26.03.2020г. гр.836-2я пара. Повторение.Основные приемы решения логарифмических неравенств.
материал

Тема: Основные приемы решения логарифмических неравенств.

Цель: формирование знаний о разных способах решения логарифмических неравенств, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ.

Лекционный материал

Ключём  к решению логарифмических неравенств  являются свойства логарифмической функции.   Эти свойства следует знать!   

                       1. Область определения: ;

2. Область значений: ;

3. При  монотонно возрастает, т.е. если t2 > t1, то  log a t2 >log a t1 При  монотонно убывает, т.е. если   t2 > t1  то  log a t2 < log a t1.    

       Именно монотонность логарифмической функции позволяет решать простейшие логарифмические неравенства.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства, когда основание логарифма а > 1.

Неравенство необходимо решать, применяя равносильные преобразования. Вот схема.                                          Как эта система получилась?  По условию logaf(x) > logag(x)   Мы знаем что,  при а > 1  функция монотонно возрастает. Отсюда: f(x) > g(x). (1-ая  строка системы)

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представляется системой:

                                                                                                           Учитывая ,  для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем исходное неравенство  равносильно системе.

        Итак вместо логарифмического неравенства будем решать простое неравенство (линейное, квадратное и т. д.), т.е. освободились от знака loga.     

Пример 1. Решить неравенство  log2(2х + 2) > log2 x.                                                                    Решение. Основания одинаковые и больше 1.По схеме ( 1) получаем: первый аргумент больше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них неравенством больше нуля.           

Ответ: 

Рассмотрим   логарифмическое неравенство, когда основание логарифма  0< a <1, т.е.      

Поскольку 0<a<1, то функция монотонно убывает. Отсюда:

logaf(x) > logag(x)  =>   f(x) <  g(x).  

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т. к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представляется системой                                           

Учитывая  f(x) <  g(x),  для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел. Получаем, исходное неравенство  равносильно системе:                                        

Пример 2. Решить неравенство:                                                         Решение.  Основания одинаковые и меньше 1.По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них.  

Ответ: нет решений

Все остальные более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим.

Алгоритм решения:

1. Уравнять основания логарифмов;

2. Сравнить подлогарифмические выражения:

- при  сохранить знак неравенства;

- при  изменить знак неравенства на противоположный;

3. Учесть ОДЗ.

Пример 3. Решите неравенство:           

Решение. Основания логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из них. Имеем систему 

Пример 4.   Решить неравенство:                                                                 Решение. В левой части log , а в правой число. Приведем к виду logaf(x) ≥  logag(x). Для этого число в правой части представим в виде логарифма с тем же основанием, что логарифм в левой части, т.е. 

  применили  

Итак, имеем неравенство:  

Основание логарифмов равны и меньше единицы, По схеме (2) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Имеем систему:

      ⬄                    Ответ: 

Пример 5. Решить неравенство log8(x2-4x+3)<1.                                                                         Решение. В левой части log8t , а в правой 1. Приведем к виду logaf(x) < logag(x). Представим  1 в виде логарифма с тем же основанием, что логарифм в правой части, т.е.   1 = log88, тогда неравенство примет вид:  log8(x2 – 4x + 3) < log88.                                                                              Основание логарифмов равны и больше единицы, По схеме (1) получаем: первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Так как мы защищаем меньшее, то  получим систему:     

Логарифмические неравенства, сводящиеся к простейшим

Более сложные логарифмические неравенства сводятся к простейшим методами, аналогичными используемым при решении логарифмических уравнений.

Пример 1.  Решить неравенство:

                       Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число . Поэтому в равносильном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется.

Пример 2.  Решить неравенство:  

Решение: ОДЗ: х > 0.  Видим два  логарифма, но с разными основаниями. Приведем второй член к основанию 5.                                                                                                                                            Получили неравенство:

                Очевидна замена: 

              Вернемся к исходным переменным:

          -1  ≤  log5 x  ≤ 3                                                                    .                                        -1* -log55  ≤  log5 x ≤ 3* log55  

    log55-1  ≤  log5 x ≤  log553 

                     Решение. Преобразуем к простейшему логарифмическому неравенству. Видим два логарифма, основания разные; и в левой и в правой части есть числа.   Перейдем  к основанию 2 в выражении, стоящем в правой части данного неравенства,  а числа запишем в виде логарифма:                                                                Основания одинаковые и больше 1.Функция log2 t – возрастающая, поэтому первый аргумент больше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Теперь перейдем к равносильной системе:

   Если в неравенстве встречается логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то, как правило, следует рассматривать два случая:                                                                                                                          1) когда основание больше 1,                                                                                                 2) когда основание положительно, но меньше 1.

Пример 4. Решить неравенство log x–3(x2-4x+3)<0.

Решение. Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:                                    =Имеем неравенство:

 log x–3(x2 – 4x + 3) < log x–31. (простейшее неравенство)                                                                       Так как основание логарифма содержит переменную, то рассмотрим два случая  

x-3>1   и    0.

 Если основание логарифма больше 1, то функция – возрастающая, поэтому первый аргумент меньше второго, по ОДЗ оба они больше нуля. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее. Теперь перейдем к равносильной системе:

 Совмещаем промежутки и видим, что данная система не имеет решений.

Рассмотрим второй случай, если 0 < x-3 < 1. Функция log(x-3)t – убывающая, поэтому, знак неравенства меняется. Для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из аргументов. В этом случае получаем систему:

Пример 5. Решить неравенство 

Решение. ОДЗ: х >0. Так как выражения, стоящие в левой и правой частях неравенства положительны, то для решения прологарифмируем обе части по основанию 10. Получим равносильное исходному неравенство:

,          пользуясь свойствами логарифмов                                                      

 lgx * lgx > 1              

 .                Обозначим  t = lg x и решим неравенство: .                                                                                         

Учитывая ОДЗ х > 0     Ответ: (0; 0,1)∪(10;+∞).

Пример 6. Решить неравенство           

     Решение. ОДЗ: х > -2. Если привести к простейшему виду logaf(x) >  logag(x) не получим облегченного неравенства. Попробуем записать в виде:

                                                     log2(x + 2) > -x + 1.                                                                                                                                  Это логарифмическо-линейное неравенство. Можно попробовать графический метод. Лучше использовать монотонность функции. В левой части монотонно возрастающая функция: f(x) = log2(x + 2), а в правой – монотонно убывающая: g(x) =  -x + 1. Значит уравнение  log2(x + 2) = -x + 1 имеет не более одного корня. Подбором находим что х = 0 есть корень этого уравнения .   Проверим f(2)=2, a g(2)= -1. Значит правее х = 1 функция f(x) = log2(x + 2) больше чем g(x) =  -x + 1.               Ответ: х > 1.  

Пример 7. Решите неравенство 

Решение. ОДЗ:         ⬄

 Очень часто бывает  довольно несложное неравенство обычными преобразованиями трудно решить. Вот в таких случаях нам помогает универсальный метод -   метод интервалов.

Нам надо избавиться от переменного основания, так как знак логарифмического выражения зависит как от аргумента, так и от основания. Пусть перейдем к основанию 2. Тогда имеем    .  Оно равносильно неравенству 

 ⬄  

Рассмотрим функцию y = (3x + 7)

Находим нули функции:

3x + 7 = 0                или                           

                или                    

                                        (x + 2)2 = 0

                                        x = -2        (кратность равна 2)        

 Второе неравенство дает    ⬄   ⬄

  2x + 5  1  ⬄  x .

Видим х = -2 имеет кратность 3. Нули функции отметим на координатной прямой. Учитывая кратность нулей методом «тыка» находим знак функции.

 Ответ:

У метода интервалов есть свои минусы. Потому что не всегда удобно определять знаки на промежутках, тем более когда они малы, когда на них нет целых значений.

Пример 8. Решите неравенство 

Решение. В этом случае применим метод равносильных преобразований.                                            Это неравенство равносильно совокупности двух систем:

 Первая система    равносильно совокупности  двух систем:

Итак решением первой системы будет промежуток  (3 ; ).

Также вторая система    равносильно совокупности  двух систем:

Решением второй системы будет промежуток 

Таким образом, решением исходного неравенства  ;   x > 3.

Ответ. (2,5; 2,6];  (3; )

Требования к отчетности:

1. Ознакомиться с материалом, оформить лекцию с примерами в тетрадь;

2. Фотоотчет присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.