26.03.2020г. гр.836-1я пара Повторение. Основные приемы решения логарифмических уравнений
материал

Тема: Основные приемы решения логарифмических уравнений

Цель: формирование знаний о разных способах решения логарифмических уравнений, умений применять их в каждой конкретной ситуации и выбирать для решения любой способ.

Лекционный материал

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них

И это решение  состоит из двух равноценных частей:

1) нахождение области допустимых значений (ОДЗ),

2)  решение самого уравнения.

Эти части решаются независимо друг от друга. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить.

ОДЗ -  это те значения х, которые  разрешены для исходного примера.   А как искать   ОДЗ?   Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия.  Таких запретных действий в математике очень мало. ( Нельзя делить на ноль,  в корнях чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным, выражение стоящее под логарифмом должно быть неотрицательным и основание логарифма  а >0 и а ≠1.)

Простейшие логарифмические уравнения

Умение решать простейшие логарифмические уравнения - это очень важно. Дело в том, что даже самые злые и замороченные уравнения обязательно сводятся к простейшим! Собственно, простейшие уравнения - это финишная часть решения любых уравнений.

Уравнения вида     logа f(х) = logа g(х)  

Простейшее уравнение    logа f(х) = logа g(х)  решается методом  потенцирования.        Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:
    logа f(х) = logа g(х)                  f(х) = g(х),     при  f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.       т.е. если равны логарифмы по одному и тому же основанию, то и равны логарифмируемые выражения.    В виде равносильного перехода:   

Ликвидировать логарифмы безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева-справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве

-В уравнении  log3х = 2log3(3х-1) убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет.    Коэффициент.

- В примере log3х+log3(х+1) = log3(3+х) тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Короче, убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так: logа(.....) = logа(.....)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение

Пример 1. Решите уравнение:   

Решение: способ 1. В область допустимых значений (ОДЗ) входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

Видим логарифмы по одному и тому же основанию равны, значит, равны и логарифмируемые выражения. 

В область допустимых значений входит только первый корень.  Ответ:  7.                  ОДЗ можно было не решать, а просто записать. В конце каждый корень подставить в ОДЗ. Если с каждым неравенством ОДЗ  получится верное числовое неравенство, то он идет в Решение: способ 2. Если это уравнение решим путем равносильных переходов, то ОДЗ нашли бы без всяких квадратных неравенств и пересечений. Итак  

Уравнение х2 - 5х – 14 = 0 имеет корни х1 = 7,  х2 = -2.        

 В область допустимых значений входит только первый корень.  Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение 

Решение. Решим методом равносильных переходов. Тогда уравнение равносильно системе

Корни уравнения -2 и 5. Только -2 ϵ ОДЗ.         Ответ: -2

  Итак уравнения такого вида решили 2-мя способами:                      1)отдельно найдя ОДЗ и отдельно решив само уравнение;                   

2)используя равносильные переходы.          Какой способ вам по душе?

Уравнения  вида  loga f (x) = b 

Уравнение loga f (x) = b  - простейшее логарифмическое уравнение, где а и b -  числа; а >0, a≠1. Переменная х присутствует только внутри аргумента.

  Способы решения :

1) Применение определения логарифма

2)Представление числа в виде логарифма:   b = loga ab

1. Решение уравнений  применением определения логарифма  

Решение уравнения
основано на применении определения логарифма  и  в решении   равносильного уравнения  

 Для уравнений  loga f (x) = b записывать область определения не нужно (f (x) >0), потому что она будет выполняться автоматически. Так как в какую бы степень мы бы не возводили положительное число а, на выходе мы все равно получим положительное число, т.е. если а > 0, то  ab > 0  всегда   =>   f (x) = ab > 0. 

Пример 1. Решите уравнение log5(x – 2) = 1

Решение: Переменная х встречается лишь в одном log  и стоит в его аргументе, значит находить ОДЗ не надо.                                                                                        log5(x – 2) = 1 ⬄ x – 2 = 51 ⬄ x – 2 = 5 ⬄ x = 7.                Ответ: 7.

Пример 2. Решите уравнение 

Решение: Три раза выполним переход:    loga f(x) = b                     f(x) = ab 

     ⬄                 ⬄             ⬄  x = 8. 

Ответ: 8                                                                      

2). Решение простейшего логарифмического уравнения  loga f (x) = b представлением числа в виде логарифма  b = logaab (методом потенцирования).

(loga f (x) = b     ⬄      loga f (x) = logaab      ⬄     f (x) = ab)

Пример 3. Решите уравнение: 

Решение: Это простейшее логарифмическое уравнение, поэтому нет необходимости найти ОДЗ, потому что 3х – 1>0  будет выполняться автоматически.  Слева у нас стоит выражение с логарифмом, а справа – число. Что делать? Нужно сделать так, чтобы справа тоже было выражение с логарифмом по основанию 0,5 а затем просто сбросить логарифмы. Так как −3 = −3*1 = -3*log0,5 0,5=log0,5 0,5−3 тогда уравнение примет вид:            log0,5 (3x − 1) = log0,5 0,5−3 

 3x − 1 = 0,5−3 

Все десятичные дроби переводите в обычные, когда вы решаете логарифмическое уравнение.

Заметим  что  0,5-3 = (1/2) −3 = (2-1)-3 = 23 = 8 и получим

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3         Ответ: 3.

        Пример 4. Решите уравнение 

Решение: Это простое логарифмическое уравнение, поэтому можно не найти ОДЗ. Первый шаг- дробь справа представим в виде логарифма. Получим:

   Учитывая, что 161/4 = (24)1/4 = 2

избавляемся от знака логарифма и получаем обычное иррациональное уравнение:  где надо будет учесть ОДЗ.

,  решим равносильным переходом к системе:

Из полученных корней нас устраивает только первый, так как второй корень меньше нуля. Единственным ответом будет число 9.                          Ответ: 9.

Уравнения, решаемые применением свойств логарифмов

Схема решения не простых логарифмических уравнений

1. Привести уравнение с помощью свойств логарифмов к виду:

log а f(x) = b       или      logа f(x) = logа g(x).

2. Решить равносильное уравнение

f(x) = a b         или           f(x) = g(x)      по их алгоритму.

Пример 1. Решите уравнение

Если lg(x – 1) переведем в правую часть уравнения, то получим уравнение вида  logа f(х) = logа g(х).                   

Если неравенства неудобные, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы

          Пример 2. Решите уравнение

 Если  в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями,  то, прежде всего, следует свести  все логарифмы к одному основанию, используя формулы  перехода ,       и   

Пример 3. Решите уравнение

             Решение. ОДЗ: х > 0. Сразу видно, что у логарифмов основания  разные. Используя формулу  придем к одинаковому основанию   

x = 8

Уравнения, решаемые введением новой переменной

Если, в уравнение неоднократно, встречается некоторое определенное выражение, то оно решается введением новой переменной  

Пример 1. Решите уравнение

ОДЗ: x > 0. Введем новую переменную   тогда получим квадратное уравнение:

y2 – y = 2,

y2 – y – 2 = 0,

 y1 = 2                или        y2 = -1

      или    

x = 25        или       x = 5-1

                             x =

Ответ: 25;

Пример 2. Решите уравнение  

Оба корня удовлетворяют ОДЗ нашего уравнения. 

Пример 3. Решите уравнение  4 log255x + log25x – 5 = 0;                 ОДЗ:         x > 0.

Тут 2 основания, выполним переход к основанию 5, используя формулу         

2 log55x + log25x – 5 = 0;     Применим формулу logaxy = logax + logay

2(log55 + log5x) + log25x – 5 = 0.

2(1 +  log5x) + log25x – 5 = 0.

Пусть log5x = t,    тогда 2(1 + t) + t2 – 5 = 0;

t2 + 2t – 3 = 0;

(t + 3)(t – 1) = 0;

 t = – 3         или         t = 1; Обратно переходим на обозначение  log5x = t:

log5x = – 3,                log5x = 1;

x = 5-3,                        x = 5;

x = 1/125.  Оба корня удовлетворяют ОДЗ.                Ответ:  

Пример 4.  Решите уравнение                                                             Решение: Область допустимых значений:

Решать систему необходимости нет.  Пусть log2(5x – 1) = t, тогда

Уравнения, содержащие неизвестное и в основании и в аргументе.

Уравнения вида log f(x)g(x) = b

Уравнение  log f(x)g(x) = b похоже простейшему уравнению loga f (x) = b    Сходство: в обеих уравнениях в левой части log,  в правой  число b. Отличие в том, что в первой переменная х присутствует не только внутри аргумента, но и в основании логарифма.

Но мы должны учесть определенные требования.                                              1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0:                                   2) основание должно быть не только больше 0, но и отлично от 1

Способы решения :

1) Применение определения логарифма

2)Представление числа в виде логарифма

Пример 1. Решить уравнение: log x – 1(x2 – 5x + 10) = 2. 

Решение: ОДЗ:    x2 – 5x + 10 > 0,                                                                                                x – 1 > 0,                                                                                                                   x – 1 ≠ 1.

По определению логарифма х2 – 5х + 10 = (х - 1)2                                                                       х2 – 5х + 10 =:х2 – 2х + 1,                                                                                                                   -3х = -9                                                                                                   х = 3

Проверим  принадлежность х = 3 ОДЗ:   32 – 5*3 + 10 > 0    верно,                                                                                                                               3 – 1 > 0                 верно                                                                                                                        3 – 1 ≠ 1                 верно

 Ответ: 3.

Пример 2. Решите уравнение  log х+1(2x2+1)=2                                        Решение: Решим методом равносильных переходов. Заменяем 2 на                              так как   2=2*1=2* log х + 1(х+1)= log х + 1(х+1)2 тогда  получим:                                   log х+1(2x2+1)= log х+1(x+1)2 

Наше уравнение содержит неизвестное и в основании и в аргументе. Поэтому                  1) аргумент каждого из логарифмов должен быть больше 0.                                                   2) основание должно быть не только больше 0, но и  ≠ 1. В итоге получим систему:

Решим  уравнение     2х2+1=(х+1)2,                                                                             2х2 + 1 = х2 + 2х + 1                                                                                        х2 - 2x = 0         ⬄  x(x - 2) = 0        ⬄   x=2   или    x=0.                                                     х=0  не соответствует системе.                Ответ: 2.

Способ 2. ОДЗ:  по определению логарифма получим:                 2х2+1 = (х+1)2,                                                                                          2х2+1 = х2 + 2х + 1,                                                                                        х2 – 2х = 0           ⬄      x(x – 2) = 0     ⬄     x = 0,   x = 2.                                                 Корень х = 0 не удовлетворяет  третьему неравенству ОДЗ.         

Ответ: 2

Уравнения вида   log h(x)f(x) = log h(x)g(x)

Пример 1. Решите уравнение  log 3x(x2 – 5x) =  log 3x(4x – 8)

Показательно – логарифмические уравнения

 
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.  

Пример 1. Решить уравнение: х1 – lgx = 0.01.                                                                Решение: ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 10, получим уравнение:

(1 – lg x)*lg x = -2

Положив t = lg x, придем к уравнению  t2 – t – 2 = 0, откуда t1 = -1,  t2 = 2. Таким образом, задача свелась к решению следующей совокупности уравнений:  

Оба найденных значения входят в ОДЗ.                        Ответ: 0,1;  100

Пример 2. Решить уравнение 32log4 x+2=16x2.

Решение. Область определения x >0. Прологарифмируем обе части по основанию 4.

Используя свойства логарифмов, получим

Ответ: x = 1/4

Функционально – графический метод.

Пример 1. Решите уравнение log2x = 3 – x

В одной и той же системе координат строим графики функции                          у= log2x     и      у = 3 – x

 Ответ: 2.

Обычно графически метод применяется, если трудно найти других методов. Графически метод менее точный. Целесообразно его использовать, если стоит вопрос «Сколько корней имеет уравнение».

Метод использования  монотонности функции

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из функции y = f(x)  возрастает, а другая  y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x) =  g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х.

Если корень имеется, то его можно угадать.

Пример 1.  Решить уравнение:    log3 x = 4- x                                          Решение: ОДЗ х > 0. Так как функция у= log3 х   возрастающая, а функция  у = 4-х убывающая на (0; + ∞ ), то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень. Подбором определяем  х = 3.                Ответ: 3.        

Пример 2. Решите уравнение : log3(x + 1) + log4(5x + 6) = 3.  ОДЗ: х > -1    

Решение:  у = log3(x + 1) – возрастающая функция,  y = log3(x + 1) – тоже возрастающая.  Сумма двух возрастающих функции дает возрастающую  функцию. В правой части постоянная функция у = 3. Значит уравнение                     имеет не более одного корня. Подбором определяем  х = 2.    Ответ: 2.

        Требования к отчетности:

1. Ознакомиться с материалом, оформить лекцию с примерами в тетрадь;

2. Фотоотчет присылать на почту: vismyt89@mail.ru своевременно (подписывайте ФИО и номер группы), можно в ВКонтакте.