Готовимся к ОГЭ и ЕГЭ по математике

Задача В9

Вариант 1.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Ради- ус сферы равен . Найдите образующую конуса. 10

Решение.

В осевом сечении конуса получается равнобедренный прямоугольный треугольник (в се- чении сферы получается окружность, описанная около треугольника, причём вписанный угол опирается на диаметр). Высота, проведённая к гипотенузе, равна радиусу сферы и равна половине гипотенузы. При вычислении гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусу сферы получаем, гипотенуза равна    R , где – R радиус сферы.  

Образующая конуса равна . 10  =20

Ответ: 20.

Вариант 2.

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Обра- зующая конуса равна . Найдите радиус сферы

Решение.

В осевом сечении конуса получается равнобедренный прямоугольный треугольник (в се- чении сферы получается окружность, описанная около треугольника, причём вписанный угол опирается на диаметр). Высота, проведённая к гипотенузе, равна радиусу сферы и равна половине гипотенузы. При вычислении гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными радиусу сферы получаем, радиус равен  , где –  l длина образую- щей конуса.

Радиус сферы равен  50

Ответ: 50.

Вариант 3.

Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29. Найдите диаметр основания конуса.

Решение.

В осевом сечении конуса получается равнобедренный треугольник.

Радиус основания можно найти из прямоугольного треугольника с катета- ми, равными радиусу и высоте, и гипотенузой, равной образующей. Длина радиуса равна  = Диаметр основания конуса равен  40

Ответ: 40

Вариант 4.

Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей равна 41. Найдите высоту конуса.

Решение.

В осевом сечении конуса получается равнобедренный треугольник. Радиус ос- нования равен половине диаметра конуса. Высоту конуса можно найти из пря- моугольного треугольника с катетами, равными радиусу и высоте, и гипотену- зой, равной образующей. Длина высоты равна  Высота конуса равна 40.

Ответ: 40.

Задача В10

Вариант 1.

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким- либо теннисистом из России.

Решение.

В паре с Анатолием Москвиным может быть один из 6 спортсменов из России из 75 ос- тавшихся спортсменов. Вероятность равна  

Ответ: 0,08.

Вариант 2.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Най- дите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.

Решение.

События «выступление спортсмена из Италии первым», «выступление спортсмена из Италии вторым», и т.д. равновероятны. Вероятность каждого такого события равна .

Ответ: 0,16.

Вариант 3.

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.

Решение.

Число благоприятных событий – (50 – 13), общее число событий – 50.

Вероятность события «не достанется вопрос про Александра Второго» равна .

Ответ: 0,74.

Вариант 4.

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 16 из них встречается вопрос по логарифмам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по логарифмам.

Решение.

Число благоприятных исходов – 16, общее число событий – 20.

Вероятность события «достанется вопрос по логарифмам» равна .

Ответ: 0,8.

Задача В 11

Вариант 1.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки , D, A1,B1,C1,D1,E1, F1 правильной шестиугольной призмы , площадь основания которой равна 12, а бо- ковое ребро равно 2.

Решение.

Многогранник D, A1,B1,C1,D1,E1, F1   – шестиугольная пирамида с вершиной D и основанием  A1,B1,C1,D1,E1, F1 . Пирамида и призма имеют одно и то же основание, их высоты равны. Объём пирамиды равен    , где –S  площадь основания, h– высота пирамиды.

Объём пирамиды равен

Ответ: 8.

Вариант 3.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C,

 A , 1 B , 1 C правильной треугольной призмы  ABCA1 B1 C1 , площадь ос-

нования которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

Решение.

Многогранник CA1B1C 1  – треугольная пирамида с вершиной C и основа-

нием  A1B1C1 . Пирамида и призма имеют одно и то же основание, их высоты равны. Объём пирамиды равен  Sh

где S – площадь основания, h – высота пирамиды (боковое ребро

прямой призмы).

Объём пирамиды равен

Ответ: 12.

Вариант № 35478188

1. Задание 1 № 323514

Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,2 м?

2. Задание 2 № 512488

Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

3. Задание 3 № 27451

Найдите синус угла  В ответе укажите значение синуса, умноженное на 

4. Задание 4 № 320177

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

5. Задание 5 № 77379

Решите уравнение 

6. Задание 6 № 27943

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

7. Задание 7 № 119973

Прямая  является касательной к графику функции  Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

8. Задание 8 № 27099

Объем куба равен  Найдите его диагональ.

9. Задание 9 № 26840

Найдите , если 

10. Задание 10 № 28000

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где  – время в секундах, амплитуда  В, частота /с, фаза  Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем  В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

11. Задание 11 № 99568

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

12. Задание 12 № 77492

Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку 

13. Задание 13 № 519423

а) Решите уравнение .

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку .

14. Задание 14 № 509022

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что  AD = 12, AA1 = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

15. Задание 15 № 508345

Решите неравенство: 

16. Задание 16 № 504546

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

17. Задание 17 № 509583

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

18. Задание 18 № 513111

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет ровно два различных решения.

19. Задание 19 № 505570

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Вариант № 35478188

1. Задание 1 № 323514

Одного рулона обоев хватает для оклейки полосы от пола до потолка шириной 1,6 м. Сколько рулонов обоев нужно купить для оклейки прямоугольной комнаты размерами 2,3 м на 4,2 м?

Решение.

Периметр комнаты равен 2,3 + 4,2 + 2,3 + 4,2 = 13 м. Поскольку 13 : 1,6 = 8,125, для оклейки комнаты необходимо 9 рулонов обоев.

Ответ: 9.

Примечание.

В действительности комнаты имеют двери и окна, размеры которых необходимо принимать во внимание.

Ответ: 9

2. Задание 2 № 512488

Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

Решение.

Чтобы найти среднюю скорость движения точки, необходимо перемещение поделить на время прохождения:  м/с

Ответ: 1,6

Ответ: 1,6

3. Задание 3 № 27451

Найдите синус угла  В ответе укажите значение синуса, умноженное на 

Решение.

Проведем перпендикуляр BK из точки B на продолжение луча OA за точку А. Углы ВОА и ВОК смежные, их синусы равны:

Тогда 

Ответ: 1.

Ответ: 1

4. Задание 4 № 320177

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение.

Пусть событие  состоит в том, что яйцо имеет высшую категорию, события  и  состоят в том, что яйцо произведено в первом и втором хозяйствах соответственно. Тогда события  и  — события, состоящие в том, что яйцо высшей категории произведено в первом и втором хозяйстве соответственно. По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

Поскольку по условию эта вероятность равна 0,35, поэтому для вероятности того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве имеем:

Примечание Ивана Высоцкого.

Это решение можно записать коротко. Пусть  — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда  — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:

Ответ: 0,75.

Приведем другое решение.

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает  яиц, в том числе,  яиц высшей категории, а во втором хозяйстве —  яиц, в том числе  яиц высшей категории. Тем самым, всего агрофирма закупает  яиц, в том числе  яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна

Ответ: 0,75

5. Задание 5 № 77379

Решите уравнение 

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: −2.

Ответ: -2

6. Задание 6 № 27943

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Решение.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек  соответственно равны друг другу. Поэтому

Следовательно,

Ответ: 24.

Ответ: 24

7. Задание 7 № 119973

Прямая  является касательной к графику функции  Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Условие касания графика функции  и прямой  задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.

Приведём другое решение.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение  должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения  Найдем его:

Дискриминант обращается в нуль при  или 

Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение  При  имеем:

Аналогично при  имеем:

Точка касания имеет положительную абсциссу при 

Ответ: −33.

Ответ: -33

8. Задание 8 № 27099

Объем куба равен  Найдите его диагональ.

Решение.

Если ребро куба равно , то его объем и диагональ даются формулами  и  Следовательно,

Тогда диагональ равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

9. Задание 9 № 26840

Найдите , если 

Решение.

Подставим аргументы в формулу, задающую функцию:

Следовательно, 

Ответ: 0.

Ответ: 0

10. Задание 10 № 28000

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где  – время в секундах, амплитуда  В, частота /с, фаза  Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем  В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:

На протяжении первой секунды лампочка будет гореть  с, то есть % времени.

Ответ: 50.

Ответ: 50

11. Задание 11 № 99568

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет  дохода семьи.

Ответ: 27.

Ответ: 27

12. Задание 12 № 77492

Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку 

Решение.

Найдем производную заданной функции:

На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 1,5.

Определим знаки производной функции: она положительна при x < 1,5 и отрицательна при x > 1,5. Поэтому искомая точка максимума — число 1,5.

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

13. Задание 13 № 519423

а) Решите уравнение .

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку .

Решение.

а) Сделаем замену  возведём обе части в квадрат

тогда . Имеем:

Вернемся к исходной переменной. Если , то

Если , то

б) Выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку  В силу неравенств

 и 

из найденных корней уравнения заданному отрезку принадлежат только числа  и 

Ответ: а)  б) 

Критерии проверки:

14. Задание 14 № 509022

На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E = 6EA. Точка T — середина ребра B1C1. Известно, что  AD = 12, AA1 = 14.

а) Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

Решение.

а) Проведём отрезок  и в плоскости грани  проведём через точку  прямую, параллельную  Эта прямая пересечёт ребро  в точке  Точка  лежит в плоскости  Треугольники  и  подобны, как треугольники с параллельными сторонами, следовательно,

Таким образом,  Тогда  и 

б) Четырёхугольник  — сечение параллелепипеда плоскостью  Поскольку стороны  и  параллельны, но не равны. Четырёхугольник  — трапеция. Продолжим боковые стороны  и  до пересечения в точке  Точка  — середина  поэтому отрезок  — средняя линия треугольника  Из равенства треугольников  и  получаем  откуда  то есть трапеция  — равнобедренная.

Найдём стороны трапеции:

Высота равнобедренной трапеции 

Тогда 

Ответ: б) 90.

Критерии проверки:

*Критерии распространяются и на случай использования координатного метода

15. Задание 15 № 508345

Решите неравенство: 

Решение.

Приведём выражение к общему знаменателю:

Предпоследнее преобразование верно, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Получаем  или 

Ответ: 

Критерии проверки:

16. Задание 16 № 504546

На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE.

а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.

б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = 5.

Решение.

а) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC. Проведём отрезок KE и заметим, что он является гипотенузой прямоугольного треугольника KCE, подобного треугольнику ABC.

Рассмотрим углы четырёхугольника ABEK. Если ∠ABE = α то

, а 

Значит,

Сумма двух противоположных углов в четырёхугольнике 180°, следовательно, четырёхугольник вписан в окружность.

б) Радиус окружности, проходящей через точки A, B и E, найдем по теореме синусов:

Из подобия треугольников CEH и ABC находим

 откуда 

Тогда

Поэтому

Следовательно, искомый радиус

Приведем решение п. б) присланное пользователем сайта.

Продолжим отрезок КН за точку Н и точку его пересечения окружностью назовем Р. Очевидно,  следовательно,  Заметим, что  как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Значит,  то есть  — прямой. Таким образом,  и CHPB — параллелограмм, в котором BP = CH = 5, а AP диаметр окружности. Найдем его из прямоугольного треугольника ABP:

Следовательно, искомый радиус 

Ответ: 

Критерии проверки:

17. Задание 17 № 509583

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

Решение.

Пусть Bi — размер долга Жанны на конец месяца i, Xi — платеж Жанны в конце месяца i. Мы знаем, что имеет место соотношение Bi = 1,02Bi − 1 − Xi. Кроме того, мы знаем, что последовательность (Bi) является арифметической прогрессией. При этом B0 = 1200 тыс. руб., а B24 = 0, так как в конце срока кредитования долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать всю последовательность Bi:  Значит,

Поскольку Xi линейно зависит от i, последовательность Xi также является арифметической прогрессией. Значит,

 тыс. рублей.

Ответ: 822 тыс. рублей.

Приведём другое решение.

Ежемесячно Жанна возвращает банку по 1,2 млн : 24 = 50 тыс. руб. тела долга и выплачивает равномерно уменьшающуюся от максимального значения до нуля сумму процентов за пользование кредитом. За первый месяц это 0,02 · 1,2 млн = 24 тыс. руб. За второй месяц на 1/24 меньше то есть 23 тыс. руб., затем 22 тыс. руб. и так далее. Поэтому выплаты за 12 первых месяцев составят арифметическую прогрессию с первым членом 74, последним — 63 тыс. руб. Ее сумма равна 12(74 + 63)/2 = 822 тыс. руб.

Критерии проверки:

18. Задание 18 № 513111

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет ровно два различных решения.

Решение.

Решим первое уравнение:

Рассмотрим случай (1): y = −7. При любом a получаем одно решение x = a + 7, для которого неравенство x ≥ −3 верно только при a ≥ −10.

Рассмотрим случай (2):

Так как  то при  корней нет, при  получаем один корень  при  получаем два различных корня. У параболы  — ветви вверх, абсцисса вершины равна 

Значит, оба корня не меньше -3 при  то есть при  а при  один корень меньше −3, а другой — больше −3.

Соберем сведения о числе решений в случаях (1) и (2) в таблице

Остаётся учесть те значения a, при которых решение из случая (1) совпадает с одним из решений случая (2). Тогда  с учётом  из  получаем, что x = 4, a = −3.

Ответ: 

Примечание: для решения задачи можно использовать графо-аналитический метод.

Критерии проверки:

19. Задание 19 № 505570

За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью ─ 0,5 очка, за проигрыш ─ 0 очков. В турнире принимают участие m мальчиков и d девочек, причём каждый играет с каждым дважды.

а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если m = 3, d = 2?

б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если m + d = 10.

в) Каковы все возможные значения d, если m = 7d и известно, что в сумме мальчики набрали ровно в 3 раза больше очков, чем девочки?

Решение.

а) Каждая из двух девочек могла выиграть оба раза у всех троих мальчиков, получив в сумме 6 очков. Сыграв две партии друг с другом, девочки распределили между собой ещё 2 очка. Всего  очков.

б) Играя по две партии каждый с каждым, десять детей играют всего  партий. В каждой партии вне зависимости от её исхода разыгрывается одно очко. Поэтому всего набрано 90 очков.

в) Всего детей было  играя по две партии каждый с каждым они сыграли между собой  партий и разыграли  очков. Из них у мальчиков три четверти очков, а у девочек — одна четверть, то есть у девочек очков. Заметим, что если каждая девочка выиграла у всех мальчиков, то вместе девочки набрали максимум  очков, а играя между собой, девочки распределили  очков. Поэтому наибольшее количество очков, которое могли набрать девочки, равно  Тем самым, имеем:  Следовательно, девочек не могло быть больше одной.

Если девочка была одна, то мальчиков было семеро. Они сыграли 56 партий и разыграли 56 очков. Девочка набрала 14 очков, выиграв у каждого из мальчиков по две партии. Играя между собой, мальчики разыграли оставшиеся 42 очка.

Ответ: а) 14; б) 90; в) 1.

Приведём похожее решение.

а) Всего девочки играют 2 партии между собой и 12 партий против мальчиков (по 6 каждая). Поэтому максимальное суммарное число очков, которые они могут набрать, равно 2+12=14.

б) Если участников всего 10, то каждый играет с 9-ю другими участниками по два раза, значит, всего происходит 18 туров по 5 партий в каждом. В 90 партиях разыгрывается 90 очков, поэтому ответ 90.

в) Пусть девочек , а мальчиков  В партиях между собой девочки набрали  очков, а мальчики в партиях между собой набрали  очков. Всего состоялось  партий. Значит, партий между мальчиками и девочками состоялось  Пусть девочки набрали в них x очков. Тогда получаем уравнение: , откуда  или  Ясно, что , отсюда , то есть  или  Понятно, что 0 — посторонний корень. Если девочка была одна, то мальчиков было 7, в случае, когда девочка выиграла у всех мальчиков по два раза, она набрала 14 очков. При этом мальчики сыграли между собой 42 партии и набрали 42 очка, например, сыграли все эти партии вничью или любым другим образом.

Критерии проверки:

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

1

323514

9

2

512488

1,6

3

27451

1

4

320177

0,75

5

77379

-2

6

27943

24

7

119973

-33

8

27099

6

9

26840

0

10

28000

50

11

99568

27

12

77492

1,5

13

519423

а)  б) 

14

509022

б) 90.

15

508345

16

509583

822 тыс. рублей.

17

513111

18

505570

а) 14; б) 90; в) 1.