Геометрия 8 класс

Слайд 1

Повторение Курса геометрии за 7 класс

Слайд 2

1.

Слайд 3

1ряд 2ряд 3ряд Решение задач по готовым чертежам

Слайд 4

1ряд 1 2 4 3 Углы 1 и 2 – смежные – их сумма равна 180° Значит угол 2 равен 180 – 44 = 136° Углы 1 и 3 - вертикальные. Значит они равны. Ответ: угол АОС равен 44°, угол АО D равен 136°

Слайд 5

2ряд Сумма всех четырёх данных углов равна 360 А так как по условию сумма трёх из них равна 238 Значит угол 4 равен 360 – 238 = 122 Углы 2 и 4 равны как вертикальные Углы 1 и 4 смежные. Их сумма равна 180 Значит угол 1 равен 180 – 122 = 58 Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Ответ: углы 1 и 3 равны 58°, угол 2 равен 122°.

Слайд 6

3ряд Угол АВС – развернутый. Он равен 180 Значит угол D ВС равен 180 - b°. А угол АВ F равен 180 – α° . Угол DBF равен сумме углов D ВА и АВ F Таким образом он равен b° + 180 – α° .

Слайд 7

Решение задач по готовым чертежам 1ряд 2ряд 3ряд

Слайд 8

2ряд По условию СО и АО перпендикулярны, значит угол АОС равен 90° ВО – биссектриса угла АОС. Значит углы АОВ и СОВ по 45° Данный угол АО D равный 120°, состоит из углов СО D и АОС Значит угол СО D равен 120 – 90 = 30° Искомый угол ВО D равен сумме углов СО D и СОВ 30 + 45 = 75° Ответ: 75.

Слайд 9

3ряд По условию углы NMO и LMN относятся как 2 к 7. Значит обозначим угол NMO 2 α , а угол LMN 7 α , а т.к. эти углы являются смежными, получаем что 2 α +7 α =180 α =20 2 α =40, 7 α =140 Искомый угол LMR равный углу NMO (вертикальные) равен 40° угол RMO равный углу LMN ( вертикальные ) равен 140° Ответ: 40, 140. 2 α 7 α

Слайд 10

1ряд По условию прямые a и b параллельны, значит по 1-му свойству параллельных прямых равные накрест лежащие углы 1 и 4. Угол 1 равен 65°. по 2-му свойству параллельных прямых равны соответственные углы 3 и 4. Угол 3 равен 65°. по 3-му свойству параллельных прямых сумма односторонних углов 2 и 4 составляет 180°. Угол 2 равен 180 – 65 = 115°. 4 Ответ: 65, 115, 65.

Слайд 11

1ряд 2ряд 3ряд Решение задач по готовым чертежам

Слайд 12

3ряд По условию прямые a и b параллельны, значит сумма односторонних углов 1 и 2 составляет 180. Решим систему методом алгебраического сложения Угол 4 равен углу 2 как вертикальные Угол 3 равен углу 1 как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей с. Ответ: 50; 130.

Слайд 13

1ряд 2 1 3 6 5 4 Углы 1 и 2 смежные, их суммы равна 180, значит угол 2 равен 180-135 = 45. Углы 2 и 3 равны и являются соответственными углами при прямых AE и BD и секущей АС, следовательно по 2-му признаку параллельности прямых прямые AE и BD параллельны. Углы 4 и 5 являются соответственными при параллельных AE и BD и секущей СЕ, значит по 2-му свойству параллельных прямых они равны. Угол 5 равен 80. Углы 5 и 6 являются смежными, их сумма равна 180. Угол 6 равен 180 – 80 = 100. 7 Угол 7 равен углу 6 как вертикальные. Ответ: 80; 100; 80.

Слайд 14

2ряд 1 2 3 4 5 6 Углы 1 и 2 являются односторонними углами при прямых A С и Е D и секущей АЕ, их сумма равна 105 + 70 = 180 следовательно по 3-му признаку параллельности прямых прямые A С и Е D параллельны. Углы 3 и 4 являются накрест лежащими углами при параллельных прямых A С и Е D и секущей BD . Значит по 1-му свойству параллельных прямых они равны. Угол 4 равен 52. Треугольник BCD является равнобедренным, т.к. по усл . ВС = CD. Значит равны углы 4 и 5 (углы при основании). Сумма углов треугольника CBD равна 180. Значит угол 6 равен 180 – 65 – 65 = 180 – 130 = 50. Ответ: 50.

Слайд 15

1ряд 2ряд 3ряд 10. 11. 12. AD || ВЕ В D || АЕ

Слайд 16

1ряд α α β β 2 α + 2 β = 180 Сумма односторонних углов 180° (3-й св-во п / пр ) = > => α + β = 90 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° = > треугольник АВС – прямоугольный. Искомый угол равен 90° AD || ВЕ

Слайд 17

2ряд Углы при основании равнобедренного треугольника равны Сумма углов треугольника равна 180° α α α = (180 - 120) : 2 = 30° Искомый угол равен 30°. В D || АЕ

Слайд 18

3ряд Сумма углов треугольника равна 180° α α β β О Из треугольника АОВ α + β = 180 – 128 = 52 2 α +2 β = 52•2 = 104 Из треугольника АВС угол АСВ равен 180 – 104 = 76° Искомый угол равен 76°.

Слайд 19

Домашнее задание Повторить признаки равенства треугольников

Слайд 20

Проверка д омашнего задания

Слайд 21

Проверка д омашнего задания Продлим АВ до пересечения с АЕ. Рассмотрим треугольник ВСО. Углы ВОС и ВА D являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и СЕ и секущей АО. Следовательно по 1-му свойству параллельных прямых углы ВОС и ВА D равны и составляют 39°. О Сумма углов треугольника равна 180. Значит угол СВО равен 180 – 33 – 39 = 108. Искомый угол АВС и угол СВО являются смежными, их сумма равна 180. Угол АВС равен 180 – 108 = 72° или Внешний треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним. Значит искомый угол СВО равен 33 + 39 = 72°.

Слайд 22

Проверка д омашнего задания 30 60 30 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Угол МРК равен 60, угол NPK равен 30. Значит угол MPN равен 30°. Следовательно треугольник MPN – прямоугольный = > MN = NP . Треугольник NPK – прямоугольный с углом в 30° Катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы NK = ½ NP => NP = 2•5 = 10 см. МК = 10 + 5 = 15 см.

Слайд 23

Проверка д омашнего задания ВЕ = BF ( по усл . ) АЕ = С F ( по усл . ) = > АВ = ВС = > по катету и острому углу (АЕ = С F по усл . и по док-ву ) Сумма углов треугольника равна 180° = > Развёрнутый угол А D С равен 180 и состоит из углов ADE , CDF и EDF .

Слайд 1

Повторение Курса геометрии за 7 класс

Слайд 2

1.

Слайд 3

1ряд 2ряд 3ряд Решение задач по готовым чертежам

Слайд 4

1ряд 1 2 4 3 Углы 1 и 2 – смежные – их сумма равна 180° Значит угол 2 равен 180 – 44 = 136° Углы 1 и 3 - вертикальные. Значит они равны. Ответ: угол АОС равен 44°, угол АО D равен 136°

Слайд 5

2ряд Сумма всех четырёх данных углов равна 360 А так как по условию сумма трёх из них равна 238 Значит угол 4 равен 360 – 238 = 122 Углы 2 и 4 равны как вертикальные Углы 1 и 4 смежные. Их сумма равна 180 Значит угол 1 равен 180 – 122 = 58 Углы 1 и 3 равны как вертикальные. Ответ: углы 1 и 3 равны 58°, угол 2 равен 122°.

Слайд 6

3ряд Угол АВС – развернутый. Он равен 180 Значит угол D ВС равен 180 - b°. А угол АВ F равен 180 – α° . Угол DBF равен сумме углов D ВА и АВ F Таким образом он равен b° + 180 – α° .

Слайд 7

Решение задач по готовым чертежам 1ряд 2ряд 3ряд

Слайд 8

2ряд По условию СО и АО перпендикулярны, значит угол АОС равен 90° ВО – биссектриса угла АОС. Значит углы АОВ и СОВ по 45° Данный угол АО D равный 120°, состоит из углов СО D и АОС Значит угол СО D равен 120 – 90 = 30° Искомый угол ВО D равен сумме углов СО D и СОВ 30 + 45 = 75° Ответ: 75.

Слайд 9

3ряд По условию углы NMO и LMN относятся как 2 к 7. Значит обозначим угол NMO 2 α , а угол LMN 7 α , а т.к. эти углы являются смежными, получаем что 2 α +7 α =180 α =20 2 α =40, 7 α =140 Искомый угол LMR равный углу NMO (вертикальные) равен 40° угол RMO равный углу LMN ( вертикальные ) равен 140° Ответ: 40, 140. 2 α 7 α

Слайд 10

1ряд По условию прямые a и b параллельны, значит по 1-му свойству параллельных прямых равные накрест лежащие углы 1 и 4. Угол 1 равен 65°. по 2-му свойству параллельных прямых равны соответственные углы 3 и 4. Угол 3 равен 65°. по 3-му свойству параллельных прямых сумма односторонних углов 2 и 4 составляет 180°. Угол 2 равен 180 – 65 = 115°. 4 Ответ: 65, 115, 65.

Слайд 11

1ряд 2ряд 3ряд Решение задач по готовым чертежам

Слайд 12

3ряд По условию прямые a и b параллельны, значит сумма односторонних углов 1 и 2 составляет 180. Решим систему методом алгебраического сложения Угол 4 равен углу 2 как вертикальные Угол 3 равен углу 1 как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей с. Ответ: 50; 130.

Слайд 13

1ряд 2 1 3 6 5 4 Углы 1 и 2 смежные, их суммы равна 180, значит угол 2 равен 180-135 = 45. Углы 2 и 3 равны и являются соответственными углами при прямых AE и BD и секущей АС, следовательно по 2-му признаку параллельности прямых прямые AE и BD параллельны. Углы 4 и 5 являются соответственными при параллельных AE и BD и секущей СЕ, значит по 2-му свойству параллельных прямых они равны. Угол 5 равен 80. Углы 5 и 6 являются смежными, их сумма равна 180. Угол 6 равен 180 – 80 = 100. 7 Угол 7 равен углу 6 как вертикальные. Ответ: 80; 100; 80.

Слайд 14

2ряд 1 2 3 4 5 6 Углы 1 и 2 являются односторонними углами при прямых A С и Е D и секущей АЕ, их сумма равна 105 + 70 = 180 следовательно по 3-му признаку параллельности прямых прямые A С и Е D параллельны. Углы 3 и 4 являются накрест лежащими углами при параллельных прямых A С и Е D и секущей BD . Значит по 1-му свойству параллельных прямых они равны. Угол 4 равен 52. Треугольник BCD является равнобедренным, т.к. по усл . ВС = CD. Значит равны углы 4 и 5 (углы при основании). Сумма углов треугольника CBD равна 180. Значит угол 6 равен 180 – 65 – 65 = 180 – 130 = 50. Ответ: 50.

Слайд 15

1ряд 2ряд 3ряд 10. 11. 12. AD || ВЕ В D || АЕ

Слайд 16

1ряд α α β β 2 α + 2 β = 180 Сумма односторонних углов 180° (3-й св-во п / пр ) = > => α + β = 90 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° = > треугольник АВС – прямоугольный. Искомый угол равен 90° AD || ВЕ

Слайд 17

2ряд Углы при основании равнобедренного треугольника равны Сумма углов треугольника равна 180° α α α = (180 - 120) : 2 = 30° Искомый угол равен 30°. В D || АЕ

Слайд 18

3ряд Сумма углов треугольника равна 180° α α β β О Из треугольника АОВ α + β = 180 – 128 = 52 2 α +2 β = 52•2 = 104 Из треугольника АВС угол АСВ равен 180 – 104 = 76° Искомый угол равен 76°.

Слайд 19

Домашнее задание Повторить признаки равенства треугольников

Слайд 20

Проверка д омашнего задания

Слайд 21

Проверка д омашнего задания Продлим АВ до пересечения с АЕ. Рассмотрим треугольник ВСО. Углы ВОС и ВА D являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и СЕ и секущей АО. Следовательно по 1-му свойству параллельных прямых углы ВОС и ВА D равны и составляют 39°. О Сумма углов треугольника равна 180. Значит угол СВО равен 180 – 33 – 39 = 108. Искомый угол АВС и угол СВО являются смежными, их сумма равна 180. Угол АВС равен 180 – 108 = 72° или Внешний треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним. Значит искомый угол СВО равен 33 + 39 = 72°.

Слайд 22

Проверка д омашнего задания 30 60 30 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Угол МРК равен 60, угол NPK равен 30. Значит угол MPN равен 30°. Следовательно треугольник MPN – прямоугольный = > MN = NP . Треугольник NPK – прямоугольный с углом в 30° Катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы NK = ½ NP => NP = 2•5 = 10 см. МК = 10 + 5 = 15 см.

Слайд 23

Проверка д омашнего задания ВЕ = BF ( по усл . ) АЕ = С F ( по усл . ) = > АВ = ВС = > по катету и острому углу (АЕ = С F по усл . и по док-ву ) Сумма углов треугольника равна 180° = > Развёрнутый угол А D С равен 180 и состоит из углов ADE , CDF и EDF .

Слайд 1

Повторение Курса геометрии за 7 класс

Слайд 2

Проверка д омашнего задания

Слайд 3

Домашнее задание Повторить признаки равенства треугольников

Слайд 4

Проверка д омашнего задания Продлим АВ до пересечения с АЕ. Рассмотрим треугольник ВСО. Углы ВОС и ВА D являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и СЕ и секущей АО. Следовательно по 1-му свойству параллельных прямых углы ВОС и ВА D равны и составляют 39°. О Сумма углов треугольника равна 180. Значит угол СВО равен 180 – 33 – 39 = 108. Искомый угол АВС и угол СВО являются смежными, их сумма равна 180. Угол АВС равен 180 – 108 = 72° или Внешний треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним. Значит искомый угол СВО равен 33 + 39 = 72°.

Слайд 5

Проверка д омашнего задания 30 60 30 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Угол МРК равен 60, угол NPK равен 30. Значит угол MPN равен 30°. Следовательно треугольник MPN – прямоугольный = > MN = NP . Треугольник NPK – прямоугольный с углом в 30° Катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы NK = ½ NP => NP = 2•5 = 10 см. МК = 10 + 5 = 15 см.

Слайд 6

Проверка д омашнего задания ВЕ = BF ( по усл . ) АЕ = С F ( по усл . ) = > АВ = ВС = > по катету и острому углу (АЕ = С F по усл . и по док-ву ) Сумма углов треугольника равна 180° = > Развёрнутый угол А D С равен 180 и состоит из углов ADE , CDF и EDF .

Слайд 7

2.

Слайд 8

Устно Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 9

В тетрать 1ряд 2ряд 3ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 10

1ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство 7. DE = Q Е по усл . Углы D и Q равны по усл . Угол Е - общий = > треугольники ERD и EQP равны по 2-му признаку. = > Ещё?? Рассмотрим треугольники ERD и EQP I

Слайд 11

1ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство 7. Р D = RQ по док-ву Углы D и Q равны по усл . Угол 3 и 4 равны по док-ву = > треугольники D ОР и QOR равны по 2-му признаку. = > Рассмотрим треугольники D ОР и QOR Из равенства треугольников ERD и EQP следует равенство ЕР= ER DE = Q Е по усл . ЕР= ER по док-ву = > Р D = RQ 1 4 3 2 Углы 1 и 2 равны как вертикальные Углы D и Q равны по условию = > равны углы 3 и 4 Сумма углов треугольника равна 180° II

Слайд 12

2ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство 8. 1 4 3 2 5 8 7 6 1. По условию равны углы 1 и 2 = > равны и смежные с ними углы 3 и 4 (сумма смежных углов равна 180°). 2. Углы 5 и 6 равны как вертикальные 3. Стороны АС и ЕА равны по условию Следовательно по второму признаку равенства треугольников Равны треугольники АВС и CDE .

Слайд 13

3ряд 9 . Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство NK = PK по усл . MK = EK т.к. состоят из равных отрезков 3. Угол K - общий = > треугольники NKE и PKM равны по 1-му признаку. = > Рассмотрим треугольники NKE и PKM I Ещё??

Слайд 14

3ряд 9 . Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство NM = PE по усл . углы NME и PEM равны по док-ву 3. сторона МЕ - общая = > треугольники NME и PEM равны по 1-му признаку. = > Рассмотрим треугольники NME и PEM II Ещё?? MK = EK т.к. состоят из равных отрезков => треугольник МКЕ – равнобедренный => равны углы NME и PEM

Слайд 15

3ряд 9 . Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство NM = PE по усл . углы QEP и QMN равны по док-ву 3. MQ = EQ по док-ву = > треугольники NMQ и PEQ равны по 1-му признаку. = > Рассмотрим треугольники NMQ и PEQ III Из равенства треугольников NKE и PKM = > равенство углов NE К и PM К ( QEP и QMN ) Из МКЕ – равнобедренный => равны углы NME и PEM Значит равны углы QME и QEM Треугольник MQE – равнобедренный MQ=EQ .

Слайд 16

устно в тетрадь Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 17

Домашнее задание Подготовиться к проверочной работе Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 18

Проверка д омашнего задания

Слайд 19

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Проверка д омашнего задания 1 4 3 2 5 6 По усл . ВС и А D параллельны, значит по 1-му свойству паралл.пр . равны накрест лежащие углы 1и2 = 4и5 = 90°. А т.к. по условию равны углы АВС и ВС D , то равны и их части – углы 3и6. Отрезки BF и СЕ равны как расстояния между параллельными прямыми. Углы 3и6 равны по док-ву BF и СЕ равны по док-ву прямоугольные треугольники ABF и ECD равны по катету и острому углу = >

Слайд 20

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Проверка д омашнего задания 1 4 3 2 5 6 8 9 По условию равны углы 3и6, значит равны и смежные с ними углы 2и5, т.к. сумма смежных углов равна 180. Сумма углов треугольника равна 180 Углы 1и4 равны по усл . Углы 2и5 равны по док-ву Значит равны углы 8и9. E В = В D по док-ву Углы 2и5 равны по док-ву Углы 8и9 равны по док-ву По усл . углы 1и4 равны = > треугольник АВС – равнобедренный = > АВ = ВС. По усл . углы 3и6 равны = > треугольник E В D – равнобедренный = > E В = В D . по 2-му признаку равны треугольники ABE и CBD . = > АЕ = CD ; AD = AE + ED ; EC = CD + ED = > AD = EC . AD = EC по док-ву АВ = ВС по док-ву Углы 1и4 равны по усл . по 1-му признаку равны треугольники ABD и CBE . = > АЕ = CD .

Слайд 1

Повторение Курса геометрии за 7 класс

Слайд 2

Проверка д омашнего задания

Слайд 3

Домашнее задание Повторить признаки равенства треугольников

Слайд 4

Проверка д омашнего задания Продлим АВ до пересечения с АЕ. Рассмотрим треугольник ВСО. Углы ВОС и ВА D являются накрест лежащими при параллельных прямых AD и СЕ и секущей АО. Следовательно по 1-му свойству параллельных прямых углы ВОС и ВА D равны и составляют 39°. О Сумма углов треугольника равна 180. Значит угол СВО равен 180 – 33 – 39 = 108. Искомый угол АВС и угол СВО являются смежными, их сумма равна 180. Угол АВС равен 180 – 108 = 72° или Внешний треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним. Значит искомый угол СВО равен 33 + 39 = 72°.

Слайд 5

Проверка д омашнего задания 30 60 30 Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Угол МРК равен 60, угол NPK равен 30. Значит угол MPN равен 30°. Следовательно треугольник MPN – прямоугольный = > MN = NP . Треугольник NPK – прямоугольный с углом в 30° Катет лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы NK = ½ NP => NP = 2•5 = 10 см. МК = 10 + 5 = 15 см.

Слайд 6

Проверка д омашнего задания ВЕ = BF ( по усл . ) АЕ = С F ( по усл . ) = > АВ = ВС = > по катету и острому углу (АЕ = С F по усл . и по док-ву ) Сумма углов треугольника равна 180° = > Развёрнутый угол А D С равен 180 и состоит из углов ADE , CDF и EDF .

Слайд 7

2.

Слайд 8

Устно Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 9

В тетрать 1ряд 2ряд 3ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 10

1ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство 7. DE = Q Е по усл . Углы D и Q равны по усл . Угол Е - общий = > треугольники ERD и EQP равны по 2-му признаку. = > Ещё?? Рассмотрим треугольники ERD и EQP I

Слайд 11

1ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство 7. Р D = RQ по док-ву Углы D и Q равны по усл . Угол 3 и 4 равны по док-ву = > треугольники D ОР и QOR равны по 2-му признаку. = > Рассмотрим треугольники D ОР и QOR Из равенства треугольников ERD и EQP следует равенство ЕР= ER DE = Q Е по усл . ЕР= ER по док-ву = > Р D = RQ 1 4 3 2 Углы 1 и 2 равны как вертикальные Углы D и Q равны по условию = > равны углы 3 и 4 Сумма углов треугольника равна 180° II

Слайд 12

2ряд Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство 8. 1 4 3 2 5 8 7 6 1. По условию равны углы 1 и 2 = > равны и смежные с ними углы 3 и 4 (сумма смежных углов равна 180°). 2. Углы 5 и 6 равны как вертикальные 3. Стороны АС и ЕА равны по условию Следовательно по второму признаку равенства треугольников Равны треугольники АВС и CDE .

Слайд 13

3ряд 9 . Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство NK = PK по усл . MK = EK т.к. состоят из равных отрезков 3. Угол K - общий = > треугольники NKE и PKM равны по 1-му признаку. = > Рассмотрим треугольники NKE и PKM I Ещё??

Слайд 14

3ряд 9 . Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство NM = PE по усл . углы NME и PEM равны по док-ву 3. сторона МЕ - общая = > треугольники NME и PEM равны по 1-му признаку. = > Рассмотрим треугольники NME и PEM II Ещё?? MK = EK т.к. состоят из равных отрезков => треугольник МКЕ – равнобедренный => равны углы NME и PEM

Слайд 15

3ряд 9 . Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство NM = PE по усл . углы QEP и QMN равны по док-ву 3. MQ = EQ по док-ву = > треугольники NMQ и PEQ равны по 1-му признаку. = > Рассмотрим треугольники NMQ и PEQ III Из равенства треугольников NKE и PKM = > равенство углов NE К и PM К ( QEP и QMN ) Из МКЕ – равнобедренный => равны углы NME и PEM Значит равны углы QME и QEM Треугольник MQE – равнобедренный MQ=EQ .

Слайд 16

устно в тетрадь Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 17

Домашнее задание Подготовиться к проверочной работе Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство

Слайд 18

Проверка д омашнего задания

Слайд 19

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Проверка д омашнего задания 1 4 3 2 5 6 По усл . ВС и А D параллельны, значит по 1-му свойству паралл.пр . равны накрест лежащие углы 1и2 = 4и5 = 90°. А т.к. по условию равны углы АВС и ВС D , то равны и их части – углы 3и6. Отрезки BF и СЕ равны как расстояния между параллельными прямыми. Углы 3и6 равны по док-ву BF и СЕ равны по док-ву прямоугольные треугольники ABF и ECD равны по катету и острому углу = >

Слайд 20

Найдите пары равных треугольников и докажите их равенство Проверка д омашнего задания 1 4 3 2 5 6 8 9 По условию равны углы 3и6, значит равны и смежные с ними углы 2и5, т.к. сумма смежных углов равна 180. Сумма углов треугольника равна 180 Углы 1и4 равны по усл . Углы 2и5 равны по док-ву Значит равны углы 8и9. E В = В D по док-ву Углы 2и5 равны по док-ву Углы 8и9 равны по док-ву По усл . углы 1и4 равны = > треугольник АВС – равнобедренный = > АВ = ВС. По усл . углы 3и6 равны = > треугольник E В D – равнобедренный = > E В = В D . по 2-му признаку равны треугольники ABE и CBD . = > АЕ = CD ; AD = AE + ED ; EC = CD + ED = > AD = EC . AD = EC по док-ву АВ = ВС по док-ву Углы 1и4 равны по усл . по 1-му признаку равны треугольники ABD и CBE . = > АЕ = CD .

Слайд 1

Четырехугольники 8 класс геометрия Урок № 1 Многоугольники

Слайд 2

Цели: Ввести понятие многоугольника, выпуклого многоугольника и рассмотреть четырехугольник как частный вид многоугольника. Ввести формулу суммы углов выпуклого многоугольника и суммы углов четырехугольника. Решение базовых задач.

Слайд 3

А В С D E F K ABCDEFK – многоугольник (семиугольник) AB, BC, CD, DE, EF, FK, KA - стороны многоугольника A , B , C , D , E , F , K – вершины многоугольника A , B – соседние вершины В А A С, AD, AE, AF – диагонали многоугольника

Слайд 4

C D B E F A ABCDEFK – не многоугольник (СЕ ⋂ AD = B )

Слайд 5

А В С D E F K внутренняя область внешняя область

Слайд 6

А В С D E F K В А Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Слайд 7

A B E C D ABCDE - невыпуклый многоугольник

Слайд 8

А В С D E F K ∠A ВС, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEF, ∠EFK, ∠FKA – углы многоугольника Найдем сумму всех углов многоугольника. Для этого соединим вершину А с другими вершинами. Получим ( n – 2 ) треугольников (пять). Сумма углов каждого треугольника 180°. Сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2)·180° Сумма углов выпуклого четырехугольника 360°

Слайд 9

Задача Сколько сторон имеет многоугольник, каждый угол которого равен 140°. Решение Так как сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2) · 180°. То следовательно (п – 2) · 180° = 140 ° · п Обозначим п – количество сторон многоугольника. 180° · п - 360 ° = 140 ° · п 40° · п = 360 ° п = 360 ° : 40 ° п = 9 Ответ: 9 сторон. 1

Слайд 10

B С D A Задача Найти стороны четырехугольника, если его периметр 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третей, а четвертая - в три раза больше второй. 2 Решение x x - 8 x + 8 3(x – 8) Периметр это сумма длин всех сторон, поэтому: х + ( x – 8 ) + (х + 8) + 3(х – 8) = 66 х + x – 8 + х + 8 + 3х – 24 = 66 6х – 24 = 66 6х = 66 + 24 6х = 90 х = 90 : 6 х = 15 ВС = 15 см, AB = 15 – 8 = 7 см, CD = 15 + 8 = 23 c м, AD = 3· 7 = 21 см. Ответ: 15 см, 7 см, 23 c м, 21 см.

Слайд 11

Задача Начертите выпуклый пятиугольник и из какой-нибудь его вершины проведите все возможные диагонали. а) Сколько треугольников при этом образовалось? б) Найдите сумму углов выпуклого пятиугольника. Ответ: а) 3 треугольника. б) 540° 3 сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2) · 180°, n = 5. (5 – 2) · 180° = 3 · 180° = 540°.

Слайд 12

4 Задача Начертите число сторон выпуклого многоугольника, сумма углов которого равна 1800°. Решение Так как сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2) · 180°. По условию она равна 1800°. То следовательно (п – 2) · 180° = 1800 ° Обозначим п – количество сторон многоугольника. 180° · п - 360 ° = 1800 ° 180° · п = 2160 ° п = 2160 ° : 180 ° п = 12 Ответ: 12 сторон.

Слайд 13

Ответить на вопросы: Какая фигура называется многоугольником? Что такое вершина, стороны, углы, диагонали и периметр многоугольника? Какой многоугольник называется выпуклым? Формула вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?

Слайд 14

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ п.40-42 Вопросы 1-5 с.113 №364бв, 365бв, 368.

Слайд 15

Доп.задачи

Слайд 16

Дано: Найти: АВС D – четырехугольник, ∠А = ∠ B =∠C =∠D ∠А -? Решение По формуле о сумме углов многоугольника имеем: B С D A (п – 2)·180° = (4 – 2)·180 ° = 360° По условию ∠А = ∠ B =∠C =∠D , следовательно ∠А = 360° : 4 = 90° Ответ: 90°

Слайд 17

Дано: Найти: АВС D – четырехугольник, ∠А:∠ B : ∠C : ∠D = 1:2:4:5 ∠А,∠ B , ∠C , ∠D - ? Решение B С D A ∠А + ∠ B + ∠C + ∠D = 360 ° Пусть ∠А = х тогда ∠ B = 2х, ∠C = 4х, ∠D = 5х х + 2х + 4х + 5х = 360 ° 12х = 360 ° х = 360 ° : 12 х = 30 ° ∠А = 30 °, ∠ B = 2х = 60 °, ∠C = 4х = 120 °, ∠D = 5х = 150 ° Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°

Слайд 18

9*180=1620 20*180=3600

Слайд 1

многоугольники

Слайд 2

4. Решение задач по теме «Многоугольники» ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №366, 369, 370.

Слайд 3

Повторение Подготовка к см.р

Слайд 4

180°∙( n – 2) , по усл . n=13 , получ .

Слайд 7

Самостоятельная работа 1 многоугольники

Слайд 9

Проверка

Слайд 10

Задача 1 . 180( n -2) по усл n =7 Получ . 180(7-2)=180*5=900 Ответ: 900. Задача 2 . Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле 180( n -2). По условию эта сумма равна 135 n . Следовательно 180( n -2) =135 n 180 n – 360 = 135n ; 45n = 360 ; n = 8 . Ответ: 8 сторон. Задача 3 . P= a+b+c+d =132 см. По усл . a=x см, b=x-2, c=x-4, d=x-6. Следовательно х+х-2+х-4+х-6=132 4х-12=132; 4х=144; х=36. a = 36 см; b = 34 см; c = 32 см; d = 30 см. Ответ: 36, 34, 32, 30.

Слайд 11

Задача 1 . 180( n -2) по усл n =12 Получ . 180(12-2)=180*10=1800 Ответ: 1800. Задача 2 . Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле 180( n -2). По условию эта сумма равна 108 n . Следовательно 180( n -2) =108 n 180 n – 360 = 1 08 n ; 72 n = 360 ; n = 5. Ответ: 5 сторон. Задача 3 . P= a+b+c+d = 90 см. По усл . a=x см, b=2 х , c= 3 x, d= 4 x. Следовательно х+2х+3х+4х=90 10х=90; х=9. a = 9 см; b = 18 см; c = 27 см; d = 36 см. Ответ: 9, 18, 27, 36.

Слайд 12

Доп. задача* Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5 пятиугольной звездочки, изображенной на рисунке. Ответ: 180 о .

Слайд 1

Проверка дз №364 бв , 365 абг , 368.

Слайд 2

№ 364 бв Задача б) . Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле 180( n -2) П о усл n =6. Получ . 180(6-2 )= 180*4=720 Ответ: 72 0 . Задача в ) . Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле 180( n -2) П о усл n =9. Получ . 180(9-2 )= 180*7=1260 Ответ: 1 26 0 .

Слайд 3

№365 бв Задача б) . Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле180( n -2). По условию эта сумма равна 60 n . Следовательно 180( n -2) = 60 n 180 n – 360 = 60 n ; 120 n = 360 ; n = 3. Ответ: 3 стороны. (это правильный треугольник) Задача в) . Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле180( n -2). По условию эта сумма равна 120 n . Следовательно 180( n -2) =12 0 n 180 n – 360 = 12 0 n ; 6 0 n = 360 ; n = 6 . Ответ: 6 сторон. (это правильный шестиугольник)

Слайд 4

№368 Задача Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле 180( n -2). По условию n = 4 и все углы равные. Пусть каждый из них равен α , тогда сумма углов этого четырёхугольника равна 4 α . Следовательно 180(4-2 ) = 4 α 180*2 = 4 α ; 4 α = 360; α = 90. Ответ: углы данного четырёхугольника по 90°.

Слайд 5

Проверка дз №365, 369, 370.

Слайд 6

№366 Задача . P= a+b+c+d = 8 см. По усл . a = x см, b = x - 0,3 см , c = x - 0, 4 см , d= x - 0,5 см . Следовательно х+х-0,3+х-0,4+х-0,5=8 4х-1,2=8; 4х=9,2; х=2,3. a = 2,3 см; b = 2 см; c = 1,9 см; d = 1,8 см. Ответ: 2,3; 2 ; 1,9 ; 1,8.

Слайд 7

№369 Обозначим α равные углы А, В и С Сумма углов выпуклого n -угольника находится по формуле 180( n -2) По усл n =4. Получ . 180(4-2 )= 180*2=360 = > Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Следовательно α + α + α + 135 = 360 3 α = 225 α = 75° Ответ: 75.

Слайд 8

№370 Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Обозначим углы данного четырёхугольника α , 2 α , 4 α и 5 α . Следовательно α + 2 α + 4 α + 5 α = 360 12 α = 360 α = 30 Ответ: 30, 60, 120, 150.

Слайд 1

Четырехугольники 8 класс геометрия Параллелограмм и его свойства

Слайд 2

Цели: Ввести понятие параллелограмма. Рассмотреть свойства параллелограмма. Решение базовых задач.

Слайд 4

А В С D ABCD – параллелограмм. AB II CD, В C II AD. Определение Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Слайд 6

Свойства параллелограмма

Слайд 7

А В С D 1 В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. ∠А = ∠С , ∠ В = ∠D ВС = AD , АВ = С D

Слайд 8

А В С D 2 Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. О ВО = О D , АО = ОС О – точка пересечения диагоналей

Слайд 9

А В С D 3 В параллелограмме сумма углов , прилежащих к одной стороне, равна 180 °. ∠А + ∠ D = 180 ° , ∠ D + ∠ C = 180 ° , ∠А + ∠ B = 180 ° , ∠В + ∠ C = 180 ° ,

Слайд 10

Дано: Доказать: 1 АВС D – четырехугольник, АВ || CD, ∠A =∠C АВС D – параллелограмм. Доказательство Задача №371 б А В С D 1 3 2 По условию прямые АВ и CD параллельны, значит (по 2-му св-ву паралл.пр ) равны соответственные углы 1и3 - (соотв.углы при АВ || CD секущ . AD ) По условию ∠A =∠C ( ∠ 1 =∠ 2) и по док-ву ∠ 1 =∠ 3, следовательно ∠ 2 =∠ 3 – это накрест лежащие углы при прямых ВС и AD и секущей CD . Значит по 1-му признаку паралл.пр . ВС || AD . По усл . АВ || CD , по док-ву ВС || AD = > по опр. параллелограмма четырёхугольник АВС D - параллелограмм Что и требовалось доказать

Слайд 11

Дано: Найти: 2 АВС D – параллелограмм, Р АВ CD = 48 см , ВС – АВ = 3 см Стороны параллелограмма. Доказательство Задача №372 а А В С D х см х + 3 см Р = 2( а+ b ) 48 = 2(х+х+3) 2х + 3 = 24 2х = 21 х = 10,5 х + 3 = 13,5 Ответ: АВ = CD = 10,5 см AD = ВС = 13,5 см

Слайд 12

Дано: Найти: 3 АВС D – параллелограмм, Р АВ CD = 48 см , ВС – АВ = 7 см Стороны параллелограмма. Доказательство Задача №372 б А В С D х см х + 7 см Р = 2( а+ b ) 48 = 2(х+х+7) 2х + 7 = 24 2х = 17 х = 8,5 х + 7 = 15,5 Ответ: АВ = CD = 8,5 см AD = ВС = 15,5 см

Слайд 13

Дано: Найти: 4 АВС D – параллелограмм, ∠A = 84° ∠ В, ∠ С, ∠D . Доказательство Задача №376 а А В С D 84° В параллелограмме противолежащие углы равны: ∠A = ∠ С = 84° , ∠ В = ∠D . В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠ В = ∠D = 180 – 84 = 96° . Ответ: ∠A = ∠ С = 84° , ∠ В = ∠D = 96° . 84°

Слайд 14

Дано: Найти: 5 АВС D – параллелограмм, ∠A - ∠ В = 55° ∠A , ∠ В, ∠ С, ∠D . Доказательство Задача №376 б D А В С α В параллелограмме противолежащие углы равны: ∠A = ∠ С , ∠ В = ∠D . В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠ А + ∠ В = 180 = > α + 55 + α = 180 2 α =125; α = 62,5° = 62°30´ α +55 =117,5° = 117°30´ Ответ: ∠A = ∠ С = 117°30´ , ∠ В = ∠D = 62°30´ . α +55°

Слайд 15

Дано: Найти: 6 АВС D – параллелограмм, ∠ С AD = 16º , ∠ACD = 37° ∠A , ∠ В, ∠ С, ∠D . Доказательство Задача №376 д А В С D 16 º В параллелограмме противолежащие углы равны: ∠A = ∠ С , ∠ В = ∠D = 127. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠ А + ∠ В = 180 = > ∠ А = 180 – 127 = 53 º Ответ: ∠A = ∠ С = 53° , ∠ В = ∠D = 127 ° . 37° Сумма углов треугольника 180 ∠D = 180 – 6 – 37 = 127 º

Слайд 16

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ п.43 вопросы 6-8, с.113 № 371 а, 372 в, 376 вг

Слайд 17

Ответить на вопросы: Спасибо за внимание! Какая фигура называется параллелограммом? Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Слайд 18

ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

Слайд 19

Дано: Доказать: 1 АВС D – четырехугольник, ∠ B А C = ∠ ACD, ∠CAD =∠BCA АВС D – параллелограмм. Доказательство Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : 1. ∠ B А C = ∠ ACD, ∠CAD =∠BCA – по условию, АС – общая; следовательно ∆ А BC = ∆ ACD – по стороне и двум прилежащим углам; поэтому ВС = AD. А В С D 2 .Так как ∠ B А C = ∠ ACD – накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС, AD и секущей - АС , то ВС ∥ AD . 3.Так как ВС = AD и ВС ∥ AD , то по 1-му признаку параллелограмма АВС D – параллелограмм, что и требовалось доказать. Задача №371 а ДЗ

Слайд 20

Дано: Найти: 2 АВС D – параллелограмм, Р АВ CD = 48 см , ВС = 2АВ Стороны параллелограмма. Доказательство Задача №372 в А В С D х см 2х см Р = 2( а+ b ) 48 = 2(х+2х) 3х = 24 х = 8 2х = 16 Ответ: АВ = CD = 8 см AD = ВС = 16 см

Слайд 21

Дано: Найти: 3 АВС D – параллелограмм, ∠A + ∠ С = 142° ∠A , ∠ В, ∠ С, ∠D . Доказательство Задача №376 в А В С D В параллелограмме противолежащие углы равны: ∠A = ∠ С , ∠ В = ∠D . По усл . ∠A + ∠ С = 142° = > ∠A = ∠ С = 142 : 2 = 71° В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠ А + ∠ В = 180 = > ∠ В = 180 – 71 = 109º Ответ: ∠A = ∠ С = 71 °, ∠ В = ∠D = 109 ° . 71°

Слайд 22

Дано: Найти: 4 АВС D – параллелограмм, ∠A = 2 ∠ В ∠A , ∠ В, ∠ С, ∠D . Доказательство Задача №376 г D А В С В параллелограмме противолежащие углы равны: ∠A = ∠ С , ∠ В = ∠D . В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠ А + ∠ В = 180 = > α + 2 α = 180º α = 60º , 2 α = 120 º Ответ: ∠A = ∠ С = 120°, ∠ В = ∠D = 60 ° . α 2 α

Слайд 1

Четырехугольники 8 класс геометрия Признаки параллелограмма

Слайд 2

Цели: Рассмотреть признаки параллелограмма. Решение базовых задач.

Слайд 3

А В С D Признаки параллелограмма 1 Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, АВ = CD, АВ ∥ CD АВС D – параллелограмм Доказательство

Слайд 4

А В С D 1 Доказательство Пусть АВ = С D и АВ ∥ С D , проведем диагональ АС. Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : ∆ А BC = ∆ ACD – по двум сторонам и углу между ними (АС – общая, АВ = С D – по условию, ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при АВ ∥ С D и секущей АС. Поэтому ∠3 = ∠ 4 . 1 2 3 4 Но ∠3 и ∠ 4 – накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей – АС. Следовательно ВС∥ AD. Таким образом, если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то этот четырехугольник АВС D - параллелограмм.

Слайд 5

А В С D Признаки параллелограмма 2 Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, АВ = CD, ВС = А D АВС D – параллелограмм Доказательство

Слайд 6

А В С D 2 АВС D - четырехугольник, АВ = CD, ВС = А D . Доказательство Рассмотрим треугольники ∆ А BC и ∆ ACD : ∆ А BC = ∆ ACD – по трем сторонам (АС – общая, АВ = С D , ВС = А D – по условию). 1 4 3 2 Поэтому ∠1 = ∠ 2 как накрест лежащие при секущей АС. Отсюда следует, что АВ ∥ С D . Проведем диагональ АС. Так как АВ ∥ С D и АВ = С D , то по признаку 1 четырехугольник АВС D – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Слайд 7

А В С D 3 О Признаки параллелограмма Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм. Дано: Доказать: АВС D – четырехугольник, ВО = О D, АО = ОС АВС D – параллелограмм Доказательство

Слайд 8

А В С D 3 О АВС D – четырехугольник, ВО = О D, АО = ОС. Доказательство 1 2 3 4 Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим треугольники ∆ АО B и ∆ C О D : ∆ АО B = ∆ C О D – по первому признаку равенства треугольников (ВО = О D, АО = ОС – по условию, ∠ АО B = ∠ C О D – как вертикаль.) Поэтому АВ = CD и ∠1 = ∠2. Из ∠1 = ∠2 следует, что АВ ∥ CD . Так как в четырехугольнике АВС D стороны АВ = CD и АВ ∥ CD , то по 1 признаку четырехугольник АВС D – параллелограмм (если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм).

Слайд 9

Ответить на вопросы: Спасибо за внимание! Какая фигура называется параллелограммом? Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны. Докажите, что в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Слайд 10

Задача 1 Дано: Найти: А В С D АВС D – параллелограмм, АК – биссектриса ∠А ВК = 15 см, КС = 9см. Р АВС D - ? 1 2 3 Решение АВС D – параллелограмм, то ВС ∥ AD и ∠2 = ∠3, (как накрест лежащие ) ∠1 = ∠2 – по свойству биссектрисы, то и ∠1 = ∠3. К ∆АВК – равнобедренный, следовательно АВ = ВК = 15 см 15 см 9см АВ = С D , то и С D = 15 см, ВС = ВК + 9 = 15 + 9 = 24 (см). 15 см ВС = AD = 24 (см). Р АВС D = 2(AD + AB) = 2(24 + 15) = 78 (c м). Ответ: 78 (c м). №374

Слайд 11

Задача 2 Дано: Найти: А В С D АВС D – параллелограмм, АК – биссектриса делит ВС на отрезки 7 см и 14 см. Р АВС D - ? Решение ∠1 = ∠2 – по усл . АК биссектриса ∠2 = ∠3 – накрест лежащие углы при ВС ‖ AD и секущей АМ №375 ИЛИ А В С D М М 14 7 14 7 1 2 1 2 3 = > ∠1 = ∠3 = > ∆АВМ – равнобедренный = > АВ = ВМ I Р АВС D = 2(14 + 21) = 2∙35 = 70 см II Р АВС D = 2( 7 + 21) = 2∙ 28 = 56 см Ответ: 70 см или 56 см 3

Слайд 12

Задача 3 Дано: Найти: MNPQ – парал-м , NH ⊥ MQ, H лежит на стороне MQ, MH = 3 см, HQ = 5 см, ∠ MNH = 30° Стороны и углы парал-ма Решение №377 M N P Q 30 Н 3 см 5 см Треугольник MN Н – прямоугольный с углом в 30° , МН = ½ MN = > MN = 6 см. ∠ NMH = 6 0° 6 см В параллелограмме противоположные стороны равны. MN = QP = 6 см; NP = MQ = 8 см. В параллелограмме противолежащие углы равны. = > ∠ M =∠Р = 6 0° , а сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠ N = ∠ Q =1 8 0 – 60 = 120 ° . 6 0° Ответ: MN = QP =6 см; NP = MQ = 8 см, ∠ M =∠Р = 6 0° , ∠ N =∠ Q = 120 °

Слайд 13

Задача 4 Дано: Доказать: А В С D АВС D – параллелограмм, АС Ո BD = О А 1, В 1, С 1, D 1 – середины ОА, ОВ, ОС и OD А 1 В 1 С 1 D 1 - параллелограмм Доказательство Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся по полам. По усл . А 1 , В 1 , С 1 , D 1 – середины ОА = ОС, ОВ = OD . Следовательно В 1 О = О D 1 , А 1 О = ОС 1 . О Что и требовалось доказать №382 В 1 А 1 С 1 D 1 = > Диагонали 4-х угольника А 1 В 1 С 1 D 1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит по 3-му признаку парал-ма А 1 В 1 С 1 D 1 параллелограмм.

Слайд 15

Домашнее задание п.44 вопрос 9, с.113 №373, 378 Решение в учебнике, 383.

Слайд 16

Проверка домашнего задания

Слайд 17

Дано: Найти: 1 АВС D – параллелограмм, Р АВ CD = 50 см , ∠С = 30° , ВН = 6,5 см, ВН ⊥ CD Стороны параллелограмма. Доказательство Задача №373 А В С D 30° В параллелограмме противолежащие углы равны ∠А= ∠С =30° , а сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180° = > ∠В= ∠ D =150° . Ответ: АВ = CD = 12 см, AD = ВС = 13 см. 150° Н 6,5 см 13 см Треугольник ВСН – прямоугольный с углом в 30° , = > ВН = ½ ВС = > ВС = 13 см. В параллелограмме противоположные стороны равны. Р = 2(АВ + ВС) = > 50 = 2(АВ + 13); 25 = АВ + 13; АВ = 12 см.

Слайд 18

Дано: Доказать: 2 АВС D – параллелограмм, BD - диагональ, PB = QD АРС Q - параллелограмм. Доказательство Задача №383 А В С D Р ∠ 1 = ∠ 2 – накрест лежащие углы при АВ‖ CD и секущей BD (1-е св-во паралл.пр .) АВ = CD – противолежащие стороны парал-ма PB = QD по условию = > ∆ABP = ∆CDQ по 1-му призн . = > АР = QC . Q 1 2 = > I Рассм . ∆ABP и ∆CDQ

Слайд 19

2 Продолжение №383 А В С D Р ∠ 3 = ∠ 4 – накрест лежащие углы при ВС‖А D и секущей BD (1-е св-во паралл.пр .) ВС = А D – противолежащие стороны парал-ма PB = QD по условию = > ∆BP С = ∆DQ А по 1-му призн . = > РС = А Q . Q 3 4 = > II Рассм . ∆BP С = ∆DQ А Таким образом мы доказали, что АР = QC и РС = А Q , т.е. равны противоположные стороны 4-х угольника АРС Q = > (по 2-му признаку парал-ма ) АРС Q - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Слайд 1

параллелограмм

Слайд 2

7. Решение задач по теме «Параллелограмм»

Слайд 7

Самостоятельная работа 2 Параллелограмм

Слайд 8

« на 3». Найдите периметр параллелограмма 20 7 8 2

Слайд 9

Вариант 1 2.

Слайд 10

Вариант 2 2.

Слайд 11

проверка

Слайд 12

« на 3 » Вариант 1 Задача 1. Треуг.АВК равнобедр Р = 2(15 + 24) = 2∙39 = 78 Ответ: 78 Задача 2. Треуг . MNH прямоуг.с углом в 30 => MN =6 Р = 2(6 + 8) = 2∙14 = 28 Ответ: 28 Вариант 2 Задача 1. Треуг.АВК равнобедр Р = 2(20 + 27) = 2∙47 = 94 Ответ: 94 Задача 2. Треуг . MNH прямоуг.с углом в 30 => MN =4 Р = 2(4 + 10) = 2∙14 = 28 Ответ: 28

Слайд 13

Вариант 1 Дано: Доказать: АВС D – параллелограмм, АС - диагональ, АЕ = СК BEDK - параллелограмм. Доказательство D A B C E ∠ 1 = ∠ 2 – накрест лежащие углы при А D ‖ BC и секущей А С (1-е св-во паралл.пр .) А D = BC – противолежащие стороны парал-ма АЕ = СК по условию = > ∆ABP = ∆CDQ по 1-му призн . = > DE = BK . K 1 2 = > I Рассм . ∆ ADE и ∆ C ВК 3 4

Слайд 14

Вариант 1 Доказательство ПРОДОЛЖЕНИЕ D A B C E ∠ 3 = ∠ 4 – накрест лежащие углы при АВ‖ CD и секущей А С (1-е св-во паралл.пр .) А B = DC – противолежащие стороны парал-ма АЕ = СК по условию = > ∆AE В = ∆C К D по 1-му призн . = > EB = DK . K 3 4 = > II Рассм . ∆ AE В и ∆ C К D Таким образом мы доказали, что DE = BK и EB = DK , т.е. равны противоположные стороны 4-х угольника BEDK = > (по 2-му признаку парал-ма ) BEDK - параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Слайд 15

D C B A О Вариант 1 2. E F 5 см 3 см 1 2 3 4 ∠ 1 = ∠ 2 – н.л.у. при ВС‖ AD и сек.АС (1-е св-во парал.пр .) ∠3 = ∠ 4 – вертикальные АО = ОС – диаг.парал-ма т.пересеч.делятся пополам = > = > ∆COF= ∆AOE по 2 - му призн . = > AE=CF = 5см . Следовательно ВС = 3 + 5 = 8 см.

Слайд 16

D C B A О Вариант 1 2. E F 5 см 3 см 1 2 3 4 В парал-ме противолежащие стороны равны ВС = AD = 8 см. Р = 2(АВ+ВС); 28 = 2(АВ + 8); АВ + 8 = 14; АВ = 6 см. Ответ: АВ = CD = 6 см, ВС = AD = 8 см. ПРОДОЛЖЕНИЕ

Слайд 17

Вариант 2 K M N P A B AM ‖ BP (лежат на противолежащих сторонах парал-ма MN‖KP ) и AM = BP ( по условию ) = > AMBP – параллелограмм по 1-му признаку

Слайд 18

2. Вариант 2 А В С D М 1 2 3 4 5 6 ∠1 = ∠2 ( ∠ 4 = ∠ 5 ) – по усл . А M (DM) биссектриса ∠ 1 = ∠3 ( ∠ 4 = ∠ 6 ) – накрест лежащие углы при ВС ‖ AD и секущей АМ (DM) ∠ 2 = ∠3 ( ∠ 5 = ∠ 6 ) = > ∆АВМ ( ∆ CD М ) – равнобедренный = > АВ = ВМ (CM = DM)

Слайд 19

Противолежащие стороны параллелограмма равны, значит АВ = ВМ = CM = DM = х см По условию периметр равен 36 см Получ . 36 = 2( х + 2х) 3х = 18 х = 6 см 2х = 12 см Ответ: AB = CD = 6 см, BC = AD = 12 см.

Слайд 22

Доп задачи № 425, 426, 428

Слайд 31

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 375 повторить, 380, 384 Реш.в учебнике Разобрать и записать в тетрадь Или Задачи на чертежах Слайд 3,4,5 Задание по рядам.

Слайд 1

Четырехугольники 8 класс геометрия Трапеция Ввести понятие трапеции и ее элементов. Познакомить с равнобедренной и прямоугольной трапецией. Рассмотреть свойства равнобедренной трапеции.

Слайд 2

А В С D Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Основание Основание Боковая Боковая АВС D – трапеция, если ВС ∥ AD , АВ и С D – боковые стороны, ВС и AD – основания.

Слайд 3

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. А В С D АВС D – равнобедренная трапеция, если ВС ∥ AD , АВ = С D – боковые стороны.

Слайд 4

А В С D Трапеция называется прямоугольной , если один из углов прямой. АВС D – прямоугольная трапеция, если ВС ∥ AD , ∠А = 90° или ∠В= 90°.

Слайд 5

А В С D М N М – середина АВ N – середина CD MN – средняя линия трапеции

Слайд 6

А В С D В D = AC – диагонали трапеции ∠ А = ∠ D , ∠ В = ∠С – углы при основаниях Свойства равнобедренной трапеции 2. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. 1. В равнобедренной трапеции диагонали равны.

Слайд 7

А В С D В D = AC – диагонали трапеции ∠ А = ∠ D , ∠ В = ∠С – углы при основаниях Признаки равнобедренной трапеции 2. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная. 1. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Слайд 8

Задача 1 Дано: Доказать: А В С D АВС D – равнобедренная трапеция а) ∠А = ∠ D , ∠В =∠С. б) АС = BD . Решение а) АВС D – равнобедренная трапеция, = > ВС ∥ AD , АВ = CD . Проведем высоты ВН = СК (расстояния между паралл.пр .) Тогда ∆АВН = ∆ D С K – прямоугольные (по катету ВН = СК и гипотенузе АВ = CD ) = > ∠А=∠ D . № 388 аб Н К ∠А+∠В = 180 – одностор.у . при ВС ∥ AD и сек.АВ ∠С+∠ D = 180 – одностор.у . при ВС ∥ AD и сек. CD = > ∠В=∠С . а) Что и треб.д-ть .

Слайд 9

Задача - продолжение 1 Дано: Доказать: А В С D АВС D – равнобедренная трапеция а) ∠А = ∠ D , ∠В =∠С. б) АС = BD . Решение б) АВС D – равнобедренная трапеция, ВС ∥ AD , АВ = CD , ∠А = ∠ D , ∠В =∠С. Проведем диагонали АС и BD и рассм . ∆ ABD и ∆ DCA. № 388 аб А D – общая сторона ∠А=∠ D – углы при нижнем основании рабнобедр.трапеции АВ = CD – боковые стороны рабнобедр.трапеции = > б) Что и треб.д-ть . = > по 1-му призн . ∆ ABD = ∆ DCA = > AC = BD .

Слайд 10

Задача 2 Дано: Доказать: А В С D АВС D –трапеция а) ∠А = ∠ D , ∠В =∠С. б) АС = BD . АВС D – равнобедренная трапеция . Решение а) АВС D –трапеция = > ВС ∥ AD . Проведем высоты ВН = СК (расстояния между паралл.пр .) Тогда ∆АВН = ∆ D С K – прямоугольные (по катету ВН = СК и острому углу ∠ А = ∠ D ) = > АВ= С D № 389 аб Н К = > АВС D – равнобедренная трапеция . а) Что и треб.д-ть .

Слайд 11

Задача - продолжение 2 Дано: Доказать: А В С D АВС D –трапеция а) ∠А = ∠ D , ∠В =∠С. б) АС = BD . АВС D – равнобедренная трапеция . Решение Тогда ∆ A СК = ∆ D ВН – прямоугольные (по катету ВН = СК и гипотенузе АС = BD ) № 389 аб б) Что и треб.д-ть . = > по 1-му призн . ∆ A С D = ∆ D В A = > A В = С D = > б) АВС D –трапеция = > ВС ∥ AD . Н К Проведем высоты ВН = СК (расстояния между паралл.пр .) и диагонали АС = BD ( по усл . ) . = > ∠1 = ∠2 . 1 2 А D – общая сторона АС = BD – по условию = > = > АВС D – равнобедренная трапеция .

Слайд 12

Задача Дано: Найти: А В С D АВС D –трапеция, AD – большее основание, АС ⊥ CD , ∠ВАС =∠СА D , Р АВС D = 20 см, ∠ D =60° А D – ? Решение № 438 АВС D –трапеция = > ВС ∥ AD . ∠1 = ∠2 по усл , ∠2 = ∠3 – н.л.у. при ВС ∥ AD и секущ.АС = > ∠1 = ∠3 = > ∆ АВС – равнобедренный = > АВ=ВС. 1 2 3 3 Рассм . ∆ АС D – прямоугольный,∠ D = 60 = > ∠ 2 = 30º => А D =2С D . Т.к.∠ 2 = 30º = ∠1 = > ∠А= ∠ D = 60 – углы при основании трапеции Значит трапеция АВС D – равнобедренная = > AB=CD Обозначим AB =ВС =CD =х см, AD =2х см, Р АВС D = 20 см, тогда х+х+х+2х=20 = > х=4см, 2х = 8 см. Ответ: AD = 8 см.

Слайд 13

Задача Дано: Доказать: АВС D –трапеция, ∠А +∠ D = 90 º , Р и К – серед . ВС и AD РК = ½ (А D - ВС) Доказательство № 439* 4 А В С D Р К М Продлим АВ и CD до пересечения, получ . ∆ AMD – прямоугольный (по ∠А +∠ D = 90 º = > ∠ M = 90 º ) ∆ AMD – прямоугольный , МК – медиана = > МК = ½ AD ∆В M С – прямоугольный , МР – медиана = > МР = ½ ВС = > РК = МК – МР = = ½ AD – ½ ВС = ½ (А D - ВС) Что и треб.д-ть .

Слайд 14

Ответить на вопросы: Спасибо за внимание! Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции? Какая трапеция называется прямоугольной? Равнобедренной? Сформулируйте свойства равнобедренной трапеции. Сформулируйте признаки равнобедренной трапеции. Что такое средняя линия трапеции? Свойство средней линии трапеции.

Слайд 15

Домашнее задание п. 45 вопросы 10-11, с.113 №386, 387, 390

Слайд 16

Задача 1 Доказательство Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции. А В С D Пусть Е – середина АВ. Проведем Е F ∥ BC ∥ AD . . F . E Точка F – середина CD (по теореме Фалеса). Докажем, что Е F - единственный Через точки Е и F можно провести только одну прямую (аксиома) т. е. отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции ABCD параллелен основаниям, ч. т. д. № 386 Дз

Слайд 17

Задача 2 Дано: Найти: А В С D АВС D – трапеция, ∠A = 36 °, ∠C = 117 ° ∠ В = ?, ∠D = ? 36 ° 117 ° Решение АВС D – трапеция, то ВС ∥ AD . ∠А + ∠В = 180° 36 ° + ∠В = 180° ∠В = 180° - 36 ° ∠В = 144 ° ∠С + ∠ D = 180° ∠ 117 ° + ∠ D = 180° ∠ D = 180° - ∠ 117 ° ∠ D = 63 ° Ответ: ∠В = 144 ° , ∠ D = 63 ° № 387 Дз

Слайд 18

Задача 3 Дано: Найти: АВС D – равнобедренная трапеция, ∠A = 68 °, ∠ В - ?, ∠С - ?, ∠D - ? Решение Если АВС D – равнобокая трапеция , то ∠A = ∠D = 68°, А В С D 68 ° 68 ° ∠ 68 ° + ∠В = 180° ∠В = 180° - ∠ 68 ° ∠В = 112° ∠ В = ∠ С = 112°, Ответ: ∠D = 68°, ∠В = 112°, ∠ С = 112°. № 390 Дз

Слайд 19

Теорема Фалеса

Слайд 20

Теорема Фалеса Если на одной из двух прямых отложить последовательно равных несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. а) l ₁ ∥ l₂ б) l ₁ ∥ l₂ А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅ В ₁ В ₂ В ₃ В ₄ В ₅ А ₁ А ₂ = В ₁ В ₂ l ₁ l ₁ l₂ l₂ А ₁ А ₂ А ₃ А ₄ А ₅ А ₁ А ₂ В ₂ В ₁ - параллелограмм В ₁ В ₂ В ₃ В ₄ В ₅ l С D l ₁ ∥ l А ₂ А ₃ DC - параллелограмм А ₂ A₃ = CD А ₂ A₃ = В ₂ B₃

Слайд 21

Домашнее задание №392 аб , Выучить док-во т.Фалеса (№384 и 385)

Слайд 22

Проверка домашнего задания

Слайд 23

∟ В ₁ Задача 4 Дано: Найти: АВС D – прямоугольная трапеция, ∠D = 90 °, BC = 4 см , AD = 7 см , ∠A = 60 ° АВ - ? Решение Проведем ВВ ₁ ⊥ AD 4 см 7 см 60 ° A В ₁ = AD - B ₁D А В С D A В ₁ = 7 - 4 = 3 (см) Рассмотрим ∆ А B В₁: ∠A = 60° - по условию, ∠ В₁ = 90° так как ВВ ₁ ⊥ AD , то ∠В = 30° A В ₁ = ½АВ – по свойству прямоугольного треугольника, АВ = 3· 2 = 6 (см). Ответ: 6 (см). № 392 а Дз

Слайд 24

∟ В ₁ Задача - продолжение 4 Дано: Найти: АВС D – прямоугольная трапеция, ∠D = 90 °, BC = 10 см , AD = 15 см , ∠A = 45 ° CD - ? Решение Проведем ВВ ₁ ⊥ AD 10 см 15 см 45 ° A В ₁ = AD - B ₁D А В С D A В ₁ = 15 - 10 = 5 (см) Рассмотрим ∆ А B В₁: ∠A = 45 ° - по условию, ∠ В₁ = 90° так как ВВ ₁ ⊥ AD , то ∠В = 45 ° = > ∆ A ВВ ₁ - равнобедренный, АВ ₁ = ВВ ₁ = 5 см CD = ВВ ₁ = 5 см ( расст.м /у паралл.пр . ) Ответ: 5 (см). № 392 б Дз

Слайд 1

трапеция

Слайд 2

10. Решение задач по теме «Трапеция»

Слайд 9

Самостоятельная работа 3 трапеция

Слайд 10

Вариант 1 1.

Слайд 11

Вариант 2 1.

Слайд 12

проверка

Слайд 13

Вариант 1 1. Дано: Найти: АВС D – равнобедренная трапеция, ∠ В = 120 °, AD = 14 см, ВС = 8 см А В - ?, С D - ? Решение АВС D – равнобедренная трапеция , = > ∠ В = ∠ С = 120°, А В С D 120 ° 120 ° В трапеции сумма углов, прилежащих к о д ной стороне равна 180° = > ∠ A = ∠ D = 180° - 120 ° = 60° 14 см 8 см ∟ H ∟ K Проведем высоту ВК =СН (как расст.м /у парал.пр .) Тогда ∆АВК = ∆ CDH – прямоуг . (по катету и гипотенузе) АК = Н D = (14 – 8):2 = 3 см. А т.к. у этих треуг.один из острых углов 60, то второй 30 = > AK = ½ AB => AB = CD = 6 см Ответ: 6 см.

Слайд 14

Вариант 1 ∟ В ₁ Дано: Найти: АВС D – прямоугольная трапеция, ∠D = 90 °, BC = 6 см , AD = 1 0 см , ∠A = 45 ° CD - ? Решение Проведем ВВ ₁ ⊥ AD 6 см 1 0 см 45 ° A В ₁ = AD - B ₁D А В С D A В ₁ = 1 0 - 6 = 4 (см) Рассмотрим ∆ А B В₁: ∠A = 45 ° - по условию, ∠ В₁ = 90° так как ВВ ₁ ⊥ AD , то ∠В = 45 ° => ∆ A ВВ ₁ - равнобедренный, АВ ₁ = ВВ ₁ = 5 см CD = ВВ ₁ = 5 см ( расст.м /у паралл.пр . ) Ответ: 5 (см).

Слайд 15

Вариант 2 1. Дано: Найти: АВС D – равнобедренная трапеция, ∠ А = 60 °, AD = 16 см, A ВС = 10 см В C - ? Решение АВС D – равнобедренная трапеция , = > ∠ А = ∠D = 6 0° А В С D 6 0 ° 60 ° 1 6 см 10 см ∟ H ∟ K Проведем высоту ВК =СН (как расст.м /у парал.пр .) Тогда ∆АВК = ∆ CDH – прямоуг . (по катету и гипотенузе) АК = Н D . А т.к. у этих треуг.один из острых углов 60, то второй 30 = > AK = ½ AB = 5 см BC = KH = 16 – 2∙5 = 6 см. Ответ: 6 см. 10 см

Слайд 16

Вариант 2 Дано: Найти: АВС D – равнобедренная трапеция, ∠ А = 6 0 °, AD = 12 см, ВС = 6 см А В - ?, С D - ? Решение АВС D – равнобедренная трапеция , = > ∠ А = ∠D = 6 0° А В С D 6 0 ° 6 0 ° 12 см 6 см ∟ H ∟ K Проведем высоту ВК =СН (как расст.м /у парал.пр .) Тогда ∆АВК = ∆ CDH – прямоуг . (по катету и остр.у .) АК = Н D = (12 – 6):2 = 3 см. А т.к. у этих треуг.один из острых углов 60, то второй 30 = > AK = ½ AB => AB = CD = 6 см Ответ: 6 см.

Слайд 17

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 339 бв (по вариантам) Построение на альбомном листе Описание построения на 2-ом листе в клетку №396 Реш.в учебнике Разобрать и записать в тетрадь или по карточкам зад.на готов.черт .

Слайд 1

Прямоугольник Домашнее задание п.46 Вопросы 12-13 №399, 401 а, 404

Слайд 2

Прямоугольник, его свойства и признаки Определение Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Признаки Если у параллелограмма все углы равны, то он прямоугольник. Если в параллелограмме хотя бы один угол прямой, то он прямоугольник. Если в параллелограмме диагонали равны, то он прямоугольник. Свойства Свойство диагоналей: АС ∩BD=O, AO=OC, BO=OD. Свойство противолежащих сторон и углов: AB = CD , AD = BC ; Диагонали равны: BD = AC.

Слайд 3

Задача 1 Решение Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам = > АЕ = ЕС = ВЕ = Е D . Значит Ответ: 70. ∆АЕВ – равнобедренный, углы при основании равны и угол при вершине 40°, а сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно ∠АВЕ = ∠ВАЕ = (180 – 40):2 = 70°.

Слайд 4

Задача 2 Решение По усл . EF = BC = 5 . Ответ: 40. ∆АЕВ – прямоугольный с углом в 30° = > DF = 2 EF = 10 см. ∆ ABM = ∆CBD = ∆EFD = ∆FKM – прямоугольные (по двум катетам) = > ВМ = BD = FM = DF = 10 см => P BDFM = 40 см.

Слайд 5

Задача 3 Доказательство У прямоугольника все углы равны 90 º . По усл . BN и CM – биссектрисы углов В и С. Значит ∠1 = ∠2 =∠3 = ∠4 = 45 º . Что и треб . д - ть У прямоугольника противолежащие стороны равны АВ = CD Т.о. ∆ ABN = ∆DCM – прямоугольные (катету и острому углу в 45), значит и второй острый угол 45 º = > ∆ ABN = ∆DCM – равнобедренные => AN = MD . 1 2 3 4 AM = AN – MN, ND = MD - MN = > AM = ND

Слайд 6

1 ряд 2 ряд 3 ряд ОЕ = 2,5 см

Слайд 7

1 ряд Задача 4 Решение Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам = > АО = ОС = ВО = О D . Значит Ответ: 60; 120. ∆ COD – равнобедренный, углы при основании равны по 60°, а сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно ∠ COD = 180 – 6 0 – 60 = 6 0°. ∠АОВ = ∠ COD = 6 0° – вертикальные. ∠В O С = 180 – ∠ COD = 180 – 60 = 120° – смежные.

Слайд 8

2 ряд Задача 5 Решение Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам = > АО = ОС = ВО = О D . Значит ∆ COD – равнобедренный, углы при основании равны по 60°, а сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно ∠ COD = 180 – 6 0 – 60 = 6 0° => ∆COD - равносторонний. ОЕ = 2,5 см ∆COD = ∆АОВ (по двум сторонам АО = ОС = ВО = О D и углу между ними ∠АОВ = ∠ COD - вертикальные) ∆АОВ – равносторонний => высота ВЕ – явл . бисс . и медианой Значит АО = 2ОЕ = 5 см => AC = 2AO = 10 см, AB = AO = 5 см. Ответ: AC = 10 см, AB = 5 см.

Слайд 9

3 ряд Задача 6 Решение ∆АВЕ – прямоугольный равнобедренный, ( по усл ∠1 = ∠2) = > 1 2 АВ = ВЕ = 4, ∠1 = ∠2 = 45°. 3 4 5 ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180° развёрнутый угол = > ∠4 = 180 – 45 – 75 = 60° . ∆С DE – прямоугольный ∠1 = 60 = > ∠ 5 = 30 = > CE = ½ED = 3 AD = BC = BE + CE = 4 + 3 = 7 Ответ: 7 .

Слайд 10

Задача 7 Решение

Слайд 11

Проверка ДЗ №399, 401 а, 404

Слайд 12

Задача 1 Дано: Доказать: А В С D АВС D – параллелограмм, ∠А = 90° АВС D – прямоугольник Доказательство В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° = > ∠А+∠В = 180°, по усл . ∠А = 90° Значит ∠В = 90° Аналогично получаем, что ∠С = 90°, и ∠ D = 90°. № 399 = > Что и треб.д-ть . 90° = > в параллелограмме АВС D все углы прямые, Значит по определению он – прямоугольник .

Слайд 13

Задача 2 Дано: Найти: А В С D АВС D – прямоугольник, АМ – биссектриса делит ВС на отрезки 45,6см и 7,85 см Р АВС D – ? Решение АМ – биссектриса ∠А = 90° = > ∠ 1 = ∠ 2 = 45 ° ∆АВМ - прямоугольный с острым углом 45° = > ∠3= 45 ° Получ . ∆АВМ – равнобедренный, АВ = ВМ. № 401 а Ответ: 198,1 или 122,6. ИЛИ А В С D 7,85 7,85 45,6 45,6 М М 1 2 3 3 1 2 I АВ = ВМ = 45,6 => Р АВС D = 2(45 , 6 + 53,45 ) = 2∙99,05 = 198,1 см II АВ = ВМ = 7,85 => Р АВС D = 2( 7,85+ 53,45 ) = 2∙61,3 = 122,6 см

Слайд 14

Задача 3 Дано: Доказать: А В С Р АВС – прямоугольный треугольник, ∠С = 90° , СМ – медиана СМ = ½ АВ Решение Достроим данный треугольник до прямоугольника и проведем в нем вторую диагональ СР № 404 Что и треб. док-ть М По условию СМ – медиана = > М – середина АВ По построению АВСР – прямоугольник – его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам = > M – точка пересечения диагоналей и СМ = МР = АМ = ВМ. Следовательно СМ = ½ АВ

Слайд 15

Самостоятельная работа 4 прямоугольник

Слайд 16

Вариант 1

Слайд 17

Вариант 2

Слайд 18

проверка

Слайд 19

Вариант 1 Дано: Найти: А В С D АВС D – прямоугольник, Р ABCD = 28 см, ВС = 6АВ AB, BC, CD, AD Решение Противолежащие стороны прямоугольника равны. Р АВС D = 2( АВ + ВС). По усл . Р ABCD = 28 см. Обозначим АВ = CD = х см, BC = AD = 6х см. Тогда 28 = 2( х + 6х); 7х = 14; х = 2 см, 6х = 12 см. Ответ: АВ = CD = 2 см, BC = AD = 12 см. 6х х

Слайд 20

Вариант 1 Дано: Найти: А В С D АВС D – прямоугольник, ∠ВАС - ∠СА D = 10° Острый угол между диагоналями Решение Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам = > АО = ОС = ВО = OD . Значит ∆АОВ – равнобедренный и углы при основании равны по 40°, а сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно ∠АОВ = 180 – 40 – 40 = 100° = > смежный с ним ∠АОВ = 80° Ответ: 80. α + 10 α У прямоугольника все углы прямые, значит α + α + 10 = 90° α = 40° О

Слайд 21

Вариант 2 Дано: Найти: А В С D АВС D – прямоугольник, Р ABCD = 36 см, ВС – АВ = 6 см AB, BC, CD, AD Решение Противолежащие стороны прямоугольника равны. Р АВС D = 2( АВ + ВС). По усл . Р ABCD = 36 см. Обозначим АВ = CD = х см, BC = AD = х + 6 см. Тогда 36 = 2( х + х + 6); 2х + 6 = 18; х = 6 см, х + 6 = 12 см. Ответ: АВ = CD = 6 см, BC = AD = 12 см. х + 6 х

Слайд 22

Вариант 2 Дано: Найти: А В С D АВС D – прямоугольник, ∠СА D : ∠ВАС = 1 : 8 Тупой угол между диагоналями Решение Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам = > АО = ОС = ВО = OD . Значит ∆АОВ – равнобедренный и углы при основании равны по 80°, а сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно ∠АОВ = 180 – 80 – 80 = 20° = > смежный с ним ∠АОВ = 160° Ответ: 160. 8 α α У прямоугольника все углы прямые, значит α + 8 α = 90° α = 10°, 8α = 80°. О

Слайд 1

Ромб и Квадрат Домашнее задание п.47 Вопросы 14-15 №405, 409, 411

Слайд 2

Ромб, его свойства и признаки Определение Параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства Свойство диагоналей параллелограмма: АС ∩BD=O, AO=OC, BO=OD. Свойство противолежащих сторон и углов: AB = CD , AD = BC . Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Признаки Если в четырехугольнике все стороны равны, то он ромб. Если в параллелограмме диагонали делят его пополам, то он ромб. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он ромб.

Слайд 3

Квадрат, его свойства и признаки Определение Прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства Свойство диагоналей параллелограмма: АС ∩BD=O, AO=OC, BO=OD Свойство противолежащих сторон и углов: AB = CD , AD = BC ; Диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы пополам. Признаки Если диагонали четырехугольника пересекаются под прямым углом, то он квадрат. Если в ромбе все углы равны, то он квадрат. Если ромбе диагонали равны, то он квадрат.

Слайд 4

Решение Стороны ромба равны и противолежащие углы равны. Значит ∆ А BC = ∆А DC - равнобедренные (1-му признаку ). 1 2 3 4 Следовательно ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4 = (180 – 60) : 2 = 6 0° ∆ А BC = ∆А DC – равносторонние . АВ = ВС = CD = AD = АС = 10,5 см. Р ABCD = 4 ∙ 10,5 = 42 см. Ответ: 42 см.

Слайд 5

Дано: Найти: АВС D – ромб , ∠А = 45 ° Решение Углы м/у сторонами и диагоналями ромба A B C D O 90 45 В ромбе противолежащие углы равны. ∠А = ∠С = 45 ° , ∠ C= ∠ D. В ромбе сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°. ∠ C= ∠ D = 180 – 45 = 135° . Диагонали ромба явл . биссектрисами его углов. = > Углы м/у сторонами и диагоналями данного ромба равны: 45 : 2 = 22,5° = 22° 30´ и 135 : 2 = 67,5 º = 67 º 30 ´ Ответ: 22° 30´ ; 67 º 30 ´

Слайд 6

Дано: Найти: ∆АВС, ∠ C= 9 0° , АС = 12 см, CFED - квадрат Решение A Р АВС D B E F C D

Слайд 7

Решение ∆AKC = ∆AMC (по 3-м сторонам) – равнобедренные = > ∠ 1 = ∠ 2 = ∠3 = ∠4 = 30°. 1 2 3 4 5 ABCD – прямоугольник = > ∠ C = 90° = ∠ 2 + ∠3 + ∠5 => ∠5 = 30°. ∆BKC – прямоугольный с углом в 30° = > ВК = ½ СК Обозначим ВК = х , СК = АК = 2х, по усл . АВ = АК + ВК = 3 = > х + 2х = 3; х = 1; 2х = 2. Ответ: АК = 2.

Слайд 8

Стороны ромба равны и противолежащие углы равны. Значит ∆ А BC = ∆А DC (по 1-му признаку ) - равнобедренные с углом при вершине в 60°. Следовательно углы при основании равны (180 – 60) : 2 = 6 0° = > ∆ А BC = ∆А DC – равносторонние. Решение В равностороннем треугольнике высота явл . бисс . и медианой. = > BM , BN – медианы = > М и N – серед . AD = DC = 6. Т.о.получ . MD + DN = 3 + 3 = 6. Ответ: 6 .

Слайд 9

УСТНО

Слайд 10

УСТНО

Слайд 11

УСТНО

Слайд 12

а см, b см . а см b см УСТНО

Слайд 13

Стороны ромба равны ∆АВ D – равнобедренный Обозначим ∠АВЕ = ∠ D ВЕ = α , ∠ ABD = 2 α . Решение Сумма углов треуг . равна 180 º Рассм . ∆ВЕ D Получ . α + 2 α + 150 = 180°; 3 α = 30°; α = 10 ° . Рассм . ∆АВЕ ∠АЕВ = 180 - ∠ВЕ D ; ∠АЕВ = 180 – 150 = 30° Получ . ∠ А = 180 – 30 – 10 = 140 ° . Противолежащие углы ромба равны ∠А = ∠С = 140 ° . Ответ: 140.

Слайд 14

Домашнее задание п.47 Вопросы 14-15 №405, 409, 411

Слайд 15

Проверка ДЗ №405, 409, 411

Слайд 16

1 Дано: Найти: АВС D – ромб, АВ = BD , а) углы ромба; б) углы образованные диагоналями ромба с его сторонами Решение № 405 аб A B C D O 120 90 60 30 Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят его углы пополам. ∆BOC = ∆ DOC = ∆DOA = ∆ BOA - прямоугольные (по двум катетам). 6 0 Стороны ромба равны AB = AD По усл . АВ = BD = > AB = AD = BD => ∆ABD – правильный, его углы по 60°. а) углы ромба равны 60° и 120°; б) углы образованные диагоналями ромба с его сторонами: 30° и 60°. Ответ: а) 60; 120; б) 30; 60.

Слайд 17

2 Дано: Доказать: АВС D – ромб, ∠А = 9 0° Решение № 40 9 A B C D O 90 Диагонали ромба перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят его углы пополам. 9 0 В ромбе все стороны равны, противолежавшие углы равны а сумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°. Четырехугольник у которого все стороны равны и все углы прямые является квадратом = > АВС D – квадрат Что и треб. док-ть АВС D – квадрат По усл . ∠А = 9 0° = ∠С = > ∠В = 9 0° и ∠ D = 9 0°

Слайд 18

№ 4 11 3 Дано: Доказать: ∆АВС - прямоугольный, ∠С = 9 0° СР – биссектриса, РМ ‖ ВС, Р N ‖ АС Решение A B C N М ∠С = 9 0° , СР – биссектриса => ∠1 = ∠2 = 45 ° РМ ‖ ВС , BC ⊥ AC = > PM ⊥ AC => ∠ 3 = 90 Р N ‖ АС , AC ⊥ BC => PN ⊥ BC => ∠ 4 = 90 Сумма углов 4-уг-ка равна 360. ∠С = 9 0° Четырехугольник у которого все стороны равны и все углы прямые является квадратом = > АВС D – квадрат Что и треб. док-ть С PMN – квадрат ∆ PCN и ∆PCM – прямоугольные с острым углом в 45 = > второй остр.у . тоже 45 => P 1 2 3 4 = > = > ∠ MPN = 90° . => ∆ PCN и ∆PCM – равнобедренные и они равны по гипотенузе и острому углу = > CM = MP = PN = NC

Слайд 19

Самостоятельная работа 5 Ромб и квадрат С-4 №2 + доп.

Слайд 20

Вариант 1 1 .

Слайд 21

Вариант 2 1 .

Слайд 22

проверка

Слайд 23

1 . Вариант 1 Дано: Доказать: ABCD – прямоугольник, BN, CN - биссектрисы MNPK - квадрат Доказательство Биссектрисы смежных углов образуют угол в 90 º . Следовательно ∠ N =∠ M = ∠ K =∠ P = 9 0° . D А В С М N K P Углы прямоугольника и смежные с ними равны 90°, биссектрисы внешних углов делит их на углы по 45° . ∆BCN = ∆ADK и ∆BCN = ∆ADK (по гипотенузе и остр.у .) = > BN = CN = AK = DK и CP = DP = BM = AM Значит NP = KP = MK = MN. Т.о. получ , что в 4х-уг-ке MNPK все углы прямые и все стороны равны = > MNPK –квадрат. Что и треб. док-ть

Слайд 24

Вариант 1 A B C D O Дано: Найти: ABCD – ромб, ∠ D = 1 2 0°, AC Ո BD = O Углы треугольника B О C Решение Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. ∆BOC = ∆ DOC = ∆DOA = ∆ BOA - прямоугольные (по двум катетам). Ответ: 90, 6 0, 3 0. 120 90 ∠ D =∠ B = 1 2 0°, диагонали ромба делят углы пополам = > ∠ OBC= 60° Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90° = > ∠ DC О = 3 0° 60 30

Слайд 25

Вариант 2 1 . D А В С М N K P Дано: Доказать: ABCD – ромб, BN, CN - биссектрисы MNPK - прямоугольник Доказательство Биссектрисы смежных углов образуют угол в 90 º . Следовательно ∠ N =∠ M = ∠ K =∠ P = 9 0° . Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно BNCO – прямоугольник. BN = OC ≠ OB = CN. Т.о. получ , что в 4х-уг-ке MNPK все углы прямые и равны противолежащие стороны = > MNPK – прямоугольник. Что и треб. док-ть

Слайд 26

Вариант 2 M N P K O Дано: Найти: MNPK – ромб, ∠М = 160°, KN Ո MP = O Углы треугольника РОК Решение Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. ∆POK = ∆ PON = ∆MOK = ∆ MON - прямоугольные (по двум катетам). Ответ: 90, 80, 10. 160 90 ∠Р =∠М = 160°, диагонали ромба делят углы пополам = > ∠ O Р K = 80° Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90° = > ∠РКО = 10° 8 0 1 0

Слайд 1

Систематизация знаний по теме «четырёхугольники» Решение задач ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ по карточкам

Слайд 2

четырёхугольники

Слайд 16

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ карточка Подготовка к К/ р Дз №1