Справочный материал

Опубликовано 23.11.2019 - 21:14 - Хренкова Галина Григорьевна

Основные формулы математики

Скачать:

Вложение	Размер
Основные формулы тригонометрии	212.22 КБ
Решение тригонометрических неравенств	389.61 КБ
Решение тригонометрических уравнений	971.72 КБ
Таблица Брадиса	870.5 КБ
Основные формулы по планиметрии	151.23 КБ
Сдающим_егэ	1.3 МБ
Признаки делимости	30.5 КБ
Старинные меры	121 КБ
Числа великаны	365 КБ

Предварительный просмотр:

ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Таблица VIII. СИНУСЫ

А	0′		6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′			1′	2′	3′
												0,
												0,	0000	90°
0°	0,	0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157		0175	89°	3	6	9
1°	0,	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332		0349	88°	3	6	9
2°		0349	0366	0384	0401	0419	0436	0454	0471	0488	0506		0523	87°	3	6	9
3°		0523	0541	0558	0576	0593	0610	0628	0645	0663	0680	0,	0698	86°	3	6	9
4°		0698	0715	0732	0750	0767	0785	0802	0819	0837	0854	0,	0872	85°	3	6	9

5°	0,	0872	0889	0906	0924	0941	0958	0976	0993	1011	1028		1045	84°	3	6	9
6°	0,	1045	1063	1080	1097	1115	1132	1149	1167	1184	1201		1219	83°	3	6	9
7°		1219	1236	1253	1271	1288	1305	1323	1340	1357	1374		1392	82°	3	6	9
8°		1392	1409	1426	1444	1461	1478	1495	1513	1530	1547	0,	1564	81°	3	6	9
9°		1564	1582	1599	1616	1633	1650	1668	1685	1702	1719	0,	1736	80°	3	6	9

10°	0,	1736	1754	1771	1788	1805	1822	1840	1857	1874	1891		1908	79°	3	6	9
11°	0,	1908	1925	1942	1959	1977	1994	2011	2028	2045	2062		2079	78°	3	6	9
12°		2079	2096	2113	2130	2147	2164	2181	2198	2215	2233		2250	77°	3	6	9
13°		2250	2267	2284	2300	2317	2334	2351	2368	2385	2402	0,	2419	76°	3	6	8
14°		2419	2436	2453	2470	2487	2504	2521	2538	2554	2571	0,	2588	75°	3	6	8

15°	0,	2588	2605	2622	2639	2656	2672	2689	2706	2723	2740		2756	74°	3	6	8
16°	0,	2756	2773	2790	2807	2823	2840	2857	2874	2890	2907		2924	73°	3	6	8
17°		2924	2940	2957	2974	2990	3007	3024	3040	3057	3074		3090	72°	3	6	8
18°		3090	3107	3123	3140	3156	3173	3190	3206	3223	3239	0,	3256	71°	3	6	8
19°		3256	3272	3289	3305	3322	3338	3355	3371	3387	3404	0,	3420	70°	3	5	8

20°	0,	3420	3437	3453	3469	3486	3502	3518	3535	3551	3567		3584	69°	3	5	8
21°	0,	3584	3600	3616	3633	3649	3665	3681	3697	3714	3730		3746	68°	3	5	8
22°		3746	3762	3778	3795	3811	3827	3843	3859	3875	3891		3907	67°	3	5	8
23°		3907	3923	3939	3955	3971	3987	4003	4019	4035	4051	0,	4067	66°	3	5	8
24°		4067	4083	4099	4115	4131	4147	4163	4179	4195	4210	0,	4226	65°	3	5	8

25°	0,	4226	4242	4258	4274	4289	4305	4321	4337	4352	4368		4384	64°	3	5	8
26°	0,	4384	4399	4415	4431	4446	4462	4478	4493	4509	4524		4540	63°	3	5	8
27°		4540	4555	4571	4586	4602	4617	4633	4648	4664	4679		4695	62°	3	5	8
28°		4695	4710	4726	4741	4756	4772	4787	4802	4818	4833	0,	4848	61°	3	5	8
29°		4848	4863	4879	4894	4909	4924	4939	4955	4970	4985	0,	5000	60°	3	5	8

30°	0,	5000	5015	5030	5045	5060	5075	5090	5105	5120	5135		5150	59°	3	5	8
31°	0,	5150	5165	5180	5195	5210	5225	5240	5255	5270	5284		5299	58°	2	5	7
32°		5299	5314	5329	5344	5358	5373	5388	5402	5417	5432		5446	57°	2	5	7
33°		5446	5461	5476	5490	5505	5519	5534	5548	5563	5577	0,	5592	56°	2	5	7
34°		5592	5606	5621	5635	5650	5664	5678	5693	5707	5721	0,	5736	55°	2	5	7

	60′		54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′		А	1′	2′	3′

КОСИНУСЫ

Таблица VIII. СИНУСЫ

А	0′		6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′			1′	2′	3′

35°	0,	5736	5750	5764	5779	5793	5807	5821	5835	5850	5864		5878	54°	2	5	7
36°	0,	5878	5892	5906	5920	5934	5948	5962	5976	5990	6004		6018	53°	2	5	7
37°		6018	6032	6046	6060	6074	6088	6101	6115	6129	6143		6157	52°	2	5	7
38°		6157	6170	6184	6198	6211	6225	6239	6252	6266	6280	0,	6293	51°	2	5	7
39°		6293	6307	6320	6334	6347	6361	6374	6388	6401	6414	0,	6428	50°	2	4	7

40°	0,	6428	6441	6455	6468	6481	6494	6508	6521	6534	6547		6561	49°	2	4	7
41°	0,	6561	6574	6587	6600	6613	6626	6639	6652	6665	6678		6691	48°	2	4	7
42°		6691	6704	6717	6730	6743	6756	6769	6782	6794	6807		6820	47°	2	4	6
43°		6820	6833	6845	6858	6871	6884	6896	6909	6921	6934	0,	6947	46°	2	4	6
44°		6947	6959	6972	6984	6997	7009	7022	7034	7046	7059	0,	7071	45°	2	4	6

45°	0,	7071	7083	7096	7108	7120	7133	7145	7157	7169	7181		7193	44°	2	4	6
46°	0,	7193	7206	7218	7230	7242	7254	7266	7278	7290	7302		7314	43°	2	4	6
47°		7314	7325	7337	7349	7361	7373	7385	7396	7408	7420		7431	42°	2	4	6
48°		7431	7443	7455	7466	7478	7490	7501	7513	7524	7536	0,	7547	41°	2	4	6
49°		7547	7559	7570	7581	7593	7604	7615	7627	7638	7649	0,	7660	40°	2	4	6

50°	0,	7660	7672	7683	7694	7705	7716	7727	7738	7749	7760		7771	39°	2	4	6
51°	0,	7771	7782	7793	7804	7815	7826	7837	7848	7859	7869		7880	38°	2	4	5
52°		7880	7891	7902	7912	7923	7934	7944	7955	7965	7976		7986	37°	2	4	5
53°		7986	7997	8007	8018	8028	8039	8049	8059	8070	8080	0,	8090	36°	2	3	5
54°		8090	8100	8111	8121	8131	8141	8151	8161	8171	8181	0,	8192	35°	2	3	5

55°	0,	8192	8202	8211	8221	8231	8241	8251	8261	8271	8281		8290	34°	2	3	5
56°	0,	8290	8300	8310	8320	8329	8339	8348	8358	8368	8377		8387	33°	2	3	5
57°		8387	8396	8406	8415	8425	8434	8443	8453	8462	8471		8480	32°	2	3	5
58°		8480	8490	8499	8508	8517	8526	8536	8545	8554	8563	0,	8572	31°	2	3	5
69°		8572	8581	8590	8599	8607	8616	8625	8634	8643	8652	0,	8660	30°	1	3	4

60°	0,	8660	8669	8678	8686	8695	8704	8712	8721	8729	8738		8746	29°	1	3	4
61°	0,	8746	8755	8763	8771	8780	8788	8796	8805	8813	8821		8829	28°	1	3	4
62°		8829	8838	8846	8854	8862	8870	8878	8886	8894	8902		8910	27°	1	3	4
63°		8910	8918	8926	8934	8942	8949	8957	8965	8973	8980	0,	8988	26°	1	3	4
64°		8988	8996	9003	9011	9018	9026	9033	9041	9048	9056	0,	9063	25°	1	3	4

65°	0,	9063	9070	9078	9085	9092	9100	9107	9114	9121	9128		9135	24°	1	2	4
66°	0,	9135	9143	9150	9157	9164	9171	9178	9184	9191	9198		9205	23°	1	2	3
67°		9205	9212	9219	9225	9232	9239	9245	9252	9259	9265		9272	22°	1	2	3
68°		9272	9278	9285	9291	9298	9304	9311	9317	9323	9330	0,	9336	21°	1	2	3
69°		9336	9342	9348	9354	9361	9367	9373	9379	9385	9391	0,	9397	20°	1	2	3

	60′		54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′		А	1′	2′	3′

КОСИНУСЫ

Таблица X. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90°

А		0′	1′	2′	3′	4′	5′	6′	7′	8′	9′	10′

83°	00′	8,144	8,164	8,184	8,204	8,223	8,243	8,264	8,284	8,304	8,324	8,345		50′
	10′	8,345	8,366	8,386	8,407	8,428	8,449	8,470	8,491	8,513	8,534	8,556		40′
	20′	8,556	8,577	8,599	8,621	8,643	8,665	8,687	8,709	8,732	8,754	8,777		30′
	30′	8,777	8,800	8,823	8,846	8,869	8,892	8,915	8,939	8,962	8,986	9,010		20′
	40′	9,010	9,034	9,058	9,082	9,106	9,131	9,156	9,180	9,205	9,230	9,255		10′
	50′	9,255	9,281	9,306	9,332	9,357	9,383	9,409	9,435	9,461	9,488	9,514	6°	00′

84°	00′	9,514	9,541	9,568	9,595	9,622	9,649	9,677	9,704	9,732	9,760	9,788		50′
	10′	9,788	9,816	9,845	9,873	9,902	9,931	9,960	9,989	10,02	10,05	10,08		40′
	20′	10,08	10,11	10,14	10,17	10,20	10,23	10,26	10,29	10,32	10,35	10,39		30′
	30′	10,39	10,42	10,45	10,48	10,51	10,55	10,58	10,61	10,64	10,68	10,71		20′
	40′	10,71	10,75	10,78	10,81	10,85	10,88	10,92	10,95	10,99	11,02	11,06		10′
	50′	11,06	11,10	11,13	11,17	11,20	11,24	11,28	11,32	11,35	11,39	11,43	5°	00′

85°	00′	11,43	11,47	11,51	11,55	11,59	11,62	11,66	11,70	11,74	11,79	11,83		50′
	10′	11,83	11,87	11,91	11,95	11,99	12,03	12,08	12,12	12,16	12,21	12,25		40′
	20′	12,25	12,29	12,34	12,38	12,43	12,47	12,52	12,57	12,61	12,66	12,71		30′
	30′	12,71	12,75	12,80	12,85	12,90	12,95	13,00	13,05	13,10	13,15	13,20		20′
	40′	13,20	13,25	13,30	13,35	13,40	13,46	13,51	13,56	13,62	13,67	13,73		10′
	50′	13,73	13,78	13,84	13,89	13,95	14,01	14,07	14,12	14,18	14,24	14,30	4°	00′

86°	00′	14,30	14,36	14,42	14,48	14,54	14,61	14,67	14,73	14,80	14,86	14,92		50′
	10′	14,92	14,99	15,06	15,12	15,19	15,26	15,33	15,39	15,46	15,53	15,60		40′
	20′	15,60	15,68	15,75	15,82	15,89	15,97	16,04	16,12	16,20	16,27	16,35		30′
	30′	16,35	16,43	16,51	16,59	16,67	16,75	16,83	16,92	17,00	17,08	17,17		20′
	40′	17,17	17,26	17,34	17,43	17,52	17,61	17,70	17,79	17,89	17,98	18,07		10′
	50′	18,07	18,17	18,27	18,37	18,46	18,56	18,67	18,77	18,87	18,98	19,08	3°	00′

87°	00′	19,08	19,19	19,30	19,41	19,52	19,63	19,74	19,85	19,97	20,09	20,21		50′
	10′	20,21	20,33	20,45	20,57	20,69	20,82	20,95	21,07	21,20	21,34	21,47		40′
	20′	21,47	21,61	21,74	21,88	22,02	22,16	22,31	22,45	22,60	22,75	22,90		30′
	30′	22,90	23,06	23,21	23,37	23,53	23,69	23,86	24,03	24,20	24,37	24,54		20′
	40′	24,54	24,72	24,90	25,08	25,26	25,45	25,64	25,83	26,03	26,23	26,43		10′
	50′	26,43	26,64	26,84	27,06	27,27	27,49	27,71	27,94	28,17	28,40	28,64	2°	00′

88°	00′	28,64	28,88	29,12	29,37	29,62	29,88	30,14	30,41	30,68	30,96	31,24		50′
	10′	31,24	31,53	31,82	32,12	32,42	32,73	33,05	33,37	33,69	34,03	34,37		40′
	20′	34,37	34,72	35,07	35,43	35,80	36,18	36,56	36,96	37,36	37,77	38,19		30′
	30′	38,19	38,62	39,06	39,51	39,97	40,44	40,92	41,41	41,92	42,43	42,96		20′
	40′	42,96	43,51	44,07	44,64	45,23	45,83	46,45	47,09	47,74	48,41	49,10		10′
	50′	49,10	49,82	50,55	51,30	52,08	52,88	53,71	54,56	55,44	56,35	57,29	1°	00′

89°	00′	57,29	58,26	59,27	60,31	61,38	62,50	63,66	64,86	66,11	67,40	68,75		50′
	10′	68,75	70,15	71,62	73,14	74,73	76,39	78,13	79,94	81,85	83,84	85,94		40′
	20′	85,94	88,14	90,46	92,91	95,49	98,22	101,1	104,2	107,4	110,9	114,6		30′
	30′	114,6	118,5	122,8	127,3	132,2	137,5	143,2	149,5	156,3	163,7	171,9		20′
	40′	171,9	180,9	191,0	202,2	214,9	229,2	245,6	264,4	286,5	312,5	343,8		10′
	50′	343,8	382,0	429,7	491,1	573,0	687,5	859,4	1146	1719	3438		0°	00′

		10′	9′	8′	7′	6′	5′	4′	3′	2′	1′	0′	А

КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ

Таблица X. ТАНГЕНСЫ УГЛОВ, БЛИЗКИХ К 90°

А		0′	1′	2′	3′	4′	5′	6′	7′	8′	9′	10′

76°	00′	4,011	4,016	4,021	4,026	4,031	4,036	4,041	4,046	4,051	4,056	4,061		50′
	10′	4,061	4,066	4,071	4,076	4,082	4,087	4,092	4,097	4,102	4,107	4,113		40′
	20′	4,113	4,118	4,123	4,128	4,134	4,139	4,144	4,149	4,155	4,160	4,165		30′
	30′	4,165	4,171	4,176	4,181	4,187	4,192	4,198	4,203	4,208	4,214	4,219		20′
	40′	4,219	4,225	4,230	4,236	4,241	4,247	4,252	4,258	4,264	4,269	4,275		10′
	50′	4,275	4,280	4,286	4,292	4,297	4,303	4,309	4,314	4,320	4,326	4,331	13°	00′

77°	00′	4,331	4,337	4,343	4,349	4,355	4,360	4,366	4,372	4,378	4,384	4,390		50′
	10′	4,390	4,396	4,402	4,407	4,413	4,419	4,425	4,431	4,437	4,443	4,449		40′
	20′	4,449	4,455	4,462	4,468	4,474	4,480	4,486	4,492	4,498	4,505	4,511		30′
	30′	4,511	4,517	4,523	4,529	4,536	4,542	4,548	4,555	4,561	4,567	4,574		20
	40′	4,574	4,580	4,586	4,593	4,599	4,606	4,612	4,619	4,625	4,632	4,638		10′
	50′	4,638	4,645	4,651	4,658	4,665	4,671	4,678	4,685	4,691	4,698	4,705	12°	00′

78°	00′	4,705	4,711	4,718	4,725	4,732	4,739	4,745	4,752	4,759	4,766	4,773		50′
	10′	4,773	4,780	4,787	4,794	4,801	4,808	4,815	4,822	4,829	4,836	4,843		40′
	20′	4,843	4,850	4,857	4,864	4,872	4,879	4,886	4,893	4,901	4,908	4,915		30′
	30′	4,915	4,922	4,930	4,937	4,945	4,952	4,959	4,967	4,974	4,982	4,989		20′
	40′	4,989	4,997	5,005	5,012	5,020	5,027	5,035	5,043	5,050	5,058	5,066		10′
	50′	5,066	5,074	5,081	5,089	5,097	5,105	5,113	5,121	5,129	5,137	5,145	11°	00′

79°	00′	5,145	5,153	5,161	5,169	5,177	5,185	5,193	5,201	5,209	5,217	5,226		50′
	10′	5,226	5,234	5,242	5,250	5,259	5,267	5,276	5,284	5,292	5,301	5,309		40′
	20′	5,309	5,318	5,326	5,335	5,343	5,352	5,361	5,369	5,378	5,387	5,396		30′
	30′	5,396	5,404	5,413	5,422	5,431	5,440	5,449	5,458	5,466	5,475	5,485		20′
	40′	5,485	5,494	5,503	5,512	5,521	5,530	5,539	5,549	5,558	5,567	5,576		10′
	50′	5,576	5,586	5,595	5,605	5,614	5,623	5,633	5,642	5,652	5,662	5,671	10°	00′

80°	00′	5,671	5,681	5,691	5,700	5,710	5,720	5,730	5,740	5,749	5,759	5,769		50′
	10′	5,769	5,779	5,789	5,799	5,810	5,820	5,830	5,840	5,850	5,861	5,871		40′
	20′	5,871	5,881	5,892	5,902	5,912	5,923	5,933	5,944	5,954	5,965	5,976		30′
	30′	5,976	5,986	5,997	6,008	6,019	6,030	6,041	6,051	6,062	6,073	6,084		20′
	40′	6,084	6,096	6,107	6,118	6,129	6,140	6,152	6,163	6,174	6,186	6,197		10′
	50′	6,197	6,209	6,220	6,232	6,243	6,255	6,267	6,278	6,290	6,302	6,314	9°	00′

81°	00′	6,314	6,326	6,338	6,350	6,362	6,374	6,386	6,398	6,410	6,423	6,435		50′
	10′	6,435	6,447	6,460	6,472	6,485	6,497	6,510	6,522	6,535	6,548	6,561		40′
	20′	6,561	6,573	6,586	6,599	6,612	6,625	6,638	6,651	6,665	6,678	6,691		30′
	30′	6,691	6,704	6,718	6,731	6,745	6,758	6,772	6,786	6,799	6,813	6,827		20′
	40′	6,827	6,841	6,855	6,869	6,883	6,897	6,911	6,925	6,940	6,954	6,968		10′
	50′	6,968	6,983	6,997	7,012	7,026	7,041	7,056	7,071	7,085	7,100	7,115	8°	00′

82°	00′	7,115	7,130	7,146	7,161	7,176	7,191	7,207	7,222	7,238	7,253	7,269		50′
	10′	7,269	7,284	7,300	7,316	7,332	7,348	7,363	7,380	7,396	7,412	7,429		40′
	20′	7,429	7,445	7,462	7,478	7,495	7,511	7,528	7,545	7,562	7,579	7,596		30′
	30′	7,596	7,613	7,630	7,647	7,665	7,682	7,700	7,717	7,735	7,753	7,770		20′
	40′	7,770	7,788	7,806	7,824	7,842	7,861	7,879	7,897	7,916	7,934	7,953		10′
	50′	7,953	7,972	7,991	8,009	8,028	8,048	8,067	8,086	8,105	8,125	8,144	7°	00′

		10′	9′	8′	7′	6′	5′	4′	3′	2′	1′	0′	А

КОТАНГЕНСЫ МАЛЫХ УГЛОВ

Таблица VIII. СИНУСЫ

А	0′		6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′			1′	2′	3′

70°	0,	9397	9403	9409	9415	9421	9426	9432	9438	9444	9449		9455	19°	1	2	3
71°	0,	9455	9461	9466	9472	9478	9483	9489	9494	9500	9505		9511	18°	1	2	3
72°		9511	9516	9521	9527	9532	9537	9542	9548	9553	9558		9563	17°	1	2	3
73°		9563	9568	9573	9578	9583	9588	9593	9598	9603	9608	0,	9613	16°	1	2	2
74°		9613	9617	9622	9627	9632	9636	9641	9646	9650	9655	0,	9659	15°	1	2	2

75°	0,	9659	9664	9668	9673	9677	9681	9686	9690	9694	9699		9703	14°	1	1	2
76°	0,	9703	9707	9711	9715	9720	9724	9728	9732	9736	9740		9744	13°	1	1	2
77°		9744	9748	9751	9755	9759	9763	9767	9770	9774	9778		9781	12°	1	1	2
78°		9781	9785	9789	9792	9796	9799	9803	9806	9810	9813	0,	9816	11°	1	1	2
79°		9816	9820	9823	9826	9829	9833	9836	9839	9842	9845	0,	9848	10°	1	1	2

80°	0,	9848	9851	9854	9857	9860	9863	9866	9869	9871	9874		9877	9°	0	1	1
81°	0,	9877	9880	9882	9885	9888	9890	9893	9895	9898	9900		9903	8°	0	1	1
82°		9903	9905	9907	9910	9912	9914	9917	9919	9921	9923		9925	7°	0	1	1
83°		9925	9928	9930	9932	9934	9936	9938	9940	9942	9943	0,	9945	6°	0	1	1
84°		9945	9947	9949	9951	9952	9954	9956	9957	9959	9960	0,	9962	5°	0	1	1

85°	0,	9962	9963	9965	9966	9968	9969	9971	9972	9973	9974		9976	4°	0	0	1
86°	0,	9976	9977	9978	9979	9980	9981	9982	9983	9984	9985		9986	3°	0	0	0
87°		9986	9987	9988	9989	9990	9990	9991	9992	9993	9993	0,	9994	2°	0	0	0
88°		9994	9995	9995	9996	9996	9997	9997	9997	9998	9998	0,	9998	1°	0	0	0
89°	1,	9998	9999	9999	9999	9999	0000	0000	0000	0000	0000	1,	0000	0°	0	0	0
90°	1,	0000

	60′		54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′		А	1′	2′	3′

КОСИНУСЫ

Таблица VIII дает значение синуса любого острого угла, содержащего целое число градусов и десятых долей градуса, на пересечении строки, имеющей в заголовке (слева) соответствующее число градусов, и столбца, имеющего в заголовке (сверху) соответствующее число минут. Так, sin 70°30′ = 0,9426. Для получения синусов прочих углов нужна интерполяция, вводящая поправку на разность между данным углом и ближайшим табличным. Эта поправка берется из соответствующего столбца поправок справа (курсив). Она прибавляется к ближайшему меньшему значению синуса, если данный угол превосходит ближайший меньший табличный на 1, 2, 3 минуты, и отнимается от ближайшего большего табличного синуса в остальных случаях. Например, sin 70°32′ = 0,9428, так как 9426 + 2 = 9428, и sin70°34′ = 0,9430, так как 9432 – 2 = 9430. Та же табл. VIII служит для разыскания косинусов, причем надо пользоваться нумерацией градусов справа, нумерацией минут снизу и не забывать, что при возрастании острого угла его косинус убывает. Подыскание косинусов можно устранить, заменяя их синусами дополнительных углов.

Значение тангенса любого острого угла, содержащего целое число градусов и минут, определяется по табл. IX, если угол заключен между 0° и 76°, и по табл. X, если между 76° и 90°. Работа по табл. IX требует применения интерполяции, облегчаемой поправками, помещенными в столбцах справа (курсив), и ничем не отличается от работы по табл. VIII. Тангенсы углов, больших 76°, содержащих целое число градусов и минут, табл. X дает непосредственно (без интерполяции).

Таблицы VIII, IX, X позволяют решать и обратный вопрос, то есть находить острый угол по данному значению его синуса или тангенса.

Таблица IX. ТАНГЕНСЫ

А	0′		6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′			1′	2′	3′
												0,
												0,	0000	90°
0°	0,	0000	0017	0035	0052	0070	0087	0105	0122	0140	0157		0175	89°	3	6	9
1°	0,	0175	0192	0209	0227	0244	0262	0279	0297	0314	0332		0349	88°	3	6	9
2°		0349	0367	0384	0402	0419	0437	0454	0472	0489	0507		0524	87°	3	6	9
3°		0524	0542	0559	0577	0594	0612	0629	0647	0664	0682	0,	0699	86°	3	6	9
4°		0699	0717	0734	0752	0769	0787	0805	0822	0840	0857	0,	0875	85°	3	6	9

5°	0,	0875	0892	0910	0928	0945	0963	0981	0998	1016	1033		1051	84°	3	6	9
6°	0,	1051	1069	1086	1104	1122	1139	1157	1175	1192	1210		1228	83°	3	6	9
7°		1228	1246	1263	1281	1299	1317	1334	1352	1370	1388		1405	82°	3	6	9
8°		1405	1423	1441	1459	1477	1495	1512	1530	1548	1566	0,	1584	81°	3	6	9
9°		1584	1602	1620	1638	1655	1673	1691	1709	1727	1745	0,	1763	80°	3	6	9

10°	0,	1763	1781	1799	1817	1835	1853	1871	1890	1908	1926		1944	79°	3	6	9
11°	0,	1944	1962	1980	1998	2016	2035	2053	2071	2089	2107		2126	78°	3	6	9
12°		2126	2144	2162	2180	2199	2217	2235	2254	2272	2290		2309	77°	3	6	9
13°		2309	2327	2345	2364	2382	2401	2419	2438	2456	2475	0,	2493	76°	3	6	9
14°		2493	2512	2530	2549	2568	2586	2605	2623	2642	2661	0,	2679	75°	3	6	9

15°	0,	2679	2698	2717	2736	2754	2773	2792	2811	2830	2849		2867	74°	3	6	9
16°	0,	2867	2886	2905	2924	2943	2962	2981	3000	3019	3038		3057	73°	3	6	9
17°		3057	3076	3096	3115	3134	3153	3172	3191	3211	3230		3249	72°	3	6	10
18°		3249	3269	3288	3307	3327	3346	3365	3385	3404	3424	0,	3443	71°	3	6	10
19°		3443	3463	3482	3502	3522	3541	3561	3581	3600	3620	0,	3640	70°	3	7	10

20°	0,	3640	3659	3679	3699	3719	3739	3759	3779	3799	3819		3839	69°	3	7	10
21°	0,	3839	3859	3879	3899	3919	3939	3959	3979	4000	4020		4040	66°	3	7	10
22°		4040	4061	4081	4101	4122	4142	4163	4183	4204	4224		4245	67°	3	7	10
23°		4245	4265	4286	4307	4327	4348	4369	4390	4411	4431	0,	4452	66°	3	7	10
24°		4452	4473	4494	4515	4536	4557	4578	4599	4621	4642	0,	4663	65°	4	7	11

25°	0,	4663	4684	4706	4727	4748	4770	4791	4813	4834	4856		4877	64°	4	7	11
26°	0,	4877	4899	4921	4942	4964	4986	5008	5029	5051	5073		5095	63°	4	7	11
27°		5095	5117	5139	5161	5184	5206	5228	5250	5272	5295		5317	62°	4	7	11
28°		5317	5340	5362	5384	5407	5430	5452	5475	5498	5520	0,	5543	61°	4	8	11
29°		5543	5566	5589	5612	5635	5658	5681	5704	5727	5750	0,	5774	60°	4	8	12

30°	0,	5774	5797	5820	5844	5867	5890	5914	5938	5961	5985		6009	59°	4	8	12
31°	0,	6009	6032	6056	6080	6104	6128	6152	6176	6200	6224		6249	58°	4	8	12
32°		6249	6273	6297	6322	6346	6371	6395	6420	6445	6469		6494	57°	4	8	12
33°		6494	6519	6544	6569	6594	6619	6644	6669	6694	6720	0,	6745	56°	4	8	13
34°		6745	6771	6796	6822	6847	6873	6899	6924	6950	6976	0,	7002	55°	4	9	13

35°	0,	7002	7028	7054	7080	7107	7133	7159	7186	7212	7239		7265	54°	4	8	13
36°	0,	7265	7292	7319	7346	7373	7400	7427	7454	7481	7508		7536	53°	5	9	14
37°		7536	7563	7590	7618	7646	7673	7701	7729	7757	7785		7813	52°	5	9	14
38°		7813	7841	7869	7898	7926	7954	7983	8012	8040	8069	0,	8098	51°	5	9	14
39°		8098	8127	8156	8185	8214	8243	8273	8302	8332	8361	0,	8391	50°	5	10	15

	60′		54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′		А	1′	2′	3′

КОТАНГЕНСЫ

Таблица IX. ТАНГЕНСЫ

А	0′		6′	12′	18′	24′	30′	36′	42′	48′	54′	60′			1′	2′	3′

40°	0,	8391	8421	8451	8481	8511	8541	8571	8601	8632	8662		8693	49°	5	10	15
41°	0,	8693	8724	8754	8785	8816	8847	8878	8910	8941	8972		9004	48°	5	10	16
42°		9004	9036	9067	9099	9131	9163	9195	9228	9260	9293	0,	9325	47°	6	11	16
43°		9325	9358	9391	9424	9457	9490	9523	9556	9590	9623	0,	9657	46°	6	11	17
44°		9657	9691	9725	9759	9793	9827	9861	9896	9930	9965	1,	0000	45°	6	11	17

45°	1,	0000	0035	0070	0105	0141	0176	0212	0247	0283	0319		0355	44°	6	12	18
46°	1,	0355	0392	0428	0464	0501	0538	0575	0612	0649	0686		0724	43°	6	12	18
47°		0724	0761	0799	0837	0875	0913	0951	0990	1028	1067		1106	42°	6	13	19
48°		1106	1145	1184	1224	1263	1303	1343	1383	1423	1463	1,	1504	41°	7	13	20
49°		1504	1544	1585	1626	1667	1708	1750	1792	1833	1875	1,	1918	40°	7	14	21

50°	1,	1918	1960	2002	2045	2088	2131	2174	2218	2261	2305		2349	39°	7	14	22
51°	1,	2349	2393	2437	2482	2527	2572	2617	2662	2708	2753		2799	38°	8	15	23
52°		2799	2846	2892	2938	2985	3032	3079	3127	3175	3222		3270	37°	8	16	24
53°		3270	3319	3367	3416	3465	3514	3564	3613	3663	3713	1,	3764	36°	8	16	25
54°		3764	3814	3865	3916	3968	4019	4071	4124	4176	4229	1,	4281	35°	9	17	26

55°	1,	4281	4335	4388	4442	4496	4550	4605	4659	4715	4770		4826	34°	9	18	27
56°	1,	4826	4882	4938	4994	5051	5108	5166	5224	5282	5340		5399	33°	10	19	29
57°		5399	5458	5517	5577	5637	5697	5757	5818	5880	5941		6003	32°	10	20	30
58°		6003	6066	6128	6191	6255	6319	6383	6447	6512	6577	1,	6643	31°	11	21	32
59°		6643	6709	6775	6842	6909	6977	7045	7113	7182	7251	1,	7321	30°	11	23	34

60°	1,732		1,739	1,746	1,753	1,760	1,767	1,775	1,782	1,789	1,797	1,804		29°	1	2	4
61°	1,804		1,811	1,819	1,827	1,834	1,842	1,849	1,857	1,865	1,873	1,881		28°	1	3	4
62°	1,881		1,889	1,897	1,905	1,913	1,921	1,929	1,937	1,946	1,954	1,963		27°	1	3	4
63°	1,963		1,971	1,980	1,988	1,997	2,006	2,014	2,023	2,032	2,041	2,050		26°	1	3	4
64°	2,050		2,059	2,069	2,078	2,087	2,097	2,106	2,116	2,125	2,135	2,145		25°	2	3	5

65°	2,145		2,154	2,164	2,174	2,184	2,194	2,204	2,215	2,225	2,236	2,246		24°	2	3	5
66°	2,246		2,257	2,267	2,278	2,289	2,300	2,311	2,322	2,333	2,344	2,356		23°	2	4	5
67°	2,356		2,367	2,379	2,391	2,402	2,414	2,426	2,438	2,450	2,463	2,475		22°	2	4	6
68°	2,475		2,488	2,500	2,513	2,526	2,539	2,552	2,565	2,578	2,592	2,605		21°	2	4	6
69°	2,605		2,619	2,633	2,646	2,660	2,675	2,689	2,703	2,718	2,733	2,747		20°	2	5	7

70°	2,747		2,762	2,778	2,793	2,808	2,824	2,840	2,856	2,872	2,888	2,904		19°	3	5	8
71°	2,904		2,921	2,937	2,954	2,971	2,989	3,006	3,024	3,042	3,060	3,078		18°	3	6	9
72°	3,078		3,096	3,115	3,133	3,152	3,172	3,191	3,211	3,230	3,251	3,271		17°	3	6	10
73°	3,271		3,291	3,312	3,333	3,354	3,376								3	7	10
								3,398	3,420	3,442	3,465	3,487		16°	4	7	11
74°	3,487		3,511	3,534	3,558	3,582	3,606								4	8	12
								3,630	3,655	3,681	3,706	3,732		15°	4	8	13
75°	3,732		3,758	3,785	3,812	3,839	3,867								4	9	13
								3,895	3,923	3,952	3,981	4,011		14°	5	10	14

	60′		54′	48′	42′	36′	30′	24′	18′	12′	6′	0′		А	1′	2′	3′

КОТАНГЕНСЫ

10 3

Предварительный просмотр:

Основные формулы планиметрии

1. Произвольный треугольник (длины сторон, лежащих против вершин A, B и C, равны a, b, c соответственно; α , β , γ - величины углов A, B и C; p - полупериметр; R - радиус описанной окружности;r - радиус вписанной окружности; S - площадь; hA - высота, проведенная из вершины A): , , , , ; a2=b2+c2-2 b c cosα - теорема косинусов; - теорема синусов.
2. Прямоугольный треугольник (a, b - катеты; c - гипотенуза; ac, bc - проекции катетов на гипотенузу): , , , , a2+b2=c2 - теорема Пифагора. ; ; ; .
3. Равносторонний треугольник: , , .
4. Произвольный четырехугольник (d1 и d2 - диагонали; ϕ - угол между ними; S - площадь): .
5. Параллелограмм (a и b - смежные стороны; α - угол между ними;ha - высота, проведенная к стороне a): .
6. Ромб: .
7. Прямоугольник: ; d1=d2.
8. Квадрат (d - диагональ): .
9. Трапеция (a и b - основания; h - расстояние между ними; l - средняя линия): ; .
10. Описанный многоугольник (p - периметр; r - радиус вписанной окружности): S=pr.
11. Правильный многоугольник (an - сторона правильного n-угольника; R - радиус описанной окружности; r - радиус вписанной окружности): ; .
12. Окружность, круг (r - радиус; c - длина окружности; S - площадь круга): c=2πr; S= πr2.
13. Сектор (l - длина дуги, ограничивающей сектор; no - градусная мера соответствующего центрального угла; α - радианная мера центрального угла): ; .

Предварительный просмотр:

Признаки делимости

При́знак дели́мости — правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному без необходимости выполнять фактическое деление. Как правило, основано на действиях с частью цифр из записи числа в позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Существуют несколько простых правил, позволяющих найти малые делители числа в десятичной системе счисления:

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (так как все числа вида 10n при делении на 3 дают в остатке единицу).

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр (оно может быть двузначным, однозначным или нулём) делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками равна 0 или делится на 11 (то есть 182 919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = −22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 × 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Предварительный просмотр:

НЕКОТОРЫЕ СТАРИННЫЕ МЕРЫ ДЛИНЫ

Малые старинные русские меры длины - пядь и локоть.

Пядь - это расстояние между вытянутыми большим и указательным пальцами руки при их наибольшем удалении (размер пяди колебался от 19 см до 23 см). До настоящего времени говорят: «Не отдать ни пяди земли», подразумевая не отдать, не уступить даже самой малой части своей земли. Об очень умном человеке часто говорят: «Семи пядей во лбу».

Локоть - это расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба (размер локтя колебался в пределах от 38 см до 46 см и соответствовал двум пядям). Сохранилась поговорка: «Сам с ноготок, а борода с локоток».

Большими единицами измерения были простая сажень - расстояние между большими пальцами вытянутых в противоположные стороны рук человека (равнялась примерно 152 см и состояла из 4 локтей или 8 пядей); маховая сажень - расстояние между кончиками средних пальцев вытянутых в противоположные стороны рук человека среднего роста (равнялась примерно 176 см); косая сажень - расстояние от пальцев правой (левой) ноги стоящего человека до конца пальцев вытянутой по диагонали левой (правой) руки (примерно 216 см).

И сейчас говорят: «Видеть на сажень сквозь землю» (отличаться .большой проницательностью), «косая сажень в плечах» (так говорят о рослом, плечистом человеке), «ты от дела на пяденьку, а уж оно от тебя на саженьку».

Большие расстояния в старину измерялись верстами (другое название поприще) - отсюда и выражения «мерить версты», т. е. ходить пешком на большие расстояния.

В XVI-XVII вв. наравне со старыми мерами длины появляются новые: аршин, четверть и вершок. К концу XVII века система мер длины представляла следующую картину: верста межевая равнялась двум верстам путевым и составляла 1000 саженей; сажень делилась на три аршина; аршин составлял 4 четверти или 16 вершков.

В переводе на современную систему мер верста межевая равна примерно 2,16 км, сажень -216 см, аршин - 72 см, а вершок - 4,5 см.

До сих пор бытуют выражения:

«От горшка три вершка», «мерить на свой аршин», «как аршин проглотил», «семь аршин говядины да три фунта лент» (так говорят о бессмыслице), «аршин на кафтан, два на заплаты» (т. е. починка дороже вещи), «пять верст до небес и все лесом», «эка верста выросла! » (так говорят о человеке большого роста).

Меры длины (употреблявшиеся в России после "Указа" 1835 г. и до введения метрической системы):

1 верста = 500 саженей = 50 шестов = 10 цепей = 1,0668 километра

1 сажень = 3 аршина = 7 фут = 48 вершков = 2,1336 метра

Косая сажень = 2,48 м.

Маховая сажень = 1,76 м.

1 аршин = 4 четверти (пяди) = 16 вершков = 28 дюймов = 71,12 см

(на аршин обычно наносили деления в вершках)

1 локоть = 44 см (по разным источникам от 38 до 47 cm)

1 фут = 1/7 сажени = 12 дюймов = 30,479 см

1 четверть <четверть аршина> (пядь, м а л а я п я д ь, пядница, пяда, пядень, пядка) = 4 вершка = 17,78 cm (или 19 см - по данным Б.А.Рыбакова)

Название п я д ь происходит от древнерусского слова "пясть", т.е. кисть руки. Одна из самых старинных мер длины (c 17-го века "пядь" заменили на "четверть аршина")

Синоним "четверти" - "четь"

Большая пядь = 1/2 локтя = 22-23 см - расстояние между концами вытянутого большого и среднего (или мизинца) пальцев.

"Пядень с кувырком" равен малой пяди плюс два или три сустава указательного или среднего пальца = 27 - 31 см.

1 вершок = 4 ноктя (по ширине - 1,1 см) = 1/4 пяди = 1/16 аршина = 4,445 сантиметра

- старинная русская мера длины, равная ширине двух пальцев (указательного и среднего).

1 перст ~ 2 см.

Новые меры (введены с XVIII века):

1 дюйм = 10 линий = 2,54 см

Название происходит от голландского - ''большой палец''. Равен ширине большого пальца или длине трех сухих зерен ячменя , взятых из средней части колоса.

1 линия = 10 точек = 1/10 дюйма = 2,54 миллиметра (пример: "трёхлинейка" Мосина - d=7.62 мм.)

Линия - ширина пшеничного зерна, примерно 2,54 мм.

1 сотая сажени = 2,134 см

1 точка = 0,2540 миллиметра

1 географическая миля (1/15 градуса земного экватора) = 7 верст = 7,42 км

(от латинского слова "милия" - тысяча (шагов))

1 морская миля (1 минута дуги земного меридиана) = 1,852 км

1 английская миля = 1,609 км

1 ярд = 91,44 сантиметра

Во второй половине XVII века аршин применяли совместно с вершком в различных отраслях производства. В «Описных книгах» оружейной палаты Кирилло-Белозерского монастыря (1668 г.) записано: "... пушка медная полковая, гладкая, прозванием Кашпир, московское дело, длина три аршина полодинадцаты вершка (10,5 вершка)… Пищаль большая чугунная, Лев железная, с поясами, длина три аршина три чети с полувершком." Древнюю русскую меру "локоть" продолжали еще употреблять в быту для измерения сукна, полотна и шерстяных тканей. Как следует из Торговой книги, три локтя приравниваются двум аршинам. Пядь как древняя мера длины еще продолжала существовать, но так как значение ее изменилось из-за согласования с четвертью аршина, то это название (пядь) постепенно выходили из употребления. Пядь заменили на четверть аршина.

Со второй половины XVIII века подразделения вершка, в связи с приведением аршина и сажени к кратному отношению с английскими мерами, были заменены мелкими английскими мерами: дюймом, линией и точкой, но прижился только дюйм. Линии и точки применялись сравнительно мало. В линиях выражались размеры ламповых стекол и калибры ружей (например, десяти- или 20-линейное стекло, известное в обиходе). Точки применялись только для определенйя размеров золотой и серебряной монеты. В механике и машиностроении дюйм делили на 4, 8, 16, 32 и 64 части.

В строительном и инженерном деле широко применялось деление сажени на 100 частей.

Фут и дюйм, которыми пользовались в России, равны по величине английским мерам.

Указ 1835 г. определил соотношение русских мер с английскими:

Сажень = 7 футам

Аршин = 28 дюймам

Упраздняется ряд единиц измерения (подразделения версты), и входят в употребление новые меры длины: дюйм, линия, точка, заимствованные из английских мер.

Меры объёма

Ведро

Основная русская дометрическая мера объема жидкостей – ведро = 1/40 бочки = 10 кружек = 30 фунтов воды = 20 водочных бутылок (0,6) = 16 винных бутылок (0,75) = 100 чарок = 200 шкаликов = 12 литров (15 л - по другим источникам, редко) В. – железная, деревянная или кожаная посуда, преимущественно цилиндрической формы, с ушками или дужкой для ношения. В обиходе, два ведра на коромысле должны быть в "подъём женщине". Деление на более мелкие меры проводилось по двоичному принципу: ведро делили на 2 полуведра или на 4 четверти ведра или на 8 получетвертей, а также на кружки и чарки. Древнейшая "международная" мера объёма - «горсть».

До середины XVII в. в ведре содержалось 12 кружек, во второй половине XVIIв. так называемое казённое ведро содержало 10 кружек, а в кружке — 10 чарок, так что в ведро входило 100 чарок. Затем, по указу 1652 года чарки сделали втрое больше по сравнению с прежними ("чарки в три чарки"). В торговое ведро вмещалось 8 кружек. Значение ведра было переменным, а значение кружки неизменным, в 3 фунта воды (1228,5 грамма). Объем ведра был равен 134,297 кубических вершков.

Бочка

Бочка, как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами, которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры. Равнялась 40 ведрам (492 л)

Материал для изготовления бочки выбирали в зависимости от её назначения:

дуба - для пива и растительных масел

ель - под воду

липа - для молока и мёда

Чаще всего в крестьянском быту использовались небольшие бочки и бочонки от 5-и до 120-и литров. Большие бочки вмещали до сорока вёдер (сороковки)

Бочки использовали так же и для стирки (отбивки) белья.

В XV в. еще были распространены старинные меры - голважня, лукно и уборок. В XVI-XVII вв. наряду с довольно распространенными коробьей и пузом часто встречается вятская хлебная мера куница, пермская сапца (мера соли и хлеба), старорусские луб и пошев. Вятская куница считалась равной трем московским четвертям, сапца вмещала 6 пудов соли и приблизительно 3 пуда ржи, луб - 5 пудов соли, пошев - около 15 пудов соли.

Бытовые меры объема жидкостей были весьма разнообразны и широко использовались даже в конце XVII в.: смоленская бочка, боча-селёдовка (8 пудов сельдей; в полтора раза меньше смоленской).

Мерная бочка "... из краю в край полтора аршина, а поперек-аршин, а мерить вверх, как ведетца, поларшина".

В житейском обиходе и в торговле употребляли разнообразные хозяйственные сосуды: котлы, жбаны, корчаги, братины, ендовы. Значение таких бытовых мер в разных местах было различно: например, емкость котлов колебалась от полуведра до 20 ведер. В XVII в. была введена система кубических единиц на основе 7-футовой сажени, а также введён термин кубический (или "кубичный"). Кубическая сажень содержала 27 кубических аршин или 343 кубических фута; кубический аршин — 4096 кубических вершков или 21952 кубических дюймов.

Винные меры

Устав о вине 1781 года устанавливал в каждом питейном заведении иметь «засвидетельствованные в Казённой палате меры».

Ведро – русская дометрическая мера объема жидкостей, равная 12 литров

Четверть <четвёртая часть ведра> = 3 литра (раньше это была узкогорлая стеклянная бутылка)

Мера "бутылка" появилась в России при Петре I.

Русская бутылка = 1/20 ведра = 1/2 штофа = 5 чарок = 0,6 литра (поллитровка появилась позже – в двадцатые годы XX века)

Поскольку в ведре вмещалось 20 бутылок (2 0 * 0,6 = 12 л), а в торговле счет шел на ведра, то ящик до сих пор вмещает 20 бутылок.

Для вина русская бутылка была больше - 0,75 литра.

В России производить стекло заводским способом начали с 1635 года. К этому же времени относится и выпуск стеклянных сосудов. Первую отечественную бутылку выпустили на заводе, который был построен на территории современной подмосковной станции Истра, и продукция была, вначале, предназначена исключительно для аптекарей.

За границей, стандартная бутылка вмещает одну шестую галлона – в разных странах это составляет от 0,63 до 0,76 литра

Плоская бутылка называется флягою.

Штоф (от нем. Stof) = 1/10 ведра = 10 чаркам = 1,23 л. Появился при Петре I. Служил мерой объема всех алкогольных напитков. По форме штоф был похож на четверть.

Кружка (слово означает - 'для пития по кругу') = 10 чаркам = 1,23 л.

Современный граненый стакан раньше назывался "досканом" ("строганые доски"), состоящим из обвязанных верёвкой ладов-дощечек, вокруг деревянного донца.

Чарка (рус. мера жидкости) = 1/10 штофа = 2 шкаликам = 0,123 л.

Стопка = 1/6 бутылки = 100 грамм Считалась величиной разовой дозы приёма.

Шкалик (народное название - 'косушка', от слова 'косить', по характерному движению руки) = 1/2 чарки = 0,06 л.

Четвертинка (полшкалика или 1/16 часть бутылки) = 37,5 грамма.

Бочарная посуда (то есть, для жидких и сыпучих), отличалась разнообразием названий в зависимости от места производства (баклажка, баклуша, бочаты), от размера и объема – бадия, пудовка, сороковка), своего основного назначения (смоляная, солевая, винная, дегтярная) и используемой для их изготовления древесины (дуб, сосна, липа, осина). Готовая бочарная продукция подразделялась на ведра, кадки, чаны, бочонки и бочки.

Ендова

Деревянная или металлическая утварь (часто, украшенная орнаментом), используемая для подачи к столу напитков. Представляла собой невысокую чашу с носиком. Металлическая ендова изготавливалась из меди или латуни. Деревянные ендовы изготавливали из осины, липы или берёзы.

Кожаный мешок (бурдюк) – до 60 л

Корчага - 12 л

Насадка - 2,5 ведра (Ногородская мера жидкости, XV век)

Ковш

Жбан

Ушат – высота посудины – 30-35 сантиметров, диаметр – 40 сантиметров, объем – 2 ведра или 22-25 литров

Крынки

Суденцы, мисы

Туеса

Короб - из цельных кусков луба, сшитых полосами лыка. Донце и верхняя крышка - из досок. Размеры – от небольших коробушек до больших "комодов"

Балакирь — долбленая деревянная посудина, объемом в 1/4—1/5, ведра.

Как правило, в центральной и западной частях России мерные емкости для хранения молока были пропорциональны суточным потребностям семьи и представляли собой разнообразные глиняные горшки, корчаги, подойники, крынки, кувшины, горланы, дойницы, берестяные бурачки с крышками, туеса, вместимость которых составляла примерно 1/4— 1/2 ведра (около 3—5 л). Емкости же махоток, ставцов, туесков, в которых держали кисломолочную продукцию— сметану, простоквашу и сливки, примерно соответствовали 1/8 ведра.

Квас готовили на всю семью в чанах, кадках, бочках и кадушках (лагушках, ижемках и т.д.) вместимостью до 20 ведер, а на свадьбу – на 40 и более пудов. В питейных заведениях России квас обычно подавали в квасниках, графинах и кувшинчиках, вместимость которых колебалась в разных местностях от 1/8-1/16 до примерно 1/3-1/4 ведра. Торговой мерой кваса в центральных областях России служили большой глиняный (питейный) cтaкан и кувшин.

При Иване Грозным, в России впервые появились заорлённые (клеймлённые знаком орла), то есть стандартизованные питейные меры: ведро, осьмуха, полуосьмуха, стопа и кружка.

При том, что оставались в ходу ендовы, ковши, ставцы, стопки, а для мелкой продажи – крюки (чарки с длинным крючком на конце вместо ручки, висевшие по краям ендовы).

В старорусских мерах и в посуде, используемой для питья, заложен принцип соотношения объемов – 1:2:4:8:16.

Старинные меры объема:

1 куб. сажень = 9,713 куб. метра

1 куб. аршин = 0,3597 куб. метра

1 куб. вершок = 87,82 куб. см

1 куб. фут = 28,32 куб. дециметра (литра)

1 куб. дюйм = 16,39 куб. см

1 куб. линия = 16,39 куб. мм

1 Кварта - немногим больше литра.

В торговой практике и в быту, по данным Л.Ф.Магницкого, долго ещё употреблялись следующие меры сыпучих тел ("хлебные меры"):

ласт - 12 четвертей

четверть (четь) – 1/4 часть кади

осьмина (осьмая - восьмая часть)

Кадь (кадка, окова) = 20 вёдер и больше

Большая кадка - больше кадки

Цыбик - ящик (чаю) = от 40 до 80 фунтов (по весу).

Подробности: Чай плотно уминался в деревянные ящики, "цибики" – обтянутые кожей рамы, в форме квадрата (стороной в два фута), оплетённые снаружи камышом в два-три слоя, которые могли нести два человека. В Сибири такой ящик чая назывался Уместом ('Место' - возможный вариант).

полосьмина

четверик

Меры жидкостей ("винные меры"):

бочка (40 ведер)

котёл (от полведра до 20 вёдер)

ведро

полведра

четверть ведра

осмуха (1/8)

крушка (1/16 ведра)

Меры объема жидких и сыпучих тел:

1 четверть = 2,099 гектолитра = 209,9 л

1 четверик ("мера") = 2,624 декалитра = 26,24 л

1 гарнец = 3,280 литра

Меры веса

На Руси использовались в торговле следующие меры веса (старорусские):

• берковец = 10 пудов

• пуд = 40 фунтов = 16,38 кг

• фунт (гривна) = 96 золотников = 0,41 кг

• лот = 3 золотника = 12,797 г

• золотник = 4,27 г

• доля = 0,044 г

...

Гривна (позднейший фунт) оставалась неизменной. Слово "гривна" употребляли для обозначения как весовой, так и денежной единицы. Это наиболее распространенная мера веса в розничной торговле и ремесле. Ее применяли и для взвешивания металлов, в частности, золота и серебра.

БЕРКОВЕЦ - эта большая мера веса, употреблялась в оптовой торговле преимущественно для взвешивания воска, меда и т.д.

Берковец - от названия острова Бьерк. Так на Руси называлась мера веса в 10 пудов, как раз стандартная бочка с воском, которую один человек мог закатить на купеческую ладью, плывущую на этот самый остров. (163,8 кг).

Известно упоминание берковца в XII веке в уставной грамоте князя Всеволода Гавриила Мстиславича новгородскому купечеству.

ЗОЛОТНИК равнялся 1/96 фунта, в современном исчислении 4,26 г. Про него говорили: "мал золотник да дорог". Это слово, первоначально обозначало зoлотую монету.

ФУНТ (от латинского слова 'pondus' - вес, гиря) равнялся 32 лотам, 96 золотникам, 1/40 пуда, в соврменном исчислении 409,50 г. Используется в сочетаниях: "не фунт изюма", "узнать почём фунт лиха".

Русский фунт был принят при Алексее Михайловиче.

Сахар продавали фунтами.

Чай покупали на золотники. Золотник = 4,266г.

До недавнего времени, маленькая пачка чаю, весом в 50 грамм называлась "осьмушка" (1/8 фунта)

ЛОТ – старорусская единица измерения массы, равная трём золотникам или 12,797 граммам.

ДОЛЯ – самая мелкая старорусская единица измерения массы, равная 1/96 золотника или 0,044 граммам.

ПУД равнялся 40 фунтам, в современном исчислении - 16,38 кг. Применялся уже в 12 веке

Меры площади поверхности:

1 кв. верста = 250000 квадратных саженей = 1,138 кв. километра

1 десятина = 2400 квадратных саженей = 1,093 гектара

1 копна = 0,1 десятины

1 кв. сажень = 16 квадратных аршинов = 4,552 кв. метра

1 кв. аршин=0,5058 кв. метра

1 кв. вершок=19,76 кв. см

1 кв. фут=9,29 кв. дюйма=0,0929 кв. м

1 кв. дюйм=6,452 кв. сантиметра

1 кв. линия=6,452 кв. миллиметра

Предварительный просмотр:

ЧИСЛА – ВЕЛИКАНЫ

Для сокращения записи больших чисел давно используется система величин, в которой каждая из последующих в тысячу раз больше предыдущей:

1000 единиц – просто тысяча

1000 тысяч – 1 миллион

1000 миллионов – 1 биллион( или миллиард)

1000 биллионов – 1 триллион

1000 триллионов – 1 квадриллион

1000 квадриллионов- 1 квинтиллион

1000 квинтиллионов – 1секстиллион

1000 секстиллионов – 1 септиллион

1000 септиллионов – 1октиллион

1000 октиллионов – 1 нониллион

1000 нониллионов – 1 дециллион

1000 дециллионов - ундециллион.

МИЛЛИАРД

Слово „миллиард" употребляется у нас в смысле тысячи миллионов и при денежных вычислениях и в точных науках. Но, например, в Германии и в Америке под миллиардом иногда имеют ввиду не тысячу, а всего сто миллионов. Этим, между прочим, можно объяснить то, что слово „миллиардер" было в ходу за океаном еще тогда, когда ни один из тамошних богачей не имел состояния в тысячу миллионов. Огромное состояние Рокфеллера незадолго до войны исчислялось „всего" 900 миллионов долларов, а остальных „миллиардеров"-меньшими числами. Только во время войны появились в Америке миллиардеры в нашем смысле слова (их иногда называют на родине „биллионерами").

Чтобы составить себе представление об огромности миллиарда, представьте себе, что в книжке в 200 страниц не более 200.000 букв. В пяти таких книжках окажется один миллион букв. А миллиард букв будет заключать в себе стопка из 5.000 экземпляров такой книжки. Стопка, которая, будучи аккуратно сложена, составила бы столб высотой с Исаакиевский собор. Миллиард секунд часы отобьют более чем в 30 лет (точнее в 31,7 лет). А миллиард минут составляет более 19 столетий; человечество всего 29 апреля 1902 года в 10 часов 40 минут начало считать второй миллиард минут от первого дня нашего летосчисления.

БИЛЛИОН и ТРИЛЛИОН

Ощутить огромность этих числовых исполинов трудно даже человеку, опытному в обращении с миллионами. Великан - миллион-такой же карлик рядом со сверхвеликаном биллионом, как единица рядом с миллионом. Об этом взаимоотношении мы забываем и не делаем в своем воображении большой разницы между миллионом, биллионом и триллионом. Волос, увеличенный по толщине в биллион раз, был бы раз в 8 шире земного шара, а муха при таком увеличении была бы в 70 раз толще Солнца!

Взаимоотношение между миллионом, биллионом и триллионом можно с некоторою наглядностью представить следующим образом. В Санкт – Петербурге еще недавно было миллион жителей. Представьте себе длинный прямой ряд городов таких как Санкт – Петербург ,-целый миллион их: в этой цепи столиц, тянущихся на семь миллионов километров (в 20 раз дальше Луны) будет насчитываться биллион жителей... Теперь вообразите, что перед вами не один такой ряд городов, а целый миллион рядов, т.-е. квадрат, каждая сторона которого состоит из миллиона Санкт – Петербургов и, который внутри сплошь уставлен такими городами: в этом квадрате будет триллион жителей.

Одним триллионом кирпичей можно было бы, размещая их плотным слоем по твердой поверхности земного шара, покрыть все материки равномерным сплошным пластом высотою с четырехэтажный дом (16 м)-

Если бы все видимые в сильнейшие телескопы звезды обоих небесных полушарий, т. е. не менее 500 миллионов звезд - были обитаемы и населены каждая, как наша Земля, то на всех этих звездах, вместе взятых, насчитывался бы только один триллион людей.

Молекула по ширине меньше точки типографского шрифта примерно в миллион раз. Вообразите триллион таких молекул, нанизанных вплотную на одну нитку. Какой длины была бы эта нить? Ею можно было бы семь раз обмотать земной шар по экватору. Световой год-путь, проходимый лучом света в 1 год (свет пробегает в секунду 300000 км); он равен, примерно, биллионам км.

Числовые великаны вокруг и внутри нас

Часто можно встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих - надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле - все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел.

Числовые исполины небесных пространств для большинства людей не являются неожиданными. Хорошо известно, что зайдет ли речь о числе звезд вселенной, об их расстояниях от нас и между собою, об их размерах, весе, возрасте - во всех случаях мы неизменно встречаемся с числами, подавляющими воображение своей огромностью. Недаром выражение «астрономическое число» сделалось крылатым. Многие, однако, не знают, что даже и те небесные тела, которые астрономы часто называют «маленькими», оказываются настоящими великанами, если применить к ним привычную земную мерку. Существуют в нашей солнечной системе планеты, которые, ввиду их незначительных размеров, получили у астрономов наименование «малых». Среди них имеются и такие, поперечник которых равен нескольким километрам. В глазах астронома, привыкшего к исполинским масштабам, они так малы, что, говоря о них, он пренебрежительно называет их «крошечными». Но они представляют собой «крошечные» тела только рядом с другими небесными светилами, еще более огромными: на обычную же человеческую мерку они далеко не миниатюрны. Возьмем такую «крошечную» планету с диаметром 3 км. По правилам геометрии легко рассчитать, что поверхность такого тела заключает 28 кв. км, или 28 000 000 кв. м. На 1 кв. м может поместиться стоя человек 7. Значит, на 28 миллионах кв. м найдется место для 196 миллионов человек.

Песок под нашими ногами также вводит нас в мир числовых исполинов. Недаром сложилось издавна выражение: «бесчисленны, как песок морской». Древние недооценивали многочисленность песка, считая ее одинаковой с многочисленностью звезд. В старину не было телескопов, а простым глазом мы видим на небе всего около 3500 звезд (в одном полушарии). Песок на морском берегу в миллионы раз многочисленнее, чем звезды, доступные невооруженному зрению.

Величайший числовой гигант скрывается в том воздухе, которым мы дышим. Каждый кубический сантиметр воздуха, каждый наперсток заключает в себе 27 квинтиллионов (т. е. 27 с 18 нулями) мельчайших частиц, называемых «молекулами».

Невозможно даже представить себе, как велико это число. Если бы на свете было столько людей, для них буквально недостало бы места на нашей планете. В самом деле: поверхность земного шара, считая все его материки и океаны,- равна 500 миллионам кв. км. Раздробив в квадратные метры, получим

500 000 000 000 000 кв. м.

Поделим 27 квинтиллионов на это число, и мы получим 54 000. Это означает, что на каждый квадратный метр земной поверхности приходилось бы более 50 тысяч человек!

Числовые великаны скрываются и внутри человеческого тела. Покажем это на примере нашей крови. Если каплю ее рассмотреть под микроскопом, то окажется, что в ней плавает огромное множество чрезвычайно мелких телец красного цвета, которые и придают крови ее окраску. Каждое такое «красное кровяное тельце» имеет форму крошечной круглой подушечки, посредине вдавленной. Все они у человека примерно одинаковых размеров и имеют в поперечнике около 0,007 мм, а толщину - 0,002 мм. Зато число их огромно. В крошечной капельке крови, объемом 1 куб. мм, их заключается 5 миллионов. Сколько же их всего в нашем теле? В теле человека примерно в 14 раз меньше литров крови, чем килограммов в его весе. Если вы весите 40 кг, то крови в вашем теле около 3 литров, пли 3 000 000 куб. мм. Так как каждый куб. мм заключает 5 миллионов красных телец, то общее число их в вашей крови:

5 000 000x3 000 000=15 000 000 000 000.

15 триллионов кровяных телец! Какую длину займет эта армия кружочков, если выложить ее в ряд один к другому? Нетрудно рассчитать, что длина такого ряда была бы 105 000 км. Более чем на сто тысяч километров растянулась бы нить из красных телец вашей крови. Ею можно было бы обмотать земной шар по экватору;

100 000 : 40 000=2,5 раза, а нитью из кровяных шариков взрослого человека - три раза.

Объясним, какое значение для нашего организма имеет такое измельчение кровяных телец. Назначение этих телец - разносить кислород по всему телу. Они захватывают кислород, когда кровь проходит через легкие, и вновь выделяют его, когда кровяной поток заносит их в ткани нашего тела, в его самые удаленные от легких уголки. Сильное измельчение этих телец способствует выполнению ими этого назначения, потому что чем они мельче, при огромной численности, тем больше их поверхность, а кровяное тельце может поглощать и выделять кислород только со своей поверхности. Расчет показывает, что общая поверхность их во много раз превосходит поверхность человеческого тела и равна 1200 кв. м. Такую площадь имеет большой огород в 40 м длины и 30 м ширины. Теперь вы понимаете, до какой степени важно для жизни организма то, что кровяные тельца сильно раздроблены и так многочисленны: они могут захватывать и выделять кислород на поверхности, которая в тысячу раз больше поверхности нашего тела.

Сколько пищи поглощает человек за свою жизнь

Числовым великаном следует назвать и тот внушительный итог, который получился бы, если бы вы подсчитали, сколько всякого рода пищи поглощает человек за 70 лет средней жизни. Целый железнодорожный поезд понадобился бы для перевозки тех тонн воды, хлеба, мяса, дичи, рыбы, картофеля и других овощей, тысяч яиц, тысяч литров молока и т. д., которые человек успевает поглотить в течение своей жизни. Наглядным примером служит случай, описанный Джонатаном Свифтом в книге «Приключение Гулливера в стране Лиллипутов». При виде его не веришь, что человек может справиться с таким исполином, буквально проглатывая - правда, не разом - груз длинного товарного поезда.

Быстрое размножение.

Спелая маковая головка полна крошечных зернышек; из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек.

Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки!

Посмотрим, что будет дальше. Каждое из 3000растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 х 3000 = 9 000 000 растений.

Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9 000 000 х 3000 = 27000 000 000.

На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным

81 000 000 000 000 х 3000 = 243 000 000 000 000 000.

Поверхность же всей суши, то есть всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов кв. км – 135 000 000 000 000 кв. м. – примерно в 200 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака.

Видим, что, если бы все зернышки мака проростами, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по 2000 растений на каждом квадратном метре. Вот такой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке! Сделав подобный же расчет не для мака, а для какого–нибудь другого растения, приносящего меньше семян, мы пришли бы к такому же результату, но только потомство его покрыло бы всю Землю не в пять лет, а в немного больший срок.

Возьмем хотя бы одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок. Если бы все они прорастали, мы имели бы:

В 1-й год 1 растение

Во 2-й « 100 растений

В 3-й « 10 000

« 4-й « 1 000 000

« 5-й « 100 000 000

« 6-й « 10 000 000 000

« 7-й « 1 000 000 000 000

« 8-й « 100 000 000 000 000

« 9-й « 10 000 000 000 000 000

Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше.

Следовательно, на девятом году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре.

Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету.

Это верно не только для растений, но и для животных. Не будь смерти, потомство одной пары любого животного рано или поздно заполнило бы всю Землю. Полчища саранчи, сплошь покрывающие огромные пространства, могут дать некоторое представление о том, что было бы, если бы смерть не препятствовала размножению живых существ. В каких-нибудь два-три десятка лет материки покрылись бы непроходимыми лесами и степями, где кишели бы миллионы животных, борющихся между собой за место. Океан наполнился бы рыбой до того густо, что сходство стало бы невозможно. А воздух сделался бы едва прозрачным от множества птиц и насекомых… в заключение приведем несколько подлинных случаев необыкновенно быстрого размножения животных, поставленных в благоприятные условия…

В Америке первоначально не было воробьев. Эта столь обычная у нас птица была ввезена в Соединенные Штаты намеренно с той целью, чтобы она уничтожала там вредных насекомых. Воробей, как известно, в изобилии поедает прожорливых гусениц и других насекомых, вредящим садам и огородам. Новая обстановка полюбилась воробьям; в Америке не оказалось хищников, истребляющих этих птиц, и воробей стал быстро размножаться. Количество вредных насекомых начало заметно уменьшаться, но вскоре воробьи так размножились, что за недостатком живой пищи принялись за растительную и стали опустошать посевы. Пришлось приступить к борьбе с воробьями; борьба эта обошлась американцам так дорого, что на будущее время издан был закон, запрещающий ввоз в Америку каких бы то ни было животных.

Второй пример.

В Австралии не существовало кроликов, когда этот материк открыт был европейцами. Кролик ввезен туда в конце 18-ого века, и так как там отсутствуют хищники, питающиеся кроликами, то размножение этих грызунов пошло быстрым темпом. Вскоре полчища кроликов наводнили всю Австралию, нанося страшный вред сельскому хозяйству и превратившись в подлинное бедствие. На борьбу с этим бичом сельского хозяйства брошены были огромные средства, и только благодаря энергичным мерам удалось справиться с бедой. Приблизительно то же самое повторилось позднее с кроликами в калифорнии.

Третья поучительная история произошла на острове Ямайка.

Здесь водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу- секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их

истреблении.

Известно, что врагом крыс является индийская мангуста. Решено было привести на остров четыре пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Мангусты хорошо приспособились к новой родине и быстро заселили весь остров. Не прошло и десяти лет, как они почти уничтожили на нем крыс. Но, увы, истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. А размножившись еще более, принялись за плодовые сады, хлебные поля, плантации. Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред.

Гугол

Американский математик Кастнер изобрел «самое большое число» и назвал его «гугол». Это единица со ста нулями! То есть, 10100. Хотя естественный ряд чисел и бесконечен, все же в известной мере гугол — это граница исчисляемого мира.

Дадим простор своему воображению и попытаемся проверить это утверждение. Вычислим площадь Земли в квадратных миллиметрах — можно надеяться, что получится головокружительная величина. Ничего подобного. Площадь земного шара равна квадратных миллиметров.Если же подсчитаем объем Земли в кубических миллиметрах, то получим чуть большее число — 1030. Но и это слишком мало по сравнению с гуголом. Если предположить, что в одном кубическом миллиметре вместится десять песчинок, и подсчитать их количество в объеме Земли, то получится всего 1O31. Иными словами, Земля слишком мала для какого бы то ни было вычисления в масштабах гугола.

Возьмем просторы космоса и попытаемся выразить расстояние между звездами в ангстремах — один ангстрем равен одной десятимиллионной части миллиметра. Обычно межзвездные расстояния измеряют в световых го- — это расстояние, которое солнечный луч проходит за год,— приблизительно 9,5 триллиона километров. И если выразить световой год в ангстремах, то получим 1026 ангстрема. И расстояние до самых удаленных галактик не превышаетангстрем. Предположим, что Вселенная имеет ограниченные размеры (что не доказано) и сопоставим этот самый крупный физический объект, известный людям, с ядром атома — одним из самых малых объектов, изученных физиками. Соотношение между ними составит 1040. Это также не гугол.

А теперь подсчитаем возраст Вселенной. Самое короткое время, которое мы используем в этом вычислении, составляет тот миг, который необходим световому лучу, чтобы пересечь диаметр атомного ядра. Получается, что возраст Вселенной в этих единицах составляет также 1040.Пересчитаем все атомные частицы, существующие в известной нам Вселенной: протоны, электроны, нейтроны, а также нейтрино и фотоны. Даже в одной пылинке содержится несколько миллиардов элементарных частиц. А во Вселенной их 1088— то есть миллионная миллионной части гугола!

Энергия, излучаемая всеми звездами во Вселенной, должна быть исключительно велика. Но даже выраженная в микроваттах, она не достигает 1040.

Гугол- недостижим, даже если подсчитать, сколько энергии содержится во всем веществе Вселенной.

Конечно, зная такие огромные числа. В этом случае запись числа занимает много места и мало наглядна.

неудобно было бы с ними работать . Поэтому решено было изменить написание таких чисел. При записи больших чисел часто используют степень числа 10.

Таким образом,

Тысяча – 1000 = 103

Миллион – 1000000 - 106

Биллион – 1000000000=109

Триллион - 1000000000000 = 1012

Квадриллион – 1000000000000000=1015

Квинтиллион – 1000000000000000000 = 1018

Секстиллион – 1000000000000000000000=1021

Септиллион – 1000000000000000000000000=1024

Октиллион – 1000000000000000000000000000=1027.

Надо заметить, что обычные цифровые обозначения весьма больших чисел и их названия употребляются лишь в популярно-научных книгах; в книгах же строго-научных по физике и астрономии пользуются обыкновенно иным способом обозначения. При таком способе обозначения сберегается место и, кроме того, гораздо легче производить над числами различные действия (по правилам, изучаемым в алгебре).

Навигация

Справочный материал

Скачать:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр: