Участие в МО

Проблемное обучение на уроках математики

                                                                                                             Замечено, чем больше учитель учит

                                                                                           своих учеников и чем меньше –

                                                                                               предоставляет им возможностей

                                                                                                       самостоятельно приобретать знания,

                                                                                               мыслить, действовать, тем менее

       энергичным  и плодотворным становится

процесс обучения.

И. Лернер

Главная задача каждого учителя сегодня - не только обеспечить прочное и осознанное усвоение знаний, умений и навыков, но и развитие способностей учащихся, приобщение их к творческой деятельности.

К сожалению, очень часто учитель не предоставляет свободы ученику, когда он пытается ответить на вопрос. Учитель не ждёт, сразу же задаёт другой наводящий вопрос. Можно ли учить так, чтобы каждый ребёнок рассуждал над проблемой своим путём, своим темпом, но при необходимости мог сопоставить свою точку зрения с одноклассниками, может даже изменить её? Да, можно.
Помочь ученику раскрыться, лучше использовать свой творческий потенциал помогает создание проблемных ситуаций на уроке.
Проблемное обучение – это «начальная школа» творческой деятельности.
Сегодня под проблемным обучением понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями и развитие мыслительных способностей. 
Для меня в процессе обучения главным является постановка перед учащимися на уроках небольших проблем и стремление решить их вместе с детьми. 
Как же создавать проблемные ситуации?

Математика начинается вовсе не со счета, что кажется очевидным, а с загадки, проблемы. Чтобы у  школьника развивалось творческое мышление, необходимо, чтобы он почувствовал удивление и любопытство, повторил путь человечества в познании, удовлетворил с аппетитом возникшие потребности в записях. Только через преодоление трудностей, решение проблем, ребенок может войти в мир творчества.

Увлечение создает то напряжение духовных сил, которое ведет к развитию способностей. Все знают: у кого большие способности, у того обычно есть интерес к занятиям. Но не все знают обратное правило: у кого больше интереса, у того быстрее развиваются способности. Увлечение и способности тесно связаны между собой.        

Именно на проблемное обучение возложена роль в достижении цели: развитие творческого мышления.

Проблемное обучение не сводится к тренировке учащихся в умственных действиях. Цель активизации путем проблемного обучения состои в том, чтобы поднять уровень усвоения ими понятий и обучить не отдельным мыслительным операциям в случайном, стихийно складывающемся порядке, а системе умственных действий для решения нестереотипных задач. Эта активность заключается в том, что ученик, анализируя, сравнивая, синтезируя, обобщая, конкретизируя фактический материал, сам получает из него новую информацию. Другими словами, это расширение, углубление знаний при помощи ранее усвоенного и новое применение прежних знаний. Новому применению прежних знаний не могут научить ни книга ни учитель – это ищется и находится учеником, поставленным в соответствующую ситуацию. Постепенное овладение учащимися системой творческих умственных действий приводит к накоплению умений, навыков, опыта таких действий изменению качества самой умственное деятельности, к выработке особого типа мышления, который называют научным, критическим, диалектическим.

Проблемное учение – это учебно-познавательная деятельность учащихся по усвоению знаний и способов деятельности путем восприятия объяснений учителя в условиях проблемной ситуации, самостоятельного анализа проблемных ситуаций, формулировки проблем и их решение посредством выдвижения предложений, гипотез, их обоснование и доказательства, а также путем проверки правильности решения. Все это умственная работа школьников проходит под руководством учителя и обеспечивает формирование сознательности и интеллектуальной активности личности.

Организация проблемного обучения предполагает применение таких приемов и методов преподавания, которые приводили бы к возникновению взаимосвязанных проблемных ситуаций и предопределяли применение школьниками соответствующих дидактической цели урока методов учения.

Проблемная ситуация может создавать на всех этапах процесса обучения: при объяснении, закреплении, контроле.

Когда я создаю проблемную ситуацию, то направляю учащихся на ее решение, организую поиск решения. Таким образом, ребенок становится в позицию своего обучения и как результат у него образуются новые знания, он овладевает новыми способами действия, учится самостоятельно мыслить. «То,  чего  человек  не приобрел путем своей самостоятельности – не его».

Трудность управления проблемным обучением состоит в том, что возникновение проблемной ситуации – акт индивидуальный, поэтому я всегда использую дифференцированный и индивидуальный подход.

Создавая на уроке проблемную ситуацию, я применяю некоторые методические приемы:

• подвожу учащихся к противоречию и предлагаю им самим найти способ его разрешения;
• излагаю различные точки зрения на один и тот же вопрос;
• побуждаю  учащихся делать сравнения, обобщения, выводы из ситуации, сопоставлять факты;
• ставлю конкретные вопросы (на обобщение, обоснования, конкретизацию, логику рассуждения);
• определяю проблемные теоретические и практические задания;
• ставлю проблемные задачи (с недостаточными или избыточными исходными данными; с неопределенностью в постановке вопроса; с противоречивыми данными; с заведомо допущенными ошибками; с ограниченным временем решения; на преодоление психической инерции и другим).

Проблемность при обучении математике возникает совершенно естественно, не требуя никаких специальных упражнений, искусственно подбираемых ситуаций. В сущности, каждая текстовая задача и есть своего рода проблема.

Но не всякий материал может служить основой для создания проблемной ситуации. К непроблемным элементам учебного материала относится вся конкретная информация, содержащая цифровые и качественные данные; факты, которые нельзя “открыть”. Не проблемны  все задачи, решаемые по образцу, по алгоритму, по известному способу.

Решение составной текстовой задачи нового вида требует выполнения всех тех элементов продуктивного мышления, которые свойственны исследовательскому подходу:

• наблюдение;
• изучение фактов (анализ условия, выделение числовых данных, осознание вопроса);
• выявление промежуточных неизвестных (на основе анализа связей, существующих между искомыми и данными);
• составление плана решения (при составлении которого могут возникнуть различные направления поиска ответа, могут быть найдены различные способы решения);
• осуществление этого плана с использованием имеющихся данных, приобретенных ранее знаний, умений и навыков, формулировка ответа, проверка выполненного решения.

В соответствии с видами творчества можно выделить три вида проблемного обучения.

Первый вид – теоретическое творчество – это теоретическое использование, то есть поиск и открытие учеником нового для него правила, закона, теоремы и так далее. В основе этого вида лежит постановка и решение теоретических учебных проблем.

Второй вид – практическое творчество – это поиск практического решения, то есть поиск способа применения известного знания в новой ситуации, конструирование, изобретение. В основе этого вида проблемного обучения лежит постановка и решение практических учебных проблем.

Третий вид – художественное творчество – это художественное отображение действительности на основе творческого воображения, включающее  создание презентации, математической сказки, игры и так далее.

Все виды проблемного обучения характеризуются наличием продуктивной, творческой деятельности ученика, наличием поиска и решения проблемы. Первый вид чаще всего бывает на уроке, где наблюдается индивидуальное, групповое или фронтальное решение проблемы; второй вид – на  практических занятиях, факультативе; третий вид – на уроке или внеурочных занятиях.

Представляется необычайно полезным прививать школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно – исследовательской деятельности. По объёму осваиваемой методики исследования выделяются уроки с элементами исследования и уроки-исследования.

На уроке с элементами исследования учащиеся отрабатывают отдельные учебные приёмы, составляющие исследовательскую деятельность. По содержанию элементов исследовательской деятельности такие уроки могут быть различными, например: уроки по выбору темы или метода исследования, по выработке умения формулировать цели исследования, уроки с проведением эксперимента, работа с источниками информации, заслушивание сообщений, защита рефератов и т.д.

На уроке – исследовании учащиеся овладевают методикой научного исследования, усваивают этапы научного познания. По уровню самостоятельности учащихся, проявляемой в результате исследовательской деятельности на уроке, уроки-исследования могут соответствовать:

начальному уровню (урок “Образец исследования”),

продвинутому уровню (урок “Исследование”),

высшему уровню (урок “Собственно исследование”)

Постановка  проблемы также может осуществляться различными способами. В идеале её должен сформулировать сам ученик в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное определение проблемы затруднительно; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными или неточными. А потому на первых порах необходим контроль со стороны учителя.

    Необходимо отметить, что создание проблемной ситуации – это начало проблемного обучения, т.е. проблемное обучение, в первую очередь, включает в себя создание проблемной ситуации. Каким бы способом ни ставилась проблема, всегда преследовалась определенная практическая цель. Остановимся на  четырех видах постановки проблемы.

  1.  Введение в новую тему.

      Изучение нового материала следует начинать с интересной практической или исторической задачи, позволяющей создать исходную проблемную ситуацию. В результате анализа проблемной ситуации формулируется проблема Здесь можно использовать и домашние задания, которые позволяют выдвинуть на следующем уроке учебные проблемы, поставившие школьника дома в тупик.

      Проблемная ситуация возникает, если предложить ученикам выполнить какое – то действие, на первый взгляд не вызывающее затруднения. Так, перед изучением теоремы о сумме  внутренних углов треугольника можно предложить учащимся построить треугольник по трём заданным углам. По окончании выдвигается предположение о сумме внутренних углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: « В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше: в тупоугольном или остроугольном?» Практика показывает, что в каждом классе найдутся учащиеся, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остроугольного. На практике им предлагается проверить своё утверждение.

 2.  Решение поставленной задачи эффективным способом.

     Например, учащимся 8 класса можно предложить упростить выражение  ,  при этом преднамеренно не называя тот способ, который в данном случае предпочтительнее.

     Учащиеся выполнили задание так:

    После этого им предлагается найти более рациональный способ решения. В результате раздумий они приходят к выводу, что данное выражение можно рассматривать как дробь вида   ;  но чтобы упрощать дроби, нужно знать их свойства.

      Некоторые учащиеся сразу могут вспомнить основное свойство дроби и, применив его в конкретной ситуации и убедившись, что выполнение данного упражнения при этом упрощается, разъясняют его остальным ученикам класса:

      Затем упражнения такого типа выполняются устно.

З.  Установление связи известного учебного материала с новым.  

     При введении понятия первообразной и изучении её основного свойства учащимся предлагается найти производные таких функций:

а)       y =                     б)       y =                         в)   y =

    В результате выполнения этого задания оказалось, что для всех случаев        y/ = x4. Далее ставится проблема:

     1)   Указать функцию у, для которой у/ = х4. (Ответ окажется многозначным, таких функций бесконечное множество.)

      2)   Как удобнее записать ответ? (Функции, производная которых равна х4, имеют вид  У =, где С = const.)

После выяснения этих вопросов разрешается проблема: если F(x) -  первообразная для f(x) на некотором промежутке, то всегда ли F(x)+C – тоже первообразная для f(x) на том же промежутке? Такая постановка проблемы помогает увязать дифференцирование с новой операцией – интегрированием.

4.  Выделение отдельных сторон изучаемого вопроса для более глубокого их осмысления и запоминания сделанных выводов.

      Эта цель достигается созданием проблемной ситуации при закреплении материала. Так, говоря о размерностях, о необходимости следить за тем, чтобы все наименования при решении задач с физическим   содержанием брались в одной системе (например, в системе СИ), учащимся предлагаю найти объём фигуры, полученной от вращения криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x2, осью абсцисс и прямой x = a. Решение задачи приводит к выражению

                        V =

     Получилось, что объём выражен в единицах пятой степени, а не в кубических единицах! Как устранить явное противоречие? Рассмотрев рисунок, учащиеся догадываются, что имеется а  линейных единиц, как и а  линейных единиц, но а5 = а2 * а2 * а, поэтому получается а  кубических единиц. После этого учащимся сообщается, что при интегрировании и дифференцировании за наименованиями, размерностью не следят, и вместе с ними выясняется, почему это возможно.

     Постановка проблемной ситуации не только преследует различные цели в каждом из конкретных случаев, но и в каждом из них осуществляется различными приемами, разработанными в трудах многих методистов. Наиболее простой из них – чёткая постановка проблемы учителем. Более интересным является способ создания ситуации с чётко обозначенной проблемой, но при поиске решения которой ученик должен прийти к новой, дополнительной проблеме, им самим выявленной и предусмотренной при конструировании ситуации.

     Так, на уроке геометрии в 11 классе, разрешая проблему «Как по данной прямой треугольной призме построить прямоугольный параллелепипед с объёмом в 2 раза большим, чем у данной призмы», учащиеся сами сформулировали и разрешили проблему нахождения объёма прямой треугольной призмы. Поиск вёлся всем классом, обобщение формулы для любой прямой призмы проводилось индивидуально. Тем самым теорема об объёме прямой призмы была как бы самостоятельно открыта учащимися в ходе разрешения совсем другой проблемы.

   5.  Выдвижение  гипотез  может происходить как в процессе проведения ис-пытаний или при систематизации фактического материала, так и в ходе выявления особенностей уже систематизированного фактического материала. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придаст высказываниям точность и лаконичность. Нецелесообразно изначально ограничивать число возможных гипотез.

   6.  Проверка гипотез позволяет укрепить  веру или усомниться в  истинности предположений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения ещё одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность её истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий её справедливости.

   7.   На  последнем  этапе  происходит  доказательство  истинности  гипотез,

получивших ранее подтверждение или уточнение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров.  На первых порах самостоятельный поиск необходимых доказательств для многих учеников представляет большую трудность. Поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки: это может быть схематическое изображение проблемной ситуации, чертёж с особыми пометками, подсказывающими идею доказательства, и т.п. Идея доказательства может зародиться в процессе выполнения испытаний, может возникнуть и при анализе систематизированного фактического материала, и на ней следует акцентировать внимание учащихся. В ряде случаев бывает проще установить равносильность двух или более гипотез и доказать одну из них, нежели искать доказательства для каждой гипотезы в отдельности.

    Полноценное выполнение исследовательского задания требует  тщательной подготовки соответствующего методического обеспечения. Исходя из основной цели опыта – формирование творческой личности учащегося, способности к саморазвитию, самосовершенствованию – в качестве приоритетного подхода в обучении и воспитании выступает поисково-исследовательский подход, неразрывно связанный с проблемным обучением. Очевидно, что проблемное обучение не ограничивается лишь  созданием проблемных ситуаций. Но поиск решения проблем,  практического применения полученных результатов превращает обучение в проблемное.

    Учитель не передаёт учащимся готовые знания, его вопросы являются лишь катализатором для их умственной деятельности. К концу урока они убеждены, что сами вывели формулу, доказали теорему и т.п., зная при этом, каким путём они шли к выводу, так как проблемное обучение требует от учителя необходимости ознакомления учащихся с аналогией, индукцией, дедукцией и т.д.

     Школьники получают знания как результат творческой работы, ими осмысливается процесс получения этих результатов, развиваются их творческие способности, убеждённость в умении самостоятельно решить проблему. В этом важная воспитательная роль проблемного обучения.

    Уже в 5 – 6 классах можно использовать элементы проблемного обучения с разными целями. Например, с целью введения учащихся в новую тему, с целью обнаружения нового свойства изучаемого математического объекта. Приведём пример, являющийся иллюстрацией постановки проблемной ситуации с целью установления новой важной связи между сложением и умножением чисел в 5 классе при изучении темы «Распределительный закон умножения относительно сложения». На данном уроке учащимся предлагается решить двумя способами следующие задачи:

Задача 1.  В школьном саду посажены фруктовые деревья в 10 рядов. В каждом ряду посажено по 5 груш и по 7 яблонь. Сколько всего деревьев посажено в саду?

Решение.

1 способ.                                                        2 способ.

(7 + 5) · 10 = 120                                           7 · 10 + 5 · 10 = 120

                              Ответ: 120 деревьев.

Задача 2.  Две автомашины одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов. Скорость первой автомашины 80 км в час, скорость второй 60 км в час. Через 3 часа автомашины встретились. Какое расстояние между пунктами, из которых выехали автомашины?

Решение.

1 способ.                                                        2 способ.

(80 + 60) · 3 = 420                                         80 · 3 + 60 · 3 = 420

                               Ответ: 420 км

Задача 3.  Найти площадь прямоугольного участка, состоящего из двух прямоугольных участков.

  1 способ.                        2 способ.

                                         (4 + 2) · 3 = 18               4 ·3 + 2 · 3 = 18

                                                              Ответ: 18 м 

После решения всех трёх задач учащимся предлагается самостоятельно сравнить:

а)  первые способы решения задач;

б)  вторые способы решения задач;

в)  выражения, полученные при решении задач 1-м (2-м) способом;

г)  выражения, полученные при решении задачи № 1 (№ 2,  № 3) и 1 и 2-мя способами;

д)  числовые значения выражений, полученные при решении задачи № 1 (№ 2,  № 3)  1-м и 2-м способами.

    В  результате такого сравнения учащиеся пришли к следующим выводам:

1-й способ решения всех задач одинаков, 2-й – тоже; выражения, полученные при решении задач 1-м (2-м) способом, отличаются друг от друга только числовыми данными; выражения, полученные при решении задачи №1 (№ 2, № 3) 1-м и 2-м способами, отличаются друг от друга числом арифметических действий и порядком действий; числовые значения выражений, полученные при решении задачи №1 (№ 2, № 3) 2-мя способами, одинаковы, а, значит, можно сделать такую запись:

(7 + 5) · 8 = 7 ·8 + 5 · 8.

(80 + 60) · 3 = 80 · 3 + 60 · 3.

(5 + 3) · 4 = 5·4 + 3 ·4.

Далее предлагается ученикам заменить одинаковые цифры в полученных выражениях одинаковыми буквами. В результате получены три одинаковых выражения, а именно: (а + в) · с = ас + вс.

Потом учитель говорит:

- Из трёх различных числовых выражений получились три одинаковых буквенных выражений. Встречались ли вы с таким явлением?

- Встречались, - отвечают ученики, - например, при записи переместительного закона умножения.

- И в этом случае, - продолжает учитель, - мы получили новый закон умножения: распределительный закон умножения относительно сложения.

Ученики с помощью учителя формулируют этот закон словесно и на примерах убеждаются в целесообразности усвоения и запоминания этого закона: он облегчает вычисления.

     В 5 – 6 классах идёт лишь подготовка применения исследовательского метода в более  старших классах. В 9 классе, например, при изучении темы «Площадь круга» объяснение нового материала целесообразно начать с того, что постепенно ввести учащихся в проблемную ситуацию.  Учащимся предлагается описать около окружности радиусаr  квадрат, отметить точки касания этого квадрата с окружностью, через эти точки провести перпендикулярные диаметры,  в результате  получается фигура – тоже квадрат. Требуется найти, у какой из этих 3-х фигур (2-х квадратов и круга) площадь наибольшая, у какой – наименьшая.  Учащиеся быстро отвечают, что площадь круга меньше площади описанного квадрата, но больше площади вписанного квадрата, то есть 2 r2 < s кр.   < 4 r2 .      Обозначив площадь круга через k · r2, легко получить, что 2 r2 2 < 4 r2, в результате    чего устанавливается, что проблема вычисления площади круга сводится к вычислению коэффициента k.

Из равенства    Sкр.  = k · r2     находим   k = Sкр. : r2 , то есть для любого круга значение коэффициента      равно отношению площади круга к квадрату его ра- диуса. Как же найти это важное число  k?

     Решение поставленной проблемы проходит в виде практической работы, к выполнению которой учащиеся должны принести на урок любые модели кругов и листы миллиметровой бумаги. Учащиеся получают задание: «Сделать на бумаге круг, используя собственную модель, вычислить площадь круга (S) по клеткам миллиметровой бумаги, измерить длину радиуса (r), вычислить  r2  и найти отношение   S:r2 ». Задание ученики выполняют по парам, помогая и контролируя  друг друга. Полученные данные заносятся в соответствующую таблицу. На доске составляется общая таблица, куда заносятся полученные результаты от каждой пары. После этого учащимся предлагается вычислить среднее арифметическое значений коэффициента  k, полученных отдельно в первом ряду, отдельно во втором, отдельно в третьем ряду парт. Эти значения также заносятся в таблицу. Затем учащиеся вычисляют среднее арифметическое значений коэффициента k, полученных всеми тремя рядами. В результате учащиеся получают значение k 3,14, то есть  . Данный фрагмент урока показывает, что новый материал излагается через решение практической задачи, что способствует осознанному усвоению сложной темы.  

Способы создания проблемных ситуаций на уроках математики:

Первый способ: Использование учебных и жизненных ситуаций, возникающих при выполнении учащимися практических заданий. Проблемные ситуации в этом случае возникают при попытке учащихся самостоятельно достигнуть поставленной цели. Обычно ученики в итоге анализа ситуации сами формулируют проблему.

Пример 1. На уроке геометрии по теме «Длина ломаной» ученикам предложена практическая работа в двух вариантах: начертить ломаную (В-I из двух звеньев, В-II из трех звеньев) путем измерения сравнить длину ломаной с расстоянием между ее концами. Результаты у всех, естественно разные. Учитель выписывает их в две колонки на доске.

Длина ломаной                                        Расстояние между концами

15 см.                                                                       13 см.

08 см.                                                                       6,5 см.

11,3 см.                                                                    10 см.

Ученикам предлагается внимательно рассмотреть числа и сделать предположение и зависимости между длиной ломаной и расстоянием между ее концами. После высказывания предположений ищут пути решения проблемы и переходят к доказательству в общем виде.

Пример 2. 11 класс алгебра тема «Логарифмирование». До сообщения темы дается самостоятельная работа практического характера. С помощью графика функции y=lg x найти значения lg 1,5; lg 4 и lg 6. Сравнить значение выражений lg 1,5 + lg 4 и lg (1,5*4). После проверки результатов (на доске заранее выписаны выражения из различных вариантов) учащиеся выдвигают гипотезу lg a+lg b= lg (ab), a>0, b>0.

        Второй способ: побуждение учащихся к теоретическому объяснению явлений, фактов, внешнего несоответствия между ними. Это вызывает поисковую деятельность учеников и приводит к активному усвоению новых знаний.

Пример 1. 7 класс геометрия тема: «Сумма внутренних углов треугольника». Перед изучением теоремы ученикам предлагается построить треугольник по трем заданным углам. Учащиеся знают, что это возможно и умеют выполнять такие задания. В предлагаемом задании: 1) ∟А=90°, ∟B=60°, ∟С=45°. 2) ∟А=70°, ∟B=30°,∟С=50°. Как бы точно ученик не откладывал требуемые величины заданных углов, он не может построить треугольник. Перед ним возникает проблема: «Почему в предлагаемых заданных нельзя построить треугольник, несмотря на то, что известны величины трех углов?» У ученика возникает потребность в познании изучаемого закона. В результате поставленного задания усваивание учеником знания предстает перед ним, как требуемое неизвестное знание. Теперь изучение указанной теоремы индуктивным или дедуктивным путем будет составлять для ученика открытие нового.

        Пример 2. 11 класс алгебра и начала анализа тема «Иррациональные уравнения». Дается задание: проверьте может ли число 5 быть корнем иррационального уравнения √х-6=√4-х ? (нет, при х=5 уравнение не имеет смысла). А если бы нам нужно было решить это уравнение, то какой способ решения вы смогли бы предложить? (возведение обеих частей в квадрат).

х-6 = 4-х <=> 2х = 10 <=> х = 5.

        Итак, единственный способ решения приводит к корню, который является посторонним. Возникает внешнее несоответствие между фактами приводит к проблемной ситуации.

        Пример 3. Тема «Перпендикулярность плоскостей».

        Учитель начинает урок не с объявления его темы, а с беседы о реальной ситуации, в которой невозможно верно решить вопрос и привлечения математики. Учитель напоминает о кладке стен, которую школьники наблюдали не раз. Вертикальность стен является правилом строителей. Правда, имеется несколько зданий, построенных с нарушением этого условия (наклонные башни в Ницце, шаровой дом в Дрездене), но известно что, с какими трудностями было связано их возведение и какие меры приходится принимать, чтобы эти сооружения не рухнули. Как же осуществляют строители контроль за вертикальностью стен? Выясняется, что для этого используют отвес. Естественно возникает вопрос: правильно ли поступают строители, является ли такая проверка достаточной? Проблема сформулирована, но пока класс ответить на поставленный вопрос не может. Несколько позже, рассмотрев одно из свойств перпендикулярных плоскостей, учащиеся смогут это сделать и только теперь объявляется тема урока. После доказательства теорем о перпендикулярных плоскостях учащиеся возвращаются к выдвинутой проблеме.

        Третий способ: побуждение учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, явлений, правил, действий, в результате которых возникает проблемная ситуация.

Пример 1. 10 класс тема «Возрастание и убывание функций». До объявления темы урока предложить учащимся решение двух уравнений:

х3 = 27                                                                     х2 = 9

х3 =33                                                                       х2 = 32

х = 3                                                                        х = 3

        Уравнения решены одним и тем же способом и относятся к одному классу. Верно ли решены уравнении? (Второе уравнение решено неверно, кроме корня 3 имеет еще корень х = -3). У учащихся возникает вопрос почему? Решая эти уравнения мы выяснили при каких значениях аргумента х функция х3 принимает значение 27, а функция х2 – значение 9? Результаты получились различные. В чем же дело? Очевидно дело в функциях х3 и х2. Вероятно, что между функциями и х2, которые относятся к одному классу функций существует весьма существенное различие? Для его отыскания ученикам предлагается начертить схематически графики функций и выяснить сколько раз функция х3 может принимать значение равное 27, а х2 – значение 9? После этого ученики легко видят, что каждое свое значение х3 принимает только один раз, что нельзя сказать о функции х2. Вспоминают как называются такие функции. Затем сообщается тема урока и идет работа над определениями возрастающей и убывающей функций.                                                                                                                                                                          

Пример 2. тема «Два перпендикуляра к плоскости». До сообщения темы урока учащиеся повторяют признаки параллельности прямых на плоскости, делают схематические рисунки. Затем с помощью моделей убеждаются, что второй признак параллельности прямых на плоскости в пространстве оказывается ложным высказыванием, то есть зависимости между параллельностью и перпендикулярностью прямых, которая существует на плоскости, в пространстве не существует.

        Тогда возникает вопрос: «Какова же зависимость между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве?»

        С помощью моделей учащиеся выдвигают соответствующие гипотезы.

Пример 3. 10 класс тема: «Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности плоскостей».

        После рассмотрения взаимного расположения двух плоскостей и введение учащимся определения параллельных плоскостей по аналогии с определением параллельных прямых им предлагается выполнить упражнение: «Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если а) прямая лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости? Б) две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельно двум прямым другой плоскости?» Возникает вопрос при каком же условии две плоскости параллельны? Учащиеся сами формулируют проблему и после сопоставления фактов выдвигают гипотезу об условии параллельности плоскостей.

Четвертый способ: решение нешаблонных задач. Прежде всего следует отметить, что нередко смешивают нешаблонные задачи с трудными. Эти понятия не адекватны. Задача оказывается трудной, если учащиеся недостаточно подготовлены к ее решению (не знают некоторых формул, теорем, не знакомы с некоторыми приемами работы, для решения нужно использовать весьма удаленные факты). Проблемную ситуацию создают не трудные, а нешаблонные задачи. В уже рассмотренных, хотя в нем на первый взгляд ничего необычного нет. Примерами их могут быть, в частности, задачи логического содержания. Весьма эффективно использование связок задач. В каждой связке по 3-5 задач, первые достаточно просты, но работа над ними готовит к решению последней, которая содержит проблему.

Пример 1. Доказать, что треугольник можно разрезать на три трапеции

                                             B

                                              K

               A                                                         C

Можно ли разрезать прямоугольный треугольник на трапеции, среди которых нет прямоугольных? (сначала разрезать прямоугольный треугольник на два косоугольных)

Можно ли разрезать квадрат на трапеции, среди которых нет ни одной прямоугольной? (свести к предыдущей).

Какое наименьшее число трапеций может получиться при решении предыдущей задачи? (R = 8)

    Проблемы, которые учитель может ставить перед учениками, обычно разрешаются на протяжении одного или нескольких уроков.

        Проблемная ситуация может быть создана не только при рассмотрении теоретического вопроса, но и при решении задач или какого-то практического упражнения.

        Пример 2.

        «В равностороннем треугольнике проведена высота. Какие свойства имеют образовавшиеся треугольники?»

        Ученики устанавливают, что эти треугольники прямоугольные, равные, острые углы в них составляют 60° и 30°, и, наконец катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Учитель ставит вопрос: «Имеется ли какая-нибудь зависимость между значениями углов и длинами двух сторон треугольника?» Чертеж покажет, что если одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, то необязательно, чтобы его углы составляли 30°, 60°, 90°. Зато если дан треугольник с углами в  30°, 60° и 90°, то катет, лежащий против угла в 30°, скорее всего, равен половине гипотенузы. Так приходим к свойству прямоугольного треугольника с углом в 30°.

        Проблемные ситуации возникают также в случае необходимости проверить заключение, сделанное на основе интуиции, на основе аналогии или попытки обобщения.

        Примеры учебных проблем:

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Равна ли 180° сумма внутренних углов четырехугольника? Пятиугольника? Средняя линия треугольника параллельна основанию. Имеет ли такое же свойство средняя линия ромба? Параллелограмма? Четырехугольника?

        В треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке. Можно ли то же самое сказать  о биссектрисах углов четырехугольника? Можно ли применить формулу площади трапеции к вычислению площади параллелограмма? Прямоугольника? Ромба? Квадрата?

        Пример 3.

        Можно использовать домашние задания, которые позволяют выдвинуть на следующем уроке учебные проблемы, поставившие школьника дома в тупик. К примеру, перед изучением темы об одном замечательном свойстве окружности, ученики получают такое практическое задание на дом: «Дана прямая l и две точки А и В вне ее. С помощью угольника найти на прямой l такую точку С, чтобы угол АСВ был прямым». Предупреждаю о возможности нескольких решений и требую рассмотреть различные положения точек А,В и прямой l. Дома учащиеся, взяв в помощь угольник, сопоставят его стороны с точками А и В, а затем начнут вертеть угольник, пытаясь найти нужную точку на прямой. В зависимости от расположения точек А,В и прямой l, они ее либо найдут (возможны два решения) либо – нет.

        При проверке домашнего задания (перед изучением новой темы), задаю вопрос классу: «Нельзя ли решить эту задачу с помощью циркуля и линейки?» Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. И некоторым из них придет в голову мысль, что, сами того не зная, они пользовались свойством циркуля. А будут и такие, кто уже дома догадается использовать циркуль в работе. Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, при этом новый материал может рассказать учитель, а лучше провести урок в форме беседы (с помощью системы вопросов и ответов). В конце урока дается возможность уже четко ответить на поставленный ранее вопрос.

        Пример 5.

        Проблемная ситуация возникнет, если предложить ученикам выполнить какое-то действие, на первый взгляд не вызывающее затруднения. Так, перед изучением темы о сумме внутренних углов треугольника можно предложить такую задачу: Построить треугольник по трем заданным углам:

∟А=90°, ∟B=60°, ∟С=45°;

∟А=70°, ∟B=30°, ∟С=50°;

∟А=50°, ∟B=60°, ∟С=70°.

Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают

строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45° от луча АС (или ВС, кому как нравится), ребята увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие два первые угла школьники выбирают для построения, всегда получается треугольник по трем заданным углам. По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме внутренних углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по анальгии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольного треугольника, больше, чем остроугольного.

        Я предлагаю им на практике проверить свое утверждение.

Пример 4.

Когда учитель побуждает учащихся к сравнению, к сопоставлению и противопоставлению фактов, возникает познавательное затруднение. Так, перед изучением темы о формуле корней квадратного уравнения учитель может обратить внимание на примеры, решенные на предыдущем уроке и дома способом выделения квадрата двучлена, и предложить для сравнения решить следующие уравнения: х2 + 8х – 10 = 0

Ребята приступают к работе и выполняют задание так:

х2 + 2 · 4х + 16 – 16 – 10 = 0

(х + 4)2 – 26 = 0

        Примеры типа ( х+а )2 ± b = 0, где b не является квадратом целого числа, учащиеся еще не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам способ решения квадратных уравнений выделения квадрата двучлена универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объявляет новую тему урока, а ученики психологически готовы ее воспринять

        Пример 5. «Нахождение дроби от числа».

Решим задачу: «Огород занимает 6 га земляного участка. На 2/3 огорода посажен картофель. Какую часть всего земляного участка занимает картофель?» Можем ли мы решить задачу? Как?

6/3*2 = 4 (га)

Охарактеризуйте задачу. Отойдем от огорода и картофеля, перейдем к величинам. Что нам известно? [целое]. Что нужно найти? [часть]

Возьмем ту же задачу, но изменим значения одной величины: «Огород занимает 4/5 земельного участка. На 2/3 огорода посажен картофель. Какую часть всего земельного участка занимает картофель?» Изменился ли математический смысл задачи? [нет]. Значит, опять известно целое, а ищем часть. Влияет ли замена 6 на 4/5 на решение? Можно ли решить?  [нет].

Что за ситуацию мы получили?

[Обе задачи на нахождение части от числа. Но одну мы можем решить зная определенные дроби, понятие числителя и знаменателя, а вторую не можем]. Проблема: не знаем общего правила нахождения дроби от числа. Нужно вывести это правило.

Пример 9. Свойства уравнений.

Уравнения на доске записаны вперемешку и без номеров.

х+20=8                                    5х=2х+6

5-х=11                                     3х+8=5х-2

-1/4х=-3

4х/10=-2

-8/х=5

1) Вопрос учащимся: на какие две группы можно разбить эти семь уравнений? Что это за группы? Чем они отличаются? Ученики разбивают на 1-5, 6-7. (В I группе неизвестное х только в левой части, их мы можем решить, а во II – в обеих частях стоит х, не можем решить).

2)  Какие правила нужно знать, чтобы решить уравнения I  группы?

- найти неизвестное слагаемой;

- неизвестный множитель;

- неизвестный делитель;

- неизвестное вычитаемое;

- неизвестное делимое.

5 уравнений – 5 правил.

        А почему не можем решить уравнения II группы?

3) Работая в 4-ках методом «мозгового штурма» обсудить проблемы, которые можно поставить для каждой группы уравнений.

4) Выводы учащихся: Для I группы – для каждого вида уравнений свое правило – их много. Попытаться уменьшить количество правил. Для II группы – сделать уравнения похожими на уравнения I группы, то есть чтобы неизвестное было только в левой части.

        Итог: уменьшить количество правил и научиться переносить слагаемые из одной части в другую. Для этого нужно изучить части уравнений.

Пример6. При изучении систем счисления можно предложить такое задание.

Известно, что если два натуральных числа имеют разное количество разрядов, 

то    больше то число, у которого разрядов больше. Однако неравенство 101< 15 

может быть верным. Как такое может быть?  

Пример 7.  Тема «Деление и дроби».

Чтобы найти корень уравнения вида a·х = b, нужно b разделить на а.  Если b не делится на а нацело, то уравнение не имеет натуральных корней.

Как объяснить тот факт, что уравнение 5х=1 имеет корень?  

Пример 8.  Тема «Проценты». 

В конкурсе участвовали два класса. Из 5 «а» класса – 50% учащихся, а из 5 «б» - 40%. При подсчете оказалось, что количество участников из каждого класса одинаково. Почему?

Пример9. Тема «Свойства деления»

Коле дали задание найти значение выражения

(37 + 34·5) : (45·3 – 135) .

Он  сказал, что найти значение этого выражения нельзя. Прав ли он?

Пример 10. Тема «Объем прямоугольного параллелепипеда».

1.Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?  

Проблема: несоответствие  единиц измерения.

Учащиеся ищут пути решения задачи, используя повествование учителя о единицах измерения объемов.

2. Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в тетради.

3.Все грани куба покрасили красной краской и распилили его на n3  маленьких одинаковых кубиков. Выведите формулу для нахождения количества кубиков, не имеющих ни одной окрашенной грани.

Для решения учащиеся используют окрашенную модель куба и по ней устанавливают связь между объемом и количеством маленьких кубиков

Пример 11. В легенде рассказывается, что, когда один из помощников Магомета – мудрец  Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:

- Какое число делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

Мудрец ответил:

- Умножь число дней в неделе на число дней в месяце (считая, что в месяце 30 дней) и на число месяцев в году.

Прав ли Хозрат Али? Почему?

Познавательные задачи

Огромное значение для активизации познавательной деятельности имеют познавательные задачи. Если ученик воспринимает задачу как проблему и самостоятельно ее решает, то это есть главнейшее условие развития его мыслительных способностей.

Типология задач.

1. Задачи с несформулированным вопросом.

Пример. Шоколад стоит 15 руб., коробка конфет 30 руб. Задайте все возможные вопросы по условию данной задачи.

2. Задачи с недостающими данными.

Пример.  Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода равна 7 км/ч, а скорость другого – на 1 км/ч больше. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?

Учащимся задаются вопросы:

Почему нельзя дать ответ на вопрос задачи?

Чего не хватает?

Что нужно добавить?

Докажи, что теперь задачу точно можно будет решить?

А можно ли что-нибудь извлечь даже из имеющихся данных?

Какое заключение можно сделать из анализа того, что дано?

3.  Задачи с излишними данными.

Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. В магазин привезли 22 ящика яблок и 6 ящиков груш. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш.

4. Задачи с несколькими решениями.

Пример. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день – 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу несколькими способами. Какой из них наиболее простой.

5.  Задачи с меняющимся содержанием.

Пример.  Исходная задача. Туристы прошли за день 20 км, что составило 40% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

Второй вариант. Туристы прошли за день 20 км, и им осталось пройти 60% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

6.  Задачи на доказательство.

Пример.  Докажите, что число + 1 делится на 2.

7. Задачи на соображение, логическое рассуждение.

Создание проблемных ситуаций

Задание.  Как вы полагаете, верно ли выполнено сравнение?  24, 325 < 24, 4

(Дети как правило отвечают, что неверно).

Сравнение выполнено верно. Как же могло получиться, что число, состоящее из большего числа разрядов, меньше числа, состоящего из меньшего числа разрядов?

Заключение. Использование технологии проблемного обучения требует от меня значительных затрат времени при подготовке уроков, т. к. сформулировать проблемный вопрос достаточно сложно, важно продумывать каждое задание и каждое слово, чтобы они вызвали затруднение у учащихся и в то же время не отбили желания это затруднение преодолеть. Достаточно много времени тратится и на уроке на разрешение той или иной проблемы, но это время более ценно по сравнению с тем, которое тратилось бы на подачу готовых знаний.

        Ознакомившись с большинством современных публикаций по теории обучения, что на данном этапе развития человечества проблемное обучение просто необходимо, так как проблемное обучение формирует гармонически развитую творческую личность, способную логически мыслить, находить решения в различных проблемных ситуациях, способную систематизировать и накапливать знания, способную к высокому самоанализу, саморазвитию и самокоррекции.

        Но для того, чтобы приучить учащегося мыслить самостоятельно на уроках математики, чтобы привить ему твердую привычку надеяться на собственные силы и возбудить уверенность в их неограниченных возможностях, необходимо привести его через преодоление определенных трудностей, а не подавать все в готовом виде. В классах, где учащиеся самостоятельно добывают знания, где учитель постоянно заботится об этом, поставляя «пищу для ума», качество знаний выше, чем в других классах. Это может осуществиться только в том случае, если применять на каждом уроке элементы проблемного обучения.

Если учащийся не приучается к самостоятельному преодолению трудностей, к постоянному поиску выхода из затруднений, он будет всю жизнь нести груз этой привычки.

        Постоянная постановка перед ребенком проблемных ситуаций приводит к тому, что он не «пасует» перед проблемами, а стремится их разрешить, тем самым мы имеем дело с творческой деятельностью личности всегда способной к поиску.

Литература и ссылка на электронные ресурсы:

1. Селевко Г. К. Современные образовательные технологии: Учеб. пособие – М.: Народное образование, 1998 г.
2. Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. Кн. для учителя.- М.: Просвещение, 1977.
3. Бакланский О.Е. Проблемное обучение: обоснование и реализация // Наука и школа. – 2000. - № 1
4. Карелина Т.М. О проблемных ситуациях на уроках геометрии // Математика в школе. – 2000. - № 5
5. Карелина Т.М. Методы проблемного обучения // Математика в школе. – 2000. - № 5
6. Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе. Методическое пособие по спецкурсу. – Л., 1973.
7. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М., 1972.
8.  Махмутов М.И. Проблемное обучение (основные вопросы теории).- М.,1975                                                                                  
9.  Оконь В. Основы проблемного обучения. – М., 1968.
10.  Потаншик М.М., Левит М.В. Как подготовить и провести открытый урок. – М., 2004.

МБОУ «Дырестуйская СОШ»

МО учителей «МИФ»

Внеклассная работа по математике в школе

Галсанова Л.Г. учитель математики

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………….3

1. Цели проведения внеклассной работы по математике...………………………………….. 4

1.1. Общая характеристика внеклассной работы по математике……………… …………….4

1.2. Классификация внеклассной работы………………………………………… …………...5

2. Роль внеклассной работы по математике………………………………………………........6

2.1. Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения ……………...6

2.2. Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, отстающих от других в изучении программного материала………………………………………………………………………...7

2.3. Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности……………………………………………..8

3. Виды внеклассной работы по математике…………………………………………………..9

3.1. Кружковые занятия по математике и методика её проведения………………………….9

3.2. Факультативные занятия по математике и методика их проведения…… …………….10

3.3. Характеристика кружковых и факультативных занятий по истории математики…… 12

3.4.  Предметные недели ………………………………………………………………….....15

Список использованной литературы…………………………………………… ……………17

ВВЕДЕНИЕ

Внеклассная работа по математике формирует и развивает способности и личность ребёнка. Управлять этим процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, но формировать у него потребность в постоянном саморазвитии и самореализации, так как каждый человек воспитывает себя, прежде всего, сам.

Цели обучения математике обусловлены структурой личности, общими целями образования, концепцией предмета математики, её статусом и ролью в науке, культуре и жизнедеятельности общества, ценностями математического образования, новыми образовательными идеями, среди которых важное место занимает развивающее обучение.

Под внеклассной работой понимается не обязательные, систематические занятия с учащимися во внеурочное время. Математические школы, факультативные занятия, математические праздники и кружки призваны углублять математические знания школьников, уже определивших основной круг своих учебных интересов. Учитывая, что потребность в специалистах-математиках сейчас очень велика, необходимо формировать соответствующий интерес еще в школе.

На уроках математики имеется немало возможностей заинтересовать школьников содержанием этой науки. Вместе с тем основная цель занятий всё же состоит в обучении определённому комплексу процедур математического характера, занимательность изложения подчинена этой цели, развитие способностей учащихся происходит в рамках изучения обязательного материала.

Нередко участие во внеклассной работе по математике может явиться первым этапом углубленного изучения математики и привести к выбору факультатива по математики, к поступлению в математическую школу, к самостоятельному изучению заинтересовавшего материала и т.п.

1.  ЦЕЛИ ПРОВЕДЕНИЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

1.1. Общая характеристика внеклассной работы по математике

Одной из важнейших целей проведения внеклассной работы по математике является развитие интереса учащихся к математике, привлечение учащихся к занятиям в факультативах. У учащихся имеется большое желание проверить свои силы, математические способности, умение решать нестандартные задачи. Их привлекает возможность добровольного участия.

Проведение внеклассной работы по математике является прекрасным средством повышения квалификации учителей. Одной из целей является расширение изучаемого материала курса математики, иногда такое расширение выходит за рамки обязательной программы. Рассмотрение на дополнительных занятиях таких вопросов неизбежно приводит учителя к необходимости основательного знакомства с этим материалом и с методикой его изложения учащимся.

Так же это помогает выявить учащихся, имеющих интерес и склонности к занятиям математикой, что весьма важно для решения вопроса о подготовке большого числа новых математических и научно-методических кадров. Современная школа должна управлять воспитательным процессом, а не плестись в хвосте. Управлять воспитательным процессом - значит не только развивать и совершенствовать заложенное в человеке природой, корректировать намечающиеся нежелательные социальные отклонения в его поведении и сознании, но информировать у него потребность в постоянном саморазвитии, самореализации физических и духовных сил.

Основные цели проведения внеклассной работе по математике следующие:

1. Определить степень заинтересованности учеников и учителей во внеклассной работе по математике.

2. Определить степень совпадения интересов педагога и учеников.

3. Определить место внеклассной работы по математике средних и старших классов в школьной жизни.

4. Определить направленность этой внеклассной работы.

1.2. Классификация внеклассной работы

Существуют различные виды классификации внеклассной работы по математике, они весьма подробно освещены в многочисленной педагогической и методической литературе. Ю.М.Колягин различает два вида внеклассной работы по математике.

1. Работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала, т.е. дополнительные занятия по математике.

2. Работа с учащимися проявляющими интерес к математике.

Но можно выделить ещё и третий вид работы.

3. Работа с учащимися по развитию интереса в изучении математики.

Основной целью первого вида внеклассной работы является ликвидация пробелов и предупреждение неуспеваемости. Бытует мнение, что если такая дополнительная работа ведётся. То это говорит, что недостаточно организована работа на уроке. В любом случае эта работа должна носить ярко выраженный индивидуальный характер и требует от учителя особого такта и характера.

Цели второго вида внеклассной работы по математике могут быть очень разнообразны и зависят от того, что интересно и что хотят узнать нового о математике ученики так, например:

1. Развитие и углубление знаний по программному материалу.

2. Привитие им навыков исследовательской работы.

3. Воспитание культуры математического мышления.

4. Развитие представлений о практическом применении математики и т. п.

Третий вид внеклассной работы может носить подобные цели, но главный упор делается на развитие интересов математики в соответствии с возможностями этой группы учащихся.

Существуют следующие формы внеклассной работы:

1. Математический кружок.

2. Факультатив.

3. Олимпиады конкурсы, викторины.

4. Математические олимпиады.

5. Математические дискуссии.

6. Неделя математики.

7. Школьная и классная математическая печать.

8. Изготовление математических моделей.

9. Математические экскурсии.

Указанные формы часто пересекаются и поэтому трудно провести между ними резкие границы. Более того, элементы многих форм могут быть использованы при организации работы по какой либо одной из них. Например, при проведении математического вечера можно использовать соревнования, конкурсы, доклады и т. д.

2. РОЛЬ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

2.1. Внеклассная работа учащихся по математике и методика её проведения

Требования, предъявляемые программой по математике, школьными учебниками и сложившейся методикой обучения, рассчитаны на так называемого "среднего" ученика. Однако уже с первых классов начинается резкое расслоение коллектива учащихся: на тех, кто легко и с интересом усваивают программный материал по математике, на тех, кто добивается при изучении математики лишь удовлетворительных результатов, и тех, кому успешное изучение математики дается с большим трудом.

Все это приводит к необходимости индивидуализации обучения математике, одной из форм которой является внеклассная работа.

Под внеклассной работой по математике понимаются необязательные систематические занятия учащихся с преподавателем во внеурочное время.

Следует различать два вида внеклассной работы по математике: работа с учащимися, отстающими от других в изучении программного материала (дополнительные внеклассные занятия); работа с учащимися, проявляющими к изучению математики повышенный, по сравнению с другими, интерес и способности (собственно внеклассная работа в традиционном понимании смысла этого термина).

Говоря о первом направлении внеклассной работы, следует отметить, что этот вид внеклассной работы с учащимися по математике в настоящее время имеет место в каждой школе. Вместе с тем повышение эффективности обучения математике с необходимостью должно привести к снижению значения дополнительной учебной работы с отстающими учениками. В идеальном случае первый вид внеклассной работы должен иметь ярко выраженный индивидуальный характер и проявляться лишь в исключительных случаях (например, в случае продолжительной болезни учащегося, перехода из школы другого типа т. п.). Однако в настоящее время эта работа требует еще значительного внимания со стороны учителя математики.

2.2. Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, отстающих от других в изучении программного материала

Основной целью ее является своевременная ликвидация (и предупреждение) имеющихся у учащихся пробелов в знаниях и умениях по курсу математики.

Передовой опыт работы учителей математики свидетельствует об эффективности следующих положений, связанных с организацией и проведением внеклассной работы с отстающими.

1. Дополнительные (внеклассные) занятия по математике целесообразно проводить с небольшими группами отстающих (по 3-4 человека в каждой); эти группы учащихся должны быть достаточно однородны как с точки зрения имеющихся у школьников пробелов в знаниях, так и с точки зрения способностей к обучению.

2. Следует максимально индивидуализировать эти занятия (например, предлагая каждому из таких учащихся заранее подготовленное индивидуальное задание и оказывая в процессе его выполнения конкретную помощь каждому).

3. Занятия с отстающими учениками в школе целесообразно проводить не чаще одного раза в неделю, сочетая эту форму занятий с домашней работой учащихся по индивидуальному плану.

4. После повторного изучения того или иного раздела математики на дополнительных занятиях необходимо провести итоговый контроль с выставлением оценки по теме.

5. Дополнительные занятия по математике, как правило, должны иметь обучающий характер; при проведении занятий полезно использовать соответствующие варианты самостоятельных или контрольных работ из "Дидактических материалов", а также учебные пособия (и задания) программированного типа.

6. Учителю математики необходимо постоянно анализировать причины отставания отдельных учащихся при изучении ими математики, изучать типичные ошибки, допускаемые учащимися при изучении той или иной темы. Это делает дополнительные занятия по математике более эффективными.

2.3. Роль внеклассной работы в подготовке учащихся, проявляющих к изучению математики повышенный интерес и способности

Второе из указанных выше направлений внеклассной работы по математике - занятия с учащимися, проявляющими к ее изучению повышенный интерес, отвечает следующим основным целям:

1. Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.

2. Расширение и углубление знаний учащихся по программному материалу.

3. Оптимальное развитие математических способностей у учащихся и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.

4. Воспитание высокой культуры математического мышления.

5. Развитие у детей умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.

6. Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики в технике и практике социалистического строительства.

7. Расширение и углубление представлений учащихся о культурно-исторической ценности математики.

8. Воспитание учащихся чувства коллективизма и умения сочетать индивидуальную работу с коллективной.

9. Установление более тесных деловых контактов между учителем математики и учащимися и на этой основе более глубокое изучение познавательных интересов и запросов школьников.

10. Создание актива, способного оказать учителю математики помощь в организации эффективного обучения математике всего коллектива данного класса (помощь в изготовлении наглядных пособий, занятиях с отстающими учениками, в пропаганде математических знаний среди других учащихся).

Предполагается, что реализация этих целей частично осуществляется на уроках. Однако в процессе классных занятий, ограниченных рамками учебного времени и программы, это не удается сделать с достаточной полнотой. Поэтому окончательная и полная реализация этих целей переносится на внеклассные занятия по математике этого вида.

3. ВИДЫ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

3.1. Кружковые занятия по математике и методика её проведения.

Основным видом внеклассной работы по математике в школе являются факультативные занятия по математике. Вызывая интерес учащихся к предмету, факультативы способствуют развитию математического кругозора, творческих способностей учащихся. Их дополняют разовые мероприятия, проводимые как в школе (математические вечера, викторины, олимпиады, КВН, соревнования команд и др.), так и вне школы (математические конкурсы, занятия в физико-математических школах, конкурсы по решению задач и др.).

Математический кружок - одна из наиболее действенных и эффективных форм внеклассных занятий. В основе кружковой работы лежит принцип строгой добровольности. Обычно кружковые занятия организуются для хорошо успевающих учащихся. Однако следует иметь в виду, что иногда и слабо успевающие учащиеся изъявляют желание участвовать в работе математического кружка и нередко весьма успешно занимаются там; учителю математики не следует этому препятствовать. Необходимо лишь более внимательно отнестись к таким учащимся, постараться укрепить имеющиеся у них ростки интереса к математике, проследить за тем, чтобы работа в математическом кружке оказалась для них посильной. Конечно, наличие слабо успевающих учащихся среди членов математического кружка затрудняет работу учителя, однако путем индивидуализации заданий, предлагаемых учителем кружковцам, можно в некоторой степени ослабить эти трудности. Главное - сохранить массовый характер кружковых занятий по математике, являющийся следствием доступности посещения кружковых занятий всеми желающими.

Уже при организации математического кружка необходимо заинтересовать учащихся, показать им, что работа в кружке не является дублированием классных занятии, четко сформулировать цели и раскрыть характер предстоящей работы (для этого целесообразно выделить часть времени на одном из уроков математики с тем, чтобы обратиться с сообщением об организации кружка ко всему классу).

На первом занятии кружка надо наметить основное содержание работы, выбрать старосту кружка, договориться с учащимися о правах и обязанностях члена кружка, составить план работы и распределить поручения за те или иные мероприятия (выпуск математической стенной газеты, ведение документации работы кружка и т. п.).

Занятия кружка целесообразно проводить один раз в неделю, выделяя на каждое занятие по одному часу. К организации работы математического кружка целесообразно привлекать самих учащихся (поручать им подготовку небольших сообщений по изучаемой теме, подбор задач и упражнений по конкретной теме, подготовку справок исторического характера, изготовление моделей и рисунков к данному занятию и т. д.). На занятиях математического кружка учитель должен создать "атмосферу" свободного обмена мнениями и активной дискуссии. Тематика кружковых занятий по математике в современной школе весьма разнообразна. В тематике кружковых занятий для 5-11 классов находят место вопросы, связанные с историей математики, жизнью и деятельностью российских и зарубежных известных математиков.

3.2.  Факультативные занятия по математике и методика их проведения

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества.

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы).

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью (что особенно характерно для некоторых сельских школ), то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (8-9 классы, 10-11 классы и т. п.).

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и т. д.). По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате. Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой.

Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения.

По существу факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

В какой бы форме и какими бы методами не проводились факультативные занятия по математике, они должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету.

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна 'занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары-дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Эта форма проведения факультативных занятий может способствовать успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

Естественно также при проведении факультативных занятий в основном использовать методы изучения (а не обучения) математики, а также проблемную форму обучения.

В частности, ее можно осуществить, если представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач.  Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Теоремы имеют вид задач. Если теорема, которую учащиеся должны доказать, является большой или трудной, то она разбивается на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. Определения либо включаются преподавателем в текст задачи, либо сообщаются особо. В необходимых случаях преподаватель проводит предварительную беседу или делает обобщения. Листочки с заданиями, размноженные на машинке, на каждое занятие выдаются всем ученикам. Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям:

а) изучение курсов по программе "Дополнительные главы и вопросы курса математики". Содержание программы "Дополнительные главы и вопросы" систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе.

  б) изучение специальных математических курсов.

.

3.3. Характеристика кружковых и факультативных занятий по истории математики

В объяснительной записке к программе по математике подчеркивается: «Развитие интереса к математике является важнейшей целью учителя».

Особенно возрастает интерес к математике, когда формы и методы обучения разнообразны и учитель задумывается над ролью данной темы в развитии способностей ученика. Большую помощь в обучении и воспитании учащихся оказывает систематическое использование материала по истории математики. Факты из истории математики оживляют преподавание и повышают интерес учащихся к математике, точным наукам и технике; расширяют кругозор учащихся; помогают им лучше уяснить связь между различными разделами математики и тем самым способствуют лучшему уяснению школьного курса математики; способствуют развитию у учащихся трудолюбия (подготовка и оформление докладов, математические вечера, стенгазеты и т.д.)

Я считаю, что с этой целью учащимся 5 -7 классов можно предложить кружок по истории математики, а учащимся 8 -11 классов – факультатив по истории математики. В 5- 7 классах учителю следует совершенствовать методику проведения уроков и кружковых занятий с целью пропедевтики факультативных занятий.

Всем известно, что наряду с хорошо подготовленными по математике учащимися имеется немалая доля тех, кто не хочет работать систематически, плохо успевает. Для таких ребят обучение затруднительно. А в  V классе обучение затрудняется еще и тем, что каждому ребенку необходимо приспособиться к новым учителям, новым предметам и новым уровням требований. Особенно много трудностей возникает у учащихся на уроках математики. В этом многое зависит от того, как поставит работу учитель, насколько удастся ему сделать безболезненным адаптационный период, насколько он увлечет обучающихся своим предметом. Одних уроков для этого недостаточно. Здесь приходит на помощь систематическая кружковая работа, в частности, кружок с использованием исторического материала, где должны ставиться следующие задачи:

1. Повышение интереса учащихся к занятиям математикой. Кружковые формы работы позволяют использовать материалы, далеко не всегда  «вписывающиеся» в рамки урока (исторические сведения, занимательные, исторические задачи и т.д.). Чаще, чем на уроке, в кружковой работе удается использовать игровые формы занятий с учащимися.
2. Расширение и углубление тем, излагаемых на уроке. Правильно организованный кружок обеспечивает тесную связь урочных и внеурочных занятий, когда изученное на уроке по – новому рассматривается, закрепляется, углубляется на кружке.
3. Развитие мышления учащихся, привитие им определенных трудовых навыков. Кружковые занятия продолжают формирование математического мышления обучающихся, выражающегося в изобретательности, логичности, доказательности, оказывают заметное влияние на формирование трудолюбия, настойчивости (пример тому – изучение биографии какого – либо ученого).
4. Формирование эстетического отношения к математике. Дети получают определенный эмоционально – эстетический заряд: они готовят номера художественной самодеятельности с математическими сюжетами и выпускают кружковые стенгазеты, выполняют рисунки, сочиняют сказки с математическим содержанием, изготавливают простейшие головоломки и математические игры.

Примерное количество занятий кружка в году 14-16, по 2 занятия в месяц. Можно проводить несколько занятий по одной теме. В это число входят также занятия по подготовке учащихся к школьной олимпиаде, школьным математическим вечерам.

Формы кружковой работы могут быть самыми разнообразными. Здесь необходимо учитывать возрастные психологические особенности учащихся  V -VII классов (особенно  V): рассеянное внимание, неумение долго слушать, читать, писать, решать. Поэтому каждое кружковое занятие желательно чтобы отличалось или частой сменой видов деятельности, или командными соревновательными элементами, захватывающими детей и не дающими им времени отвлекаться. Для кружков различных классов должно быть различие в продолжительности заседаний, различие в тематике и характере выступлений.

Возраст учащихся средней школы таков, что он стимулирует выявление собственных сил: физических, умственных, психических. Не всегда эти силы применяются в нужном направлении и, от педагога зависит многое, чтобы направить интересы своих учеников в нужное русло. Для воспитания  интереса к математике и развития правильных взглядов на возникновение и развитие математических идей полезно довести до сознания школьников решение важного вопроса: откуда берутся новые математические задачи, математические идеи и теории? Здесь очень полезным будет факультатив по истории математики.

Проведение факультативных занятий по математике в школе – это одна из форм работы учителя с учащимися старших классов, открывающая большой простор для творческой педагогической работы.

Математика, как мы знаем, относится к самым древним  научным дисциплинам, и ее начала теряются в глубине тысячелетий. На протяжении всей долгой истории математика неоднократно изменяла свои идеалы и основные направления  своих исследований. Но при этом она не отбрасывала ранее добытые знания, а включала их в новые в качестве естественного компонента. При этом, как правило, старые знания и понятия являлись основой для новых. Каждый такой этап в жизни математики не только обогащал е новыми понятиями, методами и идеями, но одновременно позволял охватить своим влиянием ряд областей практической деятельности, к которым ранее она не применялась. В наши дни математика переживает новый бурный расцвет, и при  этом она существенно изменяет свое лицо. Во–первых, она становится более абстрактной, во – вторых, в ней более существенную роль играют вычислительные аспекты, связанные с появлением и совершенствованием ИКТ и,  в–третьих, область ее применения невиданно расширяется.

Вышесказанное – основное содержание факультативного курса по истории математики.

Планируя работу факультатива, содержание которого не отступает от учебных тем, преследовалось развитие познавательного интереса к математике у школьников и усиление их умственной активности. Все виды и формы факультативов позволяют развить самостоятельность суждений, настойчивость, дисциплинированность, выдержку, внимательность, умение отстаивать собственные взгляды, активно включаться в поиск интересующей информации.

В основе успешной деятельности учителя должно лежать знание индивидуально – психологических особенностей каждого ученика. Именно с их изучения и должен начать свою работу учитель.

Форму работы факультатива весьма желательно выбрать таким образом, что позволило бы привлечь старшеклассников, увлеченных математикой и её историей, к работе с младшими школьниками. Мне кажется, что слушателям факультатива по истории математики желательно участвовать в проведении занятий математического кружка с учащимися 5- 7  классов. Занятие рекомендуется проводить с помощью и под руководством учителя математики по составленному совместно плану. На занятиях кружка старшие школьники рассказывают о роли математики в повседневной жизни, об истоках возникновения математики, о развитии математических идей, о жизни и творчестве крупнейших математиков мира. С большим интересом кружковцы решают исторические занимательные задачи, подчас старшеклассники превращаются в магов и показывают математические фокусы, поражая воображение ребят и вызывая чувство восхищения перед возможностями математики. Именно такие совместные занятия приносят наибольшую пользу: у ребят появляется желание узнать как можно больше из истории математики, а самое главное -  у них рождается чувство дружбы, коллективизма, когда старшие школьники помогают своим младшим товарищам и в изучении программного материала.

В рамках факультативного курса по истории математики, я считаю, уместно развивать систему реферирования как средство управления  самостоятельной математической подготовкой школьников. Исключительно полезно для будущего студента умение работать самостоятельно – изучать новый исторический материал, конспектировать его. Такая деятельность воспитывает у учащихся ценные качества и черты характера. Одновременно подобная работа позволяет усилить и профориентационную линию на занятиях такого факультатива.

Очень полезно на факультативно – кружковых занятиях решение исторических задач.

Дополнением к кружковым и факультативным занятиям выступает математическая газета. Я думаю, что основной целью этой газеты должна быть пропаганда математических знаний среди учащихся, не занимающихся в кружке или факультативе, повышение их интереса  к математике, привлечение их к факультативно – кружковым занятиям, освещение внеклассной работы. Материалы, помещаемые в стенной газете, должны быть интересны и для членов кружка или факультатива. Некоторую часть газеты заполнять можно материалами, которые не рассматриваются на кружковых или факультативных заседаниях.

Математические кружки и факультативы по истории математики обучающимся очень полезны. Недаром вопрос об использовании  элементов истории математики в средней школе интересовал передовых русских преподавателей и ученых еще в дореволюционное время. И это естественно: ведь изучение истории науки играет важную роль в воспитании молодого поколения.

Список использованной литературы

1. Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе / Тобольск, Изд-во ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1997

2. Ермолаева Н.А. Маслова Г. Г. Новое в курсе математики средней школы / М:, Просвещение, 1978.

3. Журнал "Математика в школе ".

5. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика; Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский, -2-е издание переработано и дополнено / М., Просвещение ,1980.

6. Методические рекомендации по изучению курса методики преподавания математики / Сост. Петрова Е.С., Саратов, Изд-во "Полиграфист", 1983

7. Пичурин Л.Ф., Репьев В.В. Вопросы Общей методики преподавания математики / Москва Изд-во "Просвещение", 1979

8. Учебники для средней школы и соответствующие пособия для учителя.

9. Черкасов Р.С., Столяр А.А. Методика преподавания математики в средней школе / Москва, Изд-во "Просвещение", 1985

10. Гейлер Г. И. История математики в школе / Москва, Изд-во “Просвещение”, 1964

Формирование и оценивание метапредметных результатов образования по математике.

Сегодня понятия «метапредмет», «метапредметное обучение» приобретают особую популярность. Обучение математике, как правило, сводится к тому, что ребенка знакомят с определениями, правилами и формулами. Он решает типовые задачки, суть которых в том, чтобы в нужном месте применить нужный алгоритм. Развитие мышления происходит только у небольшой части детей, обладающих задатками для изучения математики. Большая же часть учеников просто заучивает формулировки и алгоритмы действий. При этом развивается память, но не мышление. Использование метапредметной технологии в преподавании математики дает возможность развивать мышления у всех учеников. Суть такого подхода заключается в создании учителем особых условий, в которых дети могут самостоятельно, но под руководством учителя найти решение задачи. При этом педагог объясняет ребятам понимание сути задачи, построение эффективных моделей. Ученики могут выдвигать способы решения зачастую методом проб и ошибок. Это не усложнение, а увеличение эффективности работы детей, причем многократное.

Метапредметный урок – это урок, на котором…

- учащийся учится общим приёмам, схемам, образцам мыслительной работы, которые лежат над предметами, поверх предметов, но которые воспроизводятся при работе с любым предметным материалом, происходит включение ребёнка в разные виды деятельности, важные для конкретного ребёнка;

- учащийся промысливает, прослеживает происхождения важнейших понятий, которые определяют данную предметную область знания. Он как бы заново открывает эти понятия, а затем анализирует сам способ своей работы с этим понятием;

- обеспечивается целостность представлений ученика об окружающем мире как необходимый и закономерный результат его познания.

Метапредметные умения учащийся может применить к любой области знаний и в различных жизненных ситуациях. Это очень важно сегодня, когда от выпускника школы требуются мобильность, креативность, способность применять свои знания на практике, умение мыслить нестандартно.

Метапредметные результаты образовательной деятельности – это способы, применимые как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях, освоенные обучающимися на базе одного, нескольких или всех учебных предметов.

С введением ФГОС изменяются структура и сущность результатов образовательной деятельности, содержание образовательных программ и технологии их реализации, методология, содержание и процедуры оценивания результатов. Для этого в процессе обучения математике необходим переход от ее освоения как отдельного учебного предмета к обучению на основе принципов метапредметности как условия достижения высокого качества образования. Это значит, что необходимо рассматривать математические понятия не только на формально-абстрактном уровне, но и межпредметном и практико-ориентированном. Основой реорганизации образования, когда ученик воспринимает знания не как сведения для запоминания, а как знания, которые он осмысливает и может применить в жизни, является метапредметный подход.

Однако ориентация курса математики на достижение школьниками метапредметных результатов обучения очерчивает ряд новых проблем, требующих решения. Обнаруживается наличие противоречий:

– между требованиями ФГОС ООО к достижению метапредметных результатов и отсутствием регламентированного перечня планируемых

образовательных результатов по отдельным школьным предметам, в том числе по математике, который служил бы конкретизацией требований стандарта;

– между потенциалом общеобразовательного курса математики в достижении школьниками метапредметных образовательных результатов в форме универсальных учебных действий и недостаточной проработанностью методических аспектов реализации этого потенциала через процесс решения задач.

– между необходимостью проверять и оценивать медапредметные результаты и дефицитом контрольно-измерительных материалов (КИМ) для диагностики подготовленности обучающихся.

Необходимость устранения указанных противоречий обусловливает проблему, которая заключается в поиске методических условий эффективного формирования универсальных учебных действий, составляющих основу метапредметных образовательных результатов, в процессе решения задач на уроках математики.

   Важным компонентом в системе формирования метапредметных умений школьников, которые в дальнейшем позволят им применять полученные знания и умения для решения собственных жизненных задач, считаю метапредметные задания. Это одна из разновидностей учебной задачи, особенностью которой является синтез знаний и умений из разных наук и учебных дисциплин.

Одним из направлений применения таких умений в математике является усиление прикладной направленности, т.е. появление целого пласта задач практической направленности. Такого рода задачи (реальные задачи) появились в итоговых контрольно-измерительных материалах по математике (ЕГЭ, ГИА), это задачи на умение использовать приобретённые математические знания в повседневной жизни. Данные задания позволяют показать связь математики с жизнью, что обуславливает усиление мотивации к изучению самого предмета.

Практика показывает, что школьники с интересом решают и воспринимают задачи практического содержания.

Одним из приоритетов требований нового Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего образования становится формирование коммуникативной компетенции в организации познавательной деятельности учащихся на уроке.

Этому способствуют групповые формы работы на уроках, давней поклонницей которых я являюсь и считаю их актуальными. Работа в малых группах позволяет решить практически все дидактические задачи от этапа усвоения новых знаний до закрепления и обобщения пройденного. Она дает всем учащимся возможность участвовать в работе, практиковать навыки сотрудничества, межличностного общения.

В заключении отмечу, что необходимость сознательного формирования метапредметных умений у учащихся на уроках математики, это ответ системы образования на требование времени и общества. Конечно, со временем педагогам будет предоставлена необходимая комплексная методическая помощь со стороны специалистов. Но, очень многие составляющие метапредметного подхода были в арсенале учителя математики всегда, на протяжении десятилетий. Нужно только «провести ревизию» своих методических копилок, отобрать те методы и формы, которые отвечают требованиям современного образования и на их основе конструировать новые.

Своей задачей на ближайшую перспективу считаю совершенствование методики формирования метапредметных умений у учащихся через самообразование. В частности, планирую изучить опыт и разработать свою систему оценки достижения планируемых метапредметных результатов как неотъемлемой часть обеспечения качества образования.

Система оценивания должна быть устроена так, чтобы с ее помощью можно было:

• устанавливать, что знают и понимают учащиеся о мире, в котором живут;
• получать общую и дифференцированную информацию о процессе преподавания и процессе учения;
• отслеживать индивидуальный прогресс учащихся в достижении Требований стандарта, и в частности в достижении планируемых результатов освоения программ основного образования;
• обеспечивать обратную связь: учитель – учащийся – родители;
• отслеживать эффективность реализуемой учебной программы.

В соответствии с Концепцией Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) система оценивания строится на основе следующих общих принципов:

• Оценивание является постоянным процессом, естественным образом интегрированным в образовательную практику.
• Оценивание может быть только критериальным. Основными критериями оценивания выступают ожидаемые результаты, соответствующие образовательным (учебным) целям.
• Оцениваться с помощью отметки могут только результаты деятельности ученика, но не его личные качества.
• Оценивать можно только то, чему учат.
• Критерии оценивания и алгоритм выставления отметки заранее известны и педагогам, и учащимся.
• Система оценивания выстраивается таким образом, чтобы учащиеся включались в контрольно-оценочную деятельность, приобретая навыки и привычку к самооценке.

Основное содержание оценки метапредметных результатов в школе строится вокруг понятия «умение учиться».

В силу своей природы, являясь, по сути, ориентировочными действиями, метапредметные действия составляют психологическую основу и являются важным условием успешности решения учащимися учебных задач. Соответственно, уровень их сформированности может быть качественно оценен и измерен:

• достижение метапредметных результатов может проверяться в результате выполнения специально сконструированных диагностических задач, направленных на оценку уровня сформированности конкретного вида УУД;
•  достижение метапредметных результатов может рассматриваться как инструментальная основа (или как средство решения) и как условие успешности выполнения учебных и учебно-практических задач средствами учебных предметов. То есть в зависимости от успешности выполнения проверочных заданий по математике и другим предметам с учетом допущенных ошибок можно сделать вывод о сформированности ряда познавательных и регулятивных действий учащихся;
• достижение метапредметных результатов может проявляться в успешности выполнения комплексных заданий на межпредметной основе или комплексных заданий, которые позволяют оценить универсальные учебные действия на основе навыков работы с информацией.

Достижение метапредметных результатов обеспечивается за счет основных компонентов образовательного процесса — учебных предметов, представленных в обязательной части базисного учебного плана, и внеурочной деятельности и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях. Личностные результаты определяются через листы наблюдений или портфолио обучающегося.

При оценке предметных результатов следует иметь в виду, что должна оцениваться не только способность учащегося воспроизводить конкретные знания и умения в стандартных ситуациях (знание алгоритмов решения тех или иных задач), но и умение использовать эти знания при решении учебно-познавательных и учебно-практических задач, построенных на предметном материале с использованием метапредметных действий; умение приводить необходимые пояснения, выстраивать цепочку логических обоснований; умение сопоставлять, анализировать, делать вывод, подчас в нестандартной ситуации; умение критически осмысливать полученный результат; умение точно и полно ответить на поставленный вопрос.

Галсанова Л.Г.