КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СИСТЕМАМ СЧИСЛЕНИЯ. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

Понятия о системах счисления. Исторические сведения.

«Все есть число» - говорили пифагорейцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов.

Например:

Задолго до нашей эры люди считали мешки с зерном, и за каждый мешок чертили черточку. Когда этих черточек становилось много, люди боялись ошибиться в счете, что напишут лишнюю или не допишут.

Люди вынуждены стали группировать, как вы это сейчас делаете, сотнями, десятками, единицами.

 Древнеегипетская система счисления выглядела так:

ζζζυυυ⎪⎪⎪⎪⎪   (335)

Египтяне записывали ζζζ - это были сотни, υυυ - десятки, ⎪⎪⎪⎪⎪- единицы, вот так они группировали.

В Вавилонской 60- ричной системе счисления единицу обозначали  - , десятку - .

В Римской СС в качестве «цифр» использовались следующие заглавные латинские буквы:

I        V        X        L        C        D        M

1        5        10        50        100        500        1000

Алфавит системы счисления – это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления.

Цифры – это любой символ (знак), входящий в алфавит данной системы счисления.

И для того, чтобы правильно читать и записывать числа были придуманы СС

Система счисления – это совокупность приемов и правил для обозначения и наименования чисел.

 Виды систем счисления: позиционные и непозиционные.                                          

Наиболее совершенными являются позиционные системы счисления. В них величина, обозначаемая цифрой, зависит от позиции цифры в числе. Например число 555: цифра 5 встречается трижды, причём самая правая обозначает пять единиц, вторая – пять десятков и, наконец, третья – пять сотен.

Система счисления называется непозиционной – когда значения цифры не зависит от её положения в числе. Например, в римской системе счисления число XXX (30) цифра X встречается трижды, и в каждом  случае обозначают одну и ту же величину – число 10, три раза по 10 в сумме дают 30. Величина в непозиционной СС определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется. Например:         IV=4 (V-I),        VI=6 (V+I).                                

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Преобразование из 10- ой в двоичную систему счисления:

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых частных на 2 до тех пор пока частное от деления не окажется равным нулю. Получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.    Например:

2

22

1

                        45

2

11

0

1

2

5

1

2

2

1

0

2

1

 45= 101101

 Преобразование из 2-й в 10-ую систему счисления:

Числа в двоичной системе в развёрнутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которого выступают цифры 0 или 1.

Например: 101,01= 1*2+0*2+1*2+0*2+1*2

Преобразование из двоичной системы счисления в десятичную выполняем по следующему правилу: записываем двоичное число в развёрнутой форме и вычисляем его значение.

Например: 10,11=1*2+0*2+1*2+1*2=1*2+0*1+1*0,5+1*0,25=2,75

Самостоятельная работа № 1 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

Вариант 1

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10001012 =  _________        11001112 =  _________

10111102 =  _________                11110102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

5510 =__________        7810 = _________

        6510 =__________       7010 = _________

Вариант 2

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11011002 =  _________        11001012 =  _________

11100002 =  _________        10100102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

3510 =__________        3210 =__________

4910 = _________        4010 = _________

Вариант 3

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11001012 =  _________        10101002 =  _________

10001112 =  _________        11010102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

4410 =__________        3110 =__________

9910 = _________        8110 = _________

Вариант 4

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11000002 =  _________        11001002 =  _________

11000002 =  _________        10111102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

9510 =__________        7210 =__________

6010 = _________        4210 = _________

Вариант 5

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11100012 =  _________        11001012 =  _________

10011102 =  _________        10010102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

8510 =__________        4510 =__________

7210 = _________        1810 = _________

Вариант 6

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11111002 =  _________        11001112 =  _________

11101012 =  _________        10100112 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

1610 =__________        6410 =__________

5110 = _________        4910 = _________

Вариант 7

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10011012 =  _________        10001102 =  _________

10110102 =  _________        10110102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

2510 =__________        1510 =__________

5010 = _________        5810 = _________

Вариант 8

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11100002 =  _________        11011002 =  _________

10100102 =  _________        10000102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

6610 =__________        9210 =__________

1910 = _________        4310 = _________

Вариант 9

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10001002 =  _________        11001002 =  _________

10100102 =  _________        10110102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

5310 =__________        7210 =__________

9310 = _________        3810 = _________

Вариант 10

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10011012 =  _________        11001112 =  _________

10100112 =  _________        10100102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

8510 =__________                        4310 = _________

        6210 =__________                4110 = _________

Вариант 11

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10001112 =  _________        11011112 =  _________

10110102 =  _________        10010112 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

5910 =__________        6910 =__________

7710 = _________        7110 = _________

Вариант 12

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11001002 =  _________        11011012 =  _________

11100012 =  _________        10101102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

9510 =__________        3810 =__________

8110 = _________        4610 = _________

Вариант 13

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10011012 =  _________        11001102 =  _________

10101112 =  _________        10010102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

5710 =__________        6810 =__________

5010 = _________        3810 = _________

Вариант 14

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10011102 =  _________        11011112 =  _________

11000102 =  _________        10111102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

3410 =__________        4810 =__________

6910 = _________        4710 = _________

                Вариант 15

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

10001112 =  _________        11011112 =  _________

10110102 =  _________        10010112 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

1610 =__________        6410 =__________

5110 = _________        4910 = _________

Вариант 16

1. Переведите числа из «2» системы счисления в «10»-ную

11001012 =  _________        10101002 =  _________

10001112 =  _________        11010102 =  _________

2. Переведите числа из «10» системы счисления в «2»-ную

5910 =__________        6910 =__________

7710 = _________        7110 = _________

Самостоятельная работа № 2 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»

КАРТОЧКА № 1

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 11012   01002   10102   10112   

Ответ: _____________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 2

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 10112   11002   01002   10002   11102

Ответ: ___________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ___________

КАРТОЧКА № 3

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 11002   01002   01012   10112

Ответ: ____________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: _____________

КАРТОЧКА № 4

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 00102   10112   10002   11102   00102  10112  

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 5

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 00112   01102   10112   11012   

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 6

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 10002   10012   11012   00012   10102

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 7

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 11112   00012   10102   01002  10002   11102

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

КАРТОЧКА № 8

1. Используя таблицу кодировки букв и правила перевода чисел  2→10, расшифруйте приведенное слово: 01112   10002   00012   00112   

Ответ: ______________

2. Из таблицы составьте свое слово (3-4 буквы) и получите его двоичный код.

Ответ: ______________

Самостоятельная работа  № 3 по теме: «Перевод чисел в позиционных системах счисления»          

1.Переведите числа из 2-ой с/с в 10-ую с/с:          

1. 00101110
2. 100000111
3. 11001011
4. 000111011
5. 1011001011
6. 110011001011
7. 110101
8. 100111
9. 1101100
10. 1011101
11. 11011101
12. 10010100
13. 111001010
14. 110001011
15. 1100011011
16. 1100010011

Ответ: ______________

2.Переведите числа из 10-ой с/с в 2-ую с/с:

1. 6910                                                        
2. 1981
3. 5412
4. 8493
5. 1274
6. 1955
7. 2896
8. 5130
9. 6001
10. 7202
11. 7310
12. 1131
13. 2031
14. 3511
15. 6912
16. 4561

Ответ: ______________

3. Переведите числа из 10-ой с/с в 2-ую с/с (до пяти знаков после запятой):

1. 69,10                                                        
2. 19,81
3. 54,12
4. 84,93
5. 12,74
6. 19,55
7. 28,96
8. 51,30
9. 60,01
10. 72,02
11. 73,10
12. 11,31
13. 20,31
14. 35,11
15. 69,12
16. 45,61  

Ответ: ______________

Сложение двоичных чисел

Способ сложения столбиком в общем-то такой же как и для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра=СУММА- 10, а ЦЕЛАЯ ЧАСТЬ (СУММА /10), добавляется в старшему разряду. (Сложите пару чисел столбиком вспомните как это делается.) Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 1, то записывается 1 и 1 добавляется к старшему разряду (говорят "на ум пошло").

Выполним пример: 10011 + 10001. 

 Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Второй разряд: 1+0+1(запомненная единица) =2. Записываем 0 и 1 на ум пошло.

Третий разряд: 0+0+1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.

Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1. 

Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения. 

10011 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 =32+4=36

17 + 19 = 36 верное равенство

Примеры для самостоятельного решения: 

а) 11001 +101 = _______________

б) 11001 +11001 = _____________

в) 1001 + 111 = _________________

г) 10011 + 101 = _______________

д) 11011 + 1111 = ________________

е) 11111 + 10011 = _____________

Вычитание двоичных чисел

 Вычитать числа, будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем. Решим следующий пример:

 Первый разряд. 1 - 0 =1. Записываем 1.

Второй разряд 0 -1. Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы (потому что старший разряд представляется двойкой большей степени ) 2-1 =1. Записываем 1.

Третий разряд. Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1.

Проверим результат в десятичной системе: 

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Верное равенство.  

Выполните вычитания.

а)  11001-1001 = ______________        б)  1011-110=  ____________________

в) 10001-101=______________             г) 10101-11=  _____________________

д) 101001-1111 = ___________             е) 111111-101010 =  ___________

Умножение в двоичной системе счисления

Для начала рассмотрим следующий любопытный факт. Для того, чтобы умножить двоичное число на 2 (десятичная двойка это 10 в двоичной системе) достаточно к умножаемому числу слева приписать один ноль. 

Пример. 10101 * 10 = 101010 

Проверка. 

10101 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 +1*20 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 +1*21 +0*20 = 32 + 8 + 2 = 42

21 * 2 = 42 

Если мы вспомним, что любое двоичное число разлагается по степеням двойки, то становится ясно, что умножение в двоичной системе счисления сводится к умножению на 10 (то есть на десятичную 2), а стало быть, умножение это ряд последовательных сдвигов. Общее правило таково: как и для десятичных чисел, умножение двоичных выполняется поразрядно. И для каждого разряда второго множителя к первому множителю добавляется один ноль справа. Пример (пока не столбиком): 

1011 * 101 Это умножение можно свести к сумме трёх порязрядных умножений: 

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 В столбик это же самое можно записать так: 

Примечание: Кстати таблица умножения в двоичной системе состоит только из одного пункта 1 * 1 = 1 

Проверка: 

101 = 5 (десятичное)                1011 = 11 (десятичное)

110111 = 55 (десятичное)       5*11 = 55 верное равенство

Решите самостоятельно: 

а) 1101 * 1110 = _________________  б) 1010 * 110 = __________________

в) 1011 * 11 = _______________          г) 101011 * 1101 = _______________  

д) 10010 * 1001 =  __________________

Деление в двоичной системе счисления

Мы уже рассмотрели три действия и думаю уже понятно, что в общем-то действия над двоичными числами мало отличаются от действий над десятичными числами. Разница появляется только в том, что цифр две а не десять, но это только упрощает арифметические операции. Так же обстоит дело и с делением, но для лучшего понимания алгоритм деления разберём более подробно. Пусть нам необходимо разделить два десятичных числа, например 234 разделить на 7. Как мы это делаем.

Мы выделяем справа (от старшего разряда) такое количество цифр, чтобы получившееся число было как можно меньше и в то же время больше делителя. 2 - меньше делителя, следовательно, необходимое нам число 23. Затем делим полученное число на делитель с остатком. Получаем следующий результат: 

Описанную операцию повторяем до тех пор, пока полученный остаток не окажется меньше делителя. Когда это случится, число полученное под чертой, это частное, а последний остаток - это остаток операции. Так вот операция деления двоичного числа выполняется точно также. Попробуем

Пример: 10010111 / 101

Ищем число, от старшего разряда которое первое было бы больше чем делитель. Это четырехразрядное число 1001. Оно выделено жирным шрифтом. Теперь необходимо подобрать делитель выделенному числу. И здесь мы опять выигрываем в сравнении в десятичной системой. Дело в том, что подбираемый делитель это обязательно цифра, а цифры у нас только две. Так как 1001 явно больше 101, то с делителем всё понятно это 1.

Итак, остаток от выполненной операции 100. Это меньше чем 101, поэтому чтобы выполнить второй шаг деления, необходимо добавить к 100 следующую цифру, это цифра 0. Теперь имеем следующее число:

 1000 больше 101 поэтому на втором шаге мы опять допишем в частное цифру 1 и получим следующий результат (для экономии места сразу опустим следующую цифру). 

Полученное число 110 больше 101, поэтому и на этом шаге мы запишем в частное 1. Получиться так:

 Полученное число 11 меньше 101, поэтому записываем в частное цифру 0 и опускаем вниз следующую цифру. Получается так: 

 Полученное число больше 101, поэтому в частное записываем цифру 1 и опять выполняем действия. Получается такая картина: 

 Полученный остаток 10 меньше 101, но у нас закончились цифры в делимом, поэтому 10 это окончательный остаток, а 1110 это искомое частное. 

Проверим в десятичных числах 

10010011 = 147                         101 = 5

10 = 2        11101 = 29

На этом мы заканчиваем описание простейших арифметических операций, которые необходимо знать, для того, чтобы пользоваться двоичной арифметикой, и теперь попробуем ответить на вопрос "Зачем нужна двоичная арифметика". Конечно, выше уже было показано, что запись числа в двоичной системе существенно упрощает арифметические операции, но в то же время сама запись становится значительно длиннее, что уменьшает ценность полученного упрощения, поэтому необходимо поискать такие задачи, решение которых существенно проще в двоичных числах.

 Самостоятельная работа  № 4                        

1. Выполните сложение,  вычитание, умножение в двоичной системе счисления:

Ответ: __________________

2. Выполните деление в двоичной системе счисления:

1. 10100101: 1011=                          
2. 10100101:1111=
3. 110110:110=
4. 110110:1001=
5. 1000111111:11001=
6. 1000111111:10111=
7. 11110111:10011=
8. 11110111:1101=
9. 10101011: 10011=
10. 10101011: 1001=
11. 10100001:111=
12. 10100001:10111=
13. 10101111:111=
14. 10101111:11001=
15. 1001101:1011=
16. 1001101:111=

Ответ: __________________

Контрольная работа по теме «Системы счисления»

В-1.

          № 1.

Представьте в развернутой форме:

а) 4563; б) 100101;

№ 2.

Переведите число 75 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:  

а) 11001101011 + 1110000101; б) 101011 – 10011; в) 1011 · 101.  

В-2.

            № 1

Представьте в развернутой форме:

а) 1563; б) 100111;

№ 2.

Переведите число 67 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:  

а) 11001101111 + 1110000101; б) 10111 – 10011; в) 1111 · 101.

В-3.

            № 1

Представьте в развернутой форме:

а) 2563; б) 110101;

№ 2.

Переведите число 59 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:  

а) 11111101011 + 1110000111; б) 11111 – 10011; в) 10011 · 101.    

В-4.

            № 1

Представьте в развернутой форме:

а) 2573; б) 1010101;

№ 2.

Переведите число 95 из десятичной системы счисления в двоичную.

№ 3.

Выполните действия:  

а) 11111101001 + 1110000111; б) 11101 – 10011; в) 10111 · 101.