Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение

гимназия № 1

Школьная научно-практическая конференция

Секция: Математика

Тема исследовательской работы:

«Быстрые вычисления без помощи кальклятора.Устный счет»

Работу выполнил :

 Толстиков Григорий ученик 7 «Е» кл.

Руководитель: Ященко Елена Владимировна,

учитель математики МОАУ гимназии № 1

г. Благовещенск – 2014 г.

Содержание:

Введение..........................................................................................3

1. Чудо счётчики.............................................................................4

1.1.Чудо-счётчики...........................................................................4

1.2 Устный счёт...............................................................................9

2. Старинные способы умножения.............................................12

2.1. Русский крестьянский способ умножения..........................12

2.2. Индийский способ умножения..........................................12

2.3. Умножение на пальцах.........................................................13

3.Быстрые способы устного счета............................................16

3.1. Умножение и деление на 4...................................................16

3.2. Умножение и деление на 5...................................................16

3.3. Умножение на 25.................................................................17

3.4. Умножение на 1,5................................................................18

3.5. Умножение на 9.....................................................................18

3.6. Умножение на 11..................................................................19

3.7. Умножение трехзначного числа на 101..............................20        3.8.Возведение в квадрат числа, оканчивающегося

Цифрой…………………………………………………… 520

Заключение.................................................................................21

Список литературы....................................................................22

Приложение...............................................................................23

ВВЕДЕНИЕ

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я сочёл важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть интересным, но и что, хорошо усвоив приёмы быстрого счета, можно поспорить и с ЭВМ.          

• Объектом исследования являются числа.    
• Предметом исследования выступает процесс вычисления.                            
• Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и выяснить могут ли они помочь школьникам быстрее и легче решать примеры.

Задачи:

• изучить феномен « Чудо - счётчиков»;
• рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования;
• описать старинные способы умножения ио опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;
•  Рассмотреть некоторые приемы быстрого решения(не устного) и выяснить преимущества их использования.

        Гипотеза: современные приемы усного и быстрого счёта могут помочь легче решать разнообразные задачи.

1. Чудо-счётчики.

1.1.Чудо-счётчики

Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров — учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда — это поход в лекторий, а самый ценный подарок — книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам.

Так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

Простейшие арифметические задачки жизнь задает нам чуть ли не поминутно: в той или иной степени устным счетом владеет каждый. Приемы расчетов "в уме" несложны и описаны еще в прошлом веке Сергеем Александровичем Рачинским, крупным ученым и замечательным педагогом, автором первого в России задачника по "умственному счету". Кстати, С. А. Рачинский запечатлен в образе школьного учителя его учеником, известным художником Николаем Богдановым-Бельским в картине "Устный счет".

Оказывается, нехитрое упражнение школьников младших классов может    стать предметом пристального внимания ученых. Феномен  сверхбыстрого счета, возможность оперировать в уме многозначными цифрами со скоростью ЭВМ - вот что заставляет специалистов в области мозга находить и исследовать людей, обладающих выдающимися способностями к устному счету.

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

...В зрительном зале погас свет. На сцену, ярко освещенную огнями рампы, вышел человек в строгом черном костюме - не цирковой артист, не конферансье, не исполнитель популярных песенок. У него в руках мел и тряпка. Они как-то непривычны на сцене.

Эстрадный номер начинается. Сотни зрителей с неослабевающим вниманием следят за исполнителем.

- Назовите мне, пожалуйста, - обращается артист к зрителям. - многозначное множимое и многозначный множитель, и прошу вас найти вместе со мной их произведение.

- Один миллион пятьсот девяносто четыре тысячи триста двадцать три умножьте на три тысячи четыреста пятьдесят шесть, - просят из зала.

Проходит несколько секунд, и все читают на доске результат - 5 509 980 288.

Артист терпеливо ждет, пока зрители перемножат на бумаге числа. После этого он называет также все промежуточные результаты, полученные при умножении.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума — сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. За каких-то пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, мегапамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

Еще, например, один учёный – исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе Западной Грузия живет Арон Чиквашвили. Он свободно манипулирует в уме многозначными числами. "Счетный механизм" Чиквашвилй не знает усталости и ошибок.

Как-то друзья решили проверить возможности чудо-счетчика. Задание было суровым: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча "Спартак" (Москва) - "Динамо" (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17 427 букв, 1835 слов. На проверку ушло... пять часов. Ответ оказался правильным.

39-летний Арон Чиквашвилй окончил юридический и экономический факультеты вуза.(см.приложение№1)

Среди чудо-счетчиков особенно большой популярностью пользуются задачи, в основе которых лежит календарное исчисление. Проносясь мысленно через века и тысячелетия, преодолевая трудности недесятичных соотношений (ведь неделя состоит из 7 дней, сутки из 24 часов, час из 60 минут и т. д.), они, за несколько секунд способны проделать сотни операций и сообщить, что 1 января 180 года была пятница. И все это делается с учетом високосных лет, смены календаря в 1582 году и т. д. Они, например, могут сказать, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения Константинополя. Однажды за беседой два счетчика Иноди и Дагбер шутя задавали друг другу вопросы такого рода: какой день недели будет 13 октября 28448723 года?

Некоторые задачи, которые люди-счетчики решают как бы шутя, всего за несколько секунд, по мнению математиков, потребовали бы многих месяцев обычного счета. После этого пришлось бы в течение длительного времени проверять полученные результаты или же прибегнуть к помощи электронной машины.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил свом рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: « Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. « Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр-счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.

Такие люди всегда очень интересовали психологов и математиков, которые старались выяснить, в чем секрет их способностей. Но объяснения, которые чудо-счетчики давали, пытаясь раскрыть свое умение, на первый взгляд казались странными, и даже очень.

Например, Урания Диамонди говорила - владеть цифрами ей помогает их цвет: 0 - белый, 1 - черный, 2 - желтый, 3 - алый, 4 - коричневый, 5 - синий, 6 - темно-желтый, 7 -ультрамарин 8 - серо-голубой, 9 - темно-бурый. Процесс вычисления представлялся ей        в виде бесконечных симфонии цвета.

Большенство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Но бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

1.2. Устный счёт

Устный счёт — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.).

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Имеются три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:

• счёт «на пальцах»;
• аудиомоторная технология счёта;
• визуальная технология счёта.

 Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два — четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией.

Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе. Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции.

В настоящее время в прибалтийских странах и Белоруссии набирает популярность соревнование по устному счёту среди школьников под названием Пранглимине , проводящиеся в Миксике (Эстония).

Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме , на который собираются лучшие из ныне живущих феноменальных счётчиков планеты. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел, умножение двух 8-значных чисел, расчёт заданной даты по календарю с 1600 по 2100 годы, корень квадратный из 6-значного числа. Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный феноменальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом».

Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга. История её создания необычна. В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь. Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт.

2. Старинные способы умножения

2.1.Русский крестьянский способ умножения.

В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

• запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
• левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
• деление заканчивается, когда слева появится единица;
• вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
• далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;
• 35+70+140+280+1120= 1645.(см.приложение№2)

2.2 Индийский способ умножения

Некоторые опытные учителя в прошлом веке считали, что этот способ должен заменить в наших школах общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножить два каких - либо двузначных числа, скажем 21 на 34.

Алгоритм:

• перемножим второе число первого множителя и второе число второго множителя. 1*4=4
• _ _ 4
• Сложим произведние первого числа первого множителя и второго числа второго множителя с произведением второго числа первого множителя и первого число второго множителя.(2*4)+(1*3)=11
• 110+4=114
• Перемножим первое число первого множителя и первоее число второго множителя.2*3=6
• 600+114=714

На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

2.3. Умножение на пальцах

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название пальцевого счета).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.(см.приложение№3)

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000

А вот еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения.

Пример. Пусть надо найти произведение 4х9.

Положив обе руки на стол, приподнимем четвертый палец, считая слева направо. Тогда до поднятого пальца находятся три пальца (десятки), а после поднятого - 6 пальцев (единицы). Результат произведения 4 на 9, значит, равен 36.

3.Быстрые способы устного счета

3.1. Умножение и деление на 4.

        Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

        Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

3.2. Умножение и деление на 5.

        Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 = (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

        Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2

3.3. Умножение на 25.

        Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700

3.4. Умножение на 1,5.

        Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5

3.5. Умножение на 9.

        Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623

3.6. Умножение на 11.

        1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

        2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

 45 * 11 = 495      87 * 11 = 967

4 (4+5) 5                 8 (8+7) 7

        Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

3.7. Умножение трехзначного числа на 101.

Например 125 * 101 = 12625

        Увеличиваем первый множитель на число его сотен и приписываем к нему справа две последние цифры первого множителя

125 + 1 = 126   12625

3.8. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5.

        Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)

Заключение.

        Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, мы попытались показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современный способ умножения прост и доступен всем.

При знакомстве с научной литературой я обнаружил более быстрые и надежные способы умножения.

        Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Список литературы.

• http://tomsk.fm/channel/4303
• http://www.pandia.ru/text/77/150/7819.php
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82
• http://www.liveinternet.ru/tags/%E1%FB%F1%F2%F0%FB%E9+%F1%F7%E5%F2/
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%81%D1%87%D1%91%D1%82%D1%87%D0%B8%D0%BA
• http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=224
• Катлер Э. и Мак-Шейн Р., "Система быстрого счета по Трахтенбергу." М., "Просвещение", 1967.
• Пекелис В.,  "Чудо счётчики" Журнал «Техника-молодежи 1974'07»

Приложения.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1

                        ПРИЛОЖЕНИЕ №2

                ПРИЛОЖЕНИЕ№3

Правила оформления исследовательской работы

1. Работа выполняется на белой бумаге формата А4, на одной стороне листа
2. При написании следует соблюдать следующие правила:

• Размер полей: левое – 3 см, правое – 1 см, верхнее – 2 см, нижнее – 2,5 см
• Нумерация обязательна (либо по центру, внизу страницы, либо в верхнем правом углу) Нумерация начинается с титульного листа, но на титульную страницу не ставится! Далее весь последующий объем работы, включая библиографический список и приложения, нумеруются по порядку до последней страницы.
• Текст печатается шрифтом Times New Roman, размер 14

3. Начало каждой главы печатается с новой страницы. Это относится к введению, заключению, библиографическому списку, приложениям.
4. Название главы печатается жирным шрифтом, заглавными буквами, название параграфов – прописными.
5. Порядковый номер главы указывается одной арабской цифрой (например, 1,2,3), параграфы имеют двойную нумерацию (например, 1.1, 1.2, 1.3..ит.д) Первая цифра указывает на принадлежность, вторая, на собственную нумерацию

Структура исследовательской работы

1. Титульный лист
2. Оглавление, с указанием страниц
3. Сама работа (введение, основная часть, заключение)
4. Библиографический список
5. Приложение (таблицы, графики, чертежи, документы, фото)

Рецензия

на исследовательскую работу «, выполненную обучающимся  7 «Е» класса  Толстиковым Григорием

        Тема представленной работы «Быстрое вычисление без калькулятора» раскрыта полностью. Ученик провел исследование одной из актуальных проблем на сегодняшний день. В работе четко прописаны объект, методы и предмет  исследования,  цель и задачи.

        Был  изучен феномен « Чудо - счётчиков», рассмотрены некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показаны преимущества их использования, описаны  старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявлены трудности в их использовании, рассмотрены некоторые приемы быстрого решения сформулированы  преимущества их использования.

Выводы подтвердили выдвинутую гипотезу, что современные приемы

устного и быстрого счёта могут помочь легче решать разнообразные задачи.

Практическую значимость  данной работы имеют рекомендации учащимся по применению некоторых способов быстрого вычисления без использования калькулятора.

Считаю, что работа заслуживает внимания и хорошей оценки.

Руководитель     Ященко Елена Владимировна

Благовещенский государственный педагогический университет

Исследовательская работа

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ

                   Выполнила:

                  Ученица 6Г класса, МАОУ Гимназии 1

СкабёлкинаАлина Андреевна

_____________________/Подпись/

Научный руководитель:

Ященко Елена Владимировна

_____________________/Подпись/

Благовещенск

2017

Оглавление

Введение        3

1. История возникновения задач на построение        5

2. Определение задач на построение        8

3. Примеры задач на построение        9

Заключение:        12

Список литературы:        13

Введение

Еще в конце XVIII века итальянцем Маскерони:  было сделано удивительное открытие, смысл которого заключается в том, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью только одного циркуля.

Интересен тот факт, что с помощью одной линейки заменить все по строения, выполняемые циркулем и линейкой, невозможно, но если дополнительно задать круг с отмеченным центром, то этого достаточно, чтобы выполнять построения только с помощью линейки.

Первые задачи на построение  возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией, которые заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде "практических правил", исходя из наглядных соображений. Именно они и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

Задачи на построения остаются актуальными и в наше в время, ведь во многих всех сферах деятельности необходимо уметь строить геометрические объекты.

Таким образом, актуальность темы, прежде всего, обусловлена не только оригинальностью методов решения, но и большой практической ценностью.

Целью исследования является изучение алгоритмов решения и описание его в виде последовательности уже известных стандартных построений

        Для достижения этой цели потребовалось решить следующие задачи:

1. Рассмотреть теоретические аспекты решения задач на построения
2. Исследовать алгоритм решения задач
3. Рассмотреть историю задач на построения.

Также автором были исследованы алгоритмы построения задач, которые в ходе выступления будут наглядно показаны.

1. История возникновения задач на построение

В современном обществе стремительно растет потребность в изучении геометрии: увеличивается количество сфер повседневного и профессионального общения.

Происходящие сегодня изменения в общественных отношениях, средствах коммуникации, использование новых информационных технологий, значительное расширение международных контактов в различных сферах человеческой деятельности привели к тому, что геометрия стала более востребованной, распространенной и популярной.

Геометрия - наука международная, знать которую необходимо в наше время каждому образованному человеку, каждому хорошему специалисту.

Изучая любую математическую науку, очень важно знать особенности и свойства данной сферы, её исторические сведения.

Первые задачи на построение  возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией, которые заключались в проведении прямых линий и построения прямого угла.

К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости. Задачи на построение помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде "практических правил", исходя из наглядных соображений. Именно они и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

   В V веке до н.э. были поставлены три задачи, сразу же получившие большую известность:

1. Задача о квадратуре круга: требуется построить сторону квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

2. Задача об удвоении куба: требуется построить ребро куба, объём которого в два раза больше объёма данного куба.

3. Задача о трисекции угла: требуется данный, но произвольный угол разделить на три равные части.

Возникновение задачи о трисекции угла (т.е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

 Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью. В частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии

Некоторые авторы причисляют к ним ещё две задачи эпохи античности:

4. Задача о делении окружности на равные части: построение правильных многоугольников.

5. Задача о квадратуре луночек: построить прямолинейную фигуру, равновеликую данной круговой луночке.

    Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи — «доказать неразрешимость» — была смелым шагом вперёд.

   Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.

Первым греческим ученым, который исследовал геометрические задачи на построение, был Фалес Милетский, сумевший вычислить  высоту египетской пирамиды по отбрасываемой ею тени  следующим способом: выбрав день и час, когда его собственная тень стала равной его росту, он измерил тень, отбрасываемую пирамидой, и установил, что длина тени от центра основания пирамиды до ее вершины была равна высоте этой пирамиды. Фараон и его приближенные изумились такому достаточно простому решению.

Особенно сильно задачи на построение интересовали Платона, основателя знаменитой "Академии" в Афинах. Платон и его ученики считали построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе построения использовались другие чертежные инструменты, то построение не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим построениям и считали их идеалом в геометрии.

Но вот почему именно циркуль и линейку греки предпочли иным инструментам?Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно ученые не могут. Не потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

   В литературе мы попытались найти попытки объяснения такой необычной симпатии греков именно к циркулю и линейке: любая геометрическая фигура состоит из двух видов линий – прямой или кривой. А любая кривая состоит из частей окружностей различного диаметра. При этом прямая и окружность – единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

2. Определение задач на построение

Задача на построение - это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой, но односторонней и без делений.

Естественно, в этом случае необходимо сделать одно допущение, а именно: если построены две точки, то считается построенной и прямая:, их содержащая:, так как саму прямую провести циркулем невозможно. Интересен тот факт, что с помощью одной линейки заменить все по строения, выполняемые циркулем и линейкой, невозможно, но если дополнительно задать круг с отмеченным центром, то этого достаточно, чтобы выполнять построения только с помощью линейки.

На сегодняшний день существует множество задач на построение и их решение состоит в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.

Какие построения циркулем и линейкой считать стандартными? Большинство ученых считают, что к стандартным построениям можно отнести следующие:

• построение прямой, проходящей через две заданные точки;
• построение окружности с данным центром и данным радиусом;
• построение отрезка, равного данному;
• построение угла, равного данному;

      Основная сложность решения задач на построение состоит в том, что решать их надо с конца, то есть не пытаться строить  наугад, а представить себе, что искомый объект уже построен и, исходя из этого, восстановить цепочку возможных построений.

3. Примеры задач на построение

В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.

С помощью линейки можно провести:

• произвольную прямую;
• произвольную прямую, проходящую через данную точку;
• прямую, проходящую через две данные точки.

С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса, а циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Рассмотрим основные задачи на построение:

Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, b,

       Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным b — окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные a, b, c.

Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному.

Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим С1. Опишем окружность с центром С1 и радиусом ВС. Точка В1 пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства Δ ABC = Δ ОВ1С1(третий признак равенства треугольников).

Задача 3. Построить биссектрису данного угла

        Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам.

Задача 4.Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку

        Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля ( большим 1/2 АВ ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ.

Заключение

Задача на построение - это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой, но односторонней и без делений.

     Из данного исследования можно сделать вывод, что множество задач можно построить применяя только циркуль и линейку, но линейка в этом случае должна быть без делений, чтобы соответствовать правилам построения задач.

На сегодняшний день существует множество задач на построение и их решение состоит в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений, к которым относятся построение прямой, проходящей через две заданные точки, построение окружности с данным центром и данным радиусом, построение отрезка, равного данному, построение угла, равного данному.

     Также можно сделать вывод, что знаменитая задача на построение трисекции угла только с помощью линейки и циркуля, на которую с древнейших времен не могут найти решения, действительно не решается только с циркулем и линейки без делений, но существует частный случай, при котором все же возможно разделить угол на три равные части и этот случай- трисекция прямого угла.

В заключении хочется отметить, что основная сложность решения задач на построение состоит в том, что решать их надо с конца, то есть не пытаться строить  наугад, а представить себе, что искомый объект уже построен и, исходя из этого, восстановить цепочку возможных построений.

Список литературы:

1. Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности (История и современность). Издательство Ростовского университета, 1975
2. Прасолов В. В. Три классические задачи на построение: удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. — 80 с. (Популярные лекции по математике; Вып. 62).
3. Математический энциклопедический словарь./Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред. Кол.: С.И.Адян, Н.С.Бахвалов, В.И.Битюцков, А.П.Ершов, Л.Д.Кудрявцев, А.Л.Онищик, А.П.Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988.- С. 596  
4. 6.        Краткий справочник школьника. 5 – 11 кл. / Авт.-сост. П.И.Алтынов, П.А.Андреев, А.Б.Балжи и др. – М.: Дрофа, 1997. – 624 с.
5. Задачи на построение- URL: https://ru.wikipedia.org/

Тема: «Принцип Дирихле»

Выполнила: Чугунова Дарья

Класс: 6«Б»

Учитель: Ященко Елена Владимировна

Благовещенск, 2017

Оглавление

Введение…………………………………………………….…………….…….……3

1.Принцип Дирихле……….…………………………….….………….……….……4

1.1.Формулировки принципа Дирихле……….……...…..………….….………4

1.2 Обобщённый принцип Дирихле……….…….…....………………..………5

1.3. Принцип недостаточности…………..….….……..………………….….…6

1.4 Переформулировка принципа Дирихле для площадей и покрытий фигур………………………………………………………………………...7

2. Типы задач……….……….……..…………………………………..……………8

2.1. Задачи на делимость……….……….……..…………………………….…9

2.2. Задачи на комбинаторику……….……….……..……………….…………8

2.3 Геометрические задачи……….……….…………..…..……………………9

2.4 Задачи «Раскраска» ……….…………………..……..……………………10

Заключение ……….……….………………………………..……………………12

Список использованных источников и литературы……….……….….………13

Приложение

Введение

Математика – один из главных школьных предметов. И я часто участвую в олимпиадах по математике. Что же такое олимпиадные задачи? Существует такая трактовка: олимпиадные задачи – это задачи, при решении которых используются специальные методы, как правило, не рассматриваемые в школе на уроке. Значит, решение таких задач способствует развитию не только интеллектуальных способностей учащихся, но развивает их творческие способности и познавательный интерес.  Очень много задач, встречаемые в олимпиадных заданиях решаются с помощью принципа Дирихле.

В данной работе подробно изучается принцип Дирихле, его различные формулировки,  подобраны и решены ряд задач на применение этого принципа и его возможных формулировок.

Объект исследования:- принцип Дирихле и его формулировки

Предмет исследования

 – задачи, решаемые с использованием принципа

Цель исследования:

-изучение принципа Дирихле и класса задач, решаемых этим способом

Задачи исследования:

- изучить различные формулировки принципа Дирихле;

- подобрать и решить ряд задач на применение этого принципа и его возможных формулировок;

- создать буклет с набором  задач по данной тематике.

Один математик сказал, что Дирихле по частоте упоминания школьниками всегда обеспечено одно из самых высших мест. Кто же такой Петер Густав Лежен Дирихле? Это великий немецкий математик, который изучал арифметику, математический анализ, механику и математическую физику. Он, разумеется, и не подозревал, что его именем назовут столь простой и важный принцип, хотя часто использовал подобные рассуждения при доказательстве своих теорем.

1. Принцип Дирихле

Этот принцип Дирихле озвучил в 1834 году. В переводе с оригинального немецкого он звучит как «принцип ящиков». Свои исследования ученый проводил с кроликами и контейнерами. Он продемонстрировал, что если поместить, допустим, 5 кроликов в 7 контейнеров, то, по крайней мере, в одном контейнере будет находиться 5/7 от одного животного. Однако кролика нельзя разделить на части, следовательно, хотя бы одна клетка будет пустовать (5/7 равно 0 целых). Точно так же и в обратную сторону, если кроликов 7, а ящиков 5, то хотя бы в одном из них - 2 кролика (7/5 равно 2 целых). Отталкиваясь от этого утверждения, математику удалось сформулировать принцип, который обеспечивает успешное решение задач по математике уже многие годы. В несерьезной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов».

Если в n «клетках» сидят не менее n+1 «кроликов», то найдется «клетка»,  в которой сидит, по крайней мере, не менее двух «кроликов»

Доказывается данный принцип Дирихле методом доказательства от противного:

Пусть не найдется такой клетки, в которой сидят два зайца, тогда количество зайцев m должно быть меньше или равно количеству клеток n, что приводит нас к противоречию.

В математической терминологии принцип Дирихле звучит так:

Если n+1 элемент разбит на n множеств, то по крайней мере одно множество содержит не менее двух элементов.

1.1.Формулировки принципа Дирихле

Существует несколько формулировок данного принципа.

1. «Пусть в n клетках сидят m зайцев, причем n>m. Тогда найдется хотя бы одна пустая клетка».

Доказательство:

Пусть нет ни одной пустой клетки. Тогда количество зайцев m должно совпадать с количеством клеток n (если в каждой клетке хотя бы по одному зайцу) или быть больше, что противоречит условию.

2. «Если m зайцев сидят в n клетках, то найдется клетка, в которой не менее m/n зайцев».

Не надо бояться дробного числа зайцев – если получается, что в ящике не меньше 7/3 зайцев, значит, их больше двух.

Доказательство:

Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше, чем m/n.. Тогда в n клетках вместе зайцев меньше, чем n • (m/n) = m. Противоречие!

3. «Если в n клетках сидят ровно n кроликов, то либо в каждой клетке ровно один кролик, либо есть и пустая клетка, и клетка, в которой не менее двух кроликов»

Доказательство:

Если не в каждой клетке сидит ровно 1 кролик, то либо (а) есть пустая клетка, либо (б) есть клетка, в которой не менее 2-х кроликов. В случае (а) у нас n кроликов оказываются рассаженными в n-1 клеток, поэтому, по принципу Дирихле, есть и клетка, в которой не менее 2-х кроликов. В случае (б) у нас не более n-2 оставшихся кроликов оказываются рассаженными в n-1 клеток, следовательно, есть и пустая клетка.

Очень полезен в тех случаях, когда мы знаем, что ровно по одному кролику в каждой клетке сидеть не может.

1.2 Обобщённый принцип Дирихле

Чаще всего в задачах применяется не Принцип Дирихле, а некоторое его свойство, которое называется обобщённый принцип Дирихле.

Если в n клетках размещены не менее nk+1 кроликов, то найдутся не менее k+1 кроликов, которые посажены в одну клетку

Доказательство:

Если бы в каждой клетке сидело не более k зайцев, то во всех клетках было бы не более nk зайцев, что противоречит условию.

Обобщение принципа используют, когда требуется выявить несколько (три и более) объектов, обладающих некоторым свойством.

Сложность метода в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «зайцев», а что — в роли «клеток».

Рассмотрим Задачу.

В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов, причем в каждом ящике лежали яблоки одного сорта. Найдутся ли 9 ящиков одного сорта?

«ЗАЙЦЫ» - 25 ящиков

«КЛЕТКИ»- 3 сорта

Осталось рассадить 25 «зайцев» в 3 «клетки». Так как 25=3·8+1, то, используя принцип Дирихле, можем утверждать, что в какой – то из «клеток» сидят 8+1=9 «зайцев». Значит,  найдутся 9 ящиков одного сорта.

От противного: Пусть ящиков одного сорта будет не больше 9, то есть 8. Тогда должно быть всего не более 8*3=24 ящиков яблок. Что противоречит условию.

Задача. В классе 30 учеников. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите что, по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну  (может быть по 0 ошибок)

 «КЛЕТКИ» -  число сделанных ошибок

«КРОЛИКИ» - ученики

В клетку 0 «посадим» всех, кто не сделал ни одной ошибки, в клетку 1 – тех, у кого одна ошибка, в клетку 2 – две… и так до клетки 13, куда попал только Саша Иванов.

Теперь применим принцип Дирихле

Докажем утверждение задачи от противного. Предположим, что никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, т.е. в каждую из «клеток» 0, 1, 2, …,12 попало меньше трех школьников. Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих «клетках» не более 2*12=26 человек. Добавив Сашу Иванова, все равно не наберем 30 ребят. Противоречие.

3. Принцип недостаточности

У принципа Дирихле есть аналогичные ему принципы. Таковым является принцип недостаточности. Судя по названию,  эта формула основывается на недостаточности какого-то количества предметов.

Если разместить не более n(n−1)/2 кроликов в n клеток то найдутся, хотя бы две клетки, в которых сидят по одинаковому числу кроликов.

Доказательство:

Допустим, что в каждой из n клеток по разному числу кроликов. Это означает, что во всех этих клетках находится не менее 0+1+2+...+n - 1 кроликов. Подсчитаем эту сумму. Для этого будем складывать пары 0+n-1, 1+n-2, 2+n-3... . Замечаем, что сумма этих пар постоянна и равна n - 1. Количество пар равно n2 , если n чётное; если же n-нечётное, то можем рассматривать только n−12 пар и прибавить к ним средний член, который равен n−12. В сумме получается число, не зависящее от чётности n, и оно равно (n−1)2×𝑛 , т.е. кроликов должно быть больше чем у нас есть. Значит сделанное предположение неверно, т.е. найдутся две клетки, где сидят по одинаковому числу кроликов.

1.7. Переформулировка принципа Дирихле для площадей

 и покрытий фигур

• Если фигура площади S покрыта несколькими фигурами с суммой площадей (строго!) больше S, то у нее имеется точка, покрытая не менее 2-х раз (именно им мы и пользовались, решая последнюю задачу 3).
• Если фигура площади S покрыта несколькими фигурами с суммой площадей (строго!) меньше S, то у нее имеется точка, ни покрытая ни разу.
• Если фигура площади S покрыта несколькими фигурами с суммой площадей ровно S, то либо каждая точка покрыта ровно один раз, либо есть и точка, не покрытая ни разу, и точка, покрытая не менее 2-х раз.
• Если фигура площади S покрыта несколькими фигурами с суммой площадей (строго!) больше (k-1)*S, то у нее имеется точка, покрытая не менее k раз.
• Если фигура площади S покрыта несколькими фигурами с суммой площадей (строго!) меньше (k+1)*S, то у нее имеется точка, покрытая не более k раз.

2. Типы задач

Все задачи, которые можно решить с помощью метода Дирихле можно условно (по условию) можно разбить на несколько типов.

2.1. Задачи на делимость

Рассмотрим задачи:

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Примем числа за “зайцев”. Так как их 12, то “клеток” должно быть меньше. Пусть “клетки” —это остатки от деления целого числа на 11. Всего “клеток” будет 11: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10. Тогда, по принципу Дирихле, найдется “клетка”, в которой будут сидеть не менее чем 2 “зайца”, то есть найдутся 2 целых числа с одним остатком. А разность двух чисел с одинаковым остатком от деления на 11, будет делиться на 11.

2.2. Задачи на комбинаторику

В коробке лежат шарики 4-х разных цветов (много белых, много черных, много синих, много красных). Какое наименьшее количество шариков надо на ощупь вынуть из мешка, чтобы среди них заведомо оказались два одного цвета?

Принимая:

«КЛЕТКИ» - 4 цвета (черный, белый, синий, красный цвета )

«КРОЛИКИ» - много шаров (хотя бы 5)

Так как  5 > 4,  то, по принципу Дирихле, то какие-то два попадут в одну клетку (будет 2 одноцветных шарика).

2.3 Геометрические задачи

Внутри равностороннего треугольника со стороной 1см расположено 5 точек. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см.

Можно получить 4 «клетки», разбив равносторонний треугольник с помощью проведения отрезков, соединяющих середины сторон. Тогда получим 4 равносторонних треугольника со сторонами по 0,5 см (рис.1).

Рис.1

Принимая:«КЛЕТКИ» -  4  треугольника, «КРОЛИКИ» - 5  точек.

Так как  5 > 4,  то, по принципу Дирихле, найдется, как минимум, одна «клетка», в которой будут сидеть, по крайней мере, 2 «зайца».

Другими словами – найдётся равносторонний треугольник  со стороной 0,5см, в который попадут не менее двух точек.

Доказать, что если прямая l, расположенная в плоскости треугольника ABC, не проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны треугольника.

Полуплоскости, на которые прямая l разбивает плоскость треугольника ABC, обозначим через q1 и q2;эти полуплоскости будем считать открытыми (то есть не содержащими точек прямой l) (рис.2).

Рис.2

Принимая:«КЛЕТКИ» -  полуплоскости q1и q2, «КРОЛИКИ» - вершины рассматриваемого треугольника (точки A, B, C).

Каждый "заяц" попадает в какую-нибудь "клетку" (ведь прямая l не проходит ни через одну из точек A, B, C). Так как "зайцев" три, а "клеток" только две, то найдутся два "зайца", попавшие в одну "клетку"; иначе говоря, найдутся такие две вершины треугольника ABC, которые принадлежат одной полуплоскости см рисунок 2.

Пусть, точки A и B находятся в одной полуплоскости, то есть лежат по одну сторону от прямой l. Тогда отрезок AB не пересекается с l. Итак, в треугольнике ABC нашлась сторона, которая не пересекается с прямой l.

2.4 Задачи «Раскраска»

В прямоугольнике 5×6 закрашено 19 клеток. Докажите, что в нём можно выбрать квадрат 2×2, в котором закрашено не менее трёх клеток

Разделим прямоугольник на 6 частей по 5 клеток . Согласно принципу Дирихле в одной из этих частей будет закрашено не менее 4 клеток. Тогда в квадрате 2×2, содержащемся в этой части, закрашено либо 3, либо 4 клетки. Это и будет искомый квадрат (рис.3).

Рис.3

Решая задачи выбор «зайцев» и «клеток» часто неочевиден. Далеко не всегда по формулировке задачи можно определить, что следует применить принцип Дирихле.

3. Заключение

При выполнении этой работы был исследованы и решены задачи на применение принципа Дирихле и различных его формулировок.

Сделан вывод, что при применении метода Дирихле нужно:

1) определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев»;

2) получить «клетки». Чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну;

3) выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

Был создан буклет с основными видами задач.

4. Список использованных источников и литературы

1. Андреев А.A., Савин А.Н., Саушкин М.Н. "Принцип Дирихле" (сайт Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников http: ermine.narod.ru).
2. Болтянский В.Г.,Шесть зайцев в пяти клетках. // ж-л «КВАНТ», 1977, № 2.
3. Готовимся к олимпиадам по математике: учеб.метод. пособие/А.В.Фарков. - М.: Издательство «Экзамен»,2007.
4. Математический праздник. –М.:БюроКвантум, 2004.(Библиотечка «Квант», вып.88)
5. Муштари Д.Х., Подготовка к математическим олимпиадам: задачи, темы, методы. Казанский ун-т, 1990
6. Севрюков П.Ф. Принцип Дирехле,// ж-л «Математика. Все для учителя», 2014 г., № 1.
7. Фоминых Ю.Ф. Принцип Дирехле,  // ж-л «Математика в школе», 1996, №3.
8. Ядренко М.И. Принцип Дирихле и его применение. - К .: Высшая школа, 1985.
9. https://ru.wikipedia.org/wiki/ Дирихле,_Петер_Густав_Лежён
10. https://ru.wikipedia.org/wiki/ Принцип_Дирихле_(комбинаторика)

НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

Отделение «математика»

Связь математики с техническими науками

Выполнил:

Заломский Игорь

5 «А» класс

Гимназия №1

Научный руководитель:

Ященко Е.В.

Учитель математики

Благовещенск 2017

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………03 Понятие математики и технических наук, их взаимосвязь                             05

Математические законы в робототехнике                                                       08

Исследовательская работа                                                                               10

Заключение                                                                                                       12

Список используемой литературы                                                                  13

Приложения                                                                                                     14

Введение

Мы в школе уже с первого класса изучаем математику. Математика важна не только в повседневной жизни человека, но и в науке и технике. Поэтому  цель моей работы, доказать важность роли математики в науке и технике.

Начну я со слов великого  ученого Н.И. Лобачевского «Математика – это язык, на котором говорят все точные науки». Таким образом, ни одна наука не обходится без математики. Ведь математика представляет собой основу фундаментальных исследований в естественных и гуманитарных науках. Математические идеи проникают  в управление сложными роботизированными системами.

Целями исследования моей работы будет:

• определить, что такое математика и с какими техническими  

предметами она связана,

• провести взаимосвязь между робототехникой и математикой.

Задачи:

• Обобщить результаты исследования проблемы, содержащихся в литературе и интернете.
• Рассмотреть понятия математика, технические науки, автономные автоматизированные средства.
• Приобрести навыки постановки задач автоматизированным системам, основываясь на математических формулах.
• Показать использование автоматизированных систем в повседневной жизни.

В своей работе я выдвинул следующие гипотезы:

• математика - одна из самых важных наук, которая тесно связана с техническими науками;
• любое движение робота можно представить, как некую математическую модель.

Объект исследования: взаимосвязь математики с техническими науками.

Методы исследования:

• Изучение, обработка и анализ документов.
• Исследование движения робота согласно математической формуле.

Я считаю, что прикладная наука робототехника актуальна в наши дни, потому что является одним из важнейших направлений научно-технического прогресса современной жизни, который связан с проектированием, конструированием и программированием всевозможных интеллектуальных механизмов.

Понятие математики и технических наук, их взаимосвязь

Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.

Математика - царица наук, сказал великий ученый Карл Фридрих Гаусс. С ней связано огромное количество наук, таких, как физика, химия, астрономия, география, информатика, робототехника, экономика и даже музыка!

Под техническими науками мы понимаем совокупность  наук, исследующих явления задачей которых, является развитие, создание новой или качественное преобразование техники. Среди образовательных  предметов к техническим наукам  можно отнести физику химию, астрономию, информатику, радиотехнику или робототехнику.

Математическая химия — раздел теоретической химии, область исследований, посвящённая новым применениям математики к химическим задачам.

Математическая физика — теория математических моделей физических явлений. Она относится к математическим наукам; критерий истины в ней — математическое доказательство.

Математическая экономика — сфера теоретической и прикладной научной деятельности, целью которой является математически формализованное описание экономических объектов, процессов и явлений.

Математика тесно связана с информатикой. Мы проводим расчеты, когда переводим числа из одной системы счисления в другую и т.д.

Для роботостроения математическое вычисление имеет определяющее значение, т.к. для привидения в движение робота нужно не только уметь программировать, но и с помощью  математической модели  нужно уметь рассчитывать движение и поведение робота.

Робот – автоматическое устройство, созданное по принципу живого организма, предназначенное для осуществления производственных и других операций, которое действует по заранее заложенной программе и получает информацию о внешнем мире от датчиков (аналогов органов чувств живых организмов), робот самостоятельно осуществляет производственные и иные операции, обычно выполняемые человеком. При этом робот может, как иметь связь с оператором (получать от него команды), так и действовать автономно.

Робототехника  — прикладная наука, занимающаяся разработкой автоматизированных технических систем - такое определение дает Википедия.  В общем виде это достаточно сложная дисциплина, которая вбирает в себя научные знания из электроники, механики и программирования, но очень интересная.

Робототехника - сравнительно новое и быстро развивающееся научное направление, вызванное потребностью широкой автоматизации современной жизни,  как повседневной, так производственной.

Мы, в детском научно-образовательном центре при БГПУ «Робототехника», учимся разрабатывать автономные автоматизированные технические устройства, т.е. устройства, которые запрограммированы и работают без участия человека. С помощью математических формул мы рассчитываем движение робота, программируем его поведение и выставляем в соревнование с другим роботом. У кого точнее рассчитан и запрограммирован робот, тот робот и выигрывает.  По моему мнению, это интересно, так как мы применяем теоретические формулы на практике. Мы производим реальные расчеты, результатом которых становится работающее изобретение. Это не «сухая» теория, а интересная практика.

Непосвященному может показаться, что робототехника далека от повседневной нашей жизни.  Но если задуматься, то обычный электрический чайник, который отключается при нагревании до определенной температуры, может быть  примером для автоматизированных систем. Чайник отключается, так как определенный датчик реагирует на достижения температуры в 100 градусов по шкале Цельсия. О данном факте поступает информация в микропроцессор, который в свою очередь посылает сигнал о необходимости разомкнуть электрическую цепь. Конечно, пример с чайником демонстрирует простейший механизм, но, тем не менее, это автоматизированное действие. Таких примеров с автоматизированной бытовой техники можно привести большое множество.

В наиболее  полном использовании автоматических систем в повседневной моей жизни является способность  нашего автомобиля парковаться без участия водителя. В автомобиле есть запрограммированная способность совершать передвижение без участия человека, только опираясь на датчики-радары и камеры. Когда впервые я увидел, что автомобиль самостоятельно передвигается, руль крутится без участия человека, а водитель лишь переключает скорости передач, мне это показалось фантастикой. Сейчас я понимаю, что автомобиль способен самостоятельно передвигаться за счет большого количества сенсорных, ультразвуковых датчиков, которые установлены с внешний стороны кузова. Они отслеживают различные препятствия и полосы движения и передают полученную информацию на специальный электронный блок для ее обработки, затем команды передаются на исполнительные модули других вспомогательных систем машины.

Математические законы в робототехнике.

Исследовательская работа

Одним из ярких и простых примеров использования математических моделей в робототехнике является расчет траектории движения робота. В зависимости от уровня знаний здесь могут использоваться, как и обычный метод проб и ошибок, так и научный подход: здесь могут понадобиться формулы движения, свойства пропорции, и знание формулы длины окружности.

На примере рассмотрим задачу.

Робот движется по ровной поверхности без проскальзывания. Шасси робота имеет дифференциальный привод (имеет два отдельно управляемых двигателя, по одному на каждое колесо). Диаметр каждого колеса 10 см. Скорость вращения вала двигателя 5 оборотов в секунду, длина оси между колесами 11 см.

Определите расстояние, на которое переместится робот за 10 секунд, при условии, что оба двигателя вращают колёса в одном направлении. Рассчитайте, сколько оборотов должен сделать робот при повороте на 90о. Начертите траекторию движения робота. Как изменится траектория движения робота, если один двигатель не будет функционировать? Начертите траекторию движения робота для данного случая.

Решение:

Первым действием по формуле длины окружности найдем длину обода колеса.

Lα = πD = 2πr

 r – радиус окружности

D – диаметр окружности

L – длина окружности

π – 3.14

3,14*10=31,4(см)- длина обода колеса

Вторым действием  мы найдем сколько см робот пройдет за 1 секунду, пользуясь формулой движения.S=V*t

31,4*5=157(см)- проедет робот за 1 секунду

Третьим действием мы ответим на поставленный вопрос и определим расстояние, на которое переместится робот за 10 секунд, при условии, что оба двигателя вращают колёса в одном направлении.

157*10=1570(см)- проедет робот за 10 секунд

Ответ: за 10 секунд робот переместится на 1570 см или 15м 70см.

Для определения количества сделанных оборотов роботом при повороте на 90о воспользуемся формулой   К оборотов =  (α*r): (360*d), где

α –угол поворота,

r  – длина оси между колесами

d – диаметр колеса,

К оборотов = (90*11) : (360*10)=990:3600=0,275 (об.)

Ответ: 0,275 оборотов повернет робот при повороте на 90 о

Траектория движения робота при работе двух двигателей будет прямая линия.

Траектория движения робота при работе одного из двух двигателей будет окружность с центром в точке касания неподвижного колеса.

Пользуясь такими несложными вычислениями можно запрограммировать робота на осуществления движения по заданной траектории для построения разных геометрических фигур. Практическое выполнение движения робота по заданной траектории демонстрирует следующее видео. Выполнение роботом данных фигур актуально в современном обществе и может быть использовано, например, в мебельной промышленности. В производстве мебели для раскроя мебельных листов в изготовлении деталей мебели требуется высокая точность перенесения чертежа на мебельный лист. Как правило, детали для мебели представляют собой квадрат, прямоугольник, круг, овал и т.д. В этом сегменте производства экономически оправдано использование автоматизации на производстве в качестве  робота-чертежника. Насколько точно будут рассчитаны размеры деталей, настолько качественной и эстетичной будет выглядеть готовое изделие.

Для примера предлагаю рассмотреть изготовление компьютерного стола.

Для изготовления деталей для данного изделия роботу потребуется начертить квадрат, прямоугольник, круг, полукруг и т.д. Роботизация на производстве позволяет повысить производительность труда, снизить влияние вредных факторов на человека, повысить качество продукции, снизить влияния человеческого фактора.

Заключение

Подводя итоги, следует вывод, что математика представляет собой основу фундаментальных исследований в технических науках. Математические идеи и методы проникают в управление весьма сложными и большими системами разной природы: полеты космических кораблей, в отрасли промышленности, в работу обширных транспортных систем и других видов деятельности.

Считаю, что  поставленные цели и задачи проекта достигнуты.  Я определил, что математика тесно связана с техническими науками. Доказал, что математическое вычисление имеет определяющее значение в поведении и движении робота. Я также убедился, что математика является важной, нужной и основополагающей наукой.  Также я вспомнил формулы движения. На занятиях в детском научном - образовательном центре при БГПУ «Робототехника» я познакомился с формулой длины окружности. Я также убедился, что математика является важной, нужной и основополагающей наукой.  От того на сколько сильные и твердые знания по математики, зависит дальнейшее успешное овладения техническими науками, в частности робототехнике.

В заключении хочется отметить, что данный проект является долгосрочным, так как мы продолжаем изучать математику в школе и робототехникой я тоже намерен продолжать заниматься и дальше. Месяц назад я принял участие в соревновании по робототехнике «Робо Арена- 2016» в компетенции «Робосумо». Соревнование проходило между тремя благовещенскими клубами по «робототехнике» на базе Амурского Государственного Университета. Данное мероприятие меня стимулировало и дальше заниматься и совершенствовать свои знания в области робототехники. Я нахожу это занятие интересным, познавательным, увлекательным и актуальным в наши дни.

Список использованных источников и литературы

1. Робототехника для детей и родителей. С.А. Филиппов. – Спб.: «Наука», 2011
2. Копосов Д. Г. «Первый шаг в робототехнику» рабочая тетрадь для 5-6 классов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014
3. Энциклопедический словарь юного техника. – М., «Педагогика» 2001
4. Энциклопедия для детей Аванта Том  Техника, Издательство: Аванта+, 2001
5. Энциклопедия юного ученого. Техника. Москва «РОСМЕН», 2000
6. wikipedia