7.2 Подготовка к ОГЭ по математике
Полезные ссылки для подготовки к ОГЭ
Материалы по подготовке к ОГЭ по математике
И.В. Ященко, С.А. Шестаков " Я сдам ОГЭ! Методика подготовки"
И.В. Ященко, С.А. Шестаков " Я сдам ОГЭ! Модульный курс, математика. Практикум и диагностика"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Демонстрационный вариант КИМ ОГЭ по математике 2022. | 1.63 МБ |
| Сборник КИМ ГВЭ для 9 класса. | 1.73 МБ |
 Вычисление и упрощение выражений | 785 КБ |
| Действия со степенями в заданиях ОГЭ | 394.54 КБ |
 Варианты 1-15 | 1.95 МБ |
| сборник задач по математике 9-11 классы | 281.3 КБ |
| matem2016oge9proba10variantov-otvet.pdf | 1.17 МБ |
 Модуль ГЕОМЕТРИЯ | 598.57 КБ |
| Квадратные уравнения. | 684 КБ |
| ОГЭ 2020 Практикум № 7 | 150.97 КБ |
| ОГЭ 2020 Практикум № 9 | 132.48 КБ |
| ОГЭ 2020 Практикум № 16 | 115.54 КБ |
| ОГЭ 2020 Практикум № 18 | 114.98 КБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Сложение и вычитание обыкновенных дробей 1) Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить (вычесть) дроби, надо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить тем же. 2) Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю, а затем применить первое правило.
3) При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел целые и дробные части вычитают отдельно, если числитель уменьшаемого меньше числителя вычитаемого, то необходимо занять единицу из целой части:
Умножение обыкновенной дроби на целое число Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе. Умножение обыкновенной дроби на дробь
Деление обыкновенной дроби на целое число Для того, чтобы разделить некоторое число на дробь, необходимо умножить это число на обратную дробь : Для того, чтобы разделить обыкновенную дробь на число, необходимо умножить эту дробь на обратное число :
Деление обыкновенной дроби на дробь Для того, чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь, необходимо деление заменить на умножение, а вторую дробь на обратную дробь : Для того, чтобы разделить обыкновенную дробь на смешенное число, необходимо сначала смешенное число заменить на неправильную дробь, затем деление заменить на умножение, а вторую дробь на обратную дробь :
Сложение и вычитание десятичных дробей Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим ( запятая под запятой). 3,07 +11,354 0,009 ----------- 14,433 12,070 - 11,354 ----------- 0,616
Умножение десятичных дробей На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях. 3,079 х 0,0064 ----------- +12316 18474 ----------- 0,0197056 Замечание : до простановки запятой в ответе нельзя отбрасывать нули в конце!
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: 1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую; 2) поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части. Деление десятичной дроби на целое число
При делении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 , ... надо перенести запятую в этой дроби влево на столько знаков, сколько нулей в делителе. Например: 34,9 : 10 = 3,49 ; 746 : 100 = 7,46 ; 28,1 : 1000 = 0,0281 Деление и умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000, … При умножении десятичной дроби на 10 , 100 , 1000 , ... надо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей во множителе. Например: 34,9 *10 = 349; 7,046 *100 = 704,6; 28,1 *1000 = 28100
При делении на десятичную дробь, сначала переносим запятую в делимом и делителе вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе. А затем выполняем деление на натуральное число. Например: 543,96 : 0,3 = 5439,6 : 3 = 1813,2; 237 : 0,03 = 23700 : 3 = 7900 . Деление десятичной дроби на десятичную дробь
Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную, если в знаменателе стоит число: 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50 и т.д. (делители круглых чисел)
Абсолютная величина( модуль ) Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число. Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число. П р и м е р ы : | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0. Действия с отрицательными и положительными числами
1) при сложении двух чисел с одинаковыми знаками складываются их абсолютные величины и перед суммой ставится общий знак. П р и м е р ы : ( + 6 ) + ( + 5 ) = 11 ; ( – 6 ) + ( – 5 ) = – 11 . 2) при сложении двух чисел с разными знаками их абсолютные величины вычитаются ( из большей меньшая ) и ставится знак числа с большей абсолютной величиной. П р и м е р ы : ( – 6 ) + ( + 9 ) = 3 ; ( – 6 ) + ( + 3 ) = – 3 . Сложение
Можно заменить вычитание двух чисел сложением, при этом уменьшаемое сохраняет свой знак, а вычитаемое берётся с обратным знаком. П р и м е р ы : ( + 8 ) – ( + 5 ) = ( + 8 ) + ( – 5 ) = 3; ( + 8 ) – ( – 5 ) = ( + 8 ) + ( + 5 ) = 13; ( – 8 ) – ( – 5 ) = ( – 8 ) + ( + 5 ) = – 3; ( – 8 ) – ( + 5 ) = ( – 8 ) + ( – 5 ) = – 13; Вычитание
При умножении двух чисел их абсолютные величины умножаются, а произведение принимает знак « + » , если знаки сомножителей одинаковы, и знак « – » , если знаки сомножителей разные. Полезна следующая схема ( правила знаков при умножении ): ( + ) · ( + ) = (+) ( + ) · ( – ) = (–) ( – ) · ( + ) = (–) ( – ) · ( – ) = (+) При умножении нескольких чисел ( двух и более ) произведение имеет знак « + » , если число отрицательных сомножителей чётно, и знак « – » , если их число нечётно. Умножение
При делении двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя, а частное принимает знак « + » , если знаки делимого и делителя одинаковы, и знак « – » , если знаки делимого и делителя разные. Здесь действуют те же правила знаков, что и при умножении : (+) : (+) = (+) (+) : (–) = (–) (–) : (+) = (–) (–) : (–) = (+) П р и м е р : ( – 12 ) : ( + 4 ) = – 3 . Деление
Степень и её свойства
Арифметический квадратный корень и его свойства Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число b , квадрат которого равен а : √ а = b ( при a ≥ 0, b ≥ 0), b 2 = a если если
Формулы сокращённого умножения
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
№ 1.
№ 2.
№ 3.
№ 4.
№ 5.
№ 6.
№ 7. 0.000064
№ 8
№ 9.
Проверь себя: № 1 1 вариант 2 вариант
Проверь себя: № 2. 1 вариант 2 вариант
Проверь себя: № 3. 1 вариант 2 вариант
Проверяем 1 вариант 2 вариант № 1 3 1 № 2 1 4 № 3 2 4 Обязательно разберись в своих ошибках !
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 1 1. Лестница соединяет точки A и B и состоит из 35 ступеней. Высота каждой ступени равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах). 2. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC — ромб. Найдите угол OCB. Ответ дайте в градусах. 3. Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 4. Периметр квадрата равен 40. Найдите площадь квадрата. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 6. Укажите номера верных утверждений.
1) Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Сумма смежных углов равна 180°. 3) Любая медиана равнобедренного треугольника является его биссектрисой. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 2 1. Глубина бассейна составляет 2 метра, ширина — 10 метров, а длина — 25 метров. Найдите суммарную площадь боковых стен и дна бассейна (в квадратных метрах). 2. В треугольнике известно, что , — биссектриса. Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 3. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 30, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 20 и 15. 4. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание — , а угол, лежащий напротив основания, равен 150°. Найдите площадь треугольника. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. 6. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра. 3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 3 1. Дизайнер Павел получил заказ на декорирование чемодана цветной бумагой. По рисунку определите, сколько бумаги (в см2) необходимо закупить Павлу, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань он будет обклеивать отдельно (без загибов). 2. Основания трапеции равны 3 и 13. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 3. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 4. Площадь параллелограмма ABCD равна 66. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции EBCD. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 6. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если две стороны треугольника равны 3 и 5, то его третья сторона больше 3. 2) Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов. 3) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 4) Если две стороны треугольника равны 3 и 4, то его третья сторона меньше 7. |
Ответы к Модуль ГЕОМЕТРИЯ
В 1 | В 2 | В 3 | В 4 | В 5 | В 6 | В 7 | В 8 | В 9 | В 10 | В 11 | |
1 | 17,5 | 390 | 17400 | 2 | 7 | 2 | 500 | 2,1 | 5 | 144 | 9 |
2 | 60 | 24 | 6,5 | 64 | 28 | 93 | 64 | 107 | 688 | 115 | 4 |
3 | 7 | 40 | 52 | 40 | 28 | 25 | 6 | 31,5 | 39 | 51 | 54 |
4 | 100 | 25 | 49,5 | 4056 | 2160 | 50 | 50 | 50 | 20 | 756 | 4 |
5 | 1 | 12 | 30 | 16 | 2 | 5 | 8 | 3 | 6 | 8 | 25 |
6 | 12 | 2 | 4 | 13 | 23 | 13 | 123 | 13 | 2 | 12 | 3 |
В 12 | В 13 | В 14 | В 15 | В 16 | В 17 | В 18 | В 19 | В 20 | В 21 | ||
1 | 256 | 2 | 330 | 144 | 3 | 2,4 | 2 | ||||
2 | 12 | 20 | 124 | 34 | 135 | 106 | 7 | ||||
3 | 65 | 71 | 170 | 27 | 4 | 535 | 53 | ||||
4 | 1395 | 65 | 120 | 18 | 12 | 9 | 388 | ||||
5 | 4 | 52 | 21 | 28 | 67,5 | 0,75 | 11 | ||||
6 | 1 | 23 | 2 | 123 | 1 | 23 | 1 |
Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 4 1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах. 2. Найдите величину угла AOK, если OK — биссектриса угла AOD, ∠DOB = 52°. Ответ дайте в градусах. 3. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 20,5. Найдите , если 4. Сторона ромба равна 65, а диагональ равна 104. Найдите площадь ромба. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь. 6. Какие из следующих утверждений верны? 1.Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 2.Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту. 3.Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 5 1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 16 см и 24 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 1140 см2. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах. 2. В трапеции известно, что , и . Найдите угол Ответ дайте в градусах. 3. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 56°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 216, а боковая сторона — 78. Найдите площадь треугольника. 5. Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке. 6. Какие из следующих утверждений верны? 1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. 2) Все диаметры окружности равны между собой. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 6 1. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м? 2. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 16°, ∠2 = 71°. Ответ дайте в градусах. 3. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 155°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах. 4. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 150°. Найдите площадь ромба. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 6. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая. 2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) У равностороннего треугольника три оси симметрии. |
Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 7 1. Девочка прошла от дома по направлению на запад 560 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 960 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка? 2. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 65°, ∠2 = 51°. Ответ дайте в градусах. 3. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности. 4. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей — , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 30°. Найдите площадь ромба. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали. 6. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Против большей стороны треугольника лежит больший угол. 2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность. 3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 8 1. Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 10,5 см, а длина равна 36 см. Расстояние между точками A и B составляет 7,5 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах). 2. Найдите больший угол равнобедренной трапеции , если диагональ образует с основанием и боковой стороной углы, равные 19° и 54° соответственно. Ответ дайте в градусах. 3. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 63°. 4. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Ответ выразите в сантиметрах. 6. Какие из следующих утверждений верны?
1) Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов. 2) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 9 1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 29 см и 44 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 2106 см2. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах. 2. Тангенс острого угла прямоугольной трапеции равен . Найдите её бóльшее основание, если меньшее основание равно высоте и равно 86. 3. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 78°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. 4. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии. 6. Какое из следующих утверждений верно? 1. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 2. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. 3. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны. |
Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 10 1. Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30×50×90 (см) можно поместить в кузов машины размером 2,4×3×2,7 (м)? 2. Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно. 3. На отрезке выбрана точка так, что и . Построена окружность с центром , проходящая через . Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки к этой окружности. 4. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 8 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 35. Найдите площадь параллелограмма. 5. Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь закрашенной фигуры. 6. Какие из следующих утверждений верны? 1. Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 2. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. 3. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 11 1. Колесо имеет 40 спиц. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы. 2. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 133°, ∠2 = 43°. Ответ дайте в градусах. 3. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 72 , AO = 90 . 4. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 6. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются. 2) Вписанные углы окружности равны. 3) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 4) Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 12 1. Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 40×80×100 (см) можно поместить в кузов машины размером 3,2×3,2×8 (м)? 2. В равнобедренном треугольнике . Найдите , если высота . 3. В угол C величиной 115° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O - центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах. 4. Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 7 и HD = 24. Диагональ параллелограмма BD равна 51. Найдите площадь параллелограмма. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах. 6. Какое из следующих утверждений верно? 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3. В любой четырёхугольник можно вписать окружность. |
Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 13 1. Картинка имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 27 см. Её наклеили на белую бумагу так, что вокруг картинки получилась белая окантовка одинаковой ширины. Площадь, которую занимает картинка с окантовкой, равна 558 см. Какова ширина окантовки? Ответ дайте в сантиметрах. 2. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 22°, ∠2 = 138°. Ответ дайте в градусах. 3. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 38°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. 4. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 56 и AD = 89, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED. 5. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры. 6. Укажите номера верных утверждений.
1) В тупоугольном треугольнике все углы тупые. 2) В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3) Точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 14 1. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 4,4 м? 2. На прямой AB взята точка M. Луч MD — биссектриса угла CMB. Известно, что ∠DMC = 28°. Найдите угол CMA. Ответ дайте в градусах. 3. AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 5°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. 4. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь. 6. Какие из следующих утверждений верны?
1) Около любого ромба можно описать окружность. 2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности. 3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис. 4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 15 1. Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30×50×90 (см) можно поместить в кузов машины размером 2,4×3×2,7 (м)? 2. В трапеции известно, что , и . Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 3. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 63°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. 4. Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите её площадь. 6. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны. 2) В любой треугольник можно вписать окружность. 3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. |
Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 16 1. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 1,6 м. Длина троса равна 3,4 м. Найдите расстояние от земли до точки крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении. Ответ дайте в метрах. 2. Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 3. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8. 4. Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен . Найдите площадь ромба. 5. Найдите угол . Ответ дайте в градусах. 6. Какое из следующих утверждений верно? 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3. В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 17 1. Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Найдите расстояние от точки основания флагштока до места крепления троса на земле. Ответ дайте в метрах. 2. Найдите больший угол равнобедренной трапеции , если диагональ образует с основанием и боковой стороной углы, равные 11° и 63° соответственно. Ответ дайте в градусах. 3. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что Длина меньшей дуги AB равна 65. Найдите длину большей дуги. 4. Площадь параллелограмма равна 12. Точка — середина стороны . Найдите площадь трапеции . 5. На рисунке изображен ромб . Используя рисунок, найдите . 6. Укажите номера верных утверждений.
1) Центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника совпадают. 2) Существует параллелограмм, который не является прямоугольником. 3) Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°. | Модуль ГЕОМЕТРИЯ Вариант 18 1. Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 1,6 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 1,2 м? 2. Площадь ромба равна 63, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба. 3. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 61° и ∠OAB = 8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. 4. В треугольнике ABC отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC. 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь. 6. Какое из следующих утверждений верно? 1) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат. 2) Смежные углы равны. 3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой. |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Десять способов решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по формуле Разложение левой части уравнения на множители Теорема Виета Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Решение квадратных уравнений способом «переброски» старшего коэффициента Метод выделения полного квадрата Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Геометрический способ решения квадратных уравнений
Решение квадратных уравнений по формуле
Разложение левой части уравнения на множители Этим способом квадратные уравнения решаются уже учениками седьмого класса после того как они научатся раскладывать на множители способом группировки. Пример: х 2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть уравнения на множители: х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = х(х + 12) – 2(х + 12) = = (х + 12)(х – 2); (х + 12)(х – 2) = 0; х + 12 = 0 или х – 2 = 0; х 1 = -12 х 2 = 2 ; Числа – 12 и 2 являются корнями данного уравнения. Ответ: х 1 = -12 ; х 2 = 2.
Теорема Виета Познакомили поэта с теоремою Виета Оба корня он сложил, минус p он получил. А корней произведенье дает q из уравнения. Корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0 . удовлетворяют теореме Виета, которая имеет вид х 1 x 2 = q x 1 +x 2 = -p
Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0 Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1 , х 2 = c /а Если а - b + с = 0 , или b = а + с , то х 1 = – 1 , х 2 = – с/а .
Метод выделения полного квадрата х 2 + 6х – 7 = 0 Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3 В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х , а второе – удвоенное произведение х на 3 , поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3 2 , так как х 2 + 2· х ·3 + 3 2 = (х + 3) 2 Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 3 2 , имеем: х 2 + 6х – 7 = х 2 + 2· х ·3 + 3 2 – 3 2 – 7 = = (х + 3) 2 – 9 – 7 = (х + 3) 2 – 16 Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –16 = 0 , т.е. (х + 3) 2 = 16 . Следовательно, х + 3 - 4 = 0 или х + 3 + 4 = 0 х 1 = 1 х 2 = -7 Ответ: -7; 1.
Графический способ решения квадратных уравнений Решим графически уравнение ах 2 + bx +с = 0 Постоим графики функций y = ax 2 и y = - bx - c в одной системе координат х 1 и х 2 – корни уравнения ах 2 + bx +с = 0