Применение свойств модуля при решении задач и построении графиков функции.
методическая разработка по теме

Введение

Существенной характеристикой числа, как в действительной, так и в комплексной области, является понятие его абсолютной величины или модуля.

Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук. Например, в математическом анализе одно из фундаментальных  понятий- понятие предела- в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных   вычислений – понятие абсолютной погрешности приближенного числа (разность  между самим числом и приближенным числом). В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина.

В работе показано как применение свойств модуля приводит к рациональному решению уравнений, неравенств, построению   графиков  функций.

Рассмотри последовательно понятие абсолютной величины числа.

Абсолютная величина действительного числа

Абсолютной величиной действительного числа a называется неотрицательное число, взятое из двух чисел a и –a.

Из этого следует, что  

                                          a=a, если a>00,если a=0-a, если a<0

Примеры на определение модуля:

1.x2-6x+9+4+4x+x2≤2x+3

     x-3+x+2≤2x+3

Нанесем  на ось только корни подмодульных выражений:

        -2                                  3                 x

x<-2                            -x+3-2-x≤2x+3                        x<-2    x≥-0,5  ∅ 

-2≤x≤3                          -x+3+2+x≤2x+3                        -2≤x<3              x≥1        1≤x<3   Ответ: x≥1

x≥3                               x-3+x+2≤x+3                              x≥3     0x≤4  

2. Решить уравнение:

x2-x-2x+3=x2-x-2x+3

Так как a=a, когда a≥0, то

x2-x-2x+3≥0      x-2(x+1)x+3≥0               _            +        –        +

        -3                   -1                    2            x

Ответ: (–3;–1]∪2;∞.

3.Решить уравнение:

x3-1x2-x+1=1-x3x2-x+1

Так как a=-a, когда  a≤0, то

x3-1x2-x+1≤0   (x2-x+1>0 при любом x∈R)⇒x3≤1⇒x≤1

Ответ: x≤1

4.Решить неравенство:

log4(x-2)2+log2x+1≤1

log2x-2+log2x+1≤log22x>-1                                                  x≠2                                                    

x-2(x+1)≤2x>-1                   x≠2                      

-1

x>2                      x-2(x+1)≤2              и т.д.

Можно избежать появления модуля:

log4(x-2)2+log4(x+1)2≤log44x>-1                                                  x≠2                                                                 (x-2)2(x+1)2≤4x>-1                       x≠2                          

и далее  имеем разность квадратов и решаем методом интервалов.

5.Решить уравнение:

3lg2-x+lgx2=0                         ОДЗ:  -x>0x2>0     x<0

3lg2-x+2lgx=0

3lg2-x+2lg-x=0

lg-x3lg-x+2=0

x=-1    x=-1023

У модуля действительного числа 9 свойств:

1)Свойство вытекает из определения:

a≥0

Пример:

1.x2-9x+24-6x2-59x+149=5-x

-5x2+50x-125x2-9x+24+6x2-59x+149=5-x

-(x-5)2x2-9x+24+6x2-59x+149=5-x

-(x-5)2≤0x-5≥0    

Ответ: x=5

2.logxx2≥0                            ОДЗ: x>0x≠1

   2≥0

2≥0x>0x≠1

Ответ: (0; 1)∪1;∞

2) a≥a

3)a2=a

Пример:

1.Найти наибольшее  значение функции:

y=2x-x2-4x+4-4x2+20x+25

y=2x-x-2-2x+5

Если  x≤-2,5,  y=5x+3

maxy=y-2,5=-9,5

(–∞;-2,5]

Если -2,5≤x≤2,  y=x-7

maxy=y2=-5

[–2,5; 2]

Если x≥2,  y=-x-3

maxy=y2=-5

[2; ∞]

В  каждом случае учитывалась монотонность функции.

Ответ:maxy=-5

2. x+2x-1+x-2x-1=x-1

x-1+12+x-1-12=x-1

x-1+1+x-1-1=x-1   x≥1-необходимое условие

x-1+1+x-1-1=x-1

x-1-1≥02x-1=x-1                  x≥2                            x-12x-1=0

x-1-1≤02=x-1                           x≤2x=3

x≥2x=1x=5  

Ответ: x=5

3.  14lg2(138-3021)lg12-lg⁡(53+37)

Решение:

12∙lg⁡(53-37)2lg1253+37=12∙2∙lg53-37lg53-37=12∙2∙-lg53-37lg53-37=

= –1

4) a=-a-Модули противоположных чисел равны. Это свойство можно доказать.

Рассмотрим левую часть:

a=  a, если a>0-a, если a<0   0, если a=0

Рассмотрим правую часть:

-a=  a, если-a<0;          a>0-a, если-a>0;          a<0    0, если a=0          ч.т.д.          

Пример:

Исследовать на четность и нечетность функцию:

y=x-2+3x+x2+4x+4

D(y) = R – область определения симметрична относительно начала координат.

f-x=-x-2+3-x+-x+2=x+2+3x+x-2=fx

Вывод: функция четная.

5)a2=a2

Пример:

1.log3x0

log3x

log32x

log3x<1

0 < x<3

Ответ: 0 < x<3

2. sinx+cosx<1  Обе части неотрицательны,возведем их в квадрат:

1+ sin2x<1

sin2x<0

П+2ПК<2x<2П+2ПК

П2+ПК

Ответ: П2+ПК

3. П4cosx>П4sinx           0<П4<1           П≈3,14

cosx

Так  как обе части  неравенства  неотрицательны, то при  возведении обеих частей неравенства в квадрат получим  неравенство,   равносильное данному:

cos2x

cos2x<0

П2+2ПК<2x<3П2+2ПК      К∈Z   К=0, ±1…

П4+ПК

Интересно отметить: cosx

Разделим  обе части неравенства на sinx>0

(На cosx делить  обе части нельзя, т.к. cosx  в данном неравенстве может равняться 0; cosx=0⇒sinx=1;   0<1)

ctgx<1

–1 < ctgx<1

П4+ПКОтвет: П4+ПК

4.  x2-3x+1=1

x²-3x+1=1

x2-3x+1=1               xx-3=0

x²-3x=-1                   x²-3x+2=0 

x=0           x=0

x=3           x=±3

x=2           x=±2  -  ответ

x=1            x=±1 

5. sinx+cosx>1   Возведем обе  части в квадрат, т.к.обе части

Неравенства неотрицательны и a2=a2

sin2x>0

sin2x≠0  x≠П2К

Ответ: x∈R, x≠П2К

6.a-b≥a-b

7. a+b≤a+b

x2-x+1x-1

x2-x+1

(x2-x)+10, то  x2-x<0

Модуль суммы меньше суммы модулей, то есть a и b разных знаков.

x2-x<0

xx-1<0

Ответ: 0

8. a∙b=a∙b  и обратно a∙b=a∙b

ab=ab  и обратно ab=ab

Пример:

x2-x+1x-1

x2-x+1

(x2-x)+1

Модуль суммы меньше суммы модулей ⇒ x2-x<0

                                                                        x(x-1)<0

Ответ: x>0 

9. a-b - расстояние  от точки А  до точки В.

Пример:  x+x-1=1

Можно сделать так:

x<0             -x-x+1=1                             x<0x=0                  ∅

0≤x<1       x+1-x=1                                0≤x<10x=0               0≤x<1 

x≥1                x+x-1=1                                x≥1x=1                 x=1       Ответ: [0;1]

Также можно этот пример решить устно:

надо найти множество чисел x таких, что сумма расстояния от них до 0 и 1 равно 1.

Это отрезок [0;1]

Построение графиков функций и уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

1.y=f(x)   Заметим, что ≥0

По определению абсолютной величины имеем:

y=fx, если f(x)≥0 –fx, если f(x)<0

Отсюда построение:

1. Строим график функции fx
2. Ту часть графика, которая находится в нижней полуплоскости, симметрично отражаем  относительно оси OX.

Пример:

y=x2-6x+8

1. Строим график y=x2-6x+8
2. Ту часть графика, которая лежит в 3 и 4 четверти, зеркально отражаем относительно оси OX.

        y

        8

                                                            3

                                                               0  1  2   3    4        x

2. y=f(x), так как x=-x, то fx=f(-x),  то есть данная функция четная ⇒ ее  график симметричен относительно оси OY.

Отсюда построение:

1. Строим график y=fx, для x≥0
2. Достроим левую часть симметрично правой относительно оси OY

Пример:

y=sinx

        y

        1        

–2п     – 32п      –п           – п2                              0                          п2               п             32п         2п        x

                                                                             -1

3. y=fx,  где  fx≥0             Отметим: это  не  функция.

y=±fx, где f(x)≥0

Построение:

Строим графики y=±fx, рассматривая график,  где  f(x)≥0

Пример:

y-2=x2-1≥0         2=2

x2-1≥0

x≥1         x≤-1x≥1               y-2=±x2-1, где x≥1

y=x2+13-x2                                           

                                                                   y

                                                                     5

                                                                     4

                                                                     3

                                                                     2

                                                                     1

                                       -2             -1          0    1                2        x

4. y=fx

y=±fx

Пример:

y=log2x⇒y=±log2x             x>0

График симметричен относительно оси OX

        y

                                                              0      1        x

5.x+y=a,   a>0

x≤a

y≤a

Dy=-a,a

Ey=-a,a                     График симметричен относительно  оси OX и OY

Построение:

1. Строим  x+y= a, для  x≥0 и y≥0 в 1 четверти
2. Симметричено отражаем  относительно осей  OX и OY  

        y

        a

        -a             0       a                    x        

        -a

Модель комплексного числа.

Число  вида z=a+b∙i, где a и b любые действительные числа, а

i-такое число, что i2=-1 называется комплексным.

Модулем комплексного числа называется квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой части (z=a2+b2). Это длина – радиус вектора точки M, изображающей число z.

z=a+b∙i

OM=a2+b2 =z 

z≥0

z- это расстояние от О (0;0) до z

z=4 – это уравнение окружности с центром О и радиусом r = 4

Геометрический смысл z1-z2

Пусть z1=x1+y1∙i

            z2=x2+y2∙i

z1-z2=x1-x2+(y1-y2)∙i=x1-x22+y1-y22 – формула расстояния  между двумя точками с   координатами (x1;y1) и (x2;y2)

z1-z2  - это  расстояние от z1 до z2

Докажем, что  z-z0=R>0 – уравнение  окружности с центром  в точке x0 и радиусом равным R.  Так как z-z0 – расстояние между  z и z0, то множество всех точек Z, удовлетворяющих  уравнению z-z0=R - это множество точек, расстояние от которых до точки z0 равно R.

Пусть  z1 и  z2 различные точки комплексной плоскости.

Тогда z-z1=z-z2 - уравнение прямой перпендикулярной к отрезку с концами в точках z1 и  z2 и проходящей через  его середину.

z-2∙i=z-1- уравнение прямой, перпендикулярной к отрезку с концами A (0;2) и  B (1;0)

С – середина AB.

Напишем уравнение прямой C.

1 способ: y=kx+b

Точка C, с координатами (0,5;1) середина отрезка AB.

Напишем  уравнение прямой AB

x-x1x2-x1=y-y1y2-y1           x-01-0=y-20-2

-2x=y-2;                     y=-2x+2-уравнение прямой AB.

Т.к. l=AB, то k1∙k2=-1;   k1=-2, k2=0,5

Т.к C ∈l, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой l: y=0,5x+b

l=0,25+b;   b=0,75

y=0,5x+0,75

        y

        l

                                           A    1

                                                              C        B

                      -2         -1           0         1          2              x

2 способ: a²=a2

z-2∙i=z-1

Пусть z=x+y∙i, тогда:

x+y-2∙i=x-1+y∙i

x2-y-22=x-12+y2

x2+y2-4y+4=x2-2x+1+y2

-4y=-2x-3

y=0,5x+0,75 – уравнение прямой l

Ответ: y=0,5x+0,75

Примеры изображения графиков:

Пусть нужно построить  график функций y=1-x-x-2-x-3. Используя формулу a-b=b-a, будем иметь существующий общепринятый способ построения графиков таких функций:

функция определена на всей числовой прямой. Находим  интервалы знаков постоянства  выражений  x-1, x-2, x-3:

-Если  x<1,  то y=-x-1+x-2+x-3,   y=x-4;

-Если  1≤x<2 то, y=x-1+x-2+x-3,  y=3x-6;

-Если 2≤x<3  то, y=x-1-x-2+x-3,  y=x-2;

-Если x≥3 то, y=x-1-x-2-x-3,  y=-x+4.

Строим график функций:

        y

         -2         -1          0        1         2          3          4        x          

                                                             -1

                                                             -2

                                                             -3

                                                             -4

Изобразить на плоскости множество точек z таких, что z-1z+i=1

Пусть x-1+y∙i=x+(y+1)∙i

x-12+y2=x2+y+12

x2-2x+1+y2=x2+y2+2y+1

2y+2x=0;  y=-x – искомое множество точек z комплексной плоскости

y=-x;  A1;0, B(0;-1) – серединный перпендикуляр к отрезку AB.

        y

        1

                                              -1        0        1 A         x

                                                      B    -1

Среди чисел z таких, что z∙i-3≤2, найдите числа с наименьшим  и наибольшим модулем.

Пусть z=x+y∙i

x+y∙i∙i-3≤2;     -3-y+x∙i≤2;    (-3-y)2+x2≤2;  

x2(y+3)2≤4 – круг с центром О

(0; –3);  R = 2

        y

                                   -2        -1        0       1       2        x

        1

        2

        3

        4

        5

minz=1, maxz=5;  z- расстояние от начала координат до точки, изображающей комплексное число.

Ответ: наименьшее: z=0-1∙i, z=1

             наибольшее: z=0-5∙i, z=5

Задания:

1.Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству: (x2+y2-4)∙x-1≤0 и найти площадь фигуры, ограниченной замкнутым контуром.

x2+y2-4≤0x-1≥0          

x2+y2≤4x≥1          

x2+y2≤4x≥1           x≤-1        

        y

        2        K

        -2        -1          O     Т 1        2 M      x

                                                            -1

                                                            -2

1. Искомое множество точек – круг с центром (0;0), r = 2   x2+y2≤r2
2. Искомое множество точек  x≥1   x≤-1       x≥1

πr2=4π

∆KOT:OT=1;  OK=r=2;  ⦟KOT=60°,  ⦟OKT=30°

SKTM=SKOMсектора-SKOT=πr26-12∙OT∙OK∙sin60°=2π3-32

Sзаштр=42π3-32кв.ед.

2.Дано: fx=3x2

   Найти: f'x

    Решение:

1. ООФ: x∈R
2. fx=3x2=|x|23=x23               x≥0(-x)23         x<0
3. f'x=23x-13                23-x-13(-1)=233x-233x      x≠0

3.Найти площадь замкнутой фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством:

y+2x≤x2+1

Решение:

y≤x2-2x+1

y≤(x-1)2

Отметим, что при y≥0   y≤(x-1)2, а при y≤0   y≥(x-1)2

        y

        B       1

                                  C

                                                              -1          O     1        x

                                                                          -1  

  Sзаштр=4SBOC                     

 SBOC=01(x-1)2dx=13(x-1)3|01=0-13(-1)3=13

  Sзаштр=43  кв.ед.

4.Решить неравенство: решим рационально

x2-4x-54-x-2-x>0

умножим числитель и знаменатель на 4-x+2-x≠0

(4-x+2-x)∙(x2-4x-5)(4-x)2-(2-x)2>0

4-x+2-x∙x+1∙(x-5)4(3-x)>0

А дальше решаем методом интервалов:

4-x+2-x>0  при  x∈R

x+1∙(x-5)4(3-x)>0

                 +              –                +              –

                       -1        3              5        x

Ответ: (–∞;1)∪(3;5)