Лекция по математике 1 курс по теме: Логарифмические неравенства их типы и методы решения.
план-конспект урока

Лекция по математике 1 курс по теме:

Логарифмические неравенства их типы и методы решения.

При решении логарифмических неравенств надо хорошо знать свойства логарифмической функции.

Рассмотрим взаимное расположение графика функции  и прямой .

Вывод. Прямая  пересекает график функции  в единственной точке .

Определение. Пусть, тогда неравенства  или  называются простейшими логарифмическими неравенствами.

Что, значит, решить неравенство?

Решить неравенство - значит, найти все его решения или показать, что их нет.

Что называется решением неравенства?

Решением неравенства с неизвестным  называют число , при подстановке которого в неравенство вместо  получается верное числовое неравенство.

Типы логарифмических неравенств и методы их решения.

1). Простейшие логарифмические неравенства.

Пример 1. .

Решение:

Т. к. ;  убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

Ответ: (0,2;0,4).

Пример 2. .

Решение:

Т. к. ;  убывает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

Ответ: (0,75;2).

2). Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим логарифмическим неравенствам.

Пример 1..

Решение:

,

,

.

Т. к.  и  возрастает на всей области определения, то неравенство равносильно системе

  т. к. , при , то система равносильна неравенству .

,

.

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

,

,

.

Т. к. ;  возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

   .

Ответ: .

Пример 3. .

Решение:

.

Т. к. ;  убывает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

      .

Ответ: .

Пример 4. .

Решение:

.

Т. к. ;  возрастает на всей области определения и , то неравенство равносильно системе

    .

Ответ: .

3). Логарифмические неравенства, сводящиеся к неравенствам второй степени.

Пример 1. .

Решение:

. Пусть  тогда

,

Вернёмся к переменной . Т. к. , то

      возрастает на всей области определения, то

Ответ: .

Пример 2..

Решение:

.

Т. к. , то для нахождения области допустимых значений переменной  составим систему:

    .

В найденной области допустимых значений переменной  преобразуем неравенство.

,

,

,

,

  возрастает на всей области определения и , а также .

С учётом области допустимых значений переменной  получим:

Ответ: .

4). Логарифмические неравенства, сводящиеся к рациональным неравенствам.

Пример 1. .

Решение:

Пусть  и , тогда

,

,

Вернёмся к переменной . Т. к. , то

     возрастает на всей области определения

Ответ:.

Пример 2..

Решение:

.

Т. к. , то

В найденной области допустимых значений переменной  преобразуем данное неравенство к виду:

Пусть .

Тогда

Вернёмся к переменной .

  возрастает на всей области определения и ,

Ответ:

5). Логарифмические неравенства, содержащие переменную в основании логарифма.

Пример 1.

Решение:

Т. к.  и , то  

,

,

Ответ: .

Пример 2. .

Решение:

,

.

Т. к. , то

Ответ:

Пример 3. .

Решение:

,

.

Т. к. , то

Ответ: .

Задания для самостоятельного решения:

Решить неравенства:

1)                    

  2)

  3)      

  4)

  5)

   6)

    7)