Методические указания к практическим занятиям по математике
методическая разработка на тему

Департамент образования города Москвы

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

Плотникова И.А., Соколова Л.А.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

К ПРАКТИЧЕСКИМ РАБОТАМ

  ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2 КУРСА

СПЕЦИАЛЬНОСТ        ЕЙ

«Технология мяса и мясных продуктов»

«Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров»

ТЕМА

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

Содержание

Инструкция.

1. Письменно ответить на контрольные вопросы, используя лекции и теоретическую часть работы.

2. Разобрать предложенные примеры, выделить используемые алгоритмы и составить схему решения каждой предложенной задачи.

3. Решить соответствующие задачи из предложенных для самостоятельного решения.

4. Сдать отчет преподавателю.

Время, отведенное для каждой работы 2 часа.

«Кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества»

Роджер Бэкон

1267г. английский философ и естествоиспытатель        

Практическое занятие №1

Предел функции. Непрерывность функции.

 Классификация точек разрыва функции.

Цель работы. Формирование практических умений раскрытия неопределенностей с помощью замечательных пределов, умений работать со справочниками по математике, развитие интеллектуальных умений.

Приобретенные умения.

• вычисление  предела функции в точке,
• вычисление предела функции на бесконечности,
• раскрытие неопределенностей при вычислении пределов функции с использованием замечательных пределов,
• классификация точек разрыва,
• исследование функции на непрерывность.

Часть 1. Теоретическая часть

1. Предел функции в точке и на бесконечности

Самым фундаментальным понятием математического анализа является понятие предела функции. Так случилось в математическом познании человечеством природы, что основные понятия математического анализа – производная, интеграл, ряд и др. – были открыты в XXVII веке, а вот строгое обоснование этих понятий спустя 150 лет на основе понятия предела. Это понятие будет сопровождать Вас на протяжении всего Вашего математического образования, поэтому очень важно с первого занятия освоить это понятие.

        Различают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности. Сначала рассмотрим предел функции в точке, т.е. при.

С одной стороны это понятие может оказаться простым и очевидным.

Пусть дана функция f(x) = x2 + x и известно, что  , т.е. принимает значения достаточные близкие к 2. Очевидно, что  f(x) будет принимать значения близкие к 6, т.е. f(2).

При этом пишут , или в общем виде:

  И читают: предел функции f(x) в точке a (или при х стремящемся к а) равен b. (Никогда не говорите «лим» или «лимит»!)

Но не все так просто! Рассмотрим функцию: . Очевидно, что эта функция существует при всех действительных х,

кроме х = 1 – обратите на это особое внимание!

Пусть теперь слева или справа. Составим таблицу значений.

 Очевидно, что f(x) стремится к 5. А если х будет стремиться к 1 справа?  

Как видим, и в этом случае . Вот так, а f(1) не существует!

Дадим строгое определение предела функции в точке, это определение одно из нескольких и называют определением «на языке ε – δ» или определением по Коши.

        Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а, кроме, быть может, в самой этой точке.

Определение

Сформулируем определение предела функции на бесконечности.

        Пусть функция y = f(x) определена при достаточно больших   х

        (при ).

Определение

Сформулируем некоторые свойства пределов, которые используют для решения задач.

Задание 1. Выпишите таблицу в тетради, самостоятельно заполнив пропущенные ячейки в правой части таблицы словесной формулировкой свойства.

1. Вычисления пределов в точке

Умение находить пределы функций – необходимое условие для дальнейшего успешного изучения математического анализа. Это умение базируется на свойствах пределов (повторите их) и умений в преобразовании алгебраических выражений.

Упрощенно, на первых шагах    освоения техники вычисления пределов, будем считать, что если функция существует в точке x = a, то ее предел равен значению функции в этой точке f(a).

Пример 1.

Теперь рассмотрим наиболее популярный вид – пределы дробно-рациональных функций.

Итак, если знаменатель такой функции отличен от нуля, то функция существует в точке, то ее предел равен ее значению в этой точке.

Если же функция в точке х = а не существует, в знаменателе дроби ноль, то вычисляем значение числителя в этой точке. При этом, возможны два варианта:

1.Если числитель отличен от нуля, то предел не существует и пишут знак бесконечности.

Пример 2

2. Если и в знаменателе и в числителе нули, то имеем неопределенность вида .

        Методика раскрытия таких неопределенностей проста. Если числитель и знаменатель дробно-рациональной функции при х = а, равны нулю, то разложение на множители и числителя и знаменателя обязательно содержат сомножитель (х – а), на который дробь будет сокращена. Покажем на примере.

Пример 3.

а)  (выяснили, что при х = 1 и числитель и знаменатель равны нулю, значит имеем неопределенность вида , раскладываем числитель и знаменатель на множители, уже зная один из сомножителей

(х – 1), второй сомножитель для квадратного трехчлена нетрудно подобрать устно, не используя известную школьную методику разложения квадратного трехчлена на линейные множители)

= .

Такова методика, которую необходимо четко усвоить. Еще примеры.

б);

в);

Активно используйте формулы сокращенного умножения:

г);

д).

Задание 2. Заполните таблицу в тетради.

Задание 3. Используя таблицу, вычислить следующие пределы.

1.    2.       3.  

4. ;  5.;       6.

2. Вычисление пределов функций на бесконечности

        Ключом  к вычислению таких пределов являются следующие доказанные в курсе математического анализа утверждения:

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 4.

а)  очевидно, в силу (1) .

б) (2x + 3 ) = ∞   Пишут знак бесконечности, а говорят «предел не существует».

Итак, для закрепления: если переменная только в знаменателе, то предел равен нулю, если переменная только в числителе, то предел не существует.

        Как быть, если переменная, которая стремится к бесконечности, и в числителе и в знаменателе, т.е. и числитель и знаменатель стремятся к бесконечности?  В этом случае говорят, что имеем неопределенность вида, а сам процесс вычисления пределов называют словосочетанием «раскрытие неопределенностей».

Процесс раскрытия таких неопределенностей рассмотрим  на конкретных примерах.

Пример 5.

а).

Отыскивают старшую степень переменной в знаменателе (в данном случае она, очевидно, вторая) и делят каждое слагаемое числителя и знаменателя на эту старшую степень переменной, проводя в уме сокращения.

 =   = = .

(Заметим, что если под знаком предела содержится переменная, то сам знак предела записывать обязательно, в противном случае – нет).

Рассмотрим еще примеры.

б) =  =  = 2.

Легко видеть, что если старшая степень числителя и знаменателя совпадают, то предел такого вида всегда будет равен отношению коэффициентов при старших степенях переменной.  Поэтому ответ можно писать сразу, не проводя деления:

в) = 2,5    

А если степени не равны? Если степень знаменателя выше степени числителя, то в пределе все слагаемые числителя будут равны нулю. В самом деле:

г) =  =  = 0.

Итак, если степень знаменателя выше степени числителя, то предел такого вида равен нулю.

Если же старшая степень числителя выше степени знаменателя, то, очевидно, все слагаемые знаменателя в пределе будут равны нулю, это означает, что предел не существует:

д)    =  = ∞.

Задание 4. Заполните таблицу.

Задание 5. Используя таблицу, вычислите самостоятельно пределы функций на бесконечности.

10.     11.

12.       13.

3. Первый замечательный предел

Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенности [].

Теорема.

Изучите типовые примеры раскрытия неопределенности [] с использованием первого замечательного предела =1.

Пример 6.

а)   Найти .

Положим ах = u , тогда х = .  Если, то и  u, поэтому

= = а= а  1 = а.

Следовательно,     = а.

б)   Найти .

Разделим числитель и знаменатель на х, получим

 = .

При использовании первого замечательного предела для раскрытия неопределенности [] часто применяются известные тригонометрические формулы:

и очевидное соотношение

в)  Найти .

Так как   = + 2, то

 =12= 12  1= 12

4. Второй замечательный предел

Второй замечательный предел применяется при раскрытии неопределенности  .

Определение

Изучите решение типового примера.

Пример 7.

Найти . При x выражение

 ( 1 + ) , получаем неопределенность . Введем новую переменную  по формуле , откуда х = .

Если х , то , поэтому = = (= .

2. Непрерывность функции.

Рассмотрим функцию , график которой изображен ниже.

В точке х1,  например, эта функция непрерывна. В точках х2 и х3 она терпит разрыв (не является непрерывной).

Определение

При исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение всех трех условий непрерывности функции в точке х0. Если все три условия выполняются, то функция непрерывная, в противном случае функция разрывается. Изучите решение типовых примеров.

Пример 8.

а)  Исследуйте функцию  = 3- 6х + 1 на непрерывность в точке х0= 2.

1. Функция определена на множестве всех действительных чисел и

в точке х0= 2 тоже:

2.  = (3- 6х + 1) = 3; 3.  =  = 1

Все три условия непрерывности функции в точке выполнены, поэтому функция  = 3- 6х + 1 непрерывна в точке  х = 2.

б)  Исследовать функцию  на непрерывность.

1. Функция определена на множестве всех  действительных чисел.

Пусть х = а – любое число из области определения, тогда

2.   = = 2 =

3.  =  = 2а2  

Все три условия непрерывности функции в точке выполнены, значит, функция   непрерывна в области действительных чисел.

Задание 6.

Вам даны графики функций. Внимательно рассмотрите их и заполните таблицу.

1.                       2.

3.                       4.

5.

Классификация точек разрыва.

Точки разрыва первого рода.

Определение

Точки разрыва второго рода.

Определение

Пример 9.

а)   Функция  имеет точку разрыва   = 2. Это точка разрыва второго рода, т.к. оба односторонних предела равны бесконечности.

б)  Дана функция . Найти точки разрыва, выяснить их тип.

Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки  = 3. данную функцию можно задать в виде Следовательно, предел функции справа от  данной точки, а  предел функции слева от данной точки. Поэтому в точке  = 3 функция имеет разрыв первого рода. Скачок в точке разрыва равен .

Задание 7.

Определить вид точек разрыва функции.

Часть 2. Задания для самостоятельной работы

1.   Вычислить пределы

а)  ;   б)  ;

в)   ;                           г)  ;

д)  ;                        е)  ;

ж)  ;                       з)  .

                                2. Вычислить пределы

                         3. Вычислить пределы

4. Вычислить пределы

5. Вычислить пределы

6. Проверьте непрерывность функции в точке х0= 1

7. Исследуйте функции на разрыв и определите вид точек разрыва

Практическая работа №2

Решение задач на оптимизацию методами дифференциального исчисления .

Цель работы. Применение методов дифференциального исчисления для решения прикладных задач

Приобретенные умения

• вычисление производной функции;
• определение точек экстремума функции;
• вычисление наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке;
• составление математической модели реальной задачи;
• определение этапов и методов решения;
• оценка полученного решения .

Часть 1. Теоретическая часть.

§1. Производная функции одной переменной.

Определение.

Производная  обозначается символами:

,

,

 .

Таблица производных элементарных функций

Правила дифференцирования.

Теорема

Пример 1.  Найти производную  функции .

.

Теорема

Пример 2. Продифференцировать  функцию .

.

Следствие

Теорема

Пример 3.  Найти производную функции .

=.

Пример 4.  

а)  Найти производную первого порядка функции .

.

б)  Найти производную функции .

.

в)  Найти производную функции .

.

Задание 1.

Используя теоремы и таблицу производных, вычислить производные первого порядка данных функций, определив сначала вид функции и необходимое правило дифференцирования.

Задание  2.

Используя таблицу«Производная сложной функции вида» найти производную первого порядка следующих функций

§2. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Определение

Определение

Пример 5.Точки  и  на рис 1. – критические точки функции , т.к. .

Точки  и  на рис 2. – критические точки функции , т.к. и  не существуют.

Теорема. Необходимое условие экстремума.

Замечания:

1. На одном промежутке может быть несколько экстремумов.
2. Наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке одно. Наибольшее   -  среди максимумов и значений функции на концах отрезка. Наименьшее – среди минимумов и значений функции концах отрезка.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции. В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая, что непрерывная на отрезке [а; b] функция f(х)  принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т. е. существуют точки отрезка [а; b] в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [а; b] значения.

 Для случая, когда функция f(х)  не только непрерывна на отрезке [а; b] но имеет на этом отрезке лишь конечное число критических точек, укажем правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции.

1. Предположим сначала, что функция f(х) не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда  она возрастает (рис. 3) или убывает (рис. 4) на этом отрезке, и, значит, наибольшее и наименьшее значения функции f(х)  на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.

              Рис. 3.                                                                          Рис. 4.

2. Пусть теперь функция f(х) имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Эти точки разбивают отрезок [а; b] на конечное число отрезков, внутри которых критических точек нет. Поэтому  наибольшее и наименьшее значения функции f(х) на таких отрезках принимаются в их концах, т. е. в критических точках функции или в точках а и b.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

Пример 6.

а)  Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [–2; –0,5].

1)  Найдем критические точки функции.

2) Вычислим значение функции в найденной точке

3) Вычислим значения функции на концах заданного отрезка.

4) Выбираем среди найденных значений наибольшее

унаиб= у(

унаим=у()=.

б)  Найти наибольшее и наименьшее значения функции  y=x2·ln x

на отрезке [1; e].

1)  Найдем критические точки функции.

2) Вычислим значение функции в найденной точке

3) Вычислим значения функции на концах заданного отрезка.

4) Выбираем среди найденных значений наибольшее

Задание 3.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

1. ,  ;

2.  ,  

§3. Решение задач на оптимизацию методами дифференциального исчисления.

В рассказе Л.Н. Толстого “Много ли человеку земли надо” крестьянин Пахом мечтает о собственной земле. Когда он, наконец, собрал желаемую сумму и предстал перед барином, тот ответил ему: “Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за тысячу рублей. Но если к заходу солнца не вернешься на место, с которого вышел, пропали твои деньги”. Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник”.

Данная фигура – трапеция, площадь которой равна половине суммы оснований на высоту.

Получим результат: периметр трапеции Р=40км, S=78км2.

Но вот вопрос: можно ли было бы получить участок большей площади, если периметр четырехугольника не изменится?

Задачи такого типа, называемые задачами на оптимизацию, хорошо решаются методами математического анализа с помощью производной.

При решении таких задач выделяют три этапа

I этап. Составление математической модели.

1. Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину (сокращенно: О.В.), т.е. величину, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь.

Обозначьте ее буквой у (или S, R, V - в зависимости от фабулы).

2. Одну из участвующих в задаче неизвестных величин, через которую сравнительно нетрудно выразить О. В., примите за независимую переменную и обозначьте ее буквой х (или какой-либо другой буквой). Установите реальные границы изменения независимой переменной в соответствии с условиями задачи.
3. Исходя из условия задачи, выразите оптимизируемую величину у через х.
4. Математическая модель задачи представляет собой функцию у=f(х) с областью определения Х, которую нашли на втором шаге.

II этап. Работа с составленной моделью.

На этом этапе для функции у=f(х), хХ найдите унаимили унаибв зависимости от того, что требуется в условии задачи. При этом используются теоретические установки, которые мы рассмотрели при определении наибольшего и наименьшего значений функции.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Здесь следует получить конкретный ответ на вопрос задачи, опираясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Рассмотрим решение данной задачи на основе предложенной схемы.

I этап. Составление математической модели.

1. В данной задаче оптимизируемая величина – площадь.  Обозначим ее у. Будем искать наибольшее значение площади.

2. За х примем ширину участка, тогда длина участка равна ,

3. Площадь тогда

II этап. Работа с составленной моделью.

Используя алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке, найдите наибольшее значение площади.

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Чему равна наибольшая площадь? Когда площадь будет наибольшей?

Пример 7. Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда (см. рис.), одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна равняться 4 м, а площадь 80 м2. Известно, что 1 м2 стеклянной стены стоит 75 рублей, а обычного материала – 50 рублей. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

1. I этап. Составление математической модели.

Площадь основания .    

Площадь всех стены AA1B1B:  .

Найдём стоимость Р1 стены AA1B1B, если она из стекла:

Стоимость Р2стены DD1C1C  из обычного материала  

 Площадь остальных стен  и

стоимость .

Общая стоимость всех стен:

;  .      (3)

II этап. Работа с составленной моделью.

1. ;  ;  .

;   .

2. ;   ;  ;   .
3. ;   ;  ;  .

 не подходит по условию задачи.

4. Sнаим при   .

III этап. Ответ на вопрос задачи.

Ширина стеклянной стены должна быть равна 8 м, а обычной – 10 м. При таких размерах общая стоимость всех стен окажется наименьшей и равной 8000 рублей.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

2. Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.

3. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?

4. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

5. Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется a погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

6. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью

V = 16π≈50 м3. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

7. Прямоугольный участок земли, примыкающий к заводской стене здания, нужно оградить забором. Часть забора, параллельная стене, должна быть каменной, а остальная часть деревянной. Площадь участка 90 м2. Стоимость 1 м каменного забора 10 руб., а деревянного - 8 руб. Найдите такие размеры участка, чтобы стоимость всей ограды была наименьшей? Какова эта стоимость?

Практическое занятие №3

Применение производной к исследованию функции и построения графика

Цель работы. Применение методов дифференциального исчисления для решения прикладных задачи построения графика функции.

Приобретенные умения

• Вычисление производной первого и второго порядка функции одной переменной;
• Необходимый и достаточный признаки точек экстремума функции;
• Определение интервалов монотонности функции;
• Определение характера выпуклости функции с помощью второй производной;
• Построение графика функции по определенному алгоритму.

Теоретическая часть.

§1. Интервалы монотонности функции.

Необходимый и достаточный признаки точек экстремума функции.

Теорема

необходимое условие возрастания/убывания функции

Теорема

необходимое условие экстремума дифференцируемой функции

Внимание! Эта теорема - необходимое условие экстремума.

 Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке.

Теорема

Достаточные условия экстремума.

Задание 1.

Схема исследования функции для определения интервалов монотонности и точек экстремума.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти точки, где производная функции равна нулю.

4. Отметить эти точки на числовой прямой и определить знак производной.

5. Используя теоремы, определить интервалы монотонности функции и характер точек экстремума.

Пример 1.Исследовать на экстремумы, найти промежутки возрастания, убывания функции .

1.Область определения:  .

2. ,  

3. .

4. Итак, на экстремум подозревается одна точка .  Этой точкой область определения функции разбивается на два промежутка: .

Определяем знаки первой производной на каждом из этих промежутков.

4. На первом: . Значит, на этом промежутке функция убывает.

    На втором: .  Значит, на этом промежутке  функция возрастает.

5. При переходе через точку  первая производная меняет знак с – на +,  следовательно, это точка минимума.   Минимум .

На графике функции хорошо видны интервалы монотонности и точка экстремума.

Задание 2.

Исследовать на экстремумы, найти промежутки возрастания, убывания функций

§2. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба функции

Вторая производная.

Определение

Теорема

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Определение

Отсюда следует, что если в точке перегиба  x0  существует вторая производная  f '' ( x0 ), то  f '' ( x0 ) = 0.

Пример 2. Рассмотрим график функции  y = x3

Задание 3.

§3 Применение производной к построению графика функции

Общая схема исследования функции и построения графика.

Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример 3. Исследуйте функцию  f ( x ) = x 3 + 2x 2−x− 2 и постройте график.

Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1). Область определения xR ( x – любое действительное число);область значений  yR, так как  f ( x ) – многочлен нечётной степени;

2). функция  f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной , то есть функцией общего вида;

3). f( x ) – непериодическая функция;

4). График функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ),так как 

f( 0 ) = − 2 ; 

Чтобы найти нули функции нужно  решить уравнение:  x 3 + 2x 2 x 2  = 0, один из корней которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся ( если они есть! ) из решения квадратного уравнения:  x 2 + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена x 3 + 2x 2 x 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить, что два других корня: x2 = 2 и  x3  = 1. Таким образом, нулями функции являются: 2, 1 и 1.

5. Производная  f’( x ) = 3x2 + 4x −1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R ( все действительные числа ); нули  f’ ( x ) – это корни уравнения:     3x2 + 4x − 1 = 0

Составим таблицу

6. Вторая производная ( x ) = 6x + 4.

 ( x )> 0, при х >, на этом интервале функция вогнутая;

 ( x )< 0, при х <, на этом интервале функция выпуклая;

 ( x ) = 0, при х =   , это точка перегиба.

Построим график.

Задание 4.

Проведите исследование функции по плану, используя график функции

а)  

б)  

Задания для самостоятельной работы

Практическое занятие №4

 Понятие дифференциала функции и его свойства. Применение дифференциала функции к приближенным вычислениям.

Цель работы

Приобретенные умения

Теоретическая часть

§1 Понятие дифференциала функции и его свойства

Определение

Определение

Рис. 1

Пример 1. Пусть задана функция  . Найти приращения аргумента и функции в точке , если аргумент изменился до

 а)  ;  б)  .

 а)

Приращение аргумента в точке в соответствии с определением

Приращение функции в точке в соответствии с определением

б) ;

Приращение аргумента в точке в соответствии с определением

Приращение функции в точке в соответствии с определением

Пример 2. Пусть задана функция . Найти приращения аргумента и функции в точке , если аргумент изменился до.

Приращение аргумента

;

Приращение  функции

Определение

Геометрический смысл дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала функции нетрудно уяснить из рисунка, на котором изображены график функции y = f(x) (жирная линия) и касательная МР к графику в точке М(x, f(x)). Дифференциал dy равен приращению линейной функции, графиком которой является касательная МР.

Алгоритм вычисления дифференциала функции  в точке

Пример 3. Найти дифференциал функции  в точке , если аргумент получил приращение .

1) Найдем производную функции: .

2) Вычислим значение производной функции в данной точке:

3) Подставим численные значения  

Ответ. .

 Примечание. Дифференциал аргумента равен его приращению: .

Поэтому дифференциал функции можно записать в виде:

Тогда, .

Основные свойства дифференциала.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

Так как   , т.е. произведение производной функции на дифференциал независимой переменной, то легко составить таблицу дифференциалов основных элементарных функций:

Задание 1.

1. Найти приращение и дифференциал функции, если:

2. Найти дифференциалы функций.

§2 Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Применение дифференциала к приближенному вычислению значений функции основано на замене приращения , которое  может быть очень сложным образом зависеть от, достаточно простым выражением ,  т.е.  для малых   с малой относительной ошибкой. Или , откуда получается

Пояснение

Функция  заменяется линейной функцией . Геометрически, при достаточно малом  «участок» кривой заменяется «участком» касательной к этой кривой в точке х.

Как всегда, при приближенных вычислениях, не менее важным всегда стоит вопрос об оценке погрешности (как правило, эта часть задачи более сложная). По разным причинам, здесь это делаться не будет.

Пример 4.  Как приближенно изменится значение функции , если аргумент изменится от – 3 до – 2,7?

Воспользуемся формулой.

1) Так как аргумент изменился от – 3 до – 2,7, положим .

2) Вычислим приращение аргумента: ; .

3) Найдем дифференциал функции:.  

.

Ответ. .

Пример 5.

Найти приближенное значение функции при.

Воспользуемся формулой .

1) Введем обозначения: и .( Точку х0выбираем близко к  данному значению аргумента и так, чтобы значение функции легко вычислялось).

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

Ответ.

Пример 6. Вычислить  .

1. Введем функцию .

2. . Тогда положим   .

Значение функции в точке х0:

3. , т.е.   .

4. Получаем

.

Задания для самостоятельной работы.

1. Найти приближенное значение функции:

а)  ;

б)  

2.Вычислить приближенные значения следующих функций.

3. Найти приближённое значение выражения.

Список рекомендуемой литературы

1. Богомолов Н.В., Математика, Учебник для ССУЗов . – М.: Дрофа. 2010.  – 398 с.
2. Григорьев С.Г.Математика. Учебник для ССУЗов . – М.: Академия. 2010. – 384 с.        
3. Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования. – М.,: Академия. 2011. – 256 с.

Методические рекомендации к практическим работам

  по дисциплине «математика»

для студентов 2 курса  специальностей

«технология мяса и мясных продуктов»

«товароведение и экспертиза качества потребительских товаров»

тема

«дифференциальное исчисление функции одной переменной»

__________________________________________________________

 Плотникова Ирина Анатольевна, Соколова Людмила Александровна – преподаватели математики ГАОУ СПО ТК № 28

Сдано в печать 29.08.2012.

Формат бумаги 60х90/16

Тираж 31 экз.

Государственное автономное образовательное учреждение

среднего профессионального образования города Москвы

Технологический колледж № 28

109382, Москва, ул. Верхние поля, 27

Тел./факс 8(495)359-65-29

E-mail: 28-2@prof.educom.ru

Отпечатано в типографии ГАОУ ТК № 28

Москва, ул. 2-ая Кабельная, 2

Тел. 8(495)673-54-22

E-mail: 78@prof.educom.ru