Лагранжа, портрет которого вы видите на этой странице. Несколько ранее понятие арккосинус уже рассматривал Д. Бернули, но записывал его совсем другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка "arc" происходит от латинского "arcus" (лук, дуга), что вполне согласуется со смыслом понятия:
arccos x - это угол (можно сказать и дуга), косинус которого равен x.

Другие уравнения с косинусом

Остальные уравнения с косинусом решаются аналогично: