Практическая работа №

Тема: Выполнение действий над матрицами.

Цель работы: Научиться выполнять действия над матрицами.

Контрольные вопросы и задания:

1. Что такое матрица, какие бывают матрицы?
2. Сформулируйте свойства определителей.
3. Назовите правила нахождения определителей.

Выберите правильный ответ

1. Вычислить произведения матриц:      

а)  

б)  

в)  

2. Найти алгебраическое дополнение элемента b32.

 а)  3                        б)  5                         в)  -3

        Правило «треугольников» (правило Саррюса)

Вычислить определители:

                       Ответ: 15

Обратная матрица

Матрица А-1 называется обратной к квадратной матрице А, если выполняется:

A*A-1=A-1*A=E (где Е - единичная матрица).

   Обратную матрицу можно искать только для квадратных матриц и определитель этой матрицы должен быть отличен от нуля.

   Если определитель отличен от нуля, то матрица называется невырожденной

(при - вырожденной).

Теорема:   (необходимое   и   достаточное   условие существования обратной матрицы). Обратная матрица A-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Схема вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель матрицы А. Если матрица А вырожденная, то обратной матрицы не существует.
2. Находим транспонированную матрицу АТ к матрице А.
3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы АТij (i = 1.. n, j = 1..n) и составляем из них присоединенную матрицу: (союзная)

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

5. Проверка А-1*А = А*А-1 = Е

Пример 4. Найти матрицу, обратную к данной:

Решение:

1. , то матрица А невырожденная.

2.      нашли транспонированную матрицу.

3.  

     ,  А13 = 8,

А21 = -13,   А22 = 8,   А23 = -11,

А31 = -5,     А32 = 2,   А33 = -1

Аij равно (-1)i+j умноженное на определитель матрицы, полученной из транспонированной матрицы вычеркиванием в ней i – ой строки и j – го столбца.

Последним шагом проведена проверка правильности обратной матрицы.

Обращение матрицы (коротко)

При условии  обратная матрица находится по формуле

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1. Находят определитель матрицы А;
2. Находят алгебраические дополнения   Аij всех элементов  матрицы А и записывают новую матрицу;
3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют матрицу);
4. Умножают полученную матрицу на  

Задания для самостоятельного выполнения

Даны три матрицы А, В и С, где

А = ;    В =    С = .

Найдите матрицу и найдите ей обратную. Сделайте проверку