РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

элективного курса

«Решение прикладных задач по математике»

для 7 класса

для уровня основного общего образования Срок реализации программы – 1 год

Содержание рабочей программы

Пояснительная записка

Основой построения курса являются идеи и принципы развивающего обучения. Методологической основой является системно-деятельностный подход в обучении, реализация которого осуществляется благодаря применению проблемно-поискового и исследовательского методов обучения.

Программа элективного курса конкретизирует содержание предметных тем курса алгебры, основные виды учебной деятельности школьника и дает распределение учебных часов на каждую тему курса алгебры, элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей с учетом самостоятельных работ и характеристикой деятельности учащихся. Преподавание электива строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно- теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Дополнительные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся.

Цели данного курса:

1 ) Повысить интерес к предмету.

2. Развитие личности, ответственной за осмысление законов математики.
3. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смешанных дисциплин, для продолжения образования.
4. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.

Задачи курса:

1. Развитие творческих способностей учащихся.
2. Воспитание личности, умеющей анализировать, самоанализировать и создавать программу саморазвития.
3. Развитие мышления учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.
4. Формирование познавательного интереса к математике, развитие творческих способностей, осознание мотивов учения.
5. Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии и идеализаций.

Общая характеристика элективного курса

Данный элективный курс по математике ориентирован на учеников 7 класса и включает следующие разделы:

• дроби (натуральные, десятичные, периодические);
• проценты и текстовые задачи на процентное содержание;
• модуль числа, решение уравнений и систем уравнений, построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля;
• линейные уравнения (в т. ч. с параметрами и несколькими переменными) и их системы;
• графическое решение уравнений;
• делимость чисел, сравнения по модулю;
• формулы сокращенного умножения;
• принцип Дирихле;
• деление многочлена на многочлен.

Актуальность курса состоит в том, что он направлен на расширение знаний учащихся по математике, развитие их теоретического мышления и логической культуры. Новизна заключается

в том, что программа включает новые для учащихся задачи, не содержащиеся в базовом курсе. Предлагаемый курс содержит задачи по разделам, которые обеспечат более осознанное восприятие учебного материала. Творческие задания позволяют решать поставленные задачи и вызвать интерес у обучаемых. Включенные в программу задания позволяют повышать образовательный уровень всех учащихся, так как каждый сможет работать в зоне своего ближайшего развития. Отличительные особенности данного курса - этот курс подразумевает доступность предлагаемого материала для учащихся, планомерное развитие их интереса к предмету. Сложность задач нарастает постепенно. Приступая к решению более сложных задач, рассматриваются вначале простые, входящие как составная часть в решение трудных.

Место элективного курса в учебном плане

Факультативные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 35 ч в учебный год.

Личностные, метапредметные, предметные результаты освоения элективного курса

Содержание элективного курса

Тематическое планирование с определением основных видов учебной деятельности

Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательного процесса

Планируемые результаты изучения элективного курса

В целом программа ориентирована на становление личностных характеристик учащегося:

• любви к своему краю и своему Отечеству,
• знания русского языка, уважения к своему народу, его культуру и духовным традициям;
• осознания и приятия ценности человеческой жизни, семьи, гражданского общества, многонационального российского народа, человечества;
• желания активно и заинтересованно познавать мир,
• осознания ценности труда, науки и творчества;
• умения учиться, осознания важности образования и самообразования для жизни и деятельности, способность применять полученные знания на практике;
• социальной активности, уважения закона и правопорядка, умения соизмерять свои поступки с нравственными ценностями, осознания своих обязанностей перед семьёй, обществом, Отечеством;
• уважения        к        другим        людям,        умения        вести        конструктивный        диалог,        достигать взаимопонимания, сотрудничать для достижения общих результатов;
• осознанного выполнения правил здорового и экологически целесообразного образа жизни, безопасного для человека и окружающей его среды;
• умения ориентироваться в мире профессий, понимания значения профессиональной деятельности для человека в интересах устойчивого развития общества и природы.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Периодические дроби

Перевести обыкновенную дробь в десятичную легко – надо всего лишь делить уголком. При этом получается либо конечная десятичная дробь (когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не делится ни на какие простые числа, кроме 2 и 5), либо периодическая дробь (чисто периодическая – когда знаменатель не делится ни на 2, ни на 5; смешанная периодическая – в остальных случаях).

Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр. Например, 2,5131313…

Обычно такую дробь записывают короче: 2,5(13).Если в периодической дроби повторяющаяся группа цифр (период) расположена непосредственно после запятой, то такую дробь называют чисто периодической; в противном случае говорят, что десятичная дробь имеет предпериод, и называют дробь смешанной периодической.

Общее правило обращения периодических десятичных дробей в обыкновенные: Чисто периодическая правильная десятичная дробь, равна обыкновенной дроби, в числителе которой записан период, а знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде. Смешанная правильная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби, в числителе которой стоит разность между числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до начала второго периода, и числом, образованным цифрами, стоящими после запятой до начала первого периода; знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде, и стольких нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода.

Например:

0,(142857) = 142857 = 1 ; 0,24(617) =

24617− 24        24593

.

999999        7

99900        99900

Задачи для самостоятельного решения

1. Обратите в обыкновенную дробь:

а) 0,(2); б) 0,(23); в) 1,(7); г) 3,5(72); д) 12,3(321).

2. Вычислите:

⎛⎜ 15 + ⎛ 1

⎞  2        ⎛ 5

17 ⎞

18 ⎞⎟

0,1(6) + 0, (3)

(0,3275− (215 + 4 ) :12,(2)): 0,07

а)⎜ 24

⎜3 4 :13⎟ : 3 + ⎜218 − 36 ⎟ ⋅ 65⎟ ⋅ 0, (3) + 1,1(6) ;

б)         88        33        ;

⎝        ⎝        ⎠        ⎝        ⎠        ⎠

(13 − 0,416) : 6,05 + 1,92

1,125+1 3 − 0,41(6)

в) 0,8(3) − 0,4(6) ⋅ 4        ;

(0,(6) + 1) : 0,25

г)         3        +12,5⋅ 0,64;

15        0,59

6

0,12(3) : 0,0925

(5 + 2,708(3)) : 2,5

д)         8        : 0,5;

((7 − 6,35) : 6,5 + 9,8(9))⋅ 1

е)         12,8        : 0,125;

(1,3 + 0,7(6) + 0,3(6))⋅ 110

401

((1,2 : 36) +

(11

5

: 0,25)

−1,8(3)) ⋅11

4

(2 38 − 1 ) :138 + 3 3 ⋅ 0,(26)

ж)         45        15        9        65        ⋅ (1 + 1 + 1

+ 1 +

1 ).

(18 1 −13,(7))⋅ 1

2        85

3        9        27

81        162

Ответы: Ответы: а) 0,5; б) 0,5; в) 5 ; г) 11; д) 1; е)1 2 ; ж) 9.

6

1. Упростите выражение:

3

Дроби

а) 1 − 1 ; б) 1 − 1 ;

в) 1 −        1        ; г)        1

−        1        .

1        2        2        3

х        х + 1

х + 1

х + 1

2. Представьте в виде разности дробей:

а) 1 ;

1⋅ 2

б) 1 ;

3 ⋅ 4

в)        1        ;

х(х + 1)

г)        1        ;

(х + 2)(х + 3)

д) 1 ;

2 ⋅ 4

е) 1 .

3 ⋅ 5

3. Вычислите:

а) 1 +

1⋅ 2

1 +

2 ⋅ 3

1

3⋅ 4

+ ⋅⋅⋅ +

1        ;

9 ⋅10

б) 1 +

1⋅ 2

1 +

2 ⋅ 3

1

3 ⋅ 4

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

1        ;

99 ⋅100

в)  1        +

2 ⋅ 4

1 +

4 ⋅ 6

1

6 ⋅ 8

+ ⋅ ⋅ ⋅ +

1        ;

98 ⋅100

г) 1 +

2 ⋅ 5

1

5 ⋅ 8

+        1        +

8 ⋅11

1

11⋅14

+                1        ; 14 ⋅17

д) 1 +

1⋅ 4

1

4 ⋅ 7

+        1

7 ⋅10

+        1

10 ⋅13

+                1        ; 13⋅16

е) 1

3⋅ 7

+        1        +

7 ⋅11

1

11⋅15

+        1

15⋅19

+        1        ;

19⋅ 23

ж) 1 +

1⋅ 2

1 +

2 ⋅ 3

1

3⋅ 4

+⋅⋅⋅ +

1        ;

n(n +1)

з) 1

2 ⋅ 7

+                1 7 ⋅12

+        1

12⋅17

+⋅⋅⋅ +

1        ;

(5m − 3)(5m + 2)

и)  1        +

5⋅11

1

11⋅17

+        1

17⋅ 23

+⋅⋅⋅+

1

(6k −1)(6k + 5)

; к) 1 + 1 +

20        30

1 + 1 +

42        56

1 + 1

72        90

+ 1

110

+ 1 .

132

Ответы: а)

9 ; б)

10

99 ; в)

100

49 ; г)

200

5 ; д)

34

5 ; е) 5 .

16        69

Указание. Используйте равенство

1

k(k +1)

= 1 −

k

1 .

k +1

4. Докажите, что при любом натуральном n:

а)        1 +

1⋅ 2

1 +

2 ⋅ 3

1

3⋅ 4

+⋅⋅⋅+

1

(n −1)n

< 1;

б) 1 +

1⋅ 3

1 +

3⋅ 5

1

5⋅ 7

+⋅⋅⋅ +

1        < 1 .

(2n −1)(2n +1)        2

5. Упросите выражение:

а)        1

х(х +1)

+        1

(х +1)(х + 2)

; б)

1

х(х +1)

+        1

(х +1)(х + 2)

+                1        ; (х + 2)(х + 3)

в)        2

х(х + 2)

+        2

(х + 2)(х + 4)

; г)

1

х(х + 2)

+        1

(х + 2)(х + 4)

+                1        ; (х + 4)(х + 6)

г)        1        +

х(х + 3)

+        1

1

(х + 3)(х + 6)

.

+        1

(х + 6)(х + 9)

+        1        +

(х + 9)(х +12)

(х +12)(х +15)

6. Найти такую дробь, которая не изменится от прибавления к числителю 30, а к знаменателю 40.

Ответ: 3 .

4

7. Что больше: 10001

10002

100001

?

100002

8. Что больше: 12345или 12346?

54321        54322

Проценты

Процентом от любой величины называется одна сотая часть.

Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным числом. Для этого нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Пример 1. 47% =

47 ;300% = 300 = 3. Чтобы выразить число в процентах, надо умножить на 100.

100        100

Пример 2. 0,47 = (0,47 ∙ 100)% = 47%.

Простейшие задачи на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

Пример 3. 13% от 2000 руб. равны 2000 · 0,13 = 260 руб.

2. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на соответствующую дробь.

Пример 4. Если 8,4 кг есть 12% массы штанги, то масса штанги равна 8,4: 0,12 = 70 кг.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

Пример 5. 18 г. соли в растворе 240 г. составляет 18⋅100 = 7,5% раствора.

240

Задачи для самостоятельного решения

1. Собрали 140 кг грибов, влажность которых составляла 98%. После подсушивания их влажность снизилась до 93%. Какова стала масса грибов поле подсушивания?

Решение: Влажность 140 кг грибов равна 98%, значит, в них содержится 98% воды и 2% сухого вещества, что составляет 140 · 0,02 = 2,8 кг. В подсушенных грибах 2,8 кг сухой массы составляет

уже 100% - 93% = 7%. Следовательно, масса подсушенных грибов равна 40 кг.

2,8⋅100 = 40(кг). Ответ:

7

2. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из неё металл – 4% примесей. Сколько получится металла из 24 т руды. Ответ: 15 т.
3. Из 40 т руды выплавляют 20 т металла, содержащего 6% примесей. Каков процент примесей в руде? Ответ: 53%.
4. Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получается 30 т сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта? Ответ: 5%.
5. Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 88 кг свежих? Ответ: 10 кг.
6. Цену товара сперва снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчёта произвели снижение ещё на 10%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара? Ответ: На 38,8%.
7. Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды? Ответ: 200 кг.
8. В двух бидонах находится 70 литров молока. Если из первого бидона перелить во второй 12,5% молока, находящегося в первом бидоне, то в обоих бидонах будет поровну. Сколько литров молока в каждом бидоне? Ответ: 40 л и 30 л.
9. Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижена цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 2000 р.,

а окончательная 1805 р.?

10. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных – 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?
11. Апельсины подешевели на 30%. Сколько апельсинов можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг?
12. Что больше: 15,5% от 49 или 49% от 15,5?
13. Множимое        увеличили        на        50%,        а        множитель        уменьшили        на        50%.        Как        изменилось произведение?

Задачи на концентрацию и процентное содержание

В        задачах,        связанных        с        использованием        понятий        “концентрация”        и        “процентное содержание”, речь идёт о составлении сплавов, растворов или смесей несколько веществ.

Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:

а) все получающиеся сплавы или смеси однородны;

б) при смешивании двух растворов, имеющих объёмы которой ν равен сумме ν1 +ν 2 .

ν1 +ν 2 , получается смесь, объём

Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности. На самом деле при смешивании двух растворов не объем, а масса равняется сумме составляющих её компонент. Рассмотрим смесь трёх компонент А, В, С. Объём смеси ν

складывается        из        объёмов        чистых        компонент:

ν =ν A  +ν B  +ν C ,        а        три        отношения

dА= ν А , dB=ν В , dС= ν С        показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы

ν        ν        ν

отдельных компонент ν А = dBν ;ν B = dBν ;ν C = dCν. Отношения объёма чистой компоненты

(vA ) в

растворе ко всему объёму смеси ν :

d  = ν А  =        ν А

называется объёмной концентрацией

этой компоненты.

A        ν        ν        +ν

В

+ν С

Концентрация  –  это безразмерная величина.        Сумма концентраций всех компонент,

составляющих смесь, равна единице:

d A + dB + dC = 1.

Объёмным процентным содержанием

компоненты А называется величина Р = d A · 100%, т. е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах. Если известно процентное содержание вещества А, то его концентрация находится

по формуле d A =

PA

100

. Таким же способом определяется массовая концентрация и процентное

содержание, а именно как отношение массы чистого вещества А в сплаве к массе всего сплава. О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.

Задача 1. Имеется кусок сплава с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившейся новый сплав содержал

40% меди?

Решение: Пусть масса олова, которую надо добавить к сплаву, равна х кг. Тогда получится сплав

массой (12+х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется

12 + х 40 кг меди.

100

Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т.е. меди в нём было

12 ⋅ 45 кг. Так как масса

100

меди и в имевшемся, и в сплаве одна и та же, то можно записать следующее уравнение:

(12 + х)40 = 12

⋅ 45. Решив его, получим х = 1,5. Ответ: 1,5 кг.

100        100

Задача 2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Решение: Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%, значит, в х т стали первого сорта содержится х·0,05 т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140 - х) т стали второго сорта содержится (140 – х)0,4 т никеля. По условию после объединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 140 · 0,3 т никеля. Но это количество никеля

складывается из х · 0,05 т, содержащихся в стали первого сорта, и из (140 – х)0,4 т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, запишем уравнение х · 0,05 + (140 – х)0,4 = 140 · 0,3,

из которого находим х = 40. Следовательно, стали с 5%-ным содержанием никеля надо взять 40 т, а стали с 40%-ным содержанием – 100 т. Ответ: 40 т, 100 т.

Задачи для самостоятельного решения

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы получить раствор, содержащий 2% соли? Ответ: 60 кг.
2. Сплавили 120 г серебра 640-й пробы со слитком серебра неизвестной пробы и получили 320 г серебра 700-й пробы. Определите пробу второго слитка. Ответ: 736 пробы.
3. Бронза – сплав меди и олова. В древности из бронзы отливали колокола, если в ней содержалось 75% меди. К бронзе массой 500 кг, содержащей 70% меди, добавили некоторое количество меди и получили бронзу, необходимое для изготовления колокола. Определите, сколько килограммов меди было добавлено. Ответ: 100 кг.

Задача 4. В колбе было 200 г 80% спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в неё столько же воды, чтобы получить 60%-ный спирт. Сколько граммов воды добавил провизор? Ответ: 50 г.

5. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой 70% меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни. Ответ: 60 %.

6 . Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток содержит 360 г серебра и 40 г олова, а второй слиток – 450 г серебра и 150 г олова. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 200 г сплава, в котором оказалось 81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого от второго слитка. Ответ: 120 г.

7. В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.
8. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5%- ный раствор уксуса?
9. Сплавили два слитка серебра: 600-й пробы 75 г и 864-й пробы 150 г. Определите пробу сплава.
10. Имеются два сплава меди и цинка. В первом из них количество этих металлов находится в отношении 3:5, а во втором 2:7. Сколько килограммов от каждого сплава нужно взять, чтобы получить 11 кг нового сплава, в котором медь и цинк вошли бы в отношении 2:5.
11. В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 1:3. После совместной переплавки 10 кг первого сплава, 16 кг второго сплава и нескольких кг чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определите вес нового сплава.

Модуль числа. Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля

Любое действительное число можно изобразить точкой числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой.

Расстояние точки, изображающей данное число на числовой прямой, от начала этой прямой называется модулем этого числа. Модуль числа а обозначается | а |. Геометрический смысл модуля удобно использовать при решении некоторых уравнений.

Пример 1. Решите уравнение: |х – 6| = 9.

Решение: Если число 6 изобразить тачкой А , то по определению модуля следует, что точка Х отстоит от точки

А на расстоянии 9 единиц. Но на числовой прямой таких точек две. Одна имеет координату х = 6 + 9 = 15, другая х = 6 – 9 = -3. Следовательно, уравнение имеет два решения: х = 15 и х = -3.

Ответ: 15; -3.

Пример 2.Решите уравнение: |х –1 | + |х – 3| = 6.

Решение: Решить уравнение |х – 1| + |х – 3| = 6 – значит найти все такие точки на числовой оси Ох, для каждой из которых сумма расстояний от неё до точек с координатами 1 и 3 равна 6.

Ни одна из точек отрезка [1;3] не удовлетворяет этому условию, так как сумма указанных расстояний для любой из них равна 2 (т.е. не равна 6). Вне этого отрезка существует только две искомые точки: точка с координатами 5 и точка с -1. Ответ: 5; -1.

При решении уравнений, содержащих несколько выражений со знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля числа: модулем положительного числа и нуля является само число, модулем отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.

|а | =

Пример 3. |2х – 12| + |6х + 48| = 160.

а, если а ≥ 0,

-а, если а < 0.

Решение: а) Найдём корни (нули) каждого выражения, содержащего знак модуля: 2х – 12 = 0,        6х + 48 = 0,

х = 6,        х = - 8.

б) Найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: х < -8, -8 ≤ х ≤ 6; х > 6. Решение данного уравнения рассматривается в каждом промежутке отдельно.

-8        6

в) Ι. х < -8.

В данном промежутке оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательны.

- (2х – 12) – (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 – 6х – 48 = 160,

- 8х = 196,

х = - 24,5. (х < -8).

ΙΙ. − 8 ≤ х ≤ 6 .        В        данном        промежутке        первое        выражение,        стоящие        под        знаком        модуля, отрицательно, а второе положительное,

- (2х – 12) + (6х + 48) = 160,

- 2х + 12 + 6х + 48 = 160, 4х = 100,

х = 25 (не принадлежит данному промежутку). ΙΙΙ. х >6.

Оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны.

(2х – 12) + (6х + 48) = 160, 2х – 12 + 6х + 48 = 160, 8х = 124, х = 15,8. (х>6).

Ответ: -24,5; 15,8.

Задачи для самостоятельного решения

Решите уравнение:

1) |3 – х| = 7        Ответ: -4; 10.

2) |2х + 3| = 3х – 3        Ответ: 6.

3) |6х – 4| = 3х – 14        Ответ: Ø.

4) х -

1 |3х – 2| = 3 -

5

1 (2х – 5)        Ответ: 4.

3

5) |2х + 5| - |3х – 4| = 2х - 2        Ответ: -7; -1; 11.

3

6) |2х + 5| = |3х - 1| + 1 – 2х        Ответ: - 3 .

7

7) 3х – 2 |х| + |х – 2| - |х – 4| = 3        Ответ: 3.

8) |3х – 8| - |3х – 2| = 6        Ответ: х

≤ 2 .

3

9) |х – 1| - 2|х – 2| +3 |х – 3| = 4        Ответ: 1 ≤ х ≤ 2; х = 5.

10) |2 + |2 + х|| = 3        Ответ: -3; -1.

11)

х − 5 = 2х х

Ответ: -3.

12) х2  - 5 х = 0        Ответ: -5; 0; 5.

13) 2х2  +  х  - 3х = 0        Ответ: 0; 1.

14) 4х2 +

2

х = 0

х

х2

Ответ: - 0,5.

15) 2х  +        = 0

Ответ: нет решений.

16) |5 –х| - |2 –х| = 3        Ответ: х ≤ 2.

17) 7 - |х – 1| + |х + 5| =0        Ответ: нет решений.

18) |х – 5| + |5 – х| = 0        Ответ: 5.

19. - |3 – х| + |2 – х| = 3        Ответ: нет решений.

Линейные уравнения с параметрами

Уравнение вида Ах = В, где А, В – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное, называется линейным уравнением с параметрами. Решить уравнение с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество всех корней заданного уравнения.

Линейное уравнение Ах = В исследуется по следующей схеме.

1. Если А = 0 и В ≠ 0, то уравнение не имеет решений (х ∈Ø).

2. Если А = 0 и В = 0, то уравнение имеет вид 0 · х = 0 и удовлетворяется при любом х, т.е. решением уравнения будет множество всех действительных чисел (х∈ R).
3. Если А ≠ 0, то уравнение имеет единственное решение х = В .

А

Пример 1. Для всех значений параметров k решить уравнение (k + 4)х = 2k + 1.

Решение: Уравнение записано в стандартном виде Ах = В, поэтому его исследование проведём по указанной схеме.

1. Если k + 4 = 0, т.е. k = -4, то уравнение имеет вид 0 · х = -7, откуда х ∈ Ø.

2. Если k + 4 ≠ 0, т.е. k ≠ −4, то обе части уравнения можно делить на k + 4. Тогда х =

2k +1.

k + 4

Ответ: если k = -4, то х ∈Ø; если k ≠ −4, то х =

2k +1.

k + 4

Пример 2. Для всех значений параметров а и b решить уравнение (a – 2) х = 4а +3b. Решение: 1) а = 2. Уравнение имеет вид 0 · х = 8 + 3b.

Если 8 + 3b ≠ 0,т.е. b ≠ − 8 , то это равенство ни при каком х не выполняется, поэтому х ∈ Ø.

3

Если b= - 8 , то уравнение примет вид 0 · х = 0, откуда следует: х∈ R.

3

2) а - 2 ≠ 0 , т.е. а ≠ 2 . Тогда х =

4а + 3b .

а − 2

Ответ: если а =2, b ≠ − 8 , то х ∈Ø; если а = 2, b= - 8 , то х∈ R; если а ≠ 2 , b- любое, то х =

4а + 3b .

3        3

Задачи для самостоятельного решения

а − 2

Для всех значений параметров а, b, n , m решить уравнения.

1. ах – 3 = b.        2. 4 + bх = а.

3. b = а(х – 3).        4.

2х − а = 3.

b

5. 2х – 3(х – а) = 3 + а.        6. ах – 3(1 + х) = 5.

7.3х + 1 = b.        8. 5 + х = ах.

9. ах – 3 = 2х – 5.        10.mх - 3 = 3х – m.

11. 4 = а – (bх – 1).        12. 1− bх = 1.

а

13. ах – b = 1 – х.        14. (m – 3)х + m + 2n = 0.

15. (а – 2b)х + а +b = 3        16.

5 − ах = 7 − ах .

3        6

17. а + х = а2х – 1.        18. 7 – ах = b(3 + х).

19. а (а – 1) х = а.        20.

х − а = 0.

х − 3

Линейные диофантовы уравнения

Определение. Уравнения, в которых неизвестные величины выражаются целыми числами, называются диофантовыми по имени математика Диофанта.

Рассмотрим уравнение        ах + bу = с (а ≠ 0,b ≠ 0),

коэффициенты, которого а, b и с – целые числа.

(1)

Пусть d = D (а; b) или d = (а; b) или d = НОD (а; b) - наибольший общий делитель а и b.

Правило 1. Если с не делится на наибольший общий делитель (а; b), то уравнение (1) не имеет решений в целых числах (тем более в натуральных).

Правило 2. Если с ∈ Z

делится на НОD (а; b), то уравнение (1) имеет целые решения.

Если с ∈ Z

НОD (а; b).

делится на НОD (а; b) , то уравнение (1) следует упростить, разделив обе его части на

Правило 3. Если а и b –взаимно простые числа, то уравнение ах + bу = 1 имеет решение в целых числах х и у.

Правило 4. Чтобы найти решение уравнения (1) при взаимно простых а и b , нужно сначала

найти решение ( х0 ; у0 )

уравнения (1).

уравнения ах + bу = 1; числа сх0 и су0 составят решение

Правило 5. Если коэффициенты а и b уравнения (1) взаимно просты, то все решения

уравнения (1) получаются по формулам х = решений этого уравнения.

х1 − bn , у =

у1 + аn, n

∈ Z , где

х1 и

у1 одно из

Пример 1. Решите диофантово уравнение 6х + 9у = 2.

Решение: НОD (6; 9) = 3, а 2 на 3 не делится. Значит, данное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: нет решений.

Пример 2. Решите в целых числах уравнение 28х – 40у = 60.

Решение: НОD (28; 40) = 4, число 60 делится на 4. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 4, получим уравнение 7х – 10у = 15. Сначала подберём частное

решение уравнения 7х – 10у = 1. НОD (7; 10) = 1 . х0 = 3 и

у0 = 2

- частное решение уравнения 7х

– 10у = 1.

х1 = 3⋅15 = 45 и

у1 = 2 ⋅15 = 30 - частное решение уравнения 7х – 10у = 15.

Общее решение уравнения 7х – 10у = 15 задаётся формулами х = 45 + 10t, у = 30 + 7t, t∈ Z.

Ответ: (45 + 10t, 30 + 7t), t∈ Z.

Пример 3. Решите диофантово уравнение 6х +9у = 3.        (*)

Решение: НОD (6; 9) = 3, число 3 делится на 3. Значит, уравнение имеет решений в целых числах. Сократим уравнение на 3, получим уравнение 2х + 3у = 1.(1) Сначала подберём частное решение уравнения 2х + 3у = 1. х = 5, у = -3 является частным решением уравнения (1), так как справедливо равенство 2·5 + +3·(-3) = 1. В уравнении (1) заменим число 1 выражением 2·5 + 3·(-3) и преобразуем полученное уравнение:   2х + 3у = 2·5 + 3· (-3),   2 (х – 5) + 3 (у + 3) = 0.        (2)

Введём новые неизвестные: уравнение (2) перепишем в виде

х′ = х − 5, у′ = у + 3,

2х′ + 3у′ = 0.

(3)

(4)

Все решения однородного уравнения (3) задаются формулами

х′ = −3n, у′ = 2n, где n – любое

целое число. Используя равенства (3), получим, что все решения уравнения (*) задаются

формулами

х = 5 + х′ = 5 − 3n, у = −3 + у′ = −3 + 2n, где n∈ Z.

Ответ: (5 – 3n, -3 + 2n), n∈ Z.

Линейные диофантовы уравнения применяются при решении задач.

Задача 1. У покупателя и продавца имеются монеты только по 2 р. и 5 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью 1 р.?

Решение: Если покупатель даст х монет по 2 р. и у монет по 5 р., то он заплатит (2х + 5у) р., или 1 р. Следовательно, 2х + 5у = 1.        (1) Пара (3;  -1) является частным решением  уравнения (1), так как 2 · 3 + 5 · (-1) = 1. Это означает, что покупатель может дать 3 монеты по 2 р. и получить сдачу 1 монету по 5р.   Общее решение диофантова уравнения (1) имеет вид  х = 3 – 5n, у

= -1 + 2n, где n∈ Z. Способов оплаты товара стоимостью 1 р. в задаче 1 бесконечно много. Если,

например, у окажется отрицательным, то это означает, что покупатель должен получить сдачу монетами по 5 р.

Ответ: Сможет.

Задачи для самостоятельного решения

1. Решите диофантово уравнение:

а) 3х + 4у = 0;        б) 4х + 6у = 3;

в) 5х + 3у = 4;        г) 5х + 3у = 1;

д) 7х – 5у = 2;        е) 5х + 8у = 29;

ж) 7х + 4у – 9z = 89;        з) 10х – 13у + 8z = 143.

2. При каких натуральных n число 8n + 3 делится на 13?
3. Объясните, почему не имеет в целых числах решений уравнение:

а) 2х + 6у = 11; б) 3х – 5у = 10; в) 7х – 21у = 12.

4. У покупателя и продавца есть купюры по 5 р. и 50 р. Сможет ли покупатель заплатить за покупку стоимостью: а) 112 р.; б) 30 р.?

Ответ: а) Нет; б) да.

5. Двенадцать человек несут 12 буханок хлеба; каждый мужчина несёт по 2 буханки, женщина – по половине буханки, ребёнок – по четверти. Сколько было мужчин, женщин и детей?

Ответ: 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

6. Размен по 2 и 3 копейки.

Каким количеством способов можно разменять 25 копеек монетами по 2 и 3 копейки? Ответ: 4 способа.

7. 22 монеты.

Как составить сумму в 99 копеек из 22 монет по 2, 3 и 5 копеек?

Ответ: 2 способа.

8. На 5 руб. куплено 100 штук разных фруктов. Цены на фрукты таковы: арбуз (1 шт.)        -        50 копеек

яблоки (1 шт.)        -        10 копеек

сливы (1 шт.)        -        1 копейка.

Сколько фруктов каждого рода было куплено?        Ответ: 1 арбуз; 39 яблок; 60 слив.

9. Разделите 200 на два слагаемых так, чтобы при делении одного на 6, а другого на 11 получилось соответственно остатки 5 и 4.        Ответ: 185 + 15; 119 + 81; 53 + 147.
10. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 28 даёт в остатке 21, а при делении на 19 даёт в остатке 17.        Ответ: 245.

Графики функций, содержащих переменную под знаком модуля

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля. Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

В случае, когда только одно выражение стоит под знаком модуля и нет слагаемых без знака модуля, можно построить график функции, опустив знак модуля, а затем часть графика, расположенную в области отрицательных значений у, отобразить симметрично относительно оси Ох. Это вытекает из определения модуля числа.

Пример 1. Постройте график функции у =  х .        Решение: По определению модуля числа имеем:

|а | =

а, если а ≥ 0,

-а, если а < 0.

Используя график функции график функции:

1.у =  х − 3.

4.у = х + 2.

у = х , постройте

2.у = х +1.

5.у = х −1 − 2.

3.у = х −1.

6.у = х + 3 − 4.

7. у = 1 - х .

8. у = 2 -

х +1.

9. у =

х −1.

10. у =

х + 2 − 4.

11. у =

х − 2 − 3 −1.

12. у =

х − 3 − 2.

13. у =

1− х

− 3 − 2.

14. у =

2 − х −1 .

15. у =

х − 2 −1 − 3 + 2.

16. у = − х −1 − 2.

Пример 2. Постройте график функции:

у = х −1 − 2 − х + 2.

Решение:        х – 1 = 0;        2 – х = 0;

х = 1.        х = 2.

1) х < 1: у = -х + 1 – 2 + х + 2, у = 1.

2) 1 ≤ х ≤ 2 :у = х – 1 – 2 + х + 2, у = 2х – 1.

3) х > 2: у = х – 1 + 2 –х +2 ,у = 3.

Постройте график функции:

1.у = х −1 + х − 2 + х.

2.у =

1 х − 2 + 3 +

3

2 х − 3.

3

3.у = х − 3 + 1 − х − 4.        4.у = 7 − х −1 + х + 5.

5.у = х −1 + х − 2.

6.у =

х + 2 х + 1 .

х        х + 1

7.у = 2х + 3

х − 2 .

8.у =

х −1 .

9.у = х + х .        10.у = х − 3 + х + 2.

11.у = х − 5 + х − 2.

12.у =

х − 2 +

х − 2

х − 3

.

х − 3

13.у = 2х − 5 + 3х −1.        14.у = х −1 + х .

15.у =

х + 2 − х + х − 2.

16.у = 2х − 4 −1+ х .

Постройте график уравнения:

1. у +

у = х.

2. у = х у .

5.3 − у = 2 − х +1.

3. х +

у =1.

4. у − 2 = 3х − 4.

6. х − у = 1.

Пример 3. Постройте график функции:

у = х −1 − х − 2 − х − 3.

Решение: Графиком функции является ломаная линия с вершинами в точках с абсциссами х = 1, х

= 2, х = 3 . Найдём ординаты этих точек:

у(1) = −1− 2 − 1− 3 = −1− 2 = −3, у(2) = 2 −1 − 2 − 3 = 1−1 = 0, у(3) = 3 −1 − 3 − 2 = 2 −1 = 1.

Значит, вершинами ломаной являются точки: (1;-3), (2;0), (3;1). Используя ещё две дополни- тельные точки (0;-4) и (4;0) , строим график функции.

Постройте график функции:

1.у =

3.у =

5.у =

х −1 + х +1. 2.у = х + х − 2.

х − 2 + 3. 4.у = х − 2 + х − 3 −1.

х +1 + х + 2 − х + 2 х − 2.

Графическое решение уравнений

Пример 1. Решить уравнение: х2 = х + 2.

Решение: 1) Рассмотрим две функции: у = х2, у = х + 2.

2). Построим в одной системе координат графики функций у = х2, у = х + 2.

3. А(-1;1) и В(2;4) – точки пересечения

графиков.

4. х = -1; х = 2 – корни уравнения. 5) Ответ: -1; 2.

Некоторые задачи с параметрами, особенно задачи, связанные с разрешимостью и числом решений

уравнений, наиболее удобно решать графическим методом.

Пример 2. Сколько решений в зависимости от

параметра а имеет уравнение

х +1 = а +1.

Решение: Перепишем уравнение в виде

х +1 −1 = а.

1. Введём две функции: у =

х +1 −1; у = а.

2. Построим в одной системе координат

графики функций

у = х +1 −1, у = а.

На основании рисунка получаем

Ответ: при а < -1 уравнение не имеет корней;

при а = - 1 уравнение имеет одно решение; при а > -1 уравнение имеет два корн

Задачи для самостоятельного решения

Решите графически уравнение:

1. х −1 = 3.

2. − 3 − х + 2 − х = 3.

Ответ: -2; 4.

Ответ: нет решений.

3. х2  – 5х + 6 = 0.        Ответ: 2; 3.

4. х −1 − х − 3 = 2.

5. х − 5 + 5 − х = 0.

6. х +1 − 2 = 0.

7.5 − х − 2 − х = 3.

8. х + 3 + х − 4 = 11.

Ответ: х ≥3 . Ответ: 5.

Ответ: -3; 1. Ответ: х ≤ 2. Ответ: -5.

9.2 х +1 = 2 − х.

10. х = х +1.

11.7 − х = 9 + х.

Ответ: -4; 0.

Ответ: -0,5.

Ответ: -1.

Сколько решений в зависимости от параметра а имеет уравнение:

1. х + 2 = а − 3.

3. х − 3 − 4 = а.

5. х + 2 = а + х − 2.

7.(х − 2)2 −1 − а = 0.

2. х −1 − 2 − а = 1.

4. х − 3= а.

6. х2 − 2 = а.

Делимость целых чисел

Определение и свойства делимости.

Целое число а делится на целое число b ≠ 0, если существует такое целое число с, что а = bс.

Если а делится на b, то kа делится на b.

Если целые числа а и b делятся на целое число m, то сумма а + b и разность а- b делятся на m.

Если а кратно m и m кратно b, то а кратно b.

Если а делится на k, b делится на n, то произведение аb делится на произведение kn.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а кратно 5. Докажите, что число 3а кратно 15.
2. Числа а и b делятся на с. Докажите, что число а – b делится на с.
3. Число а кратно 4, число b кратно 7. Докажите, что число аb кратно 28.
4. Число а кратно 3. Докажите, что число 2а2 + 6а делится на 18.
5. Число а кратно 2, число b кратно 9. Докажите, что число 9а + 2b кратно 18. 6.Число а кратно 4, число b кратно 8. Докажите, что число а2 – 2b кратно 16.

7. Докажите, что сумма двухзначного числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 11.
8. Докажите, что разность двухзначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится на 9.
9. Докажите, что разность квадрата целого числа и самого числа есть четное число.
10. Докажите, что число вида аb(a – b), где а и b – целые числа, четное.
11. Докажите, что 13+23+…+593 делится на 60.
12. Докажите, что 13+23+…+493 не делится на 50.

Теорема о делении с остатком

Для любого целого числа а и натурального числа b, существует единственная пара чисел q и  r таких что а = bq + r, где q – целое, r – натуральное или нуль, причем r может принимать лишь b различных значений 0; 1; 2; …; b – 1. Если остаток r равен нулю, то число а делится на b.

Задачи для самостоятельного решения

1. Число а при делении на 8 даёт остаток 6. Чему равен остаток от деления числа а на 4? Ответ: 2 Указание. Записать данное число в виде а = 8k + 6 = 4(2k + 1) + 2.

2. Число b при делении на 10 даёт остаток 7. Чему равен остаток от деления числа b на 2?
3. Напишите общий вид чисел кратных 4 и дающих при делении на 3 остаток 2.
4. Число а при делении на 5 даёт остаток 3. Чему равен остаток от деления на 5 числа а2 – 3а?
5. Найдите все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при делении на 4 дают остаток 3.
6. Найдите все числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, а при делении на 4 дают остаток 2.
7. Докажите, что если число а не кратно 3, то а 2 – 1 делится на 3.
8. Существует ли такое целое число, которое при делении на 10 даёт в остатке 3, а при делении на 15 даёт в остатке 7?
9. Существует ли такое целое число, которое при делении на 24 даёт в остатке 10, а при делении на 16 даёт в остатке 3?
10. Докажите, что число n3 – n кратно 6 при любом натуральном n.
11. Докажите, что число n3 – n кратно 24 при нечётном n.
12. Известно, а2 + b2 делится на 7. Докажите, что а2 + b2 делится на 49.
13. Известно, а2 + b2 делится на 3. Докажите, что а кратно 3 и b кратно 3.

Количество делителей.

Степень p n любого простого числа p имеет n + 1 делителей: 1; p; p2; . . . , p n. Если p1, p2, . . . , pk – различные простые числа, а а1, а2, . . . , а k – натуральные числа, то число

n = p a1 ⋅ p a2 ⋅⋅ p ak имеет (а1 + 1)(а2 + 1) ··· (а k + 1) различных делителей (считая 1 и n).

1        2        k

Задачи для самостоятельного решения

1. Сколько различных делителей имеет число: а) 35; б) 35 · 5; в) 22 · 33 · 44 · 55; г) 2700; д) 9!.
2. Натуральное число делится на 12 и имеет 14 различных делителей. Найдите это число.
3. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных натуральных делителей.
4. Найдите число, которое делится на 2 и 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и само это число).

Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное

Общим делителем чисел а и b называется число, на которое делятся оба числа а и b.

Для нахождения НОД (а;b) можно использовать алгоритм Евклида, выполняя последовательно деление с остатком. Например. Найти D (7975; 2585).

Решение. Выполняя деление, получаем

2

Так как последний отличный от нуля остаток равен 55, то D (7975; 2585) = 55. Общим кратным чисел а и b называется число, которое делится на а и на b. НОД (а; b) · НОК (а; b) = аb.

Задачи для самостоятельного решения 1.Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел: а) 846 и 246; б) 1960 и 588; в) 15283 и 10013; г) 42628 и 33124.

2. Сократите дробь

3. Приведите дроби

21120.

30720

111        и

21120

1234 к одному знаменателю.

30720

4. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 846 и 246; б) 1960 и 588.
5. Найдите а и b, если известно, что: а) а: b = 11: 13, D (а; b) = 5;

б) D(а; b) = 5, К (а; b) =165; в) D (а; b) = 7, аb = 294;

г) К (а; b) = 75, аb = 375;

д) а: b = 7:8, К (а; b) = 224.

Признаки делимости

Задачи для самостоятельного решения

1. В числе 1234567 * укажите последнюю цифру так, чтобы число делилось на: а) 2; б) 3; в) 4; г) 5; д) 8; е) 11; з) 25.
2. Докажите, что число: а) 100 100 – 1; б) 10 n + 35 – составное.

3. Докажите, что число: а) 19 1990 - 34 10; б) 34 1990 – 19 10 кратно 5.

4. Замените звёздочки в записи числа 72 * 3* цифрами так, чтобы это число делилось без остатка на 45.

5. Число 82 ** делится на 90. Найдите делимое.

6. Найти цифры х и у пятизначного числа 42х4у, если известно, что это число делится на 72.

Сравнения. Периодичность остатков при возведения в степень

Определение. Если два числа а и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что а и b сравнимы по модулю m, и пишут: а ≡ b(modm).

Запись а ≡ b(modm).можно прочитать так: а сравнимо с b по модулю m; это означает, что а и

b имеют одинаковые остатки при делении на m.

Сравнения – это другая запись свойств делимости. С помощью этой записи можно проще и короче объяснить некоторые из них.

Например, числа 12 и 27 сравнимы по модулю 5

(27

≡12(mod5) ), так как 27 – 12 =15, а число 15 делится на 5. То же самое можно было объяснить

и так: 12 = 5 · 2 + 2, 27 = 5 · 5 + + 2, откуда видно, что 12 и 27 имеют одинаковые остатки при

делении на 5. Свойства сравнений:

1. Сравнимость чисел а и b по модулю m равносильна возможности представить число а виде а

= b + mt, где t- целое.

Например, 43 ≡ 1(mod6) и 43 = 1 + 6 · 7.

2. Каждое число а сравнимо с самим собой по произвольному модулю, т.е. а ≡ а(modm).
3. Если а ≡ c(modm) и b ≡ с (mod m), то а ≡ b(modm).

Например, 9 ≡ 5(mod 4) и 13 ≡ 5(mod 4), а, значит,

9 ≡ 13(mod 4).

4. Сравнения с общим модулем можно почленно складывать (или вычитать). Например, 23 ≡ 3(mod 5) и 9 ≡ 24(mod 5),

а следовательно 32 ≡ 27(mod5).

5. Сравнения можно почленно перемножить и возводить в степень, например: 9 ≡ 5(mod 4), следовательно:

а) 90 ≡ 50(mod 4) - обе стороны умножены на 10;

б) 81 ≡ 25(mod 4) – обе стороны возведены в квадрат.

6. Сравнение а ≡ b(modm).имеет место только в том случае, если разность а – b делится на m.

Пример 1. Докажите, что число 2256 −1 при делении на 7 даёт в остатке 1.

(23 )85 ≡ 185 (mod7),

Решение: Имеем:

23 ≡ 1(mod7),

2255 ≡ 1(mod7).

Теперь, умножая обе части полученного

сравнения на 2, получим:

2256 ≡ 2(mod7).

Вычитаем затем 1 из обеих частей последнего

сравнения: остатке 1.

2256 −1 ≡1(mod7),

откуда и следует, что число

2256 −1при делении на 7 даёт в

Пример 2. Найти остаток от деления числа 222555 на 7.

Решение: Так как 222 = 7 ∙ 31 + 5 , то 222 ≡ 5 (mod 7), и поэтому 222555 ≡ 5555 (mod7).

Теперь посмотрим, как повторяются остатки степеней пятёрки при делении на 7. Находим:

52 = 25 ≡ 4(mod7),53 ≡ 4∙ 5 (mod7),

54 ≡ 6 ⋅ 5 ≡ 2(mod7),

55 ≡ 2 ⋅ 5 ≡ 3(mod7),

56 ≡ 3⋅ 5 ≡ 1(mod7).

Итак, 56 ≡ 1(mod7). Возводя в степень k , получаем: 56κ ≡ 1(mod7 ) при любом натуральном k. Но

555 = 6 · 92+ 3. Поэтому 5555 = 56⋅92+3 = 56⋅92 ⋅ 53 ≡ 6(mod7).

делении на 7 остаток 6.

Таким образом, число 222555 даёт при

Задачи для самостоятельного решения

1. Делится ли число 222555 + 555222

на 7?

2. Найдите остаток от деления числа 6592 на 11.

3. Найдите остаток от деления числа 7100  +11100
4. Докажите, что число 1110 −1 делится на 100.
5. Делится ли число 7777 − 777 на 10?

на 13.

6. Найдите остаток от деления числа (5100 + 55)100 на 24.

7. Докажите, что число 3003000 −1 делится на 1001.
8. Найдите остаток от деления числа 2 100 на 7.
9. Какой цифрой оканчивается число 777 777?
10. Какой цифрой оканчивается число 141414 ?

Формулы сокращенного умножения

(а ± b)2 = а2 ± 2аb + b2;

(а1 + а 2+ ··· + а n)2 = а 2 + а 22+ ··· + а n2 + 2а 1а 2 + 2а1а 3 + ··· + 2а n-1а n; (а ± b)3 = а3 ± 3а 2b+ 3аb 2 ± b 3;

а2- b2 = (а + b)(а – b);

аn- bn = (а – b)(а n-1 + а n-2b + … + a n-kbk-1 + …+ ab n-2 + b n-1); аn – 1 = (a -1)(a n-1 + a n-2 + …+ a n – k+ …+ a + 1);

a2m +1 + b 2m +1 = (a + b) (a 2m – a 2m -1b + …+ (-1) ka 2m – kb k + ··· - ab 2m -1 + b 2m);

a2m +1 + 1 = (a + 1) (a 2m – a 2m -1 + ··· + (-1) ka 2m – k + ··· - a + 1).

Задачи для самостоятельного решения

1. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (а + b + с)2;        г) (а – b – с)2;

б) (p + х + с + d)2;        д) (2а – х + 3с)2;