Методическая разработка занятия "Применение производной"
методическая разработка

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области

«Московский областной медицинский колледж № 3 имени Героя Советского Союза З. Самсоновой»

Егорьевский филиал

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

занятия

«ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ»

дисциплины

ОУД.04 Математика

специальность

34.02.01. Сестринское дело

(базовая подготовка)

Составитель: преподаватель

Карпова О.А.

Егорьевск – 2022

МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области

«Московский областной медицинский колледж № 3 имени Героя Советского Союза З. Самсоновой»

Егорьевский филиал

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

занятия

«ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ»

дисциплины

ОУД.04 Математика

специальность

34.02.01. Сестринское дело

(базовая подготовка)

Составитель: преподаватель

Карпова О.А.

Егорьевск – 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка ……………………………………………………        4

Паспорт занятия        ……………………………………………………………5

Профессиограмма занятия …………………………………………………7

Формируемые компетенции ………………………………………………. 7

Базовые опорные знания ……………………………………………………8

Карта оснащения занятия ……………………………………………………9

Методическая модель занятия ……………………………………………        10

Технологическая карта занятия ……………………………………………11

Список источников ………………………………………………………….15

Приложение 1……………………………………………………………….16

Приложение 2        ……………………………………………………………17

Приложение 3        ……………………………………………………………18

Приложение 4        ……………………………………………………………22

Приложение 5        ……………………………………………………………23

Приложение 6        ……………………………………………………………27

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методическая разработка  занятия  по теме «Производная и её применение» составлена в соответствии с ФГОС по специальности 34.02.01. Сестринское дело (базовая подготовка).  Занятие входит в Раздел 8 Начала математического анализа, на изучение которого отводится 16 часов. Проводится в конце изучения раздела.

 Данное  занятие  направлено на решение следующих задач:

а) повторение, обобщение и систематизация знаний, умений и навыков обучающихся;

б) формированию представления о роли производной в других науках;

в) контроль и коррекцию знаний обучающихся по изучаемой теме.

Материалы занятия рассчитаны на обучающихся 1курса.

Занятие сопровождается компьютерной презентацией, которая сопутствует всем этапам, предусмотренным планом занятия. Использование слайдов помогает обеспечить занятие качественными, быстро сменяющимися наглядными иллюстрациями.

В презентации предусмотрены ответы ко всем заданиям и тестам, как устным, так и письменным. Так что в конце занятия каждый из учащихся будет реально представлять, насколько успешной была его деятельность на уроке, и на какую оценку он может рассчитывать.

Актуальность дидактических, методических и содержательных компонентов способствует формированию представления о роли производной в других науках, развитию поисковой деятельности с привлечением различных источников, пониманию того, что знание понятия производной необходимо человечеству в их жизни.

Для раскрытия данной темы предлагается индивидуальная и фронтальная работа. На занятии используются современные педагогические технологий (ИКТ, технология проблемного обучения),  позволяющие каждому обучающемуся раскрыть свой творческий потенциал, пробуждая в них познавательную активность, проявлять инициативу и самостоятельность.

ПАСПОРТ ЗАНЯТИЯ

Цели занятия:

Методическая цель: использование современных педагогических технологий (технология проблемного обучения, информационно-коммуникационная технология) для создания условий, позволяющих каждому обучающемуся раскрыть свой творческий потенциал, пробуждая в них познавательную активность, проявлять инициативу и самостоятельность.

Дидактическая цель: формирование умений анализировать проблему и планировать способы ее решения, применять знания в новой ситуации, осуществлять исследовательскую деятельность, анализировать, делать выводы

Развивающая цель: развитие поисковой деятельности с привлечением различных источников, развивать грамотную математическую речь

Воспитательная цель: формирование умения работать самостоятельно и в коллективе; воспитание логического, абстрактного, эвристического, системного мышления; расширение своего кругозора.

Задачи занятия:

учебно-практические:

• совершенствовать умения и навыки самостоятельно получать новые знания по источникам; систематизировать информацию и обобщать ее, работать в группах;
• подвести обучающихся к пониманию того, что знание понятия производной необходимо человечеству в их жизни;
• совершенствовать умения ясно, логично и точно излагать свою точку зрения;

учебно-познавательные:

• создавать условия для развития положительной мотивации к учению, стимулировать развитие творческих возможностей обучающихся;
• развивать способность к самостоятельной информационно-познавательной деятельности; формирование основных умений работать с информацией, выполнять логические операции самостоятельно

воспитательные:

• обучать объективной оценке своих возможностей и успехов;
• способствовать развитию навыков устной речи, умению грамотно вести диалог и аргументировать свои действия;
• осознание большой практической значимости производной в жизни человека.

Вид занятия: урок-устный журнал (презентация результатов поисковой деятельности и их обсуждение в диалоговом формате)

Тип занятия: урок систематизации знаний.

Время: 90 минут

Группа, курс: группы первого курса

Место проведения: ГБПОУ МО «Московский областной медицинский колледж №3» Егорьевский филиал, кабинет 235.

ПРОФЕССИОГРАММА ЗАНЯТИЯ

Обучающиеся должны знать:

1. Основные понятия и определения.
2. Формулы и правила дифференцирования.
3. Геометрический и физический смысл производной.

Обучающиеся должны уметь:

1. Дифференцировать функции.
2. Решать прикладные задачи.

Формируемые результаты:

а) предметные:

• осмысление истории появления производной в нашей жизни;
• осмысление роли производной в жизни человека.

б) метапредметные:

• регулятивные:
• умение ставить перед собой цель, управлять своей деятельностью,видеть ожидаемый результат работы;
• умение рационально распределять рабочее время, проявлять инициативность и самостоятельность
• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия и знания;

• познавательные:
• самостоятельное выделение, формулирование познавательной цели;
• поиск и отбор необходимой информации, умение работать с информацией, применение методов информационного поиска;
• выполнять логические операции, самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель задания;
• структурирование знаний;
• осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

- коммуникативные:

• планирование учебного сотрудничества с преподавателем и сверстниками;
• определение цели, функций участников, способов взаимодействия;
• формирование речевой деятельности, навыков сотрудничества, умение находить общее решение, умение аргументировать своё предложение, взаимоконтроль и взаимопомощь по ходу выполнения задания.

в) личностные:

• осознание социальной, практической и личностной значимости учебного материала;
• формирование способности к самоопределению.

Базовые опорные знания

КАРТА ОСНАЩЕНИЯ ЗАНЯТИЯ

1. Техническое оснащение:

• моноблок Lenovo с лицензионным программным обеспечением;
• ноутбуки Lenovo;
• интерактивная панель Lenovo.

2. Учебно-методическая документация:

• Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.
• Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

3. Справочные материалы:

• комплект плакатов

МЕТОДИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАНЯТИЯ

Технологическая карта занятия.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

Литература для обучающихся:

1. Башмаков М.И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.
2. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014. Башмаков М.И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014
3. Электронно-библиотечная система для медицинского и фармацевтического образования «Консультант студента».

Литература для преподавателя:

1. Н.В. Богомолов. Практические задания по математике: Учеб.пособие для техникумов. – 3-е изд., пераб. и доп. – М.: Высш. Школа, 1990.
2. А.Н. Колмогоров. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2006.
3. Л.С. Атанасян и др. Геометрия, 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2011.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы – Мнемозина, 2011.
5. Изучение геометрии в 10-11 классах: Метод.рекомендации к учебн.: Кн. для учителя/ С.М. Саакян, В.Ф. Бутузов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2003.- 222 с.:ил.
6. Изучение алгебры и начал анализа в 10-11 классах: Кн.для учителя/ Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 205 с.: ил.
7. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб.для общеобразоват. учреждений / Мордкович А.Г. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 375 с.: ил.
8. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений  / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; под ред. А.Г. Модрковича. – 5-е изд. – М.: Мнемозина, 2004. – 315 с.: ил.

Приложение 1.

Разминка (вопросы проектируются на экран)

1. Что называется производной функции в точке х0?

2.  Нахождение производной функции f называется …

3. В чем заключается геометрический смысл производной?

4. В чем заключается физический (механический) смысл производной?

5. Угловой коэффициент касательной находится по формуле…

6. Уравнение касательной в точке х0  находится по формуле…

7. Функция  f(x) – возрастает на данном промежутке, если…

8. Функция  f(x) –убывает на данном промежутке, если…

9. Исследовать функцию на возрастание и убывание – это значит исследовать на …

10. Если в точке х0 производная меняет знак … на …, то х0   есть точка максимума

11. Если в точке х0 производная меняет знак … на …, то х0   есть точка минимума

12.  Критические точки – это точки, в которых …

13. Точки минимума и максимума называются точками…

14. Работаем устно: найти производные функций

Приложение 2.

Историческая справка.

Понятие «производная» возникло в XVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики.

Великий французский математик Пьер Ферма в 1629 г. Научился находить касательные к алгебраическим прямым.

В 1638г Ферма поделился этим открытием со своим земляком Рене Декартом, который тоже занимался этой проблемой и нашел свой метод построения касательных к алгебраическим кривым.

Ферма далеко продвинулся в применении дифференциальных методов. Он использовал их не только для проведения касательных, но, к примеру, для нахождения максимумов, вычисления площадей.

Однако ни Ферма, ни Декарт не сумели свести полученные научные выводы и результаты в единую систему. Тем не менее, выдвинутые идеи не пропали впустую. Многие из них легли в основу нового метода математического анализа – дифференциального исчисления.

Основоположниками этого метода считаются Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) и Исаак Ньютон (1642 – 1727).

 Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время.

И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

 С помощью дифференциального исчисления был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XVII века.

Очень многие великие ученые внесли свой вклад в зарождение и развитие дифференциального исчисления. Среди них – Джеймс Грегори, Якоб Бернулли, Гийом Франсуа Лопиталь, Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс, Жозеф Луи Лагранж.

Приложение 3.

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Приложение 4.

ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ

Жозеф Луи Лагранж являлся почетным членом Петербургской академии наук. Лагранж родился в 1736 году в Турине в итало-французской семье обедневшего чиновника. Девятнадцати лет от роду он стал профессором математики Артиллерийской школы в Турине. Во время революции во Франции он участвовал в реформе мер и весов, а позже стал профессором сначала Нормальной школы (1795 г.) а затем Политехнической школы (1797 г.).  В этом же году Лагранж ввел термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввел Лагранж.

Приложение 5.

Применение производной в физике.

С помощью производной в физике находят:

Мгновенную скорость как физический смысл производной:

υ(t) = s′ (t) ;

Мгновенное значение силы переменного тока:

I (t) = q' (t) ;

Максимальную мощность:

N(t) = A' (t);

Скорость радиоактивного распада:

υ(t) =m'(t).

Задача №1

Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону

 s(t) = 3t 2 - 7t + 6. Найдите скорость точки в момент времени t = 6с.

Решение:

s(t) = 3t2 -7t + 6

Т.к. υ(t) = s′(t), то s′(t)= 6t-7.

s′ (6) = 36 - 7= 29(м/с)

Ответ: 29 м/с.

Задача №2

Найдите силу F , действующую на материальную точку массой m , движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3 - t2 (м) при t = 2 с.

Решение:

Т.к. υ(t) = s′(t), то s′(t)= 6t2 - 2t.

Т.к. a(t) = υ′(t), то a(t) = 12t - 2,

a(2) = 24 - 2 = 22(м /c2)

Т.к. F = ma, то F = 22m(H).

Ответ: 22m H.

Производная в химии.

Как используют производную в химии?

Производную в химии используют для определения очень важной вещи – скорости химической реакции, одного из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности.

Определение: скоростью химической реакции в химии называется изменение концентрации реагирующих веществ в единицу времени или производная от концентрации реагирующих веществ по времени.

Формула производной в химии: если P(t) – закон изменения количества вещества, вступившего в химическую реакцию, то скорость υ(t) химической реакции в момент времени t равна производной, т.е. υ(t) = P'(t).

Задача №1

Пусть количество вещества, вступившего в химическую реакцию задаётся зависимостью р( t ) = ⅓ t3+ 3t –3 (моль). Найти скорость химической реакции через 3секунды.

Решение:

1) υ(t) = p`( t ) = t + 3,

2) υ(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/с)

Ответ: 6 моль / с

Связь с биологией

Задача 1

В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону P(t)=1000 + , где t – время в часах. Найдите максимальный размер этой популяции.

Решение.

D(P)=R

P’(t)== =

P’(t)=0

100-t2=0

t=

P(10)=1000+=1005

Ответ: через 10 часов популяция достигнет максимального размера 1005 бактерий.

Задача 2

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшения температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. Предположим, что Х обозначает дозу назначенного лекарства, У - функция степени реакции описывается функцией у=R(x)=x2(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении Х реакция максимальна?

Решение: 0R(x)=x2(a-x)=ax2 –x3

D(x)=R

R’(x)=2ax-3x2

2ax-3x2=0; x=0; x=.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее ( или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.

Ответ: при х= максимальную реакция организма на введенное лекарство максимальна.

Производная в экономике

Экономика – основа жизни, а в ней важное место занимает дифференциальное исчисление- аппарат для экономического анализа.

Производная решает важные вопросы:

В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении таможенных пошлин?

Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию?

Производная помогает рассчитать производительность труда как производную объёма продукции от времени, т.е. производительность труда

П (t) = V `(t) , где V (t) - объем продукции;

Задача №1

Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону

V(t) = - t3+t2+50t+70.

Вычислите производительность труда П(t) через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение: П(t)=V'(t)= - 2t2 +15 t+50

П(1)= - 2+15 +50=63(ед./ч)

П(7)= - 2⋅49+15⋅7+50= -98+105+50=57 (ед./ч)

Итак, к концу рабочего дня производительность существенно снижается.

Ответ:63ед./ч и 57ед./ч

Приложение 6.

1. Составить кроссворд по теме «Производная».
2. Используя записи в тетради и учебник, повторить основные вопросы и формулы по данной теме.
3. Решить задачи:

А) Тело удаляется от поверхности Земли в вертикальном направлении по закону h(t)= -3t2+ 14t +7 (t- время в секундах, h- расстояние от поверхности земли в метрах). Определите, в какой момент времени скорость тела будет 2 м/с.

Б) Движение тела по прямой задано законом s(t) = 3t4– 2t +13 (t – время в секундах, s- отклонение точки от начального положения в метрах). Найдите ускорение тела в момент времени t=2с.

В) Количество протекающего через проводник электричества задается формулой q(t) = 10-3t, (t – время в секундах). Найдите силу тока в момент времени t=3с.