Электронное пособие

МАТЕМАТИКА  ЕГЭ  2011

Задание  С2

решаем методом координат

Содержание

1. Аннотация
2. Информационная часть
3. Практическая часть
4. Контроль
5. Литература

Аннотация

Цель: научить обучающихся решать задачи методом координат.  

   В данной работе рассматривается применение метода координат ко всем типам задач, предназначенных для подготовки учащихся к решению стереометрической задачи С2 ЕГЭ по математике.

  Данное электронное пособие предназначено для учащихся 11 класса. Пособие поможет усвоить метод координат и научит более проще решать задания С2, а значит подготовит учащихся к решению стереометрической задачи.

  Вся информация разделена на три раздела. Информационная часть состоит из формул и методов решения,  практическая часть  из примеров решения стереометрических задач, а третья – из заданий для самостоятельной работы.

 Требования к предварительным знаниям и умениям пользователей электронного учебника:

1. Знать определенные формулы;
2. Уметь вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях;
3. Уметь составлять уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Информационная часть

Формулы и методы решения

1. Угол между прямыми.

Вектор   лежит на прямой a, вектор    лежит на прямой  b. Косинус угла  между прямыми  и  определяется по формуле

               (1)

   - острый ).

2. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть   направляющий вектор прямой a, которая образует с плоскостью   угол   (.     ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости  .  угол между  векторами   и  .  Тогда   =  и вычисляется по формуле (1).

   Если плоскость  задана уравнением  ,  то вектор нормали.  Синус угла  определяется по формуле

 .    (2)

3. Угол между двумя плоскостями.

Плоскость   задана уравнением  и её вектор нормали  ;  плоскость 𝛽  задана уравнением   её вектор нормали  .  Для угла    между плоскостями справедлива формула

.   (3)

4. Расстояние от  точки до плоскости.

М0 ( данная точка,   ()  уравнение данной плоскости  .  Расстояние d  от точки  М0  до плоскости    вычисляется по формуле

                                 d.                    (4)

Практическая  часть

1. а) Точка М   середина ребра  AD  куба ABCDA1B1C1D1.  Найдите угол между прямыми   C1М   и  B1C.

Решение.  Введём систему координат как показано на рисунке.  Начало координат в точке  D.  Ось ох совпадает с прямой  DA, ось оу  с прямой DC, ось oz  с прямой  DD1. Пусть ребро куба равно 2. Тогда точки  C1, М , B1, C  имеют следующие координаты:  C1(0, 2, 2),   М   (1, 0,0),   B1(2, 2, 2),  C (0, 2, 0). Отсюда находим координаты векторов  :

   .  Векторы    являются  направляющими векторами прямых  C1М   и  B1C.  Искомый угол найдем по  формуле   (1):  

  ,

          =   , откуда   .

                                Ответ:  .

        б)  В правильной треугольной призме   ABCA1B1C1,  все ребра равны 1.  Найти косинус угла  между прямыми  АК  и  СЕ, где  К и  Е  соответственно середины ребер A1C1  и  B1C1.

Решение. Введем систему координат как показано на рисунке.  Начало координат в точке  А.  Ось ох перпендикулярно прямой  AС, ось оу  совпадает  с прямой АC, ось oz  с прямой  АА1. Найдем координаты

точек : А(0; 0; 0).   К(0; 0,5;  1),  С(0; 1; 0) и Е( ; ; 1).( Из  по теореме Пифагора        вычислим  А1 Е .      А1 Е =   . А т.к.  Е середина   B1C1, то абсцисса точки  равна     ).   ,

   . Косинус  угла между прямыми найдем по формуле  (1).  

           =  =

        Ответ:  0,7

2. а) В основании прямоугольного параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1.  Находится квадрат  ABCD  со стороной равной  , высота параллелепипеда  равна . Найти угол между плоскостями  AB1D1 и CB1D1.

Решение. Введём систему координат как показано на рисунке.  Начало координат в точке D.  Ось ох совпадает с прямой DA, ось оу  с прямой DC, ось oz  с прямой  DD1.  Для задания плоскости  AB1D1  удобно взять точки A (2, 0, 0),  B1 (2, 2, 3), D1(0, 0, 3). Пусть      уравнение плоскости  AB1D1 . Получим три уравнения:     и     . Из этого следует  ,   ,    .  Уравнение плоскости примет вид    ,  или    .

Вектор     вектор нормали к плоскости  AB1D1.   Аналогично поступим и с плоскостью  CB1D1. К точкам  B1 , D1  добавим точку C(0, 2, 0).

Имеем три уравнения:     и  

 . После решения     ,   ,    . Составим уравнение  плоскости    ,  или    .  Вектор       вектор нормали к плоскости  CB1D1.  Угол между данными плоскостями определим по формуле  (3).  

,   .

                 Ответ:  .

б)  В основании правильной треугольной пирамиды  TABC  лежит треугольник ABC  со стороной, равной  6. Боковое ребро пирамиды равно 5.  Найдите величину угла между плоскостью боковой грани  TAC  и плоскостью основания.

Решение.  Введем систему координат так, чтобы  начало координат было в точке А.  Ось  ох  перпендикулярна  прямой  AВ, ось оу  совпадает с прямой АВ, ось oz  перпендикулярна прямой  AВ в плоскости  АВС.  Составим уравнения плоскостей  TAC  и  АВС.  Плоскость  АВС  лежит  в  плоскости  хоу, значит ее уравнение  z = 0 и вектор нормали     .  Для плоскости  TAC  вычислим координаты точек  T, A, C.  В  СВА проведем высоту  СК. Из    СВК  по теореме Пифагора  найдем  СК .  СК  =  – это абсцисса  точки  С, ОК =   - абсцисса  точки  Т. 

 СО =  = .  Из   СТО (ТО – высота  пирамиды)  вычислим длину ТО.   ТО  = .

А(0, 0, 0   (ТAС)  =>   ;  

С (   (ТAС)  =>   ;  

Т (   (ТAС)  =>   ;  Откуда  ,    .  Уравнение плоскости запишется в виде  ,  или      Вектор нормали   ,  .

Угол  между плоскостью   TAC  и плоскостью основания  вычислим  по  (3)  формуле :  =  

Ответ:  .

3. а). Дан куб  ABCDA1B1C1D1.  Найдите расстояние от вершины А1  до плоскости  AB1D1, если ребро куба равно .

Решение.  Введем систему координат, как в задаче №1 (а).  Пусть      уравнение плоскости  AB1D1.  Тогда получим:

А(, 0, 0)   (AB1D1)  =>   ;

B1(   (AB1D1)  =>   ;  

D1(0, 0, 0)    (AB1D1)  =>   .

Уравнение плоскости запишется в виде   или  ;   вектор нормали   .   Для вычисления расстояния  d   от точки  A1  до плоскости  AB1D1 воспользуемся формулой  (4):  

                                         d

    Ответ:  1.

б).  В правильной шестиугольной призме  А…F1, все ребра которой равны  1,   найти расстояние от точки  А  до плоскости  ВFE1.

Решение.  Введем систему координат  так, чтобы начало было в точке  Е,  ось ох совпадает с прямой ЕA, ось оу  с прямой ЕD, ось oz  с прямой  ЕЕ1.   Пусть      уравнение плоскости  ВFE1.  

В(, 1, 0)   (ВFE1)  =>   ;

Е1(0, 0, 1)   (ВFE1)  =>  ;

F (   (ВFE1)  =>  ;

Откуда  ,  

Уравнение плоскости   ВFE1  примет вид   , или   .   Вектор нормали   .   Расстояние  d   от точки

А (до плоскости  ВFE1  вычислим по формуле   (4):

                d

Ответ:  

4. а)  В прямоугольном  параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  найдите угол между плоскостью А1 ВС и прямой ВС1, если АА1 = 8, АВ = 6, ВС = 15.  

Решение.  Введем систему координат  так, чтобы начало было в точке  В,  ось ох совпадает с прямой ВA, ось оу  с прямой  ВС, ось oz  с прямой  ВВ1.  Вектор     лежит на прямой  ВС1.  Для задания плоскости  

А1 ВС возьмем точки  А1, В, С. Уравнение плоскости  имеет вид      Из того, что А1, В, С (А1ВС),  следует, что        Отсюда получим, что    ,    ,   .   Уравнение плоскости запишется следующим образом  ,  или  . Вектор нормали                      .  

Синус  угла   между  плоскостью А1 ВС и прямой ВС1 определяется по формуле  (2):  

             =  arcsin .

      Ответ:  arcsin .

б)   Дана правильная треугольная призма   ABCA1B1C1  со стороной основания  а  =    и  высотой  h  =  . Точка М  лежит на ребре основания  АС , причем  АМ : МС  =  2 : 1. Определите угол между прямой  АА1  и плоскостью  А1 ВМ.

Решение.  Введем систему координат так, как показано на рисунке.  Тогда вектор     - направляющий вектор прямой  АА1.  Уравнение плоскости  имеет вид   Точки  А1 , В, М    (А1 ВМ).

Абсцисса точки В  - это высота    опущенная из вершины В.  Ее вычислили  по теореме Пифагора.  =   Ордината  равна половине отрезка АС , т.е.  

Точка  М  лежит на оси  оу,  значит  координаты  х  и  у равны нулю, а ордината  отрезок  АМ  =  АС =

А1, то получим уравнение   ;

В, то  -   ;

M   -     0.  Откуда имеем:   ;      .   Уравнение плоскости  А1 ВМ  примет вид:

 , или    ,             .  Вектор нормали  .  

Угол между прямой  АА1  и плоскостью  А1 ВМ   определим по формуле  (2):

 =      = 45°.

    Ответ:   45°.

Задачи для самостоятельной работы

1. Точка К – середина ребра АА1 куба  ABCDA1B1C1D1.  Найдите угол между прямыми А1В и СК.
2. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Найдите угол между плоскостями АВ1D1  и АСD1.  
3. Дан куб ABCDA1B1C1D1 . Длина ребра куба равна 1. Найдите расстояние от середины отрезка ВС1 до плоскости АВ1D1. 
4. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого АА1=4, А1D1=6, С1D1=6, найдите тангенс угла между плоскостью АDD1 и прямой ЕF, проходящей через середины ребер АВ и В1С1.
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого АВ=6, ВС=6, СС1=4, найдите тангенс угла между плоскостями АСD1 и A1B1C1.
6.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра: АВ=8, АD=6, СС1=5. Найдите угол между плоскостями BDD1 и АD1В1.
7.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1  найдите угол между плоскостью АА1С и прямой А1В, если АА1=3, АВ=4, ВС=4.  
8.   В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого  АВ = 4,  ВС = 6, СС1 = 4,  найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой ЕF, проходящей через середины ребер АА1  и  С1D1.
9.   Дан  параллелепипед  ABCDA1B1C1D1.  Найдите угол между прямыми  С1D  и  BN,  где  N  -  середина  DC, если  AD  =  DC = AA1 =  .          
10.    В прямоугольном параллелепипеде  ABCDA1B1C1D1    в основании находится квадрат   ABCD .  Высота параллелепипеда относится к стороне основания как        .  Найдите угол, который образует плоскость АD1B1  c  боковым  ребром.      
11.   В основании  параллелепипеде ABCDA1B1C1D1    находится квадрат   ABCD .  Точки  P, M, N  - середины  ребер  АА1,  А1В1,  А1D1  соответственно. Найдите расстояние между плоскостями  PM N  и  АВ1D1,  если    АА1  = ,  АВ = ВС = 3.      
12.  Дана правильная треугольная призма  ABCA1B1C1  со стороной  основания  равной  . Точка М  лежит на высоте основания ВD, причем  ВМ  ∶  МD  =  3  ∶  1.  Точка  N  лежит на диагонали  СВ1  боковой грани  СС1В1В.  Прямые АN  и  A1M  пересекаются. Определите расстояние от точки  В1 до плоскости А1MN.  
13.   В тетраэдре  ABCT  ребра  АС  и  ТВ  равны  12, а остальные ребра равны  10.  Найдите синус угла, который составляет прямая  АТ  с плоскостью  АМС,  где  М  - середина ребра  ТВ.    
14.   В основании пирамиды ABCDT  лежит ромб ABCD  c  острым углом  А , равным 60°, и стороной, равной  2. Высота пирамиды  AT  равна 1. Определите угол между прямой  АС   и  плоскостью  CBT.    
15.    Длина ребра правильного тетраэдра  ТАВС   равна  7. Найдите величину угла между плоскостями  ТВС  и  АВС.     

16.  В основании правильной треугольной пирамиды  ТАВС  лежит треугольник АВС  со стороной, равной  6. Боковое ребро пирамиды равно  5.  Найдите величину угла между плоскостью боковой грани  ТАС  и плоскостью основания.          

17.  Дана правильная  треугольная призма  АВСА1В1С1 со стороной основания   . Точка  М  лежит на высоте основания  СD, причем  СМ  :  МD  =  4 : 1. Точка  N  лежит на диагонали  СВ1 боковой грани  СС1В1В.  Прямые АN  и  A1М пересекаются. Определите расстояние от точки  В  до плоскости  AMN.     

18.  В основании пирамиды ABCDT  лежит ромб  ABCD  c  острым углом  А, равным  60°, и стороной, равной    Высота пирамиды АТ равна  2. Определите  расстояние  от точки пересечения диагоналей основания до плоскости  СВТ.          

19.  Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1  со стороной основания    и высотой равной  . Точка М лежит на ребре основания АС, причем  АМ : МС  =  2 : 1. Определите расстояние от точки  А до плоскости  А1ВМ.      

20. В кубе  АВСDA1B1C1D1  точки  М,  N,  Р  -  середины ребер А1В1,  В1С1,  DC .  Найдите тангенс угла между прямыми  MN  и  А1Р.        

21. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1  все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми  АВ и  А1С.  

Ответы

1. 45.   2. arccoa 1/3.   3. /3.   4.  0.6.   5. 2/3.   6. arccos25/.

7.  arcsin 0,48.   8. arcsin 3/.   9. 60°.   10. 30°.   11. 0,75.   12. 1,5.  

13. 20/49.   14. arcsin  .   15. arcos 1/3.   16. arccos /4.   17. 0,5.   18. 0,6.

19. .   20. 3.

Об авторе

Автор – Гладкова Ксенья  Малофеевна, учитель математики  высшей квалификационной категории МОУ « Средняя общеобразоватая школа  №30 имени Н.Н. Колокольцова»,  

п. Малиновка.

Литература

1. Беликова. И. Задание С2: Решаем методом координат // Газета «Математика».  2010. №20. С  2 – 8.
2. Геометрия,  10 -11 : учеб. для общеобразоват. учреждений базовый и профил. уровни / Атанасян Л. С. [и др.]. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2008. – 255 с.
3. Интернет ресурсы.
4.  Д. Лаппо, М. А. Попов. Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2010. Вступительные испытания – М. : Издательство «Экзамен», 2010. – 334с.
5. Смирнов В.А. ЕГЭ-2010. Математика. Задача С» / Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010.