Лекция на тему "Метод половинного деления"
план-конспект занятия

Лекция 3

«Метод половинного деления решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

1. Постановка задачи решения уравнений

Пусть имеется уравнение вида         f(x)=0  ,        (2.1)

где f(x) - алгебраическая или  трансцендентная функция.

Решить такое уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней (с указанной точностью).

2. Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений

Решение указанной задачи начинается с отделения корней, т.е. с установления:

• количества корней;
• наиболее «тесных» промежутков, каждый из которых содержит только один корень.

Чтобы выяснить имеет ли уравнение корень:

1) Строят график функции y=f(x) для уравнения вида f(x)=0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков функций y=f(x) с осью Ох.

y=f(x) кривая трижды пересекает ось абсцисс, следовательно уравнение f(x)=0 имеет три простых корня

если кривая касается оси абсцисс, то уравнение имеет двукратный корень

если кривая имеет точку перегиба, следовательно уравнение имеет трехкратных действительных корень.

2) представляют уравнение в виде f(x)=g(x) и стоят графики функции y=f(x) и y=g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссами точек пересечения графиков функций у=f(х) и y=g(x). По графику определяются два числа а и b, между которыми заключен корень.

кривые y=f(x) и y=g(x) пересекаются в двух точках, абсциссы которых  х1 и х2 являются корнями уравнения f(x)=g(x)

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:

1. Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f(a). f(b)<0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень.
2. Если функция f(x) к тому же еще и монотонна, то корень на отрезке [a;b] единственный.

Пример: Для графического отделения корней уравнения  преобразуем его к равносильному уравнению  и отдельно построим графики функций .

Из рисунка видно, что графики пересекаются в одной точке, то есть уравнение имеет единственный корень х=Е и этот корень находится на отрезке [1;1,5].

Вычислим для проверки значения функции на концах отрезка [1;1,5]: f(1)=0.909298;  f(1,5)= -0,264344, на концах отрезка значения функции имеют разные знаки, тогда корень на отрезке [1;1,5] действительно имеется.

Для уточнения корней можно пользоваться различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

3. Метод половинного деления

Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке [a;b] единственный корень, причем функция f(x) на этом отрезке непрерывна.

1) Разделим отрезок [a;b] пополам точкой с=(a+b)/2.

2) Если f(c)=0, то корень найден.

3) Если f(c)≠ 0(что практически наиболее вероятно), то нужно выбрать отрезок, на котором расположен корень. Возможны два случая: f(x) меняет знак либо  на отрезке [a;с] (рис 2.1), либо на отрезке [с;b] (рис 2.2).

Рис 2.1. – функция f(x) меняет знак                         Рис 2.2. – функция f(x)          

на отрезке [a;c]                                                           меняет знак на отрезке [c;b]    

       Выбирая отрезок, на котором функция меняет знак, мы выбираем отрезок, содержащий корень.  

4) Этот отрезок снова делим пополам и повторяем шаги 1)-3)      

Тогда, либо через конечное число делений отрезка пополам найдём точное значение корня, либо построим бесконечную последовательность вложенных отрезков:
[a; b] [a1; b1] ... [an; bn], длины которых стремятся к нулю.                                                           

Как только |bn–an|/2 < E, где Е - заданная точность, то в качестве
приближённого значения корня можно взять середину этого отрезка: х=(an+bn)/2.   

Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере.

4. Пример решения уравнений методом половинного деления

Пример: Найти корень уравнения  на отрезке [1,3;1,5] с точностью до

Е=10-4=0,0001.

Решение: Уравнение  имеет единственный корень на отрезке [1,3;1,5].

1. Уточним корень уравнения: Найдем середину отрезка [1,3;1,5]: .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,3;1,4] и [1,4;1,5] функция меняет свой знак.

1) [1,3;1,4]:  

2) [1,4;1,5]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,3;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10-4:

, точность не достигнута.

2. Продолжаем процесс разделим отрезок [1,3;1,4] пополам точкой .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,3;1,35] и [1,35;1,4] функция меняет свой знак.

1) [1,3;1,35]:  

2) [1,35;1,4]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,35;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10-4:

, точность не достигнута.

3. Снова разделим отрезок [1,35;1,4] пополам точкой .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,35;1,375] и [1,375;1,4] функция меняет свой знак.

1) [1,35;1,375]:  

2) [1,375;1,4]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,375;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10-4:

, точность не достигнута.

4. Продолжая делить отрезок пополам и проверять знаки функции на новых промежутках, до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность решения (сделайте самостоятельно), получим:

Решение уравнения с точностью 10-4: х=1,3994.

Алгоритм  метода половинного деления

1) Найдем середину отрезка [a; b]: c=(a+b)/2;
2) Вычислим значения функции в точках a и c и найдем произведение полученных значений: d=f(c)*f(a);
3) Если d>0, то теперь точкой a станет c: a=c; Если d<0, то точкой b станет c: b=c;
4) Вычислим разность a и b, сравним ее с точностью ε: если |a-b|> ε или

 |a-b|/2> ε , то идем в пункт 1) если нет, то корень с нужной нам точностью найден, и он равен: x=(a+b)/2;