Творческие работы учеников

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Брейтовская средняя общеобразовательная школа»

Индивидуальный итоговый проект

Лист Мёбиуса - удивительный феномен

Выполнила: ученица 9 «в» класса

Виноградова Дарья,

Руководитель: Смирнова Елена Владимировна,

учитель математики

с. Брейтово, 2020 г.

Оглавление

1. Введение                                                                                                            3
2. Основная часть                                                                                                 4-9

1. Топология как наука                                                                                 4
2. Биография Мёбиуса                                                                                  4-6
3. Описание листа Мёбиуса                                                                         6
4. Изготовление листа Мёбиуса                                                                  6
5. Свойства листа Мёбиуса                                                                          7
6. Изобретения, в основе которых лежит односторонняя поверхность  7-8
7. Применение листа Мёбиуса                                                                     8-9

3. Заключение                                                                                                       10
4. Список литературы                                                                                          11
5. Тезаурус                                                                                                            12

1. Введение

   На одном из уроков геометрии учитель нам поведал о таком удивительном открытии, как лист Мёбиуса (по-другому можно назвать «Лента»). Мне хватило услышать лишь несколько слов, чтобы заинтересоваться. После этого, я начала изучать различные сайты в интернете, посвящённые этой теме. А потом  пришла идея написать работу по этой теме и поделиться своими знаниями и открытиями с окружающими.   Мне бы хотелось рассказать об удивительной поверхности, которая имеет одну сторону и относится к «математическим неожиданностям». Несмотря на то, что лист Мёбиуса был открыт в XIX веке, он был актуален и в XX веке. Интерес к листу не угас и в наши дни. Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в технике, физике, живописи, архитектуре, оформлении ювелирных изделий, бижутерии и даже в кулинарии. Он вдохновляет на творчество многих художников и писателей. Чем больше я читала и изучала лист Мёбиуса, тем загадочнее для меня он становился.

В процессе работы над проектом я изучила литературу, изготовила лист Мёбиуса и проводила исследования, изучая его «волшебные» свойства.

Цель: исследовать поверхность листа Мёбиуса и его свойства.

Задачи:

• Изучить понятие топологии;
• Познакомиться с биографией Августа Фердинанда Мёбиуса и с историей его замечательного открытия;
• Описать лист Мёбиуса, а также процесс его изготовления;
• Исследовать его свойства;
• Выяснить, какие изобретения появились, в основе которых лежала односторонняя поверхность;
• Установить области применения листа Мёбиуса.

Вид проекта: исследовательский.

Методы, использованные в работе над проектом:

• изучение различных сайтов в интернете;
• прочтение литературы по теме открытий Мёбиуса.

Объект исследования: лист Мёбиуса.

Предмет исследования: свойства и применение листа Мёбиуса.

Гипотеза: Если лист Мёбиуса имеет одну поверхность, то он обладает необычными свойствами.

2. Основная часть

1. Топология как наука

   За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии. Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения").

Топология – раздел математики, изучающий:

• в самом общем виде – явление непрерывности;
• в частности – свойства пространств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях. Например, связанность, ориентируемость, компактность.

Топология изучает свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания. Топология известна и под именем «Резиновая геометрия». Любую фигуру тополог имеет право сгибать, сжимать, скручивать и растягивать-делать с ней все, что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все ее свойства остались неизменными.

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов. Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) – неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии.

2. Биография Мёбиуса

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)– немецкий математик, механик и астроном-теоретик). Родился на территории княжеской школы Шульпфорта, близ Наумбурга.(прил.1)

Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу высказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в гимназии-интернате Шульпфорта, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1858 году, в возрасте 68 лет, Мёбиусу удалось сделать открытие. Это открытие односторонних поверхностей. Существует несколько легенд того, как это произошло:

• Виноват во всем портной, который неправильно вшил манжет рубашки;
• Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок;
• На улице шел дождь. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного в голову не приходило на ум. На пороге комнаты появилась жена. Она была разгневана и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая ленту, профессор воскликнул: «Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!» Идея пришла ему в голову, когда служанка неправильно сшила ленту.

В дальнейшем, Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался ответа и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

 В связи с этим, он стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса, простейшей неориентируемой двухмерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное Евклидово пространство. В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества первоклассных работ по геометрии, особенно проективной геометрии, анализу и теории чисел.

Мёбиус впервые ввёл однородные координаты и аналитические методы исследования в проективной геометрии. Получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования, позднее названного его именем, исследовал коррелятивные преобразования.

Август Мёбиус опубликовал также двухтомное «Руководство по статике» (1837), где вводятся барицентрические координаты точек плоскости. Обе эти книги фактически тоже относятся к проективной геометрии и её приложениям.

Он впервые рассмотрел пространственные алгебраические кривые третьего порядка и изучил их свойства.(прил.2)

В теории чисел именем Мёбиуса названы функция и формула обращения.

В 1840 году, задолго до широко известной проблемы четырёх красок, Август Мёбиус сформулировал похожую задачу: можно ли разделить страну на 5 частей так, чтобы каждая часть имела ненулевую границу со всеми остальными?  Легко показать, что это невозможно.

Из других топологических достижений следует упомянуть, что он ввёл понятие уникурсальной кривой, то есть графа, который можно начертить, не отрывая пера от бумаги (другое название: Эйлеров граф).

В области астрономии Мёбиус опубликовал несколько значительных работ по небесной механике, о принципах астрономии и о планетных затмениях.

3. Описание листа Мёбиуса

   У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Лист Мёбиуса является простейшей односторонней поверхностью, то есть, пройдя вдоль всей его «средней линии» с поднятым вверх флажком, мы вернёмся в исходную точку, но флажок будет теперь «поднят» в другую сторону. Это значит, что флажок, не пересекая плоскость, попал из «внешности» во «внутренность».

4. Изготовление листа Мёбиуса

   Чтобы вам было легче представить, как выглядит лента, я решила изготовить её      макет. Ход своей работы я представлю в таблице. (прил.3)

Макет ленты Мёбиуса

5. Свойства листа Мёбиуса

   При работе с информацией я смогла выявить следующие свойства листа Мёбиуса:

   «Сотри случайные черты, и ты увидишь - мир прекрасен», -  писал Александр Блок. Тополог всегда готов внять подобному призыву – во всех окружающих его предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например, непрерывность. Это топологическое свойство. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

   Другое интересное свойство – связность. Если квадрат полоснуть бритвой от стороны к стороне, то он распадается на два отдельных куска. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно два разреза. А телефонный диск можно десять раз рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он всё равно останется единым целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат - односвязен, кольцо - двусвязно, а диски с отверстиями – многосвязны. Лист Мёбиуса двусвязен, ведь фокус состоял в том, что, будучи разрезан вдоль, он превращался в одну целую ленту. Впрочем, если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум и так далее.

   Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился в собственное отражение.

   Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Убедиться в этом несложно: если окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, то в конце он будет полностью окрашен.

   «Хроматический номер» - максимальное число областей, которое можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.

6. Изобретения, в основе которых лежит односторонняя поверхность

   Ли де Форест (1923) – трёхэлектродная лампа. Изобретатель предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек.

Амир Губайдуллин (1969) – бесконечная шлифованная лента, работающая обеими сторонами. Он предложил натянуть из спец. материала ленту Мёбиуса на два вращающихся ролика и покрыть её крупинками твёрдого абразива.

Павел Чесноков (1971) – фильтр непрерывного действия для жидкости, «отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента выполнена в виде Мёбиуса листа».

Иван Киселёв (1972) – «бесконечный шлифованный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесённым на неё абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повёрнутой ветвью, отличающийся тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повёрнута на одну грань».

Юрий Драбович и Игорь Криштафович – «магнитный сердечник, изготовленный из ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью улучшения магнитных свойств сердечникапутём создания равномерного магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса».

Джакобс (1963) – самоочищающийся фильтр, который представляет собой всё ту же ленту Мёбиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, работая при этом обеими сторонами.

Ричард Дэвис (1963) – электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

7. Применение листа Мёбиуса

   Удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.

Применение листа Мёбиуса в технике.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

В метро ручка эскалатора, не что иное как лента Мёбиуса. Это позволяет ей равномерно изнашиваться, и продлевает срок службы резины.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

Лист Мёбиуса в повседневной жизни

Лента Мёбиуса вдохновляет создателей ювелирных украшений. Среди их работ можно встретить кольца и кулоны в виде ленты Мёбиуса.

Не остались равнодушными к ней и мебельщики. Одним из примеров их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба.

Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста, также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.(прил.4)

Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах, ленту Мёбиуса часто изображают на различных эмблемах и значках.

Например, на значке механико-математического факультета Московского университета.  (прил.5)

Символ вселенной создан в виде ленты Мёбиуса. (прил.6)

Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Более того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

3. Заключение

  Я получила интересный математический материал. В ходе работы создала мультимедийную презентацию, в которые включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.

   Я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

 В результате проведённых исследований моя гипотеза о необычности свойств подтвердилась.

Лист Мёбиуса можно изготовить самостоятельно простым способом.

Лента используется в самых различных изобретениях и отраслях.

   Выполняя работу по изучению листа, я узнала биографические сведения учёного, а также историю уникального открытия.

   Главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах.

4. Список литературы

1. Альфорс Л. - А 59 - Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 112 с., ил.
2. Левитин К. Е. – Л 36 – Геометрическая рапсодия. – 2-е изд., переработ. и доп. – М.: Знание, 1984. – 176 с. с ил. – 60 к. – 100000 экз.
3. Сайт «Топологические свойства ленты Мёбиуса» [электронный ресурс] – режим доступа: https://mydocx.ru/12-72675.html, свободный (18:16, 13.01.20)
4. Сайт «Лист Мёбиуса» [электронный ресурс] – режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/proiect_list_miebiusa, свободный (20:34, 04.02.20)
5. [электронный ресурс] – режим доступа:ru.wikipedia.org, свободный (10:22, 15.03.20)
6. Сайт «Толковый словарь Ожегова» [электронный ресурс] – режим доступа: https://gufo.me/dict/ozhegov?letter=r&page=4, свободный (10:19, 15.03.20)

5. Тезаурус

• Абразивные материалы–это материалы, обладающие высокой твёрдостью и используемые для обработки поверхности различных материалов: металлов, керамических материалов, горных пород, минералов, стекла, кожи, резины и других.
• Гомеоморфизм – взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств.
• Гомотопия – семейство непрерывных отображений, «непрерывно зависящих от параметра».
• Интенсификация – процесс и организация развития производства, в котором применяются наиболее эффективные средства производства, а также расширение производства.
• Феномен – необычное, особенное явление, редкий факт.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Брейтовская средняя общеобразовательная школа

Индивидуальный итоговый  проект

«Законы геометрии в построении Бурдж-Халифа»

Выполнил:

ученик 9 «В» класса

Платонов Андрей

 Руководитель:

  Смирнова Елена Владимировна

 учитель алгебры и геометрии

c. Брейтово, 2020 год

Содержание

         1. Введение…………………………………………………………………………3

2. Основная  часть………………………………………………………………….4-7

    2.1. Историческая справка……………………………………………………..4

               2.2. Информация о здании……………………………………………………..4-5

          2.3.  Законы геометрии при строительстве зданий…………………………..5-6

3. Заключение………………………………………………....................................7

4. Список литературы……………………………………………………………...8

5. Приложения……………………………………………………………………...9

1. Введение

Не зря говорят, что математика - царица всех наук. Одно из её проявлений мы видим каждый день - это здания, которые нас окружают. В основе любого архитектурного сооружения лежат геометрические фигуры. Как говорил архитектор Ле Корбюзье "Окружающий нас мир - это мир геометрии чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг - геометрия. Никогда мы не видим так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, выполненных с такой тщательностью и так уверенно". Как только мы начали изучать геометрию в 7 классе, я задумался, как можно применять эти свойства в жизни. Идя по улицам, я всё больше стал замечать очертания фигур. Именно в архитектурных сооружениях геометрия проявляет себя наиболее ярко. Мне захотелось более подробно изучить, как связаны архитектура и геометрия.

Геометрия применяется при строительстве любого здания, как для небоскрёба, так и для обычного дома. Новые здания будут строить постоянно и каждый будет изобретать новый дизайн, но любой будет опираться на простейшие законы.

Когда я в первый раз узнал о Бурдж - Халифа, оно поразило меня своими масштабами. И мне стало интересно, как обычные рабочие смогли построить такое здание, какими знаниями они пользовались?

Я решил продемонстрировать, как применяется геометрия на примере самого большого здания в мире, Бурдж - Халифа.

Цель: исследовать взаимосвязь геометрии и архитектуры.

Задачи:

• Выделить законы и фигуры, которые использовались, в постройке Бурдж-Халифа.
• Выяснить, как они применялись в строительстве.
• Сделать выводы.

Вид проекта: информационный.

Методы, использованные в работе над проектом:

• Изучение различных сайтов в интернете.
• Прочтение литературы.

Актуальность: Мой проект посвящен изучению взаимосвязи геометрии и архитектуры. Эта проблема очень актуальна, так как современный век - это век развития строительства. И именно геометрия даёт большие возможности для развития современной архитектуры.

2. Основная часть

2.1. Историческая справка

Люди думали о прочности своих жилищ еще с древних времен. Прочность сооружения обеспечивается в первую очередь конструкцией, которая используется в качестве основы при его строительстве. А конструкция сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которую имеет. То есть с математической точки зрения, важна геометрическая форма, в которую вписывается сооружение.

Из-за больших высот и площади фасадов небоскребов скорость ветра, обтекающего здание, увеличивается в разы. Ветер создает завихрения и с еще большей силой давит на прямоугольное здание, но свободно обтекает округлое.

Именно от формы небоскреба зависит давление ветра на него. Самая лучшая - круглая: воздух хорошо обтекает, не создавая завихрений. Второе место - форма овала, капли, треугольника со скругленными углами. На третьем месте - ромб, квадрат; на четвертом - спаренные высотки (обычно круглые), на пятом - Г- и Н - образные формы. Самая большая парусность у эффектного небоскреба в форме пластины или волны.

Первые высотные здания были просто очень высокими домами. Многоэтажные здания держались за счет толстых стен около метра и строились на мощном фундаменте. Высотными зданиями в конце XIX считались все постройки выше семи  этажей.

Архитекторы предполагали, что никому не захочется подниматься выше по ступеням. Но ситуация резко изменилась с изобретением безопасного лифта американцем Элайш Грейвс Отисом. 

Принято считать, что самый первый небоскрёб был построен в 1885 году в Чикаго - здание страховой компании (The Home Insurance Building), которое просуществовало до 1931 года. Изначально здание имело всего 10 этажей. Но в 1891 было достроено еще 2 этажа. Автором проекта являлся американский архитектор Уильям Ле Барон Дженни.

После появления первого небоскреба, началось соревнования на самое высокое здание в мире, которые до сих пор продолжаются (1889 - Эйфелева башня во Франции высота 324 метра, 1931 -  Стейт-Билдинг в Нью-Йорке высота 381 метров, Лахта - центр в Санкт-Петербурге высота 462 метра, Евразия в Москве высота 308,9 метров и т.д.)

2.2. Информация о здании Бурдж - Халифа

Самое высокое здание в мире. Высота которого 828 метров, это 164 этажа.

Строительство началось 21 сентября 2004 и закончилось 4 января 2010 года. На  строительство было затрачено 1,5 млрд $. Работали 12 000 человек.

Здание представляет собой город внутри города, со своей инфо - структурой, услугами досуга и развлечений. Используется для снятия номеров гостиницы и аренды офисных помещений. Находится в Эмиратах в Дубае.

По мере удаления от основания происходит идущие по спирали сужение каждого элемента.

Его фундамент напоминает цветок Гименокаллис. Это сделано для большей устойчивости. Благодаря этому здание может устоять даже при землетрясении. Ярким примером служит землетрясение в 2013 году, магнитуда которого была  7,8 по шкале Рихтера.

У вершины здания становится видным центральное ядро, принимающее форму шпиля. Такой дизайн призван уберечь здание от излишней ветровой нагрузки, ведь самая высокая точка здания раскачивается при сильном ветре с амплитудой полтора метра.

2.3. Законы геометрии при строительстве зданий

О чём в первую очередь думает владелец любого здания? Конечно же о его надёжности. Так и в этом случае, здание должно быть устойчивым. На территории Дубай очень часто происходят землетрясения, поэтому у посетителей данного здания не должно возникать чувство страха при посещении Бурдж - Халифа.

Для того чтобы обеспечить устойчивость, строитель использовали свойства геометрических фигур. Например, свойства прямой призмы можно заметить в составляющих частях Бурдж - Халифа. Это свойство заключается в том, что её основания равны и параллельны между собой. А рёбра призмы образуют с основаниями прямой угол, что не даёт зданию наклониться при любых случаях из-за его массивности. Если смотреть на здание с высоты, то можно заметить, что его основная часть имеет форму цилиндра. Это фигура также придаёт зданию устойчивость, но ещё даёт возможность размещать элементы декора с равномерным распределением веса. Так как основания фигуры имеют форму круга, не малую роль в устойчивости башни сыграл фундамент. Он имеет неестественную форму и огромную площадь.

Но как может обойтись такое грандиозное сооружение без декоративных элементов. Примером может послужить фигура конус. Самая верхняя точка здания является конусом, какой - то практической функции у него нет. Но у него другая роль в этой постройке. Нужно что бы он восхищал всех людей и не оставлял некого равнодушным. Также само здание отдалённо напоминает форму конуса, что также придаёт ему эстетичности.

3. Заключение

Строительство высотных зданий имеет большие перспективы, постоянно строятся все более и более высокие здания. Как было сказано ранее именно геометрическая форма небоскребов и играет важную роль в его устойчивости и надежности. Поэтому так важно знать основные конструкции и приемы создания уже построенных небоскребов, чтобы на их примере создавать еще более уникальные, совершенные высотные здания.

Геометрия в Бурдж - Халифа имеет как практическое, так и декоративное применение. Для обычных посетителей и прохожих демонстрируется величие здания в простоте фигур, а для владельцев здания надёжность конструкции в дальнейшем пользовании. Рабочим удалось совместить и красоту, и надёжность, и практичность, и простоту сооружения благодаря обычным знаниям геометрии.

Но даже при строительстве такого грандиозного проекта, как Бурдж - Халифа строители использовали знания, как и при строительстве обычных домов. Это говорит нам о том, что геометрия необходима для строительства. И вообще, без всех этих законов ни одно здание не смогло бы простоять и дня.

4. Список литературы

Книжные источники:

Марко Буссальи Энциклопедия архитектуры / 2011.-384 с.

Ирина Блохина Всемирная история архитектуры и стилей / 2014.-400 с.

Интернет-ресурсы:

О Бурдж-Халифа [Электронный ресурс]. - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Бурдж-Халифа

О Бурдж-Халифа [Электронный ресурс]. - URL: https://wikiway.com/oae/dubay/neboskreb-burdzh-khalifa/

Геометрические формулы [Электронный ресурс]. - URL: https://www.parthenon-house.ru/content/gost_snip/index.php?article=5002

Геометрические фигуры [Электронный ресурс]. - URL: https://fb.ru/article/247962/mnogogranniki-v-arhitekture-arhitekturnyie-formyi-i-stili

Макет здания:

5. Приложения