Исследование функций и построение графиков.
методическая разработка

Технологическая карта теоретического занятия (лекция)

Цели учебного занятия:

Образовательная: изучение способа применения производной к исследованию функции; нахождение промежутков возрастания (убывание) функции, экстремумов функции; построение графиков функций.

Развивающая: развитие познавательного интереса и логического мышления студентов, умения анализировать и делать выводы, применять полученные знания при решении задач, развитие навыков краткого конспектирования с использованием специальных символов, навыков построения и чтения графиков функций.

Воспитательная: привитие культуры умственного труда, культуры математической речи и мышления, умения работать в коллективе, воспитание аккуратности, точности при выполнении заданий, навыков самостоятельной работы.

1. Организационный момент (приветствие, отметка отсутствующих, проверка готовности кабинета и обучающихся к занятию).
2. Вступление, мотивация изучения темы:

Множество значений каждой функции ограничено, и для представления о ее свойствах часто бывает необходимо вычислить границы этого множества. Для более точного построения графиков функций мы должны уметь вычислять наибольшее и наименьшее значения функции, ограниченность функции, а в этом нам поможет знание производной.

3. Актуализация имеющихся знаний, ретроспекция:

Первый этап любого исследования графика начинается с выяснения области определения. Область определения задается по оси абсциссы. Часто область определения уже задана, но если она не задана, то следует оценить значение аргумента х. Допустим, если при каком-то значениях аргумента функция не имеет смысла, то этот аргумент исключается из области определения.

Сейчас мы с вами будем рассматривать более сложные функции, у которых не возможно вычислить по дискриминанту значения х и определить координаты вершины. Для построения таких графиков используют знание свойства производной.

4. Основная часть лекции:

Алгоритм исследования функции с помощью производной

1. Находим производную.
2.  Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения - это стационарные точки. Точки максимума и минимума.

Максимум функции на множестве [a;b], входящем в область ее определения, можно записать так : xmax , указав границы множества отдельно. Минимум — xmin.

Если х0— точка экстремума, тогда f′(x0)=0.

Если в точке x0 f′(x) меняет знак с «+» на «–», то x0— точка максимума.

Если в этой точке f′(x) меняет знак с «–» на «+», то x0— точка минимума.

3. Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции. 

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

4. Найти значения функции в точках экстремума.

5. По данным исследования построить график функции.

Пример. Исследовать на монотонность функцию . Находим производную и разлагаем её на множители:. Метод интервалов позволяет определить знак:

-

На интервалах ифункция возрастает, а на– убывает.

Теорема 2. (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в критической точкеконечную вторую производную. Тогда:

1) если , то– точка минимума;

2) если , то– точка максимума;

3) если , то требуется дополнительное исследование.

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение. – существует везде.

–точка максимума;

–точка минимума;

–точка минимума.

Пример. Постройте график функции у = х3– 3х + 3, используя краткую схему построения. схему построения.

Решение:

1) D(f) = (-∞; +∞)

2) Функция не является ни четной, ни нечетной, т. к. 

3) Асимптот нет

4) f’(x) = 3x2 – 3, f’(x) = 0 при х = 1, х = -1.

х = 1, х = -1 – стационарные точки.

5) f’(x)>0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки возрастания.

f’(x)<0 при . Так как в точках х = 1, х = -1 функция непрерывна, то эти точки также включаются в промежутки убывания.

6) Так как в точке х = -1 производная меняет знак с «+» на «-», то х = -1 – точка максимума.

Так как в точке х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», то х = 1 – точка минимума.

Пример. Постройте график функции .

Полученные результаты исследования функции удобно записать в виде следующей таблице.

В первой строке этой таблицы указаны в порядке возрастания критические точки функции и ограниченные ими промежутки. Во второй строке отмечены знаки производной на этих промежутках. В третьей строке записаны выводы о ходе изменения данной функции, в четвёртой строке – о виде критических точек.

5. Обобщение и систематизация изученного:

1. Расскажите алгоритм построения графика функции с помощью производной?
2. Что обозначают точки минимума и максимума?
3. Как определить промежутки возрастания и убывания функции?

6. Подведение итогов.

Для построения графика функции сначала исследуют свойства этой функции с помощью её производной.

Для построения графика чётной (нечётной) функции достаточно исследовать свойства и построить её график при х, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат).

7. Домашнее задание.

Математика: учебник / В.П. Омельченко. — М.: ГЭОТАР-Медиа, 2019. – 304 с.: ил. 

Найти наибольшее значение функции на отрезке