Арифметические действия над числами. Проценты.
методическая разработка

Инструкционная карта. (предмет: Математика в профессиональной деятельности)

(1 курс Профессии 15.01.05 Сварщик (ручной и частично-механизированной сварки (наплавки)), 08.01.07 Мастер общестроительных работ)

Практическое занятие №1.

Тема: «Арифметические действия над числами. Проценты»

1. Цель: обобщить и систематизировать знания о натуральных, целых и рациональных числах; закрепить навыки осуществления арифметических операций над числами. Закрепить умения и навыки решения задач с процентами.

Оборудование: инструкционные карты, ручка, папки для практических занятий.

Порядок выполнения:

1. Ознакомиться с теоретическим материалом и решением задач .
2. Определение, правила решения основных типов задач.
3. Изучить образцы решенных задач.
4. В папках для практических занятий выполнить работу по вариантам (условие задания не переписывать).
5. Сделать вывод.
6. Ответить на контрольные вопросы.

Вариант __

Изучить теоретический материал.

Теоретическая часть.

1. Первоначально под числом понимали лишь натуральные числа. Которых достаточно для счёта отдельных предметов.

Множество N =  натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения. Это значит, что сумма и произведение натуральных чисел являются числами натуральными.

Простые числа - натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.

Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда является натуральным числом.

Приведите примеры: 5 – 5 = 0; 5 – 7 = - 2, числа 0 и – 2 не являются натуральными.

Так, результат вычитания двух одинаковых натуральных чисел приводит к понятию нуля и введению множества целых неотрицательных чисел Z0 =.

Чтобы сделать выполнимой операцию вычитания, вводят отрицательные целые числа, то есть числа, противоположные натуральным. Таким образом, получают множество целых чисел 

Z =.

Чтобы сделать выполнимой операцию деления на любое число, не равное нулю, необходимо к множеству всех целых чисел присоединить множество всех положительных и отрицательных дробей. В результате получается множество рациональных чисел Q = .

При выполнении четырёх арифметических действий (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда получаются рациональные числа.

2. Каждое рациональное число можно представить в виде периодической десятичной дроби.

Вспомним, что такое периодическая дробь. Это бесконечная десятичная дробь, у которой, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется одна и та же цифра или несколько цифр – период дроби. Например,

0,3333…= 0,(3);                1,057373…=1,05(73).

Читаются эти дроби так: «0 целых и 3 в периоде», «1 целая, 5 сотых и 73 в периоде».

Пример 1. Записать рациональные числа в виде бесконечной периодической десятичной дроби: 25; -7; ;  

Решение:

Натуральное число 25 = 25,00…= 25,(0); целое число -7 = -7,00…=       -7,(0); обыкновенные дроби = -2,300…= - 2,3(0); = 1,533…=1,5(3) (пользуемся алгоритмом деления уголком).

3. Справедливо и обратное утверждение: каждая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как может быть представлена в виде дроби , где m – целое число, n – натуральное число.

Пример 2. Представить бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

1. Пусть x= 0,2(18) умножая на 10, получаем 10x = 2,1818…(Нужно умножить дробь на 10n, где n – количество десятичных знаков, содержащихся в записи этой дроби до периода: x10n).
2. Умножая обе части последнего равенства на 100, находим

 1000x = 218,1818…(Умножая на 10k, где k – количество цифр в периоде x10 n10  = x10 n+k).

3. Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = 216, x = =.

Рассмотрим три основных типа задач на проценты.

1)Нахождение процента от числа

Чтобы найти проценты от числа, можно проценты представить в виде десятичной дроби и число умножить на полученную десятичную дробь.

Задача: Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение: Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов).
60 % = 0,6
500 • 0,6 = 300 насосов высшей категории качества.

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

2)Нахождение числа по его проценту

Чтобы найти число по его процентам, можно проценты представить в виде десятичной дроби и данное число разделить на полученную десятичную дробь.

Задача: Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге. Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик (138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Так как 138 стр. - это всего лишь часть, само количество страниц, естественно, будет больше 138. Это поможет нам при проверке.

Проверка: 600 138 (это означает, что 138 является частью 600).

Ответ: 600 (стр.) - общее количество страниц в книге.

3)Сколько процентов одно число составляет от другого.

Чтобы найти сколько процентов одно число составляет от другого, можно одно число разделить на другое и полученное произведение умножить на 100.

Задача: Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

Решение:

16 делим на общее количество арбузов и умножаем на 100 %.

Ответ: 8 % - составляют незрелые арбузы от всех арбузов.

Практическая часть.

Сделайте вывод.

Контрольные вопросы:

1. Какие числа называются: а) натуральными, б) целыми, в) рациональными?
2. Какие числа называются простыми?
3. Как найти процент от числа ?
4. Как  найти число по его проценту?