Главные вкладки

    Пример лекции по математике для студентов 2 курса
    план-конспект занятия на тему

    Марченкова Александра Александровна

    Представлен пример лекционного материала по математики для студентов 2 курса

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Microsoft Office document icon lektsiya_kak_nayti_intervaly_vypuklosti.doc340 КБ

    Предварительный просмотр:

    Как найти интервалы выпуклости, интервалы вогнутости
    и точки перегиба графика?

    Пусть функция http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024.gif дважды дифференцируема на некотором интервале. Тогда:

    – если вторая производная http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image026.gif на интервале, то график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image028.gif является выпуклым на данном интервале;

    – если вторая производная http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image030.gif на интервале, то график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image028_0000.gif является вогнутым на данном интервале.

    На счёт знаков второй производной по просторам учебных заведений гуляет доисторическая ассоциация: «–» показывает, что

     «в график функции нельзя налить воду» (выпуклость),
    а «+» – «даёт такую возможность» (вогнутость).

    Необходимое условие перегиба

    Если в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image032.gif есть перегиб графика функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0000.gif, то:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image034.gif либо значения http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image036.gif не существует

    Данная фраза подразумевает, что функция http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0001.gif непрерывна в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image038.gif и в случае http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image040.gif  – дважды дифференцируема в некоторой её окрестности.

    Необходимость условия говорит о том, что обратное справедливо не всегда. То есть из равенства http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image040_0000.gif (либо небытия значения  http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image036_0000.gif) ещё не следует существования перегиба графика функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0002.gif в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image032_0000.gif. Но и в той, и в другой ситуации http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image032_0001.gif называют критической точкой второй производной.

    Достаточное условие перегиба

    Если вторая производная http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image042.gif при переходе через точку http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image032_0002.gif меняет знак, то в данной точке существует перегиб графика функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0003.gif.  

    Логично.

    Точек перегиба (встретился уже пример) может не быть вовсе, и в этом смысле показательны некоторые элементарные образцы. Проанализируем вторую производную функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image044.gif:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image046.gif

    Получена положительная функция-константа,  то есть для любого значения «икс» http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image048.gif. Факты, лежащие на поверхности: парабола http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image044_0000.gif вогнута на всей области определения, точки перегиба отсутствуют. Легко заметить, что отрицательный коэффициент при http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image051.gif «переворачивает» параболу и делает её выпуклой (о чём нам сообщит вторая производная – отрицательная функция-константа).

    Экспоненциальная функция http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image053.gif также вогнута на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image055.gif:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image057.gif
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image059.gif для любого значения «икс».

    Точек перегиба у графика http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image053_0000.gif, разумеется, нет.

    Исследуем на выпуклость/вогнутость график логарифмической функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image062.gif:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image064.gif

    Таким образом, ветка логарифма является выпуклой на интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image018_0000.gif. Вторая производная http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image067.gif определена и на промежутке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image069.gif, но рассматривать его НЕЛЬЗЯ, поскольку данный интервал не входит в область определения функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image062_0000.gif. Требование очевидно – коль скоро там нет графика логарифма, то ни о какой выпуклости/вогнутости/перегибах речи, естественно, не заходит.


    Алгоритм исследования графика функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0004.gif на выпуклость, вогнутость и наличие перегибов:

    1) На первом шаге находим область определения функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0005.gif и точки разрыва.

    2) Разыскиваем критические значения. Для этого берём вторую производную http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image072.gif и решаем уравнение http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image074.gif. Точки, в которых не существует 2-ой производной, но которые входят в область определения самой функции – тоже считаются критическими!

    3) Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки (ни тех, ни других может не оказаться – тогда чертить ничего не надо (как и в слишком простом случае), достаточно ограничиться письменным комментарием). Методом интервалов определяем знаки http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image072_0000.gif на полученных интервалах. Как только что пояснялось, рассматривать следует только те промежутки, которые входят в область определения функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0006.gif. Делаем выводы о выпуклости/вогнутости и точках перегиба графика функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image024_0007.gif. Даём ответ.

    Попытайтесь устно применить алгоритм для функций http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image076.gif. Во втором случае, кстати, пример, когда в критической точке не существует перегиба графика. Впрочем, начнём с ненамного более сложных заданий:

    Пример 1

    Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image002_0000.gif

    Решение:
    1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Очень хорошо.

    2) Найдём вторую производную. Можно предварительно выполнить возведение в куб, но значительно выгоднее использовать правило дифференцирование сложной функции:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image078.gif

    Заметьте, что http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image080.gif, а значит, функция является неубывающей. Хоть это и не относится к заданию, но на такие факты всегда желательно обращать внимание.

    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image082.gif

    Найдём критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image084.gif
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image012_0000.gif – критическая точка

    3) Проверим выполнение достаточного условия перегиба. Определим знаки второй производной на полученных интервалах http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image087.gif.

    Внимание! Сейчас работаем со второй производной (а не с функцией!)

    Используем метод интервалов. Повторим его ещё разок.

    Выберем наиболее выгодную точку http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image022_0000.gif интервала http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image006_0000.gif и вычислим в ней значение второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image091.gif, следовательно, http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image026_0000.gif в любой точке интервала http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image006_0001.gif.

    Из интервала http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image095.gif возьмём значение http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image097.gif и проведём аналогичное действие:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image099.gif, а значит, http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image030_0000.gif и на всём интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image102.gif.

    В результате получены следующие знаки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image104.jpg
    Таким образом, график САМОЙ ФУНКЦИИ
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image002_0001.gif является выпуклым на интервале  http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image006_0002.gif и вогнутым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image102_0000.gif. При переходе через http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image012_0001.gif вторая производная меняет знак, поэтому в данной точке существует перегиб графика.

    Найдём ординату: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image107.gif

    Ответ: график функции выпукл на интервале  http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image006_0003.gif и вогнут на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image102_0001.gif, в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image109.gif существует перегиб графика.

    Как вариант, пойдёт и запись «…в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image012_0002.gif существует перегиб графика».

    Пример 2

    Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image111.gif

    Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления задания в конце урока. А чертежи – в начале =)

    Рассмотрим более интересных представителей мира функций:

    Пример 3

    Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image113.gif

    Решение:
    1) Функция определена и непрерывна на
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image055_0000.gif.

    2) Найдём критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image116.gif

    Так как http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image118.gif, то корни могут появиться только из решения квадратного уравнения:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image120.gif

    Дискриминант положителен, и на подходе две критические точки:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image122.gif

    Как и в ситуации с экстремумами функции, критические точки рациональнее не нумеровать подстрочными индексами. Ну а то, что они получились с радикалами – обычное дело.

    3) Определим знаки второй производной. Можно использовать стандартный метод интервалов, но здесь http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image118_0000.gif, и учитывая, что http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image124.gif – парабола, ветви которой направлены вверх, получаем:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image126.jpg
    Таким образом, график функции
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image113_0000.gif является выпуклым на интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image128.gif и вогнутым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image130.gif. В обеих критических точках существуют перегибы графика (так как 2-ая производная при переходе через них меняет знак).

    Найдём ординаты данных точек:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image132.gif
    (в целях вычислений подставлять, конечно, удобнее приближенные значения)

    Ответ: график функции выпуклый на интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image128_0000.gif и вогнутый на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image130_0000.gif. В точках http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image134.gif существуют перегибы графика.

    Чтобы закомментировать некоторые важные моменты нарисую его полностью:
    Особо аккуратно следует изображать на чертеже точки перегиба графика
    Прежде всего, ещё раз подчёркиваю необходимость аккуратно выполнять чертежи: слева график
    вогнут. Кстати, обратите внимание, что там он не может быть выпуклым, поскольку линия бесконечно близко приближается к своей горизонтальной асимптоте. Когда аналитически получается подобный противоречивый результат, приходится перепроверять асимптоты, интервалы возрастания/убывания, выпуклости/вогнутости. При переходе через левую зелёную точку график начинает плавно выгибаться вверх – и до второй точки
    у нас интервал выпуклости. Затем снова следует
    плавный прогиб вниз и на крайнем правом интервале имеет место вогнутость графика.

    Более простое задание для самостоятельного решения:

    Пример 4

    Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image138.gif

    Особенность предложенной функции состоит в её чётности, а это значит, что интервалы выпуклости/вогнутости и точки перегибы графика (если они существуют) симметричны относительно оси http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image140.gif. И если, например, на крайнем левом интервале получится выпуклость, а на крайнем правом вогнутость, следовательно, где-то допущена ошибка. Примерный образец решения + чертёж для наглядности – в конце урока.

    Читателям со средним и высоким уровнем подготовки (да и чайникам тоже) рекомендую попутно исследовать возрастание/убывание и экстремумы функций – ведь в рассматриваемых заданиях вынужденно фигурируют первые производные! Комплексный подход быстрее научит проводить полное исследование функций и понимать, как выглядят их графики.

    Настал черёд популярных…, правильно догадались,  дробно-рациональных:

    Пример 5

    Исследовать график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image142.gif на выпуклость, вогнутость и перегибы.

    Решение:
    1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image144.gif, и это обстоятельство крайне важно для решения задачи.

    2) Найдём критические точки второй производной.
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image146.gif

    Пополните свой арсенал рациональной методикой упрощения второй производной: числитель и знаменатель сокращаем на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image148.gif, множитель http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image150.gif выносим за скобки. А в случае возникновения трудностей с нахождением самих производных, целесообразно перебазироваться в соседний раздел сайта и поднять свою технику дифференцирования.

    В результате получена одна критическая точка: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image022_0001.gif.

    3) Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image153.jpg
    Напоминаю важный приём
    метода интервалов, позволяющий значительно ускорить решение. Вторая производная http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image155.gif получилась весьма громоздкой, поэтому не обязательно рассчитывать её значения, достаточно сделать «прикидку» на каждом интервале. Выберем, например, точку http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image157.gif, принадлежащее левому промежутку,
    и выполним подстановку:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image159.gif

    Теперь анализируем множители:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image161.gif
    Два «минуса» и «плюс» дают «плюс», поэтому
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image163.gif, а значит, вторая производная положительна и на всём интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image165.gif.

    Закомментированные действия несложно выполнить устно. Кроме того, множитель http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image167.gifвыгодно игнорировать вообще – он положителен при любом «икс» и не оказывает влияния на знаки нашей второй производной.

    Итак, какую информацию нам предоставила http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image169.gif?

    Ответ: график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image142_0000.gif является вогнутым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image171.gif и выпуклым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image173.gif. В начале координат (ясно, что http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image175.gif) существует перегиб графика.

    При переходе через точки http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image144_0000.gif вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image142_0001.gif терпит в них бесконечные разрывы.

    В разобранном примере первая производная http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image177.gif сообщает нам о росте функции на всей области определения. Всегда бы такая халява =) Кроме того, очевидно наличие трёх асимптот http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image179.gif. Данных получено много, что позволяет с высокой степенью достоверности представить внешний вид графика. До кучи, функция ещё и нечётная. Исходя из установленных фактов, попытайтесь выполнить набросок на черновике. Картинка в конце урока.

    Задание для самостоятельного решения:

    Пример 6

    Исследовать график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image181.gif на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба графика, если они существует.

    Чертежа в образце нет, но гипотезу выдвинуть не возбраняется ;)

    Шлифуем материал, не нумеруя пункты алгоритма:

    Пример 7

    Исследовать график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image183.gif на выпуклость, вогнутость и найти точки перегиба, если они существует.

    Решение: функция терпит бесконечный разрыв в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image185.gif.

    У нас как обычно, всё отлично:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image187.gif

    Производные не самые трудные, главное быть внимательным с их «причёской».
    В наведённом марафете обнаруживаются две критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image189.gif 

    Определим знаки http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image191.gif на полученных интервалах:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image193.jpg
    В точке
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image195.gif существует перегиб графика, найдём ординату точки:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image197.gif

    При переходе через точку http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image022_0002.gif вторая производная не меняет знак, следовательно, в ней НЕТ перегиба графика.

    Ответ: интервалы выпуклости: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image200.gif; интервал вогнутости: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image202.gif; точка перегиба: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image204.gif.

    Рассмотрим заключительные примеры с дополнительными примочками:

    Пример 8

    Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image206.gif 

    Решение: с нахождением области определения особых проблем не возникает:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image208.gif, при этом в точках http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image210.gif функция терпит разрывы.

    Идём проторенной дорогой:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image212.gif

    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image214.gif – критическая точка.

    Определим знаки http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image216.gif, при этом рассматриваем интервалы только из области определения функции:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image218.jpg
    В точке
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image220.gif существует перегиб графика, вычислим ординату:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image222.gif

    Ответ: график http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image028_0001.gif является выпуклым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image225.gif и вогнутым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image227.gif, в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image220_0000.gif существует перегиб.

    Пример 9

    Сильно маньячить не будем – то же задание для функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image229.gif.

    Рекомендую следующий порядок действий:

    – В методичке Графики элементарных функций ищем график арккосинуса. Думаю, интервалы выпуклости/вогнутости и точку перегиба видно неплохо.

     – Анализируя геометрические преобразования, выясняем, как сдвинется график, если к аргументу функции добавлена «двойка».

    – В принципе, понятна и http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image231.gif, но её академичнее найти аналитическим путём. Похожие примеры разобраны в конце урока Область определения функции.

    – На завершающем этапе, собственно, выполняем задание, при этом поведение второй производной нужно изучить только в найденной области определения функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image229_0000.gif.

    Полное решение и ответ в конце урока.

    Как отмечалось в теоретической части статьи, бывает ситуация, когда функция определена в некоторой точке, однако вторая производная в ней не определена. Такая точка считается критической (но только один этот факт и здесь не гарантирует наличие перегиба!).

    Например, график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image234.gif терпит перегиб в начале координат, хотя второй производной там не существует. Тем не менее, в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image022_0003.gif строго выполнено и необходимое и достаточное условие перегиба. Желающие могут убедиться в этом самостоятельно.

    Похожий случай с более трудной функцией http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image237.gif и её первой производной http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image239.gif рассмотрен в Примере 8 урока об экстремумах функции (откройте на соседней вкладке – там есть график). Не поленился, прямо сейчас нашёл http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image241.gif(вроде как правильно). На числовой прямой откладываем выколотые критические точки http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image243.gif второй производной. Анализ http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image191_0000.gif на полученных интервалах показывает, что при переходе через точку http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image022_0004.gif (остриё) знак 2-ой производной не меняется (перегиба нет), а вот в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image247.gif есть перегиб графика (хотя http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image249.gif и не существует).

    Теперь у вас есть всё необходимое оружие и доспехи для генерального сражения с графиками функций!

    Решения и ответы:

    Пример 2: Решение:
    1) Функция терпит бесконечный разрыв в точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image022_0005.gif
    2) Найдём критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image252.gif
    Критические точки отсутствуют.
    3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image254.jpg
    Ответ: график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image111_0000.gif является вогнутым на интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image016_0000.gif и выпуклым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image018_0001.gif, точки перегиба отсутствуют.

    Пример 4: Решение:
    1) Функция определена и непрерывна на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image055_0001.gif.
    2) Найдём критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image257.gif
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image259.gif – критические точки
    3) Определим знаки второй производной на полученных интервалах:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image261.jpg
    В точках http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image263.gif существуют перегибы графика.
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image265.gif
    Ответ: график функции http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image138.gif является вогнутым на интервале http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image267.gif и выпуклым на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image269.gif, точки перегиба: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image271.gif.
    Выпуклость, вогнутость и перегибы графика чётной функции

    График Примера 5:
    Информация об асимптотах, интервалах монотонности и выпуклости/вогнутости позволяет достаточно точно представить, как выглядит график

    Пример 6: Решение: найдём критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image277.gif
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image279.gif – критические точки:
    Определим знаки второй производной на полученных интервалах:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image281.jpg
    Во всех трёх точках существуют перегибы графика.
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image283.gif
    Ответ: график функции выпуклый на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image285.gif и вогнутый на http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image287.gif. В точках http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image289.gif существуют перегибы графика.

    Пример 9: Решение: найдём область определения функции. Составим и решим двойное неравенство:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image291.gif
    Таким образом, http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image293.gif.
    Найдём критические точки второй производной:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image295.gif
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image297.gif  – критическая точка.
    Учитывая область определения функции, определим знаки http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image191_0001.gif:
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image300.jpg
    В точке http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image297_0000.gif существует перегиб графика.
    http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image303.gif
    Ответ: интервал вогнутости графика: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image305.gif, выпуклости: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image307.gif, точка перегиба: http://www.mathprofi.ru/k/vypuklost_vognutost_tochki_peregiba_grafika_clip_image309.gif.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Контрольная работа по дисциплине Дискретная математика для студентов 2 курса специальности Профессиональное обучение

    Контрольная работа по дисциплине Дискретная математика для студентов 2 курса специальности Профессиональное обучение предназначена для проверки знаний и умений по теме Теория соответствий. Отношения...

    Вопросы к зачету по математике для студентов 2 курса

    Примерные вопросы к зачету по курсу "Элементы высшей математики"...

    Рабочая программа по математике для студентов 1 курса

    рабочая программа по математике для студентов 1 курса...

    Рабочая программа по математике для студентов 1 курса

    Рабочая программа по математике для студентов 1 курса специальности "Гостиничный сервис"...

    Урок по дисциплине "Математика" для студентов 1 курса по теме "Иррациональные уравнения"

    Вводится понятие иррационального уравнения и способы решения через проверку корней и подстановку в исходное уравнение...

    Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине ЕН "Математика" для студентов 2 курса, обучающихся по специальности 151901 «Технология машиностроения»

    Методические указания по выполнению практических работ учебной дисциплины естественнонаучного цикла «Математика» разработаны на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специ...

    ЛЕКЦИИ ПО ПСИХОЛОГИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 2-го КУРСА

    ЛЕКЦИИ   ПО ПСИХОЛОГИИИ ДЛЯ  САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  РАБОТЫ  СТУДЕНТОВ...