Контрольные работы
учебно-методический материал

Семестровая контрольная работа

За осенний семестр 2017-2018 учебного года

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Вариант 1.

1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Выполнить действия с матрицами.

3. Дано: Треугольник ABC задан координатами вершин.  А (5;-1), B (1;6), C(-3;-3)

Найти: 1) уравнения сторон треугольника,  2) величины внутренних углов треугольника,  3) уравнения высот  треугольника и координаты точки  Р их пересечения , 4) длину медианы АМ треугольника ,  5) уравнения прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС. Сделать чертеж.

4. Даны два комплексных числа: z1=2-5i,  z2=6-8i.

     Найти а) z1+z2;  б) z1-z2; в) z1z2; г)  z1/z2.

5. Найдите первые десять членов последовательности и опишите её словами

6. Вычислите

7. Найдите

Семестровая контрольная работа

За осенний семестр 2017-2018 учебного года

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Вариант 2.

1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Выполнить действия с матрицами.

3. Дано: Треугольник ABC задан координатами вершин.  А (2;3), B (-1;7), C(10;18)

Найти: 1) уравнения сторон треугольника,  2) величины внутренних углов треугольника, 3) уравнения высот  треугольника и координаты точки  Р их пересечения , 4) длину медианы АМ треугольника ,  5) уравнения прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС. Сделать чертеж.

4. Даны два комплексных числа: z1=3+7i,  z2= -8+6i.

     Найти а) z1+z2;  б) z1-z2; в) z1z2; г)  z1/z2.

5. Найдите первые десять членов последовательности и опишите её словами

6. Вычислите

7.  Найдите

Семестровая контрольная работа

За осенний семестр 2017-2018 учебного года

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Вариант 3.

1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Выполнить действия с матрицами.

3. Дано: Треугольник ABC задан координатами вершин.  D (5;-1), B (1;6), A(-3;-3)

Найти: 1) уравнения сторон треугольника,  2) величины внутренних углов треугольника, 3) уравнения высот  треугольника и координаты точки  Р их пересечения , 4) длину медианы АМ треугольника ,  5) уравнения прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС. Сделать чертеж.

4. Даны два комплексных числа: z1=2-5i,  z2=6-8i.

     Найти а) z1+z2;  б) z1-z2; в) z1z2; г)  z1/z2.

5. Найдите первые десять членов последовательности и опишите её словами

6.  Вычислите

;                    

7.  Найдите

Семестровая контрольная работа

За осенний семестр 2017-2018 учебного года

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Вариант 4.

1. Вычислить определитель 3-го порядка, используя метод Саррюса (или метод треугольников) и метод разложения по минорам какого-нибудь ряда.

2. Выполнить действия с матрицами.

3. Дано: Треугольник ABC задан координатами вершин.  А (-5;-1), B (7;-6), C(-13;-3)

Найти: 1) уравнения сторон треугольника,  2) величины внутренних углов треугольника, 3) уравнения высот  треугольника и координаты точки  Р их пересечения , 4) длину медианы АМ треугольника ,  5) уравнения прямой, проходящей через точку Р параллельно прямой АС. Сделать чертеж.

4. Даны два комплексных числа: z1=8+3i,  z2=8+6i.

     Найти а) z1+z2;  б) z1-z2; в) z1z2; г)  z1/z2.

5.  Найдите первые десять членов последовательности и опишите её словами

6.  Вычислите

7.  Найдите

Тема: Контрольная работа № 3

«Функции. Пределы»

Цель: оценка знаний по основам математического анализа, оценка степени овладения умениями применять стандартные методы к решению задач по разделу «Функции и последовательности».

Задания для контрольной работы

Вариант 0

1. Найти пределы.

а)                б)        

в)                г)                д)        

2. Исследовать функции на непрерывность и построить их графики.

а)                б)                в)  

Контрольная работа № 4

по теме «Производная функции»

Вариант  1

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = 4x2 +6x+3,    x0 = 1;

б)  ;

в)  f(x) = (3x2+1) (3x2-1),   х0 =1;

г)  f(x)=2x·cosx,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 53x-4;

б) f(x) = sin (4x-7);

в) f(x) = ;

г) f(x)  = ln (x3+5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) = 4 - x2  в точке х0 = -3.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой х0= -1.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции  f(x) = x2 - 2x в точке с абсциссой х0=-2.
6. Уравнение движения тела имеет вид   s(t) = 2,5t2 + 1,5t. Найдите скорость тела через 4 с после начала движения.

7. Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = 3х3- 9х.

8. Найти точки экстремума функции  f(x) = 12х –3х2 + 2х3.

9. Найти наибольшее значение функции  f(x) = х3 + на отрезке [0,5; 2]. 

Вариант 2

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = 7x2 -56x+8,    x0 = 4;

б)  ;

в)  f(x) = (x2+1) (x3-2),     х0 = 1;

г)  f(x)=3x·sinx,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 25x+3;

б) f(x) = сos(0,5x+3);

в) f(x) = ;

г) f(x)  = +5x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) = 2x2 + x в точке х0 = -2.
4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x2+4х - 12 параллельна оси абсцисс?
5. Напишите уравнение касательной к графику функции

       f(x) = -x2 -3x + 2 в точке с  

       абсциссой х0= -1.

6. Точка движется по прямолиней-ному закону   x(t) = 3t2 + t + 4. В какой момент    времени скорость тела будет   равна 7?        (координата измеряется в метрах,        время – в секундах)
7. Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = х3 –24х.
8. Найти точки экстремума функции  f(x) = х4 –4х3.
9. Найти наибольшее значение функции  f(x)=х3 -3х2 + 2 на отрезке [-2; 3]. 

Вариант 3

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = x5 -4x+8,    x0 = 2;

б)  ;

в)  f(x) = (x3+7) (3x2-1),   х0 = –1;

г)  f(x)=5x·cosx+2,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 34x-1;

б) f(x) = 2sin (2,5x-2);

в) f(x) = ;

г) f(x)  = ln (2x3+x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) = 0,5x2 + 1  в точке х0 = 3.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой х0 = 1.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции

       f(x) = x2+2x+1 в точке с    

       абсциссой х0 = - 2.

6. Точка движется по прямолиней-ному закону        

      x(t) = 4t + t2 -. Найдите ее          

      скорость в момент времени t=2.

      (координата измеряется в метрах,

      время – в секундах.)

7. Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = 3х3- 9х.

8. Найти точки экстремума функции  f(x) = 12х –3х2 + 2х3.

9. Найти наибольшее значение функции  f(x) = х3 + на отрезке [0,5; 2]

Вариант  4

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = 3x5 -12x2+6х+2,    x0 = 1;

б)  ;

в)  f(x) = (2x+1) (x-5),   х0 = 2;

г)  f(x)=2x·cos3x,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 23x-4;

б) f(x) = sin (3x2 - 2);

в) f(x) = ;

г) f(x)  = ln (x2+5x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) = 3х2+40х -10  в точке х0 = -1.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции    

      f(x) =   в точке с  абсциссой х0 = - 1.

5. Напишите уравнение  касательной к графику функции  

      f(x) = x2-2x +3в точке с  

      абсциссой    х0= - 2.

6. Точка движется по прямолиней-ному закону         x(t) = 3t3+2t+1. Найдите ее         скорость в момент времени t = 2 (координата  измеряется в метрах,   время – в секундах.)

7.Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = х3 –24х.

8.Найти точки экстремума функции  f(x) = х4 –4х3.

9.Найти наибольшее значение функции  f(x)=х3 -3х2 + 2 на отрезке [-2; 3]. 

Вариант 5

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = 5x3 -6x4+3х2+1,     x0 = 1;

б)  ;

в)  f(x) = (x2+1) (x3-2),     х0 =  1;

г)  f(x)=2x·sin5x,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 23x+5,

б) f(x) = сos(3x-1);

в) f(x) = ;

г) f(x)  = -2x.

3. Найти угол наклона  касательной к графику функции

       f(x) = 3x3 -35x+8 в точке х0 = 2.

4. В какой точке касательная к графику функции f(x) =x3 -3х+1 параллельна оси абсцисс?
5. Напишите уравнение касательной к графику функции

       f(x) = x2+3x-2 в точке с  

       абсциссой х0 = -1.

6. Точка движется по прямолиней-ному закону         x(t) = 3t2 -2t+4. В какой момент    времени скорость тела будет   равна 4?      (координата измеряется в метрах,        время – в секундах)
7. Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = 3х3- 9х.
8. Найти точки экстремума функции  f(x) = 12х –3х2 + 2х3.
9.  Найти наибольшее значение функции  f(x) = х3 + на отрезке [0,5; 2]

Вариант 6

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = x6 -3x2+2,    x0 = 2;

б)  ;

в)  f(x) = (x3-4) (3x2+1),   х0 = 2;

г)  f(x)=5x·cosx+2,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 34x + 2;

б) f(x) = 2sin (5х+2);

в) f(x) = ;

г) f(x)  = ln (3x2- x).

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) = 0,5x2 -1  в точке х0 = - 3.
4. Найти угол наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой х0 = -1.
5. Напишите уравнение касательной к графику функции

      f(x) = x2+2x+1 в точке с    

      абсциссой х0 = - 2.

6. Точка движется по прямолиней-ному закону   x(t) = 4t - t2+. Найдите ее   скорость в момент времени t = 2(координата измеряется в метрах,  время – в секундах.)

7.Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = х3 –24х.

8.Найти точки экстремума функции  f(x) = х4 –4х3.

9.Найти наибольшее значение функции  f(x)=х3 -3х2 + 2 на отрезке [-2; 3]. 

Вариант 7

1. Найти значение производной в точке х0

а)  f(x) = х4 -2x3+5х-1,    x0 = 2;

б)  ;

в)  f(x) = (2x2+1) (1+х3),     х0 = 2;

г)  f(x)=2x·sinx-1,      

2. Найдите производную функции:

а) f(x)= 52x +3,

б) f(x) = сos(5x2+1);

в) f(x) =

г) f(x)  = +5x.

3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции  f(x) = x4 -x2  в  точке х0 = 1.
4. Найти угол наклона касательной

к графику функции  f(x) =  в точке с    абсциссой х0 = 2.

5. Напишите уравнение касательной к графику функции

      f(x) = x3-3x2+2х  в точке с  

      абсциссой х0 =  2.

6. Точка движется по прямолинейному закону   x(t) = 2,5t2 - 10t +6.  Найти   скорость тела в  момент времени   t = 4  (координата   измеряется в метрах, время секундах).

7.Определить интервалы возрастания и убывания функции   у = 3х3- 9х.

8.Найти точки экстремума функции  f(x) = 12х –3х2 + 2х3.

Найти наибольшее значение функции  f(x) = х3 + на отрезке [0,5; 2  ]

Тема: Контрольная работа №5

«Интегральное исчисление»

Цель: оценка знаний по основам интегрального исчисления функции одной независимой переменной, оценка степени овладения умениями применять стандартные методы интегрирования к решению задач.

Задания для контрольной работы

Вариант 0

Вычислить интегралы:

1.  

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Тема: Контрольная работа №6

«Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Цель: оценка знаний по основам дифференциального исчисления, оценка степени овладения умениями применять стандартные методы интегрирования к решению задач.

                       Решение типового варианта контрольной работы.

Задание 1. Найти общее решение дифференциальных уравнений.

а) .

Решение. Попытаемся разделить переменные интегрирования. Для этого вынесем за скобки общий множитель:, разнесем слагаемые: ; выражая  из полученного уравнения убедимся в том, что и, значит, наше уравнение является дифференциальным уравнением в разделяющихся переменных. Разделим переменные. .

Проинтегрируем получившееся выражение по соответствующим переменным: .

Получим , .

Таким образом, мы убедились в том, что  - общий интеграл заданного уравнения.

Ответ: .

б).

Решение. Убедимся в том, что переменные разделить не удается. Поэтому поделим обе части уравнения на x.

- Убедимся в том, что производная  в представленном уравнении зависит только от отношения , то есть и, значит, это однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Будем решать его с помощью соответствующей замены.

Введем новую переменную .

;

;

; проинтегрируем выражение

;

;

;

;

 - общее решение уравнения.

Ответ: .

в).

Решение. Начинаем вновь с проверки не разделятся ли переменные интегрирования. Убеждаемся, что это не так, и, кроме того, однородным оно тоже не является. Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, так как имеет структуру вида: . Будем решать его с помощью стандартной в этом случае, замены: .

;

;

;

;

;

;

;

;

;

- общее решение уравнения.

Ответ: .

Задание 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

Решение.   -  неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 2-ого порядка. Решение будем искать в виде суммы решений: общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения , которое будем искать по виду правой части. Начнем с отыскания .

 Составим характеристическое уравнение:  .

Следовательно, общее решение однородного уравнения: .

 будем искать в виде . - частное решение уравнения, поэтому оно превращает его в верное числовое тождество. Подставим его в уравнение и вычислим А. .

. Значит . Таким образом, общее решение неоднородного уравнения . Для вычисления частного решения определим значения констант исходя из начальных условий:

; ;

;

Ответ: .

Задание 3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

Решение. Сведем предложенную систему к одному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Для этого продифференцируем первое уравнение системы по t:

 и заменим   воспользовавшись для этого вторым уравнением системы:

. Окончательно .

- однородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: .

Следовательно, решение: . Из первого уравнения , поэтому  ;

.

Ответ: ; .

Задание 4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку, для которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её точке и радиус-вектором точки касания, равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение. Пусть  искомое уравнение кривой. Проведем касательную MN в произвольной точке M(x;y) кривой до пересечения с осью Оу в точке N. Согласно условию, должно выполняться равенство, но , а  найдем из уравнения , полагая X=0, то есть.

Итак, приходим к однородному уравнению .

Полагая y=tx (y’=t’x+t), получим  или , откуда  – данное решение представляет собой семейство парабол, осью которых является ось Оу.

Определим значение константы  С исходя из того, что кривая проходит через точку . Подставляя координаты заданной точки в вышенайденное общее решение, получим ; из двух значений С=0 и С=2 нас устраивает лишь второе, так как при С=0 парабола оказывается вырожденной. Итак, искомое решение , или .

Ответ: .

Задание 5.

а) Найти общее решение дифференциального уравнения .

        Решение. Так как производная в данном случае является функцией, зависящей только от переменной x, то его решение может быть получено в результате последовательного интегрирования: .

        Ответ. .

б) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Поскольку данное уравнение не содержит в явном виде переменной , то замена   позволяет преобразовать его в уравнение первого порядка с разделяющимися переменными .

;

. Учтя, что  – произвольная постоянная, то полученное решение можно упростить: .

Ответ. .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Так как решаемое уравнение не содержит явно переменной , будем получать его решение с помощью введения новой переменной , откуда , так как в этом случае мы вычисляем производную сложной функции. Заданное уравнение в результате такой замены будет иметь вид: . Решение  является особым, и, делая обратную замену в этой ситуации, запишем: . Оставшееся уравнение  является уравнением в разделяющихся переменных: . Интегрируя последнее равенство, получим . Выразим теперь функцию : . Делая вновь обратную замену , получим: . В данном уравнении можно разделить переменные: . Интегрируя последнее выражение, получим . Получившаяся неявная функция также является решением заданного дифференциального уравнения.

Ответ. ; .

Задание 6. Решить уравнение .

Решение. Правая часть уравнения представляет собой дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Выпишем общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка . Так как корнями соответствующего характеристического уравнения  являются числа , то общее решение данного уравнения, как известно, имеет вид . Правая часть исходного уравнения  не позволяет найти частное решение  неоднородного уравнения методом подбора (или неопределенных коэффициентов) поэтому воспользуемся для его нахождения методом вариации произвольных постоянных. Поэтому будем искать частное решение  в виде: , предполагая, что здесь  и  (мы воспользовались видом найденной фундаментальной системы решений однородного уравнения), а  и решения следующей системы дифференциальных уравнений:

 таким образом .

Из второго уравнения выпишем . Проинтегрировав, получим  (постоянную интегрирования будем полагать равной нулю). Теперь, подставляя значение  в первое уравнение системы, получим дифференциальное уравнение для функции : . Вновь интегрируя, запишем: .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид , выпишем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Ответ. .

Задания для контрольной работы

          Вариант 1.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Записать уравнение кривой, проходящей через точку , если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке в  3 раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей точку А с началом координат.

5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 2.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(10, 10) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 3.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(1, 4) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 4.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку B(3, 4) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенному модулю радиус-вектора точки касания.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 5.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. В силу закона Ньютона скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна  и тело в течение часа охлаждается от  до , то через сколько минут (с момента начала охлаждения) его температура понизится до ?
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 6.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Определить путь, Тело массой  движется прямолинейно. На него действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда  (коэффициент пропорциональности 2). Кроме того, тело испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности 3). Найти скорость в момент  сек.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 7.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через т. A(9, 9) и, обладающей тем свойством, что угловой коэффициент любой касательной к ней вдвое меньше углового коэффициента радиус-вектора точки касания.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 8.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку A(2, 0) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОУ любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 9.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4.  Тело массой  движется прямолинейно. На него действует сила, пропорциональная времени, протекшему от момента, когда  (коэффициент пропорциональности 2). Кроме того, тело испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости (коэффициент пропорциональности 3). Найти скорость в момент  сек.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения .
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

Вариант 10.

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

3. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

4. Найти уравнение кривой, проходящей через точку B(3, 4) и, обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенному модулю радиус-вектора точки касания.
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
6. Найти общее решение дифференциального уравнения методом вариации произвольных постоянных .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. - СПб.: Иван Федоров, 2003. - 287 с.
2. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений: Учеб. для вузов. - 8-е изд., стер. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 486 с.
3. Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. - 7-е изд., доп. - СПб.: Лань, 2002. - 431 с.
4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс. Т.1. -2001.- 415 с. Т.2.- 2002.- 544 с.

ВАРИАНТ № 1

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;    2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции  .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) , ;  − ?      − ?      − ?  

5) ,   ,   ;       − ?

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти  .

8) Функция    задана неявно уравнением .

Найти    и  .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(2,1)  в направлении от точки  М  к точке  О(0,0);

б) gradz  в точке  N(2,2).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(1,2,1). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,1)

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в круге  .

15) Вычислить приближённо   .

ВАРИАНТ № 2

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;    2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции   .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;       − ?  

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция    задана неявно уравнением .

Найти    и  .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(5,1,2)  в направлении от точки  М  к точке  N(0,1,1);

б) gradu  в  точке  К(3,1,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(1,1,2).  В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление вектора  .

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,0)

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в области, ограниченной кривыми  .

15) Вычислить приближённо   .

ВАРИАНТ № 3

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;   2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции  , (a, b − const).

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?     − ?     − ?

5) ;      − ?

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция    задана неявно уравнением         
. Найти     и   .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(е,е)  в направлении от точки  М  к точке  N(3е,-2е);

б) gradz  в точке  К(1,2).

10) Найти касательные плоскости к поверхности , которые были бы параллельны плоскости  .

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(π,0).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции  в области, ограниченной прямыми .

15) Вычислить приближённо значение функции   в точке  М(1,98;1,01).

ВАРИАНТ № 4

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;     2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;    − ?      − ?      − ?

5) ;      − ?

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция    задана неявно уравнением .

Найти    и  .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(1,2)  в направлении от точки  М  к точке  N(-3,6);

б) gradz  в точке  К(1,1).

10) Записать  уравнения  касательной  плоскости и нормали к поверхности    в точке   М(1,-1,2).  В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление вектора  ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,0).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в треугольнике, ограниченном прямыми  ,  ,  .

15) Вычислить приближённо значение функции   в точке  М(2,1;3,02).

ВАРИАНТ № 5

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;    2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции    (a − const).

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;     − ?  

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция    задана неявно уравнением . Найти    и  .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(-3,1,0)  в направлении от точки  М  к точке  О(0,0,0);

б) gradu  в точке  N(1,2,2).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке       М(0,-2,2).  В какой точке поверхности  нормаль к ней будет иметь направление вектора  .

11) Исследовать на экстремум функцию  .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(0,1).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в круге  .

15) Вычислить приближённо  .

ВАРИАНТ № 6

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;      2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции   .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;     − ?  

6) ,  − ?

7) Функция  задана неявно уравнением

. Найти  .

8) Функция    задана неявно уравнением . Найти     и   .

9) Для функции  найти:

а) производную в точке    в направлении от точки  М  к точке  N(6,5);

б) gradz  в точке  К(2,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности    в точке М(1,-1,2).  В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление оси  OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(2,2).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14)Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в треугольнике, ограниченном прямыми  .

15) Вычислить приближённо  .

ВАРИАНТ № 7

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;     2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции   .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;     − ?  

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти  .

8) Функция  задана неявно уравнением . Найти  и .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке    в направлении от точки  М  к точке          
N(3,3,-1);

б) gradu  в точке  К(1,0,1).

10) Записать уравнения касательной и нормали к поверхности    в точке  М(1,-2,-2). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси  OY ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,1).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в круге  .

15) Вычислить приближённо   .

ВАРИАНТ № 8

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;     2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции  .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;      − ?  

6) ,  − ?

7) Функция  задана неявно уравнением . Найти  .

8) Функция    задана неявно уравнением . Найти     и   .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке    в направлении, образующим с осями координат углы  600,  450  и  600 соответственно;

б) gradu  в точке  N(2,1,1).

10) Записать  уравнения  касательной  плоскости и нормали к поверхности    в точке  .  Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси  OY?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,1,0).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в области, ограниченной кривыми .

15) Вычислить приближённо  .

ВАРИАНТ № 9

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;     2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции  .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;      − ?  

6) ,  − ?

7) Функция    задана неявно уравнением . Найти  .

8) Функция    задана неявно уравнением . Найти     и   .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(1,1)  в направлении биссектрисы первого координатного угла;

б) gradz  в точке  N(1,0).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности    в точке  М(1,1,1).  Существует ли на поверхности точка,  в которой нормаль к поверхности параллельна оси  OZ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,0,1).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в круге  .

15) Вычислить приближённо  .

ВАРИАНТ № 10

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ;     2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции  .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ;  − ?      − ?      − ?

5) ;      − ?  

6) ,  − ?

7) Функция  задана неявно уравнением . Найти  .

8) Функция    задана неявно уравнением .

Найти     и   .

9) Для функции    найти:

а) производную в точке  М(1,2)  в направлении, составляющем с осью   угол в  600 ,  а с осью   – тупой угол;

б) gradz  в точке  N(2,1).

10) Записать  уравнения  касательной  плоскости и нормали к поверхности    в точке  М(-2,1,1).  Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси  OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции  в окрестности точки М(1,0,1).

13) Исследовать функцию  на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции    в круге  .

15) Вычислить приближённо  .