Методические разработки уроков

Министерство общего и профессионального образования

Ростовской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ростовской области

«Донецкий сельскохозяйственный техникум»

УРОК

по  дисциплине «Математика»

Тема «Простейшие тригонометрические уравнения»

Преподаватель математики:  Бондаренко Галина Ильясовна

г. Миллерово

Урок - игра.

Тема "Простейшие тригонометрические уравнения"

Задачи

Образовательные: повторить понятия основных тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, познакомить с понятие тригонометрического уравнений, ввести формулы для решения простейших тригонометрических уравнений, сформировать умения решать простейшие тригонометрические уравнения, используя соответствующие формулы.

Воспитательные: содействовать формированию личностно – адаптивной компетентности (быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию).

Развивающие: развитие информационной, коммуникативной, исследовательской компетентностей.

1. Организационный момент (2 мин)

Мудрые мысли:

Математика – это  язык, на котором говорят все точные науки”

Н.И. Лобачевский

“Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случаев,  делать его немного занимательным”.

Б. Паскаль

Золотые слова:

• Наука и труд, дивные всходы дают.
• Больше узнаешь – сильнее станешь.
• Будешь книги читать – будешь все знать.

Учащиеся класса разбились на три команды,  командам подготовлены места в классе, участники рассаживаются вокруг своего стола - это рабочее место каждой команды.

2. Актуализация знаний (13 мин)

РАЗМИНКА: (3 мин)

Даны фамилии ученных. Буквы переставлены местами. Расшифруйте эти фамилии.

• КИЙС – АБОЛ – ЧЕВ (Лобачевский)
• РЕЛ – ЭЙ (Эйлер)
• НОТЬ – ЮН (Ньютон)
•  НОС – ЛОМОВО (Ломоносов)
•  ГОРА – ПИФ (Пифагор)
•  ЦИНБ – ЛЕЙ (Лейбниц)

Задание на скорость. Время на выполнение задания 3 минуты. За каждый правильный ответ по одному баллу. Полученные баллы выставляются в карточку «Итоги конкурсов».

КОНКУРС № 1. ВОПРОСЫ (5 мин)

1. Дайте определение синуса угла в единичной окружности.
2. Дайте определение арксинуса числа.
3. Какими функция ми являются между собой функции синуса и арксинуса?
4. Дайте определение косинуса угла в единичной окружности.
5. Дайте определение арккосинуса числа.
6. Дайте определение тангенса острого угла.
7. Дайте определение арккотангенса числа.
8. Дайте определение котангенса острого угла.
9. Назовите функцию обратную котангенсу.
10.  Как связаны между собой тангенс и котангенс.

На каждой карточке по одному вопросу. Команды вытягивают по очереди карточки и отвечают. За каждый правильный ответ по одному баллу. Если команда не отвечает на свой вопрос, то может ответить другая команда.  Полученные баллы выставляются в карточку «Итоги конкурсов».

КОНКУРС № 2. «Формулы мы знаем на отлично» (5 мин)

Каждый участник команды записывает по одной тригонометрической формуле на листках. В каждой команде формулы не должны повторяться. Время на данный конкурс 5 минут. Чья команда напишет больше формул? За каждую правильную формулу по одному баллу. Полученные баллы выставляются в карточку «Итоги конкурсов».

3. Мотивация учебной деятельности, сообщение темы, цели и задачи занятия. (2 мин)

4. Восприятие учебного материала и осознание его студентами. (25 мин)

КОНКУРС № 3. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Команды подготовили дома доклады на тему «Тригонометрические уравнения». За каждый доклад выставляется максимум 5 баллов.

Команда № 1

Тригонометрические уравнения. Уравнение cos x = a.

Из определения косинуса следует, что . Поэтому если , то уравнение cos x = a не имеет корней. Например уравнение cos x = - 1,5 не имеет корней.

Решим уравнение cos x = ½. Для решения данного уравнения вспомним, как вычисляется арккосинус числа.

Примеры.  arсcos = , так как cos =  и 0 ≤  ≤

                arсcos = , так как cos =  и 0 ≤  ≤

Для решения уравнения cos x = a необходимо воспользоваться следующей схемой.

Решим уравнение cos x = ½.

Так как  < 1, то воспользуемся

следующей формулой  

х = ± arccos а + 2πn, n є Z.  

х = ± arccos 1/2 + 2πn, n є Z  

х = ±  + 2πn, n є Z  - решение уравнения.

Решить уравнение cos x = 5.

Так как  > 1, то уравнение не имеет решений.

Решить уравнение

(Самостоятельно решают обе команды.

Кто быстрее выполнит задание тому 1 балл).

cos x = .

Команда № 2

Тригонометрические уравнения. Уравнение sin x = a.

Из определения синуса  следует, что . Поэтому если , то уравнение sin x = a не имеет корней. Например уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Решим уравнение sin x = ½. Для решения данного вспомним, как вычисляется арксинус числа.

Примеры.  arсsin = , так как sin  =  и   ≤   ≤

                 arсsin = - , так как sin (-) =  и   ≤   ≤ .

Для решения уравнения sin x = a необходимо воспользоваться следующей схемой.

Решим уравнение sin x = ½.

Так как  < 1, то воспользуемся

следующей формулой  

х = (-1)n arcsin a + πn, nе Z

х = (-1)n arcsin ½ + πn, nе Z

х = (-1)n  + πn, nе Z - решение уравнения.

Решить уравнение sin x = - 2.

Так как  > 1, то уравнение не имеет решений.

Решить уравнение  

(Самостоятельно решают обе команды.

Кто быстрее выполнит задание тому 1 балл).

sin x = .

Команда № 3

 Тригонометрические уравнения. Уравнение tg x = a.

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = a имеет корни при любом значении а.

Решим уравнение tg x = . Для решения данного уравнения вспомним как вычисляется арктангенс числа.

Примеры. arсtg 1= , так как tg  = 1 и   <   <

                arсtg = - , так как tg (-) =  и   <   < .

Для решения уравнения tg x = a необходимо воспользоваться следующей схемой.

Решим уравнение tg x = .

Так как a = , то воспользуемся

следующей формулой  

x = arctg a + πn,n є Z

x = arctg  + πn,n є Z

x =  + πn,n є Z - решение уравнения.

Решить уравнение tg x = 2.

x = arctg a + πn,n є Z

x = arctg 2 + πn,n є Z - решение уравнения.

Решить уравнение

(Самостоятельно решают обе команды.

Кто быстрее выполнит задание тому 1 балл)

tg x = .

5. Осмысление и систематизация знаний.

КОНКУРС № 4. “СПЕШИТЕ РЕШИТЬ” (30 мин)

На карточках дан тест. Необходимо решить все уравнения и выбрать правильные ответы. Чья команда быстрее и правильнее выполнит. Та и победила в этом конкурсе.  По одному баллу за каждый правильный ответ.

ТЕСТ

Вопрос № 1.  Решить уравнение

А)   Б)   В)    Г)

Вопрос № 2.  Решить уравнение cos 2x = 0

А)     Б)     В)       Г)

Вопрос № 3.  Решить уравнение cos x =1,2   

А) Нет правильного ответа   Б) Множество решений    В) Нет решений    Г)

Вопрос № 4. Решить уравнение sin x = 0 

А)  Б)    В)            Г)

Вопрос № 5. Решить уравнение sin x = -

А)      Б)    В)       Г)

Вопрос № 6. Решить уравнение sin 2x =  

А)    Б)    В)    Г)

Вопрос № 7. Решить уравнение tg x = 1                        

А) х = π /4 + π n,n є Z    Б) х = π + π n,n є Z       В) Нет решений            Г) х = - π/4 + π n,n є Z

Вопрос № 8. Решить уравнение tg = -                         

А)     Б)    В)         Г)

Максимальное количество баллов – 8.

КОНКУРС № 5. «ЗАМОРОЧКИ ИЗ БОЧКИ» (3 мин)

РАЗГАДАТЬ РЕБУСЫ

Каждой команде раздаются одинаковые карточки с ребусами, которые участники команд должны разгадать, каждый угаданный ребус оценивается в один балл.

Команда суммирует баллы и подводит итоги игры. Та команда у которой больше всего баллов получает «5» за урок. Остальные оценки выставляются самым активным учащимся.

6. Рефлексия. (3 мин)

- Что нового вы узнали сегодня на уроке?

– Какие формулы были использованы для решения уравнений?

– На каком этапе урока у вас возникли затруднения, какого характера?

– Успешно ли вы решили возникшие затруднения?

– Какой этап урока не вызвал затруднений?

-  Как ты оцениваешь свою работу на уроке?

VII. Задание на дом. (2 мин)

Стр. 190, 197, 198, № 18 (Башмаков М.И. Математика, учебник для 10 кл.)

РАБОЧАЯ КАРТА УРОКА

Студента  группы  _____  ФИ  ______________________________

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Ростовской области

«Миллеровский техникум агропромышленных технологий и управления (ДСХТ)»

Методическая разработка

открытого урока

по учебной дисциплине: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

тема: «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»

Разработала: Бондаренко Галина Ильясовна,

преподаватель математики

г. Миллерово

2016 г.

Автор: Бондаренко Г.И. , преподаватель математики

Рецензенты: Прибыткова В.Н, старший методист ИМЦ

                      Лашутина О.Н., председатель цикловой комиссии

СОДЕРЖАНИЕ

1. Предисловие
2. Технологическая карта учебного занятия
3. Структура и методический инструментарий учебного занятия
4. Ход урока
5. Рефлексия
6. Литература

Предисловие

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Основа хорошего понимания комбинаторики умение считать, думать, рассуждать, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности можно выработать, если быть настойчивым, трудолюбивым и внимательным на уроках, самостоятельно и с интересом заниматься.

Урок по теме «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»  знакомит обучающихся с новым разделом математики: «Комбинаторика», основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека.

Задачи с использованием элементов комбинаторики входят в состав экзамена по математике. Поэтому у обучающихся должны формироваться первоначальные представления о комбинаторных задачах.

На уроке будут использованы такие виды деятельности, как практические, самостоятельные работы, решение задач, защита докладов и сообщений. Данный урок поможет обучающимся по-другому посмотреть на окружающий мир. После данного урока они смогут объективно оценивать некоторые вещи, опираясь на математические подсчеты.

Они учатся решать комбинаторные задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» по формулам, что развивает логическое мышление.

Тема «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов» является первым уроком в разделе «Комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика» рабочей программы.

При подготовке к уроку трем обучающимся было дано опережающее задание, которое требовало самостоятельно изучить и подготовить материал к уроку по следующим вопросам: какие факторы (причины) способствовали появлению науки комбинаторики, какие ученые стояли у самых истоков возникновения, существует ли комбинаторика в реальной жизни, если да, то в каких отраслях применяется, какие задачи называются комбинаторными и как можно их решить.  Рассмотрение данных вопросов в начале урока позволит вызвать интерес у обучающихся к изучаемой теме, создать рабочую атмосферу.

Предварительно была подготовлена презентация по теме «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов», которая наглядно демонстрирует основные шаги объяснения материала. Так же были подготовлены карточки с заданиями для каждого обучающегося, которые должны заполнятся в течении всего урока.

Технологическая карта учебного занятия

Дата:

Учебная дисциплина: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия».

Специальность: Право и организация социального обеспечения

Тема занятия: Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов

Тип занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид занятия: смешанный урок (исследовательская работа, беседа)

Место проведения: кабинет 16Э.

Продолжительность: 80 минут.

Цели занятия: обеспечить оценку и проверку знаний; создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения, для формирования системы знаний, связанных с  понятиями размещений, перестановок и сочетаний, содействовать умению общаться между собой; формировать умения делать обобщения на основе полученных данных в результате исследования, выбирать правильные утверждения из нескольких данных.

По окончанию занятия обучающийся имеет практический опыт:

Знает:

понятие предмета комбинаторика

понятие факториала

понятие размещений, перестановок и сочетаний

Умеет:

организовывать поиск, сбор и получение информации об истории развития комбинаторики, ее применении при решении задач, находить связь комбинаторики с окружающим миром, решать простейшие комбинаторные задачи.

Владеет: 

 умением анализировать, сравнивать, аргументировать свои ответы.

Дидактические задачи:

Образовательные: ввести понятие предмета комбинаторики, познакомить с историей развития и применения в жизни; рассмотреть различные виды комбинаторных соединений: размещения, перестановки и сочетания; сформировать у обучающихся первичные умения и навыки решения задач.

Воспитательные: формировать научное мировоззрение у обучающихся,  культуру математической речи,  информационную и  коммуникативную культуру студентов; воспитание дружелюбного отношения друг другу, умение работать в коллективе.

Развивающие: развивать познавательный интерес студентов, логическое мышление, умение применять знания в изменённой ситуации, делать выводы и обобщения; развивать  умения сравнивать, систематизировать, обобщать; навыки контроля и самоконтроля.

Методическая цель:

Использовать приемы, активизирующие внимание и память;

Продемонстрировать возможность использования на уроке информационных технологий, организацию фронтальной и индивидуальной работы.

Методы обучения:

Проблемно-поисковый, метод беседы, методы организации и осуществления учебно-познавательной деятельности, методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебно-познавательной деятельности. 

Формы организации познавательной деятельности:

Фронтальная, работа в парах, индивидуальная работа.

Средства технологической поддержки учебной работы:

1. компьютер,
2. проектор,
3. презентация по теме «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики», презентация по теме «Комбинаторика в реальной жизни», презентация по теме «Решение комбинаторных задач», «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»
4. экран
5. Сопроводительная карта урока, для записи конспекта
6. Рабочая программа, календарно- тематический план, план занятия.

Межпредметные связи:

Обеспечиваемые – информатика, химия, экономика

Обеспечивающие – информатика, реальная математика

Структура и методический инструментарий учебного занятия

Подготовительная работа.

За две недели до проведения данного урока студентам дается задание:

Исследовать различные источники, и найти информацию, так или иначе связанную с темой данного урока. (Студентам выдаются темы сообщений, список литературы, возможно, ссылки на Интернет ресурсы.)

Собранная студентами информация изучается учителем, систематизируется. Учитель выясняет, какая тема больше всего интересна каждому студенту, окончательно утверждает темы сообщений и вбираются докладчики.

Темы сообщений:

• «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики»
• «Комбинаторика в реальной жизни»
• «Решение комбинаторных задач»

 Примерный перечень вопросов при работе над темой:

• Основные понятия по данной теме;
• Исторические комментарии;
• Связь рассматриваемых объектов с природой и жизнью человека;
• Интегрирование полученных знаний в различные области науки, техники, технологии, в творческие области;
• Упражнения и задачи решения.

Ход урока

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока. (2 мин)

Преподаватель проверяет готовность к уроку.

Я рада приветствовать всех Вас на сегодняшнем уроке. Все мы с вами пришли на урок с разным настроением, но я надеюсь, что в конце нашего занятия у нас у всех будут только положительные эмоции.

Девизом нашего занятия я предлагаю взять слова английского математика Д. Сильвестра

 «Число, положение и комбинация -

     три взаимно пересекающиеся,

    но различные сферы мысли,

   к которым можно отнести

   все математические идеи»                                                                                                                

Английский математик  

Джеймс Джозеф Сильвестр
                           (1814-1897)

2. Мотивация к усвоению нового материала. Фронтальная работа с группой. (5 мин)

Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем здороваться мысленным  рукопожатием.

– В классе нас сколько?

Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?

– Итак, какие  будут ответы?

Допустим нас 25.

Каждый из 25-и  человек пожал руки 24-м. Однако произведение 25 * 24 = 600 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (25 * 24) : 2 = 300.

– Мы с вами столкнулись с комбинаторной задачей.   
Поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае, занят целый раздел математики, и мы познакомимся с ним. Особая примета подобных задач – это  вопрос, который   можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами:

• Сколькими способами…?
• Сколько вариантов…?

Итак тема нашего урока: «Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов»

3. Изучение и первичное усвоение новых знаний.

1. Выступление учащихся с итогами своей работы:

• «Что такое комбинаторика? Истоки комбинаторики» (5 мин)

Представителям самых различных специальностей приходиться решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов.

        При рассмотрении простейших вероятностных задач нам приходилось подсчитывать число различных исходов (комбинаций). Для небольшого числа элементов такие вычисления сделать несложно. В противном случае такая задача представляет значительную сложность.

        Комбинаторикой  называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

        Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения». Перестановки - соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Размещения - соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающиеся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их Сочетания - соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом (в современном толковом словаре изд. «Большая Советская Энциклопедия»).

        С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.  

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Первоначально комбинаторика возникла в XVI в в связи с распространением различных азартных игр.  

Основы комбинаторики и теории вероятностей создали и разработали французские математики XVII века Пьер Ферма и Блез Паскаль.

Комбинаторные мотивы можно заметить в символике китайской «Книги Перемен» (V век до н. э.). По мнению её авторов, всё в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо. Историки отмечают также комбинаторные проблемы в руководствах по игре в Го и другие игры. Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты.  

В XII веке индийский математик Бхаскара в своём основном труде «Лилавати» подробно исследовал задачи, связанные с перестановками и сочетаниями, включая перестановки с повторениями.

В Западной Европе ряд глубоких открытий в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра (XII век) и Леви бен Гершом (он же Герсонид, XIV век). Ибн Эзра обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей.

Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание»  впервые встречается у Паскаля. Термин «перестановка» употребил в указанной книге Якоб Бернулли. Бернулли использовал и термин «размещение».

        Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш, который ввёл в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX века, когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

• «Комбинаторика в реальной жизни» (3 мин)

Замечательно, что наука, которая начала  с рассмотрения азартных игр, обещает  стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей.

                                     П. Лаплас

Проведём небольшой эксперимент, вы можете представить себя отцом дочерей-двойняшек, которым вы накупили дюжину платьев. А теперь ответьте на вопрос: сколько же существует разных вариантов одеть ваших девочек? Чтобы получить ответ, достаточно провести подсчеты на обычном листке бумаги. Но представьте на минуту, что вы — этот самый человек, который выдает штрих коды на товары. Но производителю товара уже точно не обойтись одной бумагой и карандашом; для этого необходимо владеть специальной техникой, которая обеспечит гарантированное использование всех возможных вариантов, другими словами, нужна лучшая «техника счета».

В царице наук – математике, все эти техники объединяются в одну отрасль науки, которую называют комбинаторикой. Кроме всего прочего, комбинаторика — это прелюдия к расчету вероятностей.

Области применения комбинаторики:

• учебные заведения (составление расписаний)
• сфера общественного питания (составление меню)
• лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
• география (раскраска карт)
• спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
• производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
• агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
• азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
• химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
• экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
• криптография (разработка методов шифрования)
• доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

• «Решение комбинаторных задач» (7 мин)

Решить комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Рассмотрим несколько типичных для комбинаторики задач.

Задача 1. Майор Зимин ежедневно формирует наряд для поддержания общественного порядка в городе. Наряд состоит из двух человек: старшего наряда и дежурного. В расположении майора находится 20 полицейских. На сколько дней подряд майор Зимин составит график?

Решение. Пусть сначала избирается старший наряда. Поскольку каждый полицейский может быть выбран старшим, то, очевидно, есть 20 способов его выбора. Тогда дежурным может стать каждый из оставшихся 19 полицейских. Любой из 20 способов выбора старшего наряда может осуществиться вместе с любыми из 19 способов выбора дежурного. Поэтому всего существует 20 ∙ 19 = 380 способов формирования наряда. Т.о. на 380 дней майор Зимин может составить график.

 Задача 2. В отделении сержанта Сбруева проходят службу 4 новобранца: Белкин, Пенкин,  Свечкин и Овечкин. В свободное от нарядов время сержант обучает их, как рассчитаться по порядку. По команде «В одну шеренгу становись!» солдаты выстраиваются справа от Сбруева и по команде «По порядку номеров рассчитайсь!» производят расчет: «первый-второй-третий-четвертый-пятый». После этого сержант перестраивает новобранцев по-новому и расчет повторяется. Сколько раз может Сбруев повторить это упражнение, используя только разные способы построения солдат?

Решение. Первого новобранца стоящего в шеренге можно выделить четырьмя способами; второго, очевидно, тремя способами. На третье место будут претендовать только два человека, и, следовательно, есть два способа заполнить третье место. Для четвертого новобранца  места уже не остается, и он выступает последним.

Занумеруем новобранцев: 1 – Белкин, 2 – Пенкин, 3 – Свечкин, 4 – Овечкин.

Составим схему.

Каждый способ выбора первого новобранца может быть скомбинирован с  шестью случаями выбора остальных, то число способов составляет

4 ∙ 6 = 24.

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать из пяти разных книг какие-либо две и подарить их двум полицейским, в день милиции в городе Брюково?

Решение. Обозначим книги буквами A, B, C, D, E, можно выписать все возможные пары книг, а именно: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE. Мы видим, что их число равно десяти.

2. Введение новых понятий (30 мин)

В практической деятельности юристам часто приходится иметь дело с различными ситуациями. Умение анализировать сложившуюся обстановку, адекватно ее оценивать и делать правильные выводы является важным качеством каждого профессионала. Во многих случаях практика приводит к комбинаторным задачам.

1. Факториал

Определение. Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!    

n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Используя знак факториала, можно, например, записать

Факториалы растут удивительно быстро.

Точные значения факториалов

2. Размещения

Определение. Размещениями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их следования.

Пример. При расследовании хищения установлено, что у преступника семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется и нет нуля. Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двухчасов, доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Решение. Число номеров равно числу размещений из 9 элементов по 7, т.е. равно  По формуле получаем  номеров.

Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь – не прав.

3. Сочетания

Определение.  Сочетаниями из n элементов по m называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. (Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.)

Число сочетаний из n элементов по m обозначается символом  и вычисляется по формуле:

Пример. В штате прокуратуры областного центра имеется 16 следователей. Сколькими способами можно выбрать 2 из них для проверки оперативной информации о готовящемся преступлении?

Решение. Способов  столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно  , т.е. всего 120 способов выбора следователей.

4. Перестановки

Определение.  Перестановками из n элементов называются такие соединения из n элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

 Пример. Замок сейфа открывается, если введена правильная комбинация. Преступник пытается открыть сейф, набирая код наудачу. Он знает, что код состоит из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что все числа не повторяются и последней является 5. Сколько попыток ему придется сделать.

Решение. Так как число пять должно стоять на последнем месте, то остальные пять цифр могут стоять на оставшихся местах в любом порядке. Следовательно, количество кодов из шестизначных чисел, с пятеркой на конце, равно числу перестановок из пяти элементов, т.е. .

4. Закрепление нового материала. (20 мин)

А теперь перейдем к работе в парах. Ваша задача: решить задачи, оформить их в своем конспекте, проверить и оценить свою работу. Задания на столах в ваших конспектах. Помогайте друг другу при решении.  (Учитель, в процессе работы учащихся, оказывает помощь каждой паре).

Вариант 1.

 1.    Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

 1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5

 2. На 1 курсе 12 учащихся, имеющих по математике оценки «4-5». Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

 1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48

 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

 1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30

 № задания        1        2        3

 № ответа        3        2        4

Вариант 2.

 1.    Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

 1)           100              2)       30                3)       5                  4)     120

 2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

 1)           3                  2)       6                  3)       2                  4)     1

 3. Сколькими способами из 8 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 4 различных уроков.

 1)           10000                    2)       1680             3)       32              4)    1600

№ задания        1        2        3

№ ответа        4        1        2

Вариант 3.

 1.    Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

 1)           24                2)       4                  3)       16                4) 20

 2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

 1)           30                2)       21                3)       14                4) 7

 3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

 1)  22                         2)       11                3)       150              4)     110

№ задания        1        2        3

№ ответа        1        2        4

Вариант 4

 1.    Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

 1) 5        2)       120              3)       25                4)   100

 2. Сколькими способами из 15 учеников класса можно выбрать трёх  для участия в праздничном концерте?

 1) 455                           2)       45           3)       475                4)   18

 3.  В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

 1)  600                       2)       100              3)       300              4)720

№ задания        1        2        3

№ ответа        2        1        4

Вариант 5

1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального забега на 5-ти беговых дорожках?  

1. 10          2) 20            3) 120                4) 50

2. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3  человек?

1. 35           2) 30            3) 70                  4) 45

3. На соревнованиях по лёгкой атлетике наш техникум представляла команда из   10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  побежит в эстафете на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

1.  120         2) 1560         3) 4800              4) 5040

№ задания        1        2        3

№ ответа        3          1          4

Сейчас каждый из вас выступит в роли учителя. Студент решил задачу. Проверьте, верно, ли решена задача: 

Задача. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова сапфир? 

Решение. P4=4! = 1*2*3*4 =24 (неверно)

.

5. Подведение итогов занятия (3мин)

Подведем итоги нашего занятия. Обсуждение и выставление оценок за урок.

6. Рефлексия. (3 мин)

Достиг ли ты своих целей? _____________________

Оцени степень усвоения: ________________________

Продолжи одно из предложений:

“Мне понятно…

“Я запомнил…

“Мне на уроке…

“Я думаю…

7. Домашнее задание (1 мин)

Решить задачу (дифференцированные задачи)

Задача на «3»

1. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 5, 7.

Задачи на «4»

2. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Задача на «5»

4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Министерство общего и профессионального образования Ростовской области

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Ростовской области

«Миллеровский техникум агропромышленных технологий и управления (ДСХТ)»

Методическая разработка

открытого урока

по учебной дисциплине: «Математика»

тема: «Представление о правильных многогранниках

(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр)»

Разработала: Бондаренко Галина Ильясовна,

Преподаватель математики

г. Миллерово

2014 г.

Автор: Бондаренко Г.И. , преподаватель математики

Рецензенты: Прибыткова В.Н, старший методист ИМЦ

                       Голоднова Т.В., председатель цикловой комиссии

СОДЕРЖАНИЕ

1. Предисловие
2. Технологическая карта учебного занятия
3. Структура и методический инструментарий учебного занятия
4. Ход урока
5. Рефлексия
6. Литература

Предисловие

Нестандартный урок - это импровизированное учебное занятие, имеющее нетрадиционную (неустановленную) структуру. Их главная цель: возбуждение и удержание интереса учащихся к учебному труду, их активизация. Наиболее полно использовать и развивать интеллектуальные особенности обучающихся позволяют семинарские занятия.

Семинара - одна из форм учебных занятий. Непременное требование к нему - активное участие каждого учащегося.

На семинарах предполагается более высокая степень конкретизации учебного материала, чем это имеет место на лекции. Они отличаются и тем, что требуют от учащихся серьезной самостоятельной работы с дополнительной литературой: чтение нового источника, сравнение материалов, выбор интересных фактов. Особенности имеет и руководство учителя учебной деятельностью учащихся на семинаре: оно сводится к разъяснению цели и плана занятия, выдаче заданий, проведению консультаций. При составлении заданий первостепенное значение приобретает дифференциация. На семинарах нетрудно связать изучаемый материал с последними достижениями науки и техники, и это придает интерес. Семинар - коллективная работа группы, опирающаяся на работу индивидуальную, т.е. каждого студента.

Целью проведения семинара я ставлю изучить понятя о провильных, полуправильных и звездчатых многогранниках; показать связь темы с окружающим миром и искусством, с жизнью, с практикой, с учетом возрастных особенностей учащихся провести систематизацию знаний.

Семинары - важная форма выработки у самостоятельности, активности, умения работать с литературой, творчески мыслить и действовать.   Семинары отличаются от уроков:

1.  большой степенью самостоятельности при подготовке к семинару, большой активностью учащихся при обсуждении результатов подготовки, владением навыков работы с литературой;
2.  изменением организации этапов обучения (их последовательности и содержания), например, домашнее задание носит опережающий характер, а его проверка совпадает с изучением нового материала;

3)          изменением функций, выполняемых учителем и учащимися; учащиеся выполняют информационную функцию, а учитель -    регулятивную и организаторскую.

Основные функции семинара: систематизация знаний; углубление знаний; закрепление умений и навыков как общеучебных, так и специальных; контроль   за знаниями; развитие умений и навыков как коллективной, так и индивидуальной исследовательской и поисковой работы; развитие коммуникативности учащихся; применение полученных знаний и приобретенных навыков на практике.

Технологическая карта учебного занятия

Дата: 08.04.2014

Учебная дисциплина: «Математика».

Специальность: Электрификация и автоматизация сельского хозяйства

Тема занятия: Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр)

Тип занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Вид занятия: урок-семинар

Место проведения: кабинет 16Э.

Продолжительность:80 минут.

Цели занятия: обеспечить оценку и проверку знаний; создать условия для развития у обучающихся умения формулировать проблемы, предлагать пути их решения, для формирования системы знаний, связанных с  понятием правильных многогранников, содействовать умению общаться между собой; формировать умения делать обобщения на основе полученных данных в результате исследования, выбирать правильные утверждения из нескольких данных.

По окончанию занятия обучающийся имеет практический опыт:

Знает:

Определение правильного выпуклого многогранника.

О существовании пяти видов правильных многогранников.

Теорему Эйлера (без доказательства).

О существовании симметрии в пространстве.

О существовании полуправильных и звездчатых многогранников.

Умеет:

организовывать поиск, сбор и получение информации о видах многогранников, находить связь различных видов многогранников с окружающим миром.

Владеет: 

графическими навыками, умением анализировать, сравнивать, аргументировать свои ответы.

Дидактические задачи:

Образовательные: ввести определения правильного, полуправильного и  звездчатого многогранника; рассмотеть различные виды правильных и полуправильных, звездчатых  многоггранников; рассмотреть свойства правильных многогранников; ознакомить учащихся с историей возникновения и развития теории многогранников; установить связь темы с окружающим миром.

Воспитательные: Воспитание у обучающихся стремления к самосовершенствованию, удовлетворению познавательных потребностей, эстетического чувства, умения слушать, формирование интереса к предмету.

Развивающие: формирование пространственного воображения и графической грамотности;                        формирование умений обобщать, систематизировать, видеть закономерности;                         развитие монологической речи учащихся; развитие творческой активности учащихся, создание условий для проявления инициативы в выборе заданий, в выдвижении собственных предложений при различных видах деятельности.

Методическая цель:

Использовать приемы, активизирующие внимание и память;

Продемонстрировать возможность использования на уроке информационных технологий, организацию фронтальной и индивидуальной работы.

Методы обучения:

Метод наглядной и словесной передачи информации и зрительного восприятия; частично-поисковый; групповые задания.

  Формы организации познавательной деятельности:

Фронтальная; Групповая;

Средства технологической поддержки учебной работы:

1. Презентация к уроку.
2. Рабочая программа, календарно- тематический план, план занятия.
3. Заготовки для выполнения моделей правильного многогранника.
4. Таблица с анаграммами

Межпредметные связи:

Обеспечиваемые – информатика, химия, биология, история

Обеспечивающие – инженерная графика

Структура и методический инструментарий учебного занятия

Подготовительная работа.

За месяц до проведения данного урока студентам дается задание:

1) Исследовать различные источники, и найти информацию, так или иначе связанную с темой данного урока. (Студентам выдаются темы сообщений, список литературы, возможно, ссылки на Интернет ресурсы.)

2)  Выполнить модели правильных многогранников. (Студентам выдаются развертки многогранников, проводится инструктаж.)

Собранная студентами информация изучается учителем, систематизируется. Учитель выясняет, какая тема больше всего интересна каждому студенту, окончательно утверждает темы сообщений.

Темы сообщений:

• Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
• Правильные многогранники.
• Полуправильные многогранники.
• Звездчатые многогранники.
• Многораниики в природе и искусстве.

Примерный перечень вопросов при работе над темой:

• Основные понятия по данной теме;
• Исторические комментарии;
• Свойства рассматриваемых объектов;
• Связь рассматриваемых объектов с природой и жизнью человека;
• Интегрирование полученных знаний в различные области науки, техники, технологии, в творческие области;
• Упражнения и задачи для самостоятельного решения.

Ход урока

1. Организационный момент. Постановка цели и задач урока.

На доске висит таблица с анаграммами: лораграммпалле, грангомноник, гольмоупряник, цитрапея, припламения. Для выяснения темы урока прошу решить эти анаграммы. Найдите лишнее слово. Совершенно верно, лишнее слово — многогранник. Тема урока «Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр)».

В XVIII веке Тейлор дал такое определение одного из многогранников: многогранник, у которого все грани кроме двух параллельны одной прямой есть…Что?

А Евклид определяет один из многогранников как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости сходятся к одной точке. Как вы думаете, какой это многогранник?

Эти определения подвергались критике еще в свое время. Я рад, что, несмотря на это, вы смогли определить эти многогранники.

Правильных многогранников

вызывающе мало,

но этот весьма скромный по

численности отряд сумел

пробиться в самые глубины

различных наук.( Л. Кэролл)

Урок проведем в виде семинара.

2. Актуализация знаний. Фронтальная работа с группой.

Вопросы для обсуждения:

1. Сумма углов треугольников равна…
2. Свойства углов равнобедренного треугольника при основании.
3. Острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника равны …
4. Свойство катета, лежащего против угла в 300.
5. Что называется углом между прямой и плоскостью?
6. Что называется линейным углом двугранного угла?
7. Объясните, что такое: а) многогранник; б) поверхность многогранника.
8. Какой многогранник называется выпуклым?
9. Дан куб. Как, имея пилу, получить из деревянного куба модель невыпуклого многогранника?
10. Дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

11. Два тетраэдра имеют общую грань и расположены по разные стороны от нее. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?

3. Усвоение и применение новых знаний.

1. Изучение (знакомство) материала по теме «Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера»:

• Презентация творческой учебно-исследовательской работы учащихся второй группы по теме «Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера»;
• Обсуждение в классе. Формирование основных положений, тезисов по теме;
• Самостоятельное оформление учащимися конспекта в рабочих тетрадях;

2. Изучение (знакомство) материала по теме «Правильные многогранники»:

• Презентация творческой учебно-исследовательской работы учащихся первой группы по теме «Правильные многогранники»;
• Обсуждение в классе. Формирование основных положений, тезисов по теме;
• Самостоятельное оформление учащимися конспекта в рабочих тетрадях;
• Решение задач по теме.

3. Изучение (знакомство) материала по теме «Полуправильные многогранники»:

• Презентация творческой учебно-исследовательской работы учащихся третьей группы по теме «Полуправильные многогранники»;
• Обсуждение в классе. Формирование основных положений, тезисов по теме;
• Самостоятельное оформление учащимися конспекта в рабочих тетрадях;
• Решение задач по теме.

4. Изучение (знакомство) материала по теме «Звездчатые многогранники»:

• Презентация творческой учебно-исследовательской работы учащихся пятой группы по теме «Звездчатые многогранники»;
• Обсуждение в классе. Формирование основных положений, тезисов по теме;
• Самостоятельное оформление учащимися конспекта в рабочих тетрадях;
• Решение задач по теме.

5. Изучение (знакомство) материала по теме «Многораниики вокруг нас»:

• Презентация творческой учебно-исследовательской работы учащихся шестой группы по теме «Многораниики вокруг нас»;
• Обсуждение в классе.

4. Подведение итогов урока – семинара.

Всем учащимся предлагается оценить представленные на уроке выступления и презентации по творческим учебно-исследовательским работам, используя критерии оценивания творческих учебно-исследовательских работ учащихся в бланке оценивания творческих учебно-исследовательских работ учащихся.

Для каждой представленной работы определяется средний суммарный балл.

Формируется рейтинг работ.

От 7 баллов и выше – работа выполнена (представлена) на высоком уровне, выставляется оценка «отлично»

Критерии оценивания творческих учебно-исследовательских работ учащихся

Бланк оценивания творческих учебно-исследовательских работ учащихся

5. Задание на дом.

Выполнить модели правильных многогранников (материал любой: бумага, картон, проволока, дерево)

 6. Рефлексия.

Прежде чем закончить урок мне хочется рассказать вам притчу.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановил первогои спросил: «Что ты делал целый день?» Человек ответил, что возил проклятые камни. Второй ответил, что он добросовестно выполнял свою работу. А третий улыбнулся и сказал радостно: «Я принимал участие в строительстве храма!».

                Давайте оценим каждый свою работу сегодня на уроке:

• Кто работал как первый человек?
• Кто работал добросовестно?
• А кто «принимал участие в строительстве храма?»

Литература.

1. Энциклопедический словарь юного математика
2. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер
3. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир.
4. Смирнова И.М., Смирнов В.А.  Геометрия, учебник (10-11 классы)
5. Вернер А.Л., Карп А.П. Математика (10 класс)
6. Журнал «Математика в школе», №1, 1996г, с.47
7. Волошин А., Майстерман С.  Минералы Кольского полуострова
8. Кордемский Б.А.  Великие жизни в математике