Выходя за границы урока

План работы по подготовке учащихся к муниципальному этапу олимпиады

Учитель Ященко Елена Владимировна

Рекомендуемая литература для подготовки заданий школьного этапа Всероссийской математической олимпиады

 Журналы

«Квант», «Математика в школе», «Математика для школьников»

Книги и методические пособия:

1. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Районные олимпиады. 6-11 класс. – М.: Просвещение, 2010.
2. Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Терешин Д.А. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 1. – М.: Просвещение, 2008.
3. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 2. – М.: Просвещение, 2009.
4. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 3. – М.: Просвещение, 2011.
5. Агаханов Н.Х., Подлипский О.К., Рубанов И.С. Математика. Всероссийские олимпиады. Выпуск 4. – М.: Просвещение, 2013.
6. Адельшин А.В., Кукина Е.Г., Латыпов И.А. и др. Математическая олимпиада им. Г. П. Кукина. Омск, 2007-2009. – М.: МЦНМО, 2011. Андреева А.Н., Барабанов А.И., Чернявский И.Я. Саратовские математические олимпиады.1950/51–1994/95. (2-e. исправленное и дополненное). – М.: МЦНМО, 2013.
7. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М.: Наука, 1975. Блинков А.Д., Горская Е.С., Гуровиц В.М. (сост.). Московские математические регаты. – М.: МЦНМО, 2007.
8. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: Аса, 1994. 17 Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике (3-е изд., стереотип.). – М.: МЦНМО, 2013.
9. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник (6-е издание, стереотипное). — М., МЦНМО, 2011.
10. Гордин Р.К. Геометрия. Планиметрия. 7–9 классы (5-е издание, стереотипное). — М., МЦНМО, 2012.
11. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К. Как решают нестандартные задачи (8-е, стереотипное). — М., МЦНМО, 2014.
12. Кноп К.А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам (3-е, стереотипное). — М., МЦНМО, 2014. Козлова Е. Г. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка) (7-е издание, стереотипное).— М., МЦНМО, 2013.
13. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М., ГИФМЛ, 1958 — 576 с. Раскина И. В, Шноль Д. Э. Логические задачи. – М.: МЦНМО, 2014. Интернет-ресурс: http://www.problems.ru/

Школьный этап олимпиады по математике 2013 – 2014 учебный год 5 класс

1.  Найдите значение выражения:

2. Расшифруйте запись:

    к и с

+   к с и

    и с к

Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры.

3. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы?

4. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры.

5.  Коля, боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На      вопрос, какие места они заняли, трое ответили так: 10 Коля ни первое, ни четвертое; Боря второе; Вова не был последним. Какое место занял каждый мальчик?

__________________________________________________________________

Школьный этап олимпиады по математике 2013 – 2014 учебный год 5 класс

1. Найдите значение выражения:

2. Расшифруйте запись:

    к и с

+   к с и

    и с к

Одинаковым буквам должны соответствовать одинаковые цифры, а разным буквам – разные цифры.

3. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы?

4. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры.

5. Коля, боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На      вопрос, какие места они заняли, трое ответили так: 10 Коля ни первое, ни четвертое; Боря второе; Вова не был последним. Какое место занял каждый мальчик?

Школьный этап олимпиады по математике 2013 – 2014 учебный год 6 класс

1. Вычислите: 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999.

2. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?

3. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

4. На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня- с одноклассником Наташи, Николай- с одноклассницей Владимира, а Владимир- с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится?

5. Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее? Ответ обоснуйте.

_______________________________________________________________

Школьный этап олимпиады по математике 2013 – 2014 учебный год 6 класс

1. Вычислите: 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999.

2. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?

3. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

4. На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня- с одноклассником Наташи, Николай- с одноклассницей Владимира, а Владимир- с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится?

5. Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее? Ответ обоснуйте.

Школьный этап олимпиады по математике 2013- 2014 учебный год

7  класс

1. Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.

рис.1

2. У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, - у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?

3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.

4. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?
5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили покупки?

Школьный этап олимпиады по математике 2013- 2014 учебный год

7  класс

1. Цифры от 1 до 9 нужно разместить в фигуре на рис.1 так, чтобы одна цифра была в центре восьмиугольника, другие – у концов каждой диагонали и сумма каждого ряда составляла 15.

рис.1

2. У любителя головоломок спросили, сколько ему лет? Ответ был замысловатый: «Возьмите трижды мои годы через три года, да отнимите трижды мои годы три года назад, - у вас как раз и получается мои годы». Сколько же ему теперь лет?

3. Разрезать прямоугольник по прямой линии на две части, из которых можно сложить треугольник.

4. Крестьянин, покупая товары, сначала уплатил первому купцу половину своих денег и еще один рубль; потом уплатил второму купцу половину оставшихся денег, да еще два рубля и, наконец, уплатил третьему купцу половину оставшихся денег да еще один рубль. После этого денег у крестьянина совсем не осталось денег. Сколько денег было у крестьянина первоначально?
5. Отправляясь за покупками, я имел в кошельке около 15 рублей, отдельными рублями и 20-копеечными монетами. Возвратившись, я принес столько отдельных рублей, сколько у меня было первоначально 20-копеечных монет, и столько 20-копеечных монет, сколько я имел раньше отдельных рублей. Всего же уцелела у меня в кошельке треть той суммы, с которой отправился я за покупками. Сколько стоили покупки?

Школьный этап олимпиады по математике 2013 – 2014 учебный год

8 класс

1.    Разложите на множители:

  4

2.    Постройте график функции:

y=.

3.    Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка      получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?

4.     Найдите все такие целые с, при которых дробь является целым числом.

5.     Старший брат говорит младшему; « Когда мне было столько лет, сколько   тебе сейчас, то я втрое старше тебя, а когда тебе будет столько лет, сколько мне сейчас, то нам вместе будет 60 лет» Сколько лет братьям?

_________________________________________________________________________

Школьный этап олимпиады по математике 2013 – 2014 учебный год

8 класс

1.    Разложите на множители:

  4

2.    Постройте график функции:

y=.

3.    Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка      получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?

4.     Найдите все такие целые с, при которых дробь является целым числом.

5.     Старший брат говорит младшему; « Когда мне было столько лет, сколько   тебе сейчас, то я втрое старше тебя, а когда тебе будет столько лет, сколько мне сейчас, то нам вместе будет 60 лет» Сколько лет братьям?

Задания школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

9 класс.

1. Вычислить:

2. В уравнении  найти такое значение , при котором один из корней был бы равен половине другого.

3. Построить график функции, заданной формулой  

4. Доказать, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равен произведению  ее  оснований.

5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу золота  нужно добавить к первому сплаву для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?  

Задания школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

9. класс.

1. Вычислить:

2. В уравнении  найти такое значение , при котором один из корней был бы равен половине другого.

3. Построить график функции, заданной формулой  

4. Доказать, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равен произведению  ее  оснований.

5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу золота  нужно добавить к первому сплаву для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?  

Задания школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

10 класс

1. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

2. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5.

4. Решите систему уравнений

5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

Задания школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

10 класс

1. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

2. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5.

4. Решите систему уравнений

5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

10 класс

Решения

1. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Решение.

Число получается из суммы своих цифр умножением на 12, значит, оно кратно 3. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр также делится на 3. Поэтому само число должно делиться на 9. Кроме того оно делится на 4. Следовательно, нужно искать среди чисел, которые делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, то само число может быть не больше 27 . 12 = 324. Перебор можно еще сократить, если заметить, что сумма цифр может быть не больше 18 (она делится на 9 и меньше 27). Поэтому само число не больше 18 . 12 = 216. Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216.

100a+10b+с=12(a+b+c)     88a-2b=11c. Правая часть кратна 11 и 88a кратно 11, значит, 2b кратно 11, что возможно только при b=0. Остается рассмотреть равенство 88a=11c или 8a=c. Так как a,b,c – цифры, то a=1,b=0,c=8

Ответ: 108

2. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

Решение.

Если в первый день Вася съест a конфет, то за n дней он съест    a + (a + 1) + ... + (a + n - 1) = конфет.

Значит, = 777. Следовательно, n делит 2 . 777 = 1554. Так как 1554 = n(2a - 1 + n) > n2, то n < 40. Но максимальное число n, меньшее 40 и делящее 1554 = 2 . 3 . 7 . 37, равняется 37. Случай n = 37 действительно возможен при a = 3.

Ответ: n = 37.

3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5.

Решение.

Пусть P и Q — точки касания окружности с катетами BC и AB. Из прямоугольного треугольника OPC находим, что

PC =  = 4.

Из подобия прямоугольных треугольников AQO и OPC находим, что

AQ =  

Следовательно,

SABC = 1/2· AB . BC =1/2 (AQ + QB)(BP + PC) = 1/2(9/4 + 3) (3 + 4) = 147/8.

Ответ: 147/8

4. Решите систему уравнений

Решение.

 Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х + у + z)(2x + 2y + 2z) = 288, из которого найдем   х + у + z = 12 или х + у + z = - 12. Подставляя вместо (х + у + z) числа 12 и – 12, получим в первом случае: х = 2, у = 4, z = 6, а во втором : х = - 2, у = - 4, z = - 6.

Ответ: (2;4;6), ( - 2; - 4; - 6).

5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

Решение 1.

Если кубик зафиксировать, то поместить 8 разных шариков в его вершины можно 8! способами. Но кубик можно поворачивать: каждую из шести его граней можно сделать нижней и поставить на нее 4 способами. Поэтому каждому кубику соответствуют  6·4 = 24  "раскраски", и общее число моделей равно  8! : 24 = 8·7·6·5 = 1680.

Решение 2.

Сначала "наклеим" белый шарик. Повернем кубик так, чтобы белый шарик оказался в левом нижнем переднем углу. Теперь выберем 3 шарика для соседних вершин (это можно сделать  способами). "Наклеим" один из них и повернем кубик так, чтобы это шарик оказался в правом нижнем переднем углу (а белый остался на месте). Теперь есть два способа наклеить отобранные два шарика в оставшиеся две вершины, соседние с белой. И в каждом из них еще 4! способов "наклеить" оставшиеся 4 шарика на оставшиеся 4 вершины. Всего      моделей.

Ответ: 1680 моделей.

Задания школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

11 класс

1. Решите уравнение .    

2. Найдите все значения x, при которых обе функции  и  принимают положительные значения.

3.    Построить график функции .

4.  В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке О. Известно, что ОЕ =1, а вершина С лежит на окружности, проходящей через точки Е, D и О. Найдите стороны и углы треугольника EDO.

5.  Имеется 19 гирек весом 1г, 2г,…, 19г. Девять из них – железные, девять бронзовые, и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Задания школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

11 класс

1. Решите уравнение .    

2. Найдите все значения x, при которых обе функции  и  принимают положительные значения.

3.    Построить график функции .

4.  В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке О. Известно, что ОЕ =1, а вершина С лежит на окружности, проходящей через точки Е, D и О. Найдите стороны и углы треугольника EDO.

5.  Имеется 19 гирек весом 1г, 2г,…, 19г. Девять из них – железные, девять бронзовые, и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки.

Решение заданий по математике 2013 – 2014 уч. г.

5 класс Олимпиада

1.  Найдите значение выражения:

=25∙2 - 15∙2 +5=25

2.  Расшифруйте запись:

    к и с

+   к с и          

    и с к

Сумма И+C (в разряде десятков) оканчивается на C, но И не 0 (смотри разряд единиц) Значит, И=9 и 1 десяток в разряде единиц запомнили. K в разряде сотен: К=4. Для C остается одна возможность C=5.  

    495

+   459

    954

 3. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100г. Как за три взвешивания она может отвесить 700г крупы?

1) на одной чаше гиря, на другой 100г крупы;

2) на одной чаше 100г взвешенной  крупы и гиря в 100г, на другой 200г крупы

3) на одной чаше 300г взвешенной крупы и гиря в 100г. На другой – 400г крупы

Итого 700г крупы

4. Фигура, изображенная на рисунке, состоит из 7 одинаковых квадратов. Ее периметр равен 32 см. Найдите площадь фигуры.

Сторона квадрата 2см, площадь 14 кв см.

5. Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили так:

 1) Коля на первое, ни четвертое;

2) Боря второе;

3) Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

 Из первого и второго утверждения следует, что Коля занял третье место. Второе и третье места заняты и Вова не последний, значит, Вова первый , а Юра четвертый.

1-Вова, 2- Боря, 3- Коля, 4- Юра

Олимпиада по математике. Ключи.

6 класс

1. Вычислите: 101101 ∙ 999 - 101∙ 999999

Решение.

101101 ∙ 999 - 101∙ 999999 = 101∙1001∙999 - 101∙999∙1001 = 0

2. Отец старше сына в 4 раза, при этом суммарный их возраст составляет 50 лет. Через сколько лет отец станет старше сына в 3 раза?

Решение.

 Пусть сыну  сейчас  x лет, отцу -  4x лет, тогда x+4x=50 . Сыну сейчас 10 лет, а через y лет будет 10+y лет, а отцу 40+y лет         3(10+y) = 40+y;  y=5  

Ответ: через 5 лет

3. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 48 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение.

P= x+x+2x+2x =48;    x=8 ;         S=8∙16=128.

        Ответ 128.

4. На школьной дискотеке Валентин, Николай, Владимир и Алексей, все из разных классов, танцевали с девочками, но каждый танцевал не со своей одноклассницей. Лена танцевала c Валентином, Аня- с одноклассником Наташи, Николай- с одноклассницей Владимира, а Владимир- с Олей. Кто с кем танцевал, и кто с кем учится?

Решение.

Танцевали: Лена  с Валентином, Аня с Николаем, Наташа с Алексеем, Оля с Владимиром.

Учатся: Лена с Алексеем, Аня с Владимиром; Наташа с Николаем; Оля с Валентином.

5. Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее? Ответ обоснуйте.

 Решение.

 Рассмотрим время, за которое двухголовый дракон делает 3*4=12 прыжков. За это время трёхголовый делает 3*7=21 прыжок. Так как 12=4*3, то 12 прыжков двухголового дракона равны 4*5=20 прыжкам трёхголового. Итак, за одно и то же время трёхголовый дракон перемещается на 21 прыжок, а двухголовый – на 20 прыжков трёхголового. Значит, трёхголовый бежит быстрее

Ответ. Трёхголовый.

Решение олимпиадных заданий по математике школьного этапа 2013 – 2014 учебный год

7 класс

1.

2.  Сколько лет?

3(х+3)-3(х-3)=х,   х=18

3.

4. Третий купец получил, два рубля, значит, эта сумма была у крестьянина, когда он уходил от второго купца. Сумма, заплаченная второму купцу, без двух рублей составляет, поэтому 4рубля, и крестьянин, уходя от первого купца, имел 8 рублей. Деньги заплаченные первому купцу без одного рубля, составляют 9 рублей, значит, первоначально крестьянин имел вдвое больше, то есть 18 рублей.

5. х - число отдельных рублей, у - число 20 копеечных монет

(100х+20у) – коп. денег первоначально

(100у+20х) – коп. денег после покупки

3(100у+20х)=100х+20у

х=7у,    

у=1, то х=7, то 7руб.20коп

у=2, то х=14, то 14руб.40 коп.

у=3, то х=21, то 21руб.60коп.  

Ответ: 14руб 40 коп, (так как имел около 15 рублей)

Решение олимпиадных заданий школьного этапа по математике

2013 – 2014 учебный год

8 класс.

1. Разложите на множители: 4

Ответ. (2a-5b-6)( 2a-5b+6)

2.Постройте график функции:

Y=.

Решение.

Упрощая правую часть, имеем: y=x, где x1. Таким образом, графиком указанной функции является прямая, заданная формулой y=x, без двух точек А(1;1) и В(-1;-1).

3.Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка     получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, тупоугольный, остроугольный?

Решение.

Треугольники с углами 60, 30, 90.АВС - прямоугольный,  АКС - равносторонний, КВС - тупоугольный, СКВ - равнобедренный, АСВ - разносторонний.

4.Найдите все такие целые с, при которых дробь является целым числом.

Решение.

, поэтому исходное число будет целым, если 11 кратнос-4,11- простое число, значит его делителями будут -11;-1; 1; 11. Получаем с=7; с=3, с=15.

Ответ: -7, 3, 5, 15.

5.Старший брат говорит младшему; « Когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас, то я втрое старше тебя, а когда тебе будет столько лет, сколько мне сейчас, то нам вместе будет 60 лет» Сколько лет братьям

Решение.

Пусть возрасты братьев в настоящий момент c и m. Старшему было столько, сколько младшему сейчас-с лет назад. Тогда младшему было m-(c-m)=2m-c. Так как старший был тогда старше младшего, то получаем уравнение m=3(2m-с). Откуда Младшему будет столько лет, сколько старшему, через с- m лет. Тогда    старшему брату будет 2c-m лет. Так как 3с=5m? то из этого уравнения имеем 5m- m= 60, откуда m=15. Следовательно,

  с=25. Ответы  Братьев 15и 25 лет

Решение заданий школьного этапа олимпиады по математике

 2013 – 2014 учебный год

9 класс.

1. Вычислить:

Решение

2. В уравнении  найти такое значение , при котором один из корней был бы равен половине другого.

Решение

Рассмотрим систему:

Применяя метод подстановки, получим:

 Ответ: m=4.

3. Построить график функции, заданной формулой  

Решение

Упростим

Тогда график будет состоять из линий:

 См. рисунок.

4. Доказать, что квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равен произведению  ее  оснований.

Решение

Дано: ABCD – трапеция,

Доказать:

Доказательство

Так как в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин противоположных сторон равны, то

5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу золота  нужно добавить к первому сплаву для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?  

Пусть х кг было золота в 1 сплаве, составим таблицу:

Так как масса серебра в новом сплаве не изменилась, то составим уравнение:

4х = 40, то х = 10, т.е. золота было в 1 сплаве 10 кг, тогда в новый сплав добавили 40 – 10 = 30 (кг).        Ответ: 30 кг.

Решения олимпиадных заданий школьного этапа по математике

10 класс

1. Найдите все такие трехзначные числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр.

Решение.      

Число получается из суммы своих цифр умножением на 12, значит, оно кратно 3. Согласно признаку делимости на 3, сумма цифр также делится на 3. Поэтому само число должно делиться на 9. Кроме того оно делится на 4. Следовательно, нужно искать среди чисел, которые делятся на 36. Поскольку сумма цифр трехзначного числа не превосходит 27, то само число может быть не больше 27 . 12 = 324. Перебор можно еще сократить, если заметить, что сумма цифр может быть не больше 18 (она делится на 9 и меньше 27). Поэтому само число не больше 18 . 12 = 216. Осталось перебрать числа 108, 144, 180, 216.                                                                

  2 способ   100a+10b+с=12(a + b +c)     88a-2b=11c. Правая часть кратна 11 и 88a кратно 11, значит, 2b кратно 11, что возможно только при b=0. Остается рассмотреть равенство 88a=11c или 8a=c. Так как a,b,c – цифры, то a=1,b=0,c=8                                                                    Ответ: 108                                                                                                                      

2. Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

 Решение.

Если в первый день Вася съест a конфет, то за n дней он съест    a + (a + 1) + ... + (a + n - 1) = конфет. Значит, = 777. Следовательно, n делит 2 . 777 = 1554. Так как 1554 = n(2a - 1 + n) > n2, то n < 40. Но максимальное число n, меньшее 40 и делящее 1554 = 2 . 3 . 7 . 37, равняется 37. Случай n = 37 действительно возможен при a = 3.

Ответ: n = 37.

3. Центр O окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе AC прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что OC = 5.

Решение.

Пусть P и Q — точки касания окружности с катетами BC и AB. Из прямоугольного треугольника OPC находим, что

PC =  = 4.

Из подобия прямоугольных треугольников AQO и OPC находим, что

AQ =  

Следовательно,

SABC = 1/2· AB . BC =1/2 (AQ + QB)(BP + PC) = 1/2(9/4 + 3) (3 + 4) = 147/8.

Ответ: 147/8

4. Решите систему уравнений

Решение.

 Сложив все три уравнения системы, получим уравнение (х + у + z)(2x + 2y + 2z) = 288, из которого найдем   х + у + z = 12 или х + у + z = - 12. Подставляя вместо (х + у + z) числа 12 и – 12, получим в первом случае: х = 2, у = 4, z = 6, а во втором : х = - 2, у = - 4, z = - 6.

Ответ: (2;4;6), ( - 2; - 4; - 6).

5. Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

Решение 1.

Если кубик зафиксировать, то поместить 8 разных шариков в его вершины можно 8! способами. Но кубик можно поворачивать: каждую из шести его граней можно сделать нижней и поставить на нее 4 способами. Поэтому каждому кубику соответствуют  6·4 = 24  "раскраски", и общее число моделей равно  8! : 24 = 8·7·6·5 = 1680.

Решение 2.

Сначала "наклеим" белый шарик. Повернем кубик так, чтобы белый шарик оказался в левом нижнем переднем углу. Теперь выберем 3 шарика для соседних вершин (это можно сделать  способами). "Наклеим" один из них и повернем кубик так, чтобы это шарик оказался в правом нижнем переднем углу (а белый остался на месте). Теперь есть два способа наклеить отобранные два шарика в оставшиеся две вершины, соседние с белой. И в каждом из них еще 4! способов "наклеить" оставшиеся 4 шарика на оставшиеся 4 вершины. Всего      моделей.

Ответ: 1680 моделей.

Решение заданий школьного этапа олимпиады по математике

2013 – 2014 учебный год

11 класс

1.  Решите уравнение .    

 Решение.

     х=5.

Ответ: х = 5.

2. Найдите все значения х, при которых обе функции  и  принимают положительные значения.

Решение.

1)                                      4)     

2)                               

3)  

     ;

Ответ. 

3.  Построить график функции .

4.  В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке О. Известно, что ОЕ =1, а вершина С лежит на окружности, проходящей через точки Е, D и О. Найдите стороны и углы треугольника EDO.

Решение.

1. Пусть , тогда .
2. Так как четырехугольник EODC – вписанный, .
3. Рассмотрим треугольник АОВ. Сумма внутренних углов этого треугольника равна . Значит, .
4. , .
5. Точка О – точка пересечения биссектрис, значит, СО- биссектриса .
6. Так как , то . Поэтому , как вписанные, опирающиеся на равные дуги окружности. .
7. Треугольник EOD – равнобедренный, ОЕ= OD=1. По теореме косинусов найдем длину стороны ED.ED = .

Ответ. , , ОЕ= OD=1, ED = .

5.  Имеется 19 гирек весом 1г, 2г,…, 19г. Девять из них – железные, девять - бронзовые, и одна – золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых. Найдите вес золотой гирьки

 Решение.

Бронзовые гирьки весят не меньше, чем 1+2+…+9 = 45г, а железные – не больше, чем 11+12+…+19 = 135г. Если бы хотя бы одно из этих неравенств было строгим, то вес железных гирек превышал бы вес бронзовых гирек менее, чем на 90г. Значит, бронзовые гирьки весят 45г, а железные – 135г, а это возможно только если девять самых тяжелых – железные. Поэтому золотая гирька весит 10г.

Ответ. 10г.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОВЕДЕНИЮ ШКОЛЬНОГО ЭТАПА ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В 2013/2014 УЧЕБНОМ ГОДУ

Данные рекомендации составлены на основании рекомендаций Центральной предметно-методической комиссии олимпиады школьников по математике

В олимпиаде имеет право принимать участие каждый обучающийся  

(далее – Участник), в том числе вне зависимости от его успеваемости по предмету. Олимпиада должна проводиться в удобное для Участников время. Число мест в классах (кабинетах) должно обеспечивать самостоятельное выполнение заданий олимпиады каждым Участником. Продолжительность олимпиады должна учитывать возрастные особенности Участников, а также трудность предлагаемых заданий.

ПРОВЕРКА ОЛИМПИАДНЫХ РАБОТ

Наилучшим образом зарекомендовала себя на математических олимпиадах 7-балльная шкала, действующая на всех математических соревнованиях от начального уровня до Международной математической олимпиады:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой обучающегося, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравших наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

По результатам олимпиады создается итоговая таблица по каждой параллели.

Участники школьного этапа Олимпиады, набравшие наибольшее количество баллов в своей параллели, признаются победителями школьного этапа Олимпиады. Количество призеров школьного этапа Олимпиады определяется, исходя из квоты победителей и призеров, установленной организатором муниципального этапа Олимпиады. Призерами школьного этапа Олимпиады в пределах установленной квоты победителей и призеров признаются все участники школьного этапа Олимпиады, следующие в итоговой таблице за победителями.