Линейная алгебра. Основные сведения о матрицах. Виды и свойства матриц. Операции над матрицами.
методическая разработка на тему

Слайд 1

Линейная алгебра. Основные сведения о матрицах. Виды и свойства матриц. Операции над матрицами . Линейная алгебра – раздел высшей математики, который широко используется в теории вероятностей и математической статистике, в экономике, в исследовании операций и др.

Слайд 2

1. Понятие матрицы Определение. Прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов, называется матрицей размера тхп. Числа, составляющие матрицу – элементы матрицы . Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего угла, образуют главную диагональ. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита ( А, В, С, …), а элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией ( , где i – номер строки, j – номер столбца). Матрицы записываются ( ), или [ ], или || ||.

Слайд 3

или

Слайд 4

Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными , если они совпадают поэлементно, т.е. А = В , если для любых

Слайд 5

С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости. Например, таблица распределения ресурсов по отдельным отраслям экономики (усл. ед.): может быть записана в виде матрицы Например, элемент показывает, сколько электроэнергии потребляет промышленность, а элемент – сколько трудовых ресурсов потребляет сельское хозяйство. Ресурсы Отрасли экономики промышленность сельское хозяйство Электроэнергия Трудовые ресурсы Водные ресурсы 5,3 2,8 4,8 4,1 2,1 5,1

Слайд 6

2. Виды матриц Определение. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой , а из одного столбца – матрицей-столбцом : – матрица-строка – матрица-столбец

Слайд 7

Определение. Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу называют квадратной п-го порядка . Ее элементы образуют главную диагональ матрицы . Например, – квадратная матрица 3-го порядка.

Слайд 8

Определение. Квадратная матрица называется диагональной , если все ее элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю: Например, диагональная матрица 3-го порядка

Слайд 9

Если у диагональной матрицы п -го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной п-го порядка и обозначается буквой Е : Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид

Слайд 10

Определение. Матрица любого размера называется нулевой или нуль – матрицей , если все ее элементы равны нулю:

Слайд 11

Определение. Квадратная матрица называется треугольной , если все ее элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Например,

Слайд 12

3. Операции над матрицами 1) Умножение матрицы на число. Определение. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В= λ А , элементы которой для Правило. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Слайд 13

Например, Если , то . Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например, Частный случай: произведение матрицы на число 0 есть нулевая матрица, т.е.

Слайд 14

2) Сложение матриц Определение. Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В , элементы которой равны суммам элементов матриц А и В , расположенных на соответствующих местах, т.е. матрицы складываются поэлементно: для

Слайд 15

Например, если то: Частный случай: А + О = А.

Слайд 16

3) Вычитание матриц Определение. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: А – В = А + (−1) ∙ В. Например,

Слайд 17

4) Умножение матриц. Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В . В результате умножения получится матрица С , у которой столько же строк, сколько их в матрице А , и столько же столбцов, сколько их в матрице В , т.е.

Слайд 18

т.е.

Слайд 19

Элементы матрицы С вычисляются по формуле: , т.е. каждый элемент равен сумме произведений элементов i -й строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В. Правило. Для получения элемента , надо элементы i -й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В и полученные произведения сложить .

Слайд 20

Пример. Вычислить произведение матриц А ∙ В , где Найдем размер матрицы-произведения

Слайд 21

5) Возведение в степень Определение. Целой положительной степенью А т ( т >1) только квадратной матрицы А называется произведение т матриц, равных А , т.е. По определению:

Слайд 22

Пример . Возвести матрицу A в квадрат и в куб, Решение.

Слайд 23

6) Транспонирование матрицы - переход от матрицы А к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы А:

Слайд 24

Например, если , то . Свойства операции транспонирования:

Слайд 25

4. Свойства операций над матрицами Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами: А + В = В + А ( А + В ) + С = А + ( В + С ) А ( В + С ) = АВ +АС ( А + В ) С = АС + ВС А ( В ∙ С ) = ( АВ ) ∙ С А + О = А А – А = О

Слайд 26

Однако имеются и специфические свойства матриц . Если произведение матриц А·В существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц В·А может и не существовать. Например, существует, а не существует.

Слайд 27

2) Если даже произведения А·В и В·А существуют, то они могут быть матрицами разных размеров. Пример . Найти произведение матриц А·В и В·А :

Слайд 28

3) Когда оба произведения А·В и В·А существуют и оба – матрицы одинакового размера, коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще, не выполняется, т.е. . Пример. Найти произведение матриц А·В и В·А , где Решение.

Слайд 29

Частный случай. Коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А п- го порядка на единичную матрицу того же порядка, причем это произведение равно А : Т.о., единичная матрица при умножении играет ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

Слайд 30

4) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А·В = О , не следует, что А= О или В= О . Например,