Творческие работы учеников

            Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

                        «Падунская средняя общеобразовательная школа

                      имени заслуженного учителя РСФСР  И. Е. Хребтова»

Сообщение на тему

«Французский математик АНРИ ЛЕОН ЛЕБЕГ»

                                                                              Выполнила ученица 11класса

                                                                              Новикова Кристина

                                                                              Учитель Ваймер С.В.

2015 год

Анри Леон Лебег

«Введенные им понятия и методы оказались такими орудиями исследований, которыми с успехом пользуются в самых разнообразных отраслях математики и математического естествознания» Ф.А. Медведев

Анри Леон Лебег (28 июня 1875 – 26 июля 1941) – французский математик, член Парижской АН, профессор Парижского университета, известен как автор теории интегрирования, обобщающей обычное определение интеграла на более широкий класс функций.

Анри Лебег родился в семье рабочего типографии города Бове, расположенного вблизи Парижа. Отец его был человеком просвещенным. Мать работала преподавателем начальной школы. У них была строго подобранная домашняя библиотека, которая сыграла не последнюю роль в приобщении мальчика к миру точных наук. Отец рано умер, и только предоставление Анри Леону стипендии муниципалитетом Бове позволило ему, по завершению начального образования, учится в городском колледже.

По окончании колледжа Лебег в 1894 году поступил в Высшую Нормальную школу. По окончании в 1897 году института Лебег получил квалификацию преподавателя средней школы по математическим предметам. Он, однако, остался в Нормальной школе еще на два года помощником библиотекаря, чтобы иметь свободный доступ к интересующей его научной литературе и время для ее глубокого изучения.

Он действительно овладел многими вопросами старых и новых разделов классического анализа по первоисточникам. Особое внимание Лебег уделял началам теории спрямления кривых и квадратуры поверхностей и уже возникшим в них коренных проблемам и противоречиям из-за несоответствия примитивных функций неопределенным интегралам. Проблемы кратного интегрирования и теоретико-множественный подход к ним, тригонометрические ряды и невозможность безоговорочного интегрирования рядов с ограниченными в совокупности членами, специальное изучение интегралов Дарбу и представление непрерывных функций неопределенными интегралами – все оказалось в поле зрения исследователя.

С 1899 года Лебег в течение трех лет работал преподавателем математики в Центральном лицее города Нанси, где подготовил свою диссертацию. Сразу после защиты докторской диссертации, в 1902 году он прибыл на работу в университет города Рена. Там он читает лекции на медицинском факультете. В это же время его приглашают прочитать лекции в Колледж де Франс, что явилось начало признаний его научных заслуг.

 В 1906 году Лебег прошел по конкурсу университета города Пуатье на должность доцента. В этом же году он становиться профессором университета. 1903 – 1910 годы – наиболее плодотворный период в жизни Лебега. За эти годы опубликована почти треть всех его научных трудов.

В 1910 году Лебег был приглашен в Парижский университет. До 1919 года он работает там лектором на естественном факультете Сорбонны, а в 1920 году был избран профессором этого факультета.

1912 год явился годом официального признания научных заслуг Лебега Французской академией наук. Кроме научной и педагогической деятельности, заслуживает упоминания работа Лебега в качестве председателя математической комиссии Службы изобретений, открытий и научных экспериментов, организованной во Франции в годы первой мировой войны. Он занимался решением задач по определению и коррекции траекторий артиллерийских снарядов, по распространению звука и т. п.; вместе с коллегами подготовил атлас траекторий, предназначавшийся для быстрейшего составления таблиц стрельбы. За все это он был награжден орденом Почетного легиона.

В 1921 году Лебег покидает Сорбонну. Он был избран профессором Колледж де Франс. Здесь он принял меры к модернизации классических учебных курсов по математике, к их обновлению в свете новейших теорий.

С 1922 года начинается академическая деятельность Лебега. В этом году он удостоился чести быть выбранным в Парижскую Академию наук вместо умершего Камиля Жордана.

Первые научные исследования Лебега касались рядов Фурье. Позже он заинтересовался теорией интегрирования. Лебег считается одним из основателей современной теории функций действительной переменной. Создал теорию меры, внедрил понятие измеримой функции, ввел новое определение интеграла (интеграл Лебега), благодаря чему стало возможным интегрирование чрезвычайного широкого класса функций. Исследовал возможность аналитического изображения функций. Написал работы по теории размерности; доказал существование функций всех классов классификации Бэра; получил важные результаты геометрического и топологического характера; занимался исследованиями по вопросам теории функций, множеств и теории дифференцирования. В теории функций и в функциональном анализе широко известны такие понятия, как мера Лебега, интеграл Лебега, интеграл Лебега-Стилтьеса, лебеговские множества.

Два рода деятельности характерны для Лебега – научная и педагогическая. Свою преподавательскую работу он начал в 1897 году и продолжал ее почти до конца жизни. Уже больной он окончил свой последний курс лекций о конических сечениях в Коллеж де Франс во время оккупации гитлеровцами Парижа. Вследствие того, что обычный транспорт тогда не работал, он приспособил свой трехколесный велосипед и ездил на нем на лекции. Этот факт привёл профессор Парижского университета Поль Монтель в своих воспоминаниях о Лебеге для характеристики того, насколько у последнего было развито чувство долга.

Лебег, как правило, сам готовил к опубликованию свои лекции. Лишь две его книги – «Конические сечения» (1942) и «Лекции о геометрических построениях» (1950) – были изданы без его ведома просто потому, что он уже ушел из жизни. Можно, вероятно, пожалеть, что некоторые его лекции не были опубликованы, особенно учитывая одну методическую установку, которой он старался следовать: не придерживаться стандартных схем изложения, определенных программами и учебниками, а как бы создавать науку заново в процессе преподавания, мыслить перед учащимися.

Много внимания, особенно в последние годы, Лебег уделял и школьному математическому образованию, принимал участие в редактировании франко-швейцарского журнала «Математическое просвещение». Именно в этом журнале впервые были опубликованы его статьи, объединенные в русских изданиях 1938 и 1960 годах в виде книги «Об измерении величин». Их цель Лебег мыслил следующим образом: 

В своих статьях я буду стараться давать по возможности более простое и конкретное изложение, без ущерба для логической строгости. Эта тенденция может показаться несколько архаичной в эпоху, когда абстракция укоренилась даже в прикладных пауках. Однако не нужно забывать, что те, которым мы обязаны отвлеченной научной мыслью, могли, пребывая в абстракции, заниматься тем не менее полезными вещами именно потому, что они имели особенно заостренное чувство действительности. Это чувство как раз и нужно стараться пробудить у молодежи. Только тогда, когда научаются в абстрактном видеть конкретное, а в общей теории – по-настоящему полезные частные случаи, переход к абстракции может принести нужные плоды.

Знаменит Лебег главным образом исследованиями по теории интегрирования. Он разработал ее в столь законченном и совершенном виде, что после его работ стало чуть ли не анахронизмом изучать и применять предшествующую теорию. Появившиеся вскоре новые более общие теории не имеют такого диапазона применений.

Первоначально, как уже было сказано, Лебег занимался рядами Фурье и опубликовал ряд работ на эту тему. По желанию университетских властей, питавших надежду добиться успехов в этой области, он занялся вопросами интегрирования и действительно Лебег оправдал эти надежды, опубликовав в 1931 году свое знаменитое решение определенного интеграла, известное теперь как «интеграл Лебега». Благодаря этому решению, можно интегрировать многочисленные виды функций. Интеграл Лебега является одним из крупнейших достижений современного математического анализа. Ценность открытия Лебега заключается в теории дифференцирования, построенной одновременно с теорией интеграла. Благодаря этому, его открытие нашло широкое применение в различных отраслях анализа, а с методологической точки зрения сблизило две основные идеи интеграла – определенный интеграл и первоначальную функцию, разделенные после выхода за интегрирование непрерывных функций.

Одной из интереснейших идей Лебега является идея о расширении размерности множества, при котором сумма множества всех рациональных чисел равна нулю так как может быть сделана меньше, чем любое малое положительное число Е.

Большой заслугой Лебега было то, что он в своих исследованиях пошел дальше изучения непрерывных функций, которыми до него, в основном, занимались математики.

Значительной части известности Лебег заслуживает своими работами по теории дифференцирования. Здесь прежде всего выделяется понятие производной почти всюду, заменившее прежнюю производную. Именно для него Лебег доказал теорему о производной монотонной функции; именно оно фигурирует в большинстве важнейших подходов к проблемам интегрирования и дифференцирования. Не менее важно лебеговское дифференцирование функций множеств.

Методы Лебега стали наиболее употребительными инструментами аналитических изысканий, широко применяемыми и до сегодняшних дней.

Если говорить о Лебеге как инициаторе новых больших направлений, то, кроме указанных, нужно назвать еще, по крайней мере, три области – теорию площадей поверхностей, теорию сингулярных интегралов и теорию функций множеств. Во всех этих областях Лебег имел знаменитых предшественников, но именно с его работ «Интеграл. Длина. Площадь», «О сингулярных интегралах», «Об интегрировании разрывных функций» эти теории стали развиваться как систематические исследования, и он обычно считается их основоположником.

Анри Лебег был прекрасным отцом и хорошим мужем. У него было двое детей – дочь Сюзанна и сын Жак. В 1940 году во время второй мировой войны родной дом Лебега в городе Бове был разрушен. Еще более ощутимым ударом, от которого математик уже не смог оправиться, явилась фашистская оккупация Франции, что глубоко уязвило чувство национальной гордости Лебега. Он замкнулся в себе. Мрачная действительность способствовала обострению его болезни.

26 июля 1941 года в Париже Анри Леон Лебег скончался.

Имя Лебега носят следующие математические объекты:интеграл Лебега

• интеграл Лебега-Стилтьеса
• мера Лебега
• теорема Лебега о функциях с ограниченной вариацией
• теорема Лебега о последовательностях измеримых функций
• теорема Лебега теории приближения функций
• задача Лебега
• Лебеговские множества

Сообщение на тему:

Математика в древней Греции.

Подготовила ученица 8 «А»

Класса:

Береза Анастасия

Преподаватель:

Ваймер Светлана

Викторовна.

Математика – одна из древнейших, важнейших и сложнейших компонентов человеческой культуры. История математики тысячами нитей связана с историей других наук. Народная мудрость гласит, что невозможно понять подлинный смысл настоящего и цели будущего, если не знать и не ценить прошлое. Жизнь не стояла на месте. С развитием человечества появляется потребность передавать известия друг другу, писать, считать. Так в далёком прошлом постепенно зарождалась математика. Древние греки были удивительно талантливым народом, у которого есть чему поучиться даже сейчас.

 В те времена Греция состояла из многих мелких государств. Каждый раз, когда приходилось решать какой-нибудь важный государственный вопрос, горожане собирались на площади, обсуждали его, спорили, а потом голосовали. Они были хорошими "спорщиками". По преданию, в то время сложилось утверждение: " В споре рождается истина!" Греки отличались трудолюбием и смелостью. Среди них были отличные строители, мореплаватели, купцы и художники. Они внесли большой вклад в развитие культуры и науки, особенно математики.

Истории известно, что ученые-математики древней Греции были крупнейшими математиками в далеком прошлом и задачи, составленные ими интересны и в наши дни. Весьма большая часть нашего современного школьного курса математики, особенно геометрии, была известна древним грекам. Учитель никогда не начнет изложения новой темы, не говоря о новом разделе математики, без вводной исторической части, вызывающей интерес и внимание учеников. Уроки с привлечением исторического материала никого не оставляют равнодушными. Как, знакомя учеников с начальными понятиями геометрии 7 класса, не рассказать о греческой математике? Как изучая тему “Площадь” 8 кл. не объяснить измерение площадей в Древней Греции (решение старинных задач). Именно здесь так устанавливается связь исторических сведений с материалом рассматриваемой темы.

История математики выступает средством активизации познавательной деятельности учащихся. А это является основой учебной деятельности по той причине, что:

– интерес способствует формированию глубоких и прочных знаний;

– развивает и повышает качество мыслительной деятельности, активность в учении, благоприятствует формированию способностей;

– создает более благоприятный эмоциональный фон для протекания всех психических процессов.

Экскурс в историю можно сопровождать картинками, слайдами, презентацией. Математика со времени её зарождения как науки и много раньше была тесно связана не только с цивилизацией, с практикой, но и со всей общечеловеческой культурой – со всем миром. И математические теории, и методы открывались, создавались конкретными личностями, математиками, жизнь и судьба которых, интересная и насыщенная, поучительная и порой трагическая, неотделима от исторической эпохи, в которую они творили.

Ученые Греции

Расскажем о Пифагоре, именем которого названа теорема, которую знают все. В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н. э., а умер в 500 г. до н. э.). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связано ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя.

Так на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так что установить о Пифагоре правду невозможно. Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 100 доказательств. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору и его ученикам.

Архимед – вершина научной мысли древнего мира. Архимед родился в 287 году до нашей эры в греческом городе Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь. Отцом его был Фидий, придворный астроном правителя города Герона. Учился Архимед в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали самую большую в мире библиотеку.

Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики, физики, гидростатики и механики. В сочинении "Параболы квадратуры" Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" – отношение длины окружности к диаметру – и доказал, что оно одинаково для любого круга.

Архимед, погибший при захвате римлянами его родного города Сиракузы в то время, когда пришел римский солдат. По преданию, Архимед был увлечен решением геометрической задачи, чертеж которой был выполнен на песке. Солдат, убивший Архимеда, или не знал о приказе военачальника сохранить жизнь Архимеду, или не узнал Архимеда. В наше время имя Архимеда связывают главным образом с его замечательными математическими работами, однако в античности он прославился также как изобретатель различного рода механических устройств и инструментов, о чем сообщают авторы, жившие в более позднюю эпоху. Считается, что Архимед был изобретателем  архимедова винта, который служил для подъема воды на поля и явился прообразом корабельных и воздушных винтов.

Вызывает сомнение и подлинность истории, что будто бы царь поручил Архимеду проверить, из чистого ли золота сделана его корона или же ювелир присвоил часть золота, сплавив его с серебром. “Размышляя над этой задачей, Архимед как-то зашел в баню и там, погрузившись в ванну, заметил, что количество воды, переливающейся через край, равно количеству воды, вытесненной его телом. Это наблюдение подсказало Архимеду решение задачи о короне, и он, не медля ни секунды, выскочил из ванны и, как был нагой, бросился домой, крича во весь голос о своем открытии: “Эврика! Эврика!” (греч. “Нашел! Нашел!”)”.

При обороне Сиракуз от осаждавших этот город римских войск Архимед создал подъемные и метательные машины, а “зажигательное зеркало”, с помощью которого он якобы сжег корабли доныне остается загадкой, волнующей умы исследователей.

Сохранившиеся математические сочинения Архимеда можно разделить на три группы. Сочинения первой группы посвящены в основном доказательству теорем о площадях и объемах криволинейных фигур или тел. Сюда относятся трактаты “ О шаре и цилиндре, Об измерении круга, О коноидах и сфероидах, О спиралях и О квадратуре параболы”. Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статических и гидростатических задач: О равновесии плоских фигур, О плавающих телах. К третьей группе можно отнести различные математические работы: О методе механического доказательства теорем, Исчисление песчинок, Задача о быках и сохранившийся лишь в отрывках Стомахион.

Евклид. Древнегреческий ученый Евклиду принадлежат сочинения по механике, оптике, музыке. Известны его заслуги и в астрономии. Евклиду приписываются также несколько теорем и новых доказательств

Из дошедших до нас сочинений Евклида наиболее знамениты “Начала”, состоящие из 15 книг. В 1-й книге формулируются исходные положения геометрии, а также содержатся основополагающие теоремы планиметрии, среди которых теорема о сумме углов треугольника и теорема Пифагора. При построении правильных многоугольников опять звучит это имя Евклида. XIII книга "Начал" посвящена платоновым телам – правильным многогранникам, красотой которых восхищаемся на уроках стереометрии. Рассматривая вопросы дифференциального и интегрального исчислений на уроках анализа, говорим о том, что идеи, положенные в их основу Ньютоном и Лейбницем в XVII в., уходят своими корнями к методу исчерпывания, открытому еще Евклидом и Архимедом.

Фалес из Милета (ок.625 – ок.547 до н.э.) древнегреческий ученый и государственный деятель, первый из семи мудрецов. Во время путешествий он посетил Египет, где и познакомился с астрономией и геометрией. Легенда рассказывает о том, что Фалес привел в изумление египетского царя Амазиса, измерив высоту одной из пирамид по величине отбрасываемой ею тени Задача. Измерить высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени. (Размеры даны в локтях; 1 локоть = 7 ладоням = 466 мм.)

Зачинатель и родоначальник греческой философии и науки. Считается, что Фалес первым доказал несколько геометрических теорем, а именно:

• вертикальные углы равны;
• треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны;
• углы при основании равнобедренного треугольника равны;
• диаметр делит круг пополам;
• угол, вписанный в полуокружность, всегда будет прямым.

Фалес определял высоту предмета по его тени, расстояния до кораблей, используя подобие треугольников. Он сделал ряд открытий в области астрономии, установил время равноденствий и солнцестояний, Определил продолжительность года. Фалес был причислен к группе “семи мудрецов”.

Эратосфен Киренский (ок. 276 – 194 до н.э.) – разносторонний ученый: математик, астроном, географ, историк и филолог. Прославился благодаря изобретению “решета Эратосфена”. В сочинении “ Решето” Эратосфен создал оригинальный метод для “отсеивания” простых чисел. В последовательности натуральных чисел зачеркнем 1. Число 2-простое. Зачеркнём все числа, кратные 2. Число 3– первое из незачеркнутых – простое.  Затем  зачеркнем всякое число, делящееся на 3, и т. д. Так можно получить сколь угодно большой фрагмент последовательности простых чисел. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках. Числа не зачёркивали, а прокалывали. Отсюда и название метода– решето. Сконструировал прибор – мезолябий для механического решения делосской задачи (удвоения куба).

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

 «Падунская средняя общеобразовательная школа

имени заслуженного учителя РСФСР И.Е. Хребтова»

Заводоуковского района Тюменской области

Научно-исследовательская работа  на тему

«Проценты в современной жизни»

                                                                       Выполнила: обучающаяся 11 класса

                                                              Булгакова Анастасия Андреевна

                                Руководитель:

                                         учитель математики

                                                         Ваймер Светлана Викторовна

Заводоуковск, 2015 г.

Аннотация

Выполняя работу «Проценты в современной жизни», ученица поставила перед собой цель - показать широту применения такого простого и известного учащимся математического аппарата, как процентные вычисления.

 Для достижения поставленной цели  были выдвинуты  следующие задачи:

- проанализировать литературу по теме «Проценты и процентные вычисления»;

- рассмотреть основные классы задач на проценты:

- познакомится с формулой сложных процентов;

- показать применение понятия процента при решении задач из разных сфер жизнедеятельности человека;

- обобщить результаты работы.

Объектом  исследования является изучение различных типов задач по теме «Проценты».

Предмет исследования: решение практических задач  на проценты и процентное содержание, иллюстрирующих использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека.

План исследований, этапы

При работе над данной темой были применены следующие методы  исследования

- анализ литературных данных;

- отбор необходимых данных из  Интернет-ресурсов;

- сбор данных для составления задач;

- обобщение результатов;

- систематизация полученных результатов.

Для реализации задач ученица изучила теоретический материал по теме «Проценты», формулу сложных процентов, выбрала задачи, демонстрирующие необходимость применения процентов в экономике, политике, химии, СМИ, на ЕГЭ.

В результате выполнения работы пришла к выводу:

- понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию.

Содержание работы

Аннотация к проекту……………………………………………………….….2

Введение………………………………………………...……………..……....5

1. История возникновения процента………….………………………...…..7

2. Типы задач на проценты………………………………………….……….8

3. Занимательные задачи на проценты …………….…………….………...9

4. Процентное содержание, процентный раствор.  Концентрация.  Смеси

и сплавы …………..…………………………………………….………….…11

5. Примеры  задач с процентами на ЕГЭ ……….…...………………….…15

6. Правило начисления «сложных  процентов»..………………………….19

7. Банковские операции……………………………………………………...20

8. Голосование и проценты………………………………………………….22

Заключение…………………………………………………...…………….…23

Список использованной литературы………………………………...……..24

Введение.

В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Современная жизнь много преподносит математических головоломок: задач на проценты -  это и  банковские операции, и расчет платежей по кредитам, и уплата штрафов,  и расчет тарифов ЖКХ, расчет стоимости товара при распродаже, и подсчет голосов избирателей на выборах в процентах и т.д. Поэтому выбранная  тема особенно актуальна.

Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть депозитный счёт в сбербанке, наши родители интересуются размером процентных начислений на сумму вклада; чтобы знать приблизительный рост цен в будущем году, мы интересуемся процентом инфляции. В торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д.

         Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы и средней (полной) школы.

        Рассуждая таким образом, была поставлена цель -  показать широту применения такого простого и известного  математического аппарата, как процентные вычисления.

 Для достижения поставленной цели необходимо были выдвинуты  следующие задачи:

- проанализировать литературу по теме «Проценты и процентные вычисления»;

- рассмотреть основные классы задач на проценты:

- познакомится с формулой сложных процентов;

-показать применение понятия процента при решении задач из разных сфер жизнедеятельности человека;

- обобщить результаты работы.

Для реализации задач был изучен теоретический материал по теме «Проценты», формула сложных процентов, выбраны задачи, демонстрирующие необходимость применения процентов в экономике, политике, медицине, СМИ и т.д.

В результате выполнения работы пришли к выводу:

- понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию.

1. История возникновения процента.

Слово «процент» имеет латинское происхождение: «pro centum» - это «на сто». Часто вместо слова «процент» используют это словосочетание. То есть процентом называется сотая часть числа. Проценты были известны индийцам ещё в Vв. и это очевидно, так как именно в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления.

Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. «Римляне брали с должника лихву (т. е. деньги сверх того, что дали в долг). При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин. В 1584г. Он впервые опубликовал таблицу процентов. Введение процентов было удобным для определения содержания одного вещества в другом; в процентах стали измерять количественное изменение производства товара, рост и спад цен, рост денежного дохода и т.д.

Символ % появился не сразу. Сначала писали слово «сто» так: сtо.  В 1685г. в Париже была напечатана книга «Руководство по коммерческой арифметике», где по ошибке вместо сtо было набрано %. После этого знак % получил всеобщее признание и до сих пор мы пользуемся этим значком.

Проценты  часто встречаются в повседневной жизни. В настоящее время проценты  затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, экономическую, социологическую и другие стороны  жизни.

Данная тема сейчас весьма актуальна, ибо понятие «кредит» прочно вошло в жизнь современного человека. Любой человек должен уметь свободно решать задачи, предлагаемые самой жизнью, уметь просчитать различные предложения магазинов, кредитных отделов и различных банков и выбрать наиболее выгодные.

2. Типы задач на проценты

Задача 1.        Нахождение процентов от числа

Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

Решение:

Найдем 60 % от 500 (общее количество насосов).

1 способ

500  : 100 · 60 = 300 насосов

2 способ
60 % = 0,6
500 · 0,6 = 300 насосов

Ответ: 300 насосов высшей категории качества.

Задача 2.    Нахождение числа по его проценту

Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

Решение:

1 способ

138 : 23 · 100 = 600 страниц

2 способ

23% = 0,23

138:0,23 = 600 страниц

Ответ: 600  страниц в книге.

Задача 3.        Нахождение  процентного выражения одного числа от другого.

Из 200 арбузов 16 оказались незрелыми. Сколько процентов всех арбузов составили незрелые арбузы?

Решение:

16 : 200 · 100 = 8% .

Ответ: 8 % от всех арбузов составляют незрелые арбузы

3. Занимательные задачи на проценты

Задача 1. Сколько человек работало на заводе?

В начале года число мужчин, работавших на заводе, составляло 40% от общей численности работников завода. После того, как были приняты на работу еще 6 мужчин, а 5 женщин уволилось, число мужчин и женщин на заводе сравнялось. Сколько человек работало на заводе в начале года?

Решение: Число мужчин, работавших на заводе в начале года, было на 11 меньше числа работавших там женщин. Процентная разность между числом женщин и числом мужчин составляла в начале года 20%. Общая численность работавших на заводе в это время

11: 0,2 = 55 человек.

Задача 2. Сколько процентов составляет возраст сестры?

Возраст брата составляет 40% от возраста сестры.

Сколько процентов составляет возраст сестры от возраста брата?

Решение: Примем возраст сестры за 100%. Возраст брата составит 40%. Процентное отношение возраста сестры к возрасту брата равно:

(100 : 40) · 100% = 250%.

Задача 3. Как изменилась масса арбуза?

Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?

Решение: Свежий арбуз на 99% процентов состоит из жидкости и на 1% - из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое.

Следовательно,  масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.

Задача 4. Сколько времени потребовалось второму путнику ?

Двое путников одновременно вышли из пункта А по направлению к пункту В. Шаг второго был на 20 % короче, чем шаг первого, но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый. Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта А ?

Решение: Шаг второго путника составлял 80% или 0,8 шага первого путника. На каждые 100 шагов первого путника второй успевал сделать 120 шагов, т.е. за то же время второй путник успевал сделать в 1.2 раза больше шагов, чем первый. Следовательно, расстояние, пройденное за некоторое время вторым путником, составляло 0,8 · 1,2 = 0,96 расстояния, пройденного за то же время первым. Путь, пройденный телом за некоторое время, прямо пропорционален скорости движения. Поэтому, скорость второго путника составляла 0,96 скорости первого.

Время, которое затрачивает тело на прохождение определенного пути, обратно пропорционально скорости движения. Поэтому, продолжительность движения первого путника из А в В составляет 0,96 продолжительности движения второго путника на этой дистанции. Для перехода из А в В второму путнику потребовалось

5 : 0,96 = 5,2 часа = 5ч 12 мин.

4. Процентное содержание, процентный раствор.

Концентрация. Смеси и сплавы.

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор".

Процентное содержание. Процентный раствор.

Задача 1:

Сколько кг соли в 25 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Решение: 20 ·  0,15 = 3 (кг) соли.

Ответ: 3 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Задача 2:

Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Решение:

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;

2) 10 : 25 · 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;

3) 15 : 25 · 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;

Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Например, концентрация серебра в сплаве 500 г составляет 85%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 425 г.

500 ·  0,85 = 425 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:  к =  р : 100%, где  к - концентрация вещества;

р - процентное содержание вещества (в процентах).

Задача 3.  В сплаве золота с серебром содержится 80 г золота. К сплаву добавили 100 г чистого золота. Содержание золота в сплаве повысилось на 20%. Сколько серебра было в сплаве?

Решение:

Пусть x г – серебра в сплаве, тогда

(x + 80) г – масса первоначального сплава,

(x + 180) г – масса нового сплава,

80 : (x+80) г – часть золота в первом сплаве,

180 : (x+180) г – часть золота во втором сплаве,

Т.к. содержание золота повысилось на 20% (т.е. на 0,2), составляем уравнение:

180 : (x+180) – 80 : (x+80) = 0,2

решая которое,  получим

x2 – 240x + 14400 = 0

(x – 120)2 = 0

x = 120

Ответ: 120 г.

Задача 4.Вычислите массу и пробу сплава серебра с медью, зная, что сплавив его с 3 кг чистого серебра, получим сплав 900-й пробы (т.е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й пробы, получим сплав 840-й пробы. 

Решение:

Пусть x кг – масса сплава, y% - серебра в сплаве, тогда

(y : 100) · x = 0,01xy (кг) – серебра в сплаве,

(x + 3) кг – нового первого сплава,

(0,01xy + 3) кг – серебра в новом первом сплаве.

Т.к. серебра в новом первом сплаве 90%, составляем уравнение:

0,01xy + 3 = 0,9(x + 3).

(x + 2) кг – масса второго сплава,

2 кг сплава 900-й пробы будут содержать 0,9 · 2 = 1,8 (кг) серебра, тогда

(0,01xy + 1,8) кг – масса серебра во втором сплаве.

Т.к. серебра во втором сплаве 84%, составляем уравнение:

0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2).

Получаем систему уравнений:

0,01xy + 3 = 0,9(x + 3)                    x = 3

0,01xy + 1,8 = 0,84(x + 2)               y = 80 

Ответ: 3 кг 800-ой пробы

        Задача 5. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19- процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

        Решение:

Пусть масса первого раствора х г, он содержит 0,15х г чистого вещества. Масса второго раствора тоже х г, он содержит 0,19х г чистого вещества. Масса нового раствора равна х + х = 2х г и он содержит 0,15х + 0,19х = 0,34х г чистого вещества. Тогда концентрация нового раствора равна

 ( 0,34х) : (2х) × 100% = 17%.

Ответ: 17

        Задача 6. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

        Решение:

 В 5 литрах раствора содержится 0,12×5 = 0,6 л чистого вещества. Масса нового раствора 12 литров, а чистого вещества в нем по прежнему 0,6 л. Значит концентрация нового раствора равна

 0,6 : 12×100% =5%.

        Ответ: 5.

5. Примеры задач с процентами на ЕГЭ

Задача 1.  Согласно российским законам заработок человека  облагается так называемым подоходным налогом, который равен 13% зарплаты. Какую сумму в качестве подоходного налога должен заплатить человек, заработавший 12 000 рублей,  и сколько он получит  «на руки»?

Решение: 13% = 0,13

12 000 · 0,13=1560 (р)

12 000 – 1560=10 440 (р)

Ответ: подоходный налог  1560 рублей, а получит он 10440 рублей.

         Задача 2. Футболка стоила 360 рублей. После понижения цены на 35%    сколько она будет стоить?

          Решение: 35% = 0,35     

360 · 0,35=126 (р)                                                                                  

360 – 126=234 (р)                                                                                         

            Ответ: 234 рубля.

Задача 3. Банк начисляет на вклад ежегодно 8%. Сколько денег будет на счету у клиента через 2 года, если он положил на вклад 5 000 рублей?

Решение: 8% = 0,08          

5 000 · 0,08=400                                                                                                 

5 000+400=5400                                                                                                    

5400·0,08=432                                                                                                        

5400+432=5832 (р)

Ответ: 5 832 рубля

Задача 4. В коробке лежали лампочки, 4 из них разбились. Разбитые лампочки составили 2% от числа всех лампочек. Сколько всего лампочек в коробке?

Решение:

4:2=2  - 1%.                                                                                                

2·100%=200

 Ответ: всего 200 лампочек.

Задача 5. Завод за один месяц выпустил 3400 телевизоров, из них 17 оказались бракованными. А его филиал за это время выпустил 2 200 телевизоров и из них 11 оказались бракованными. Какое предприятие работает качественнее?

Решение:

17:3400=0,005 –это 0,5% - брак завода.                                                      

11:2200=0,005-0,5%   - брак филиала.                                                          

Ответ: работают одинаково.

Задача 6.

Фабрика должна была сшить 360 костюмов. В первые 8 дней она перевыполняла план на 20%, а в остальные на 25%. Сколько дней работала фабрика, если всего сшито 442 костюма?

Решение:

Пусть x костюмов должна была сшить фабрика за один день, y дней должна  работать. Т.к. всего должно надо сшить 360 костюмов, составляем уравнение:

xy = 360.

1,2x · 8 костюмов сшили за первые 8 дней,

1,25x(y - 8) костюмов сшили за остальные дни.

Т.к. всего сшито 442 костюма, составляем уравнение:

1,2x · 8 +  1,25x(y - 8) = 442.

Получаем систему уравнений:

xy = 360                                           x = 20

1,2x · 8  +  1,25x(y - 8) = 442            y = 18

Ответ: 18 дней

Задача 7. В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

Решение:

Пусть x – месячный план, тогда 1,05x – выпущено в январе,

1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено

1,05x + 1,092x = 2,142x.

Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.

2x – 100%,  2,142x – y%

y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.

Ответ: 7,1%

         Задача 8. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20700 рублей, через два года был продан за 16767 рублей.

Решение:

Холодильник стоил 20700 рублей. Его цена два раза уменьшилась на р%, и стала 16767. Значит,

Решаем квадратное уравнение:

Понятно, что реальный смысл имеет только ответ 10% (холодильник не может уменьшаться в цене на 190%).

Таким образом, цена холодильника уменьшалась на 10% каждый год.

Ответ: 10

6. Правило начисления «сложных процентов»

Для выхода на формулу начисления «сложных процентов» полезно решить такую задачу:

В сберкассу положили 200 рублей, на которые начисляют 3% годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения, в конце второго года хранения?

Решение приведем на конкретных числах и в общем виде:

В итоге  получились формулы: = а(1 + ) – в конце 1-го года,

= а(1 + )2 – в конце 2-го, т.е.,  = а(1 + )n,  в конце n-го года, где а – первоначальный капитал, р – процент прибыли за один промежуток времени, n – число промежутков.

        Эта формула называется формулой «сложных процентов».

Полученная формула показывает, что значение величины k растет как геометрическая прогрессия, первый член которой равен а, а знаменатель прогрессии 1 + . Формула эта является исходной формулой при решении многих задач на проценты. Кроме формулы «сложного процента», есть формула простого процентного прироста:

= а(1 + ),

где а, р, n имеют тот же смысл, что и в формуле сложного процентного роста (отличие состоит в том, что в этом случае процент каждый раз берется от одного и того же числа а).

7. Банковские операции

        Для более полного понимания принципов кредитования и принятых в банковской системе понятий решим следующую задачу:

Сберегательный Банк России предлагает населению «образовательный кредит» для получения высшего и среднего специального образования, составляющий 70% от общей суммы оплаты обучения, под 17% годовых на срок не более 11 лет.

        Стоимость обучения на экономическом факультете Московского института электронной техники составляет в среднем 32000 рублей за семестр, срок обучения – 5 лет.

        Посчитаем сумму гашения кредита и сумму гашения процентов для первых трех месяцев выплаты, если образовательный кредит выдан сроком на 5 лет.

Решение:

1. Подсчитаем общую сумму на обучение (стоимость одного семестра   на количество семестров в течение 5 лет):

3200010 = 320000 рублей.

2. Подсчитаем размер кредита (как 70% от суммы на обучение):

32000070% = 224000 рублей.

3. Подсчитаем ежемесячную сумму не гашение кредита (как отношение размера кредита к количеству месяцев кредитования):

224000 : (512) = 3733,333 4000 рублей.

4. Подсчитаем сумму гашения процентов для первого месяца выплаты (17% от кредита : на количество месяцев в году):

22400017% : 12 = 3173,3333500 рублей.

5. Подсчитаем сумму платежа за кредит для первого месяца выплаты (как сумму гашения кредита и гашения процентов):

4000 + 3500 = 7500 рублей.

6. Подсчитаем остаток после первого месяца выплаты (как разность кредита и платежа за 1 месяц):

224000 – 4000 = 220000 рублей.

7. Подсчитаем сумму гашения процентов для второго месяца платежа (17% от остатка: на количество месяцев в году):

22000017% : 12 = 3116,6673200 рублей.

8. Подсчитаем остаток после второго месяца выплаты (как разница остатка после первого месяца выплаты и гашения кредита):

220000 – 4000 = 216000 рублей.

9. Подсчитаем сумму гашения процентов для третьего месяца выплаты (17% от остатка после второго месяца : на количество месяцев в году):

21600017% : 12 = 3060,3333100 рублей.

Ответ: Гашение кредита – 4000 рублей в месяц.

Гашение процентов: 1-й месяц – 3500 рублей, 2-й месяц - 3200 рублей, 3-й месяц – 3100 рублей. Сумма платежа за кредит для первого месяца выплаты – 7500 рублей.

8. Голосование и проценты

Решим такую задачу:

13 сентября  2015 года в выборах депутатов Думы Заводоуковского городского округа  на избирательном участке № 294  принял участие 1021  избиратель от общего числа 2115 человек. После подсчета голосов выяснилось, что за Лямзина Н.А. было отдано 156 голосов, за Мамонтова С. Д. – 197 голосов, за Присада Е.А. – 668 голосов. Какова оказалась явка избирателей на участке? Кто из кандидатов победил на этом участке (победитель должен преодолеть 50% барьер)? Сколько процентов голосов отдано за каждого из кандидатов?

Решение:

1. 1021 : 2115100% = 48% составила явка избирателей на выборах.
2. 668 : 1021100% = 65%  голосов отдано за Присада Е.А. – победителя.
3. 197 : 1021100% = 19% голосов отдано за Мамонтова С.Д.
4. 156 : 1021100% = 15% голосов отдано за Лямзина Н.А.

Заключение

      Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно.  В данной работе показано применение понятия процента при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (экономика, торговля, статистика, химия,  быт).   Это  показывает связь математики с другими науками. Материалы, рассмотренные в этой работе, могут найти  практическое применение на уроках математики и при подготовке к экзаменам.

      В ходе  исследования сделан вывод о том, что проценты помогают нам:

- ориентироваться в большом потоке информации;

- правильно вкладывать деньги;

- грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант;

- совершать выгодные покупки, экономить на скидках;

- решать математические задачи.

      Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека, поэтому остается еще широкое поле для дальнейших исследований.

Список использованной литературы

1. Бекоева О., Студенецкая В. Проценты с дополнениями. - М., газета «Математика» - приложение к газете «Первое сентября», №17, 2001
2. Бунина О. Деловая игра «Проценты в современной жизни». -М., газета «Математика» - приложение к газете «Первое сентября», №21, 2007
3. Виленкин, Н. Л. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 2014.
4. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др., Учебно-тренировочные материалы для    подготовки к ЕГЭ. Математика, М: Интеллект- Центр, 2015.
5. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления: Учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа, 2013.

6. Семенов А.Л.,  .Ященко И.В.. «ЕГЭ -2014. Математика», издательство    «Национальное     образование», Москва, 2014 год

5. Интернет-ресурсы

    Решу ЕГЭ  http://reshuege.ru

http://ru.wikipedia.org/

www.metod-kopilka.ru 

http://pedsovet.org

Падунская средняя общеобразовательная школа имени заслуженного учителя школы РСФСР И.Е.Хребтова. филиал Муниципального автономного общеобразовательного учреждения Заводоуковского городского округа «Заводоуковская средняя общеобразовательная школа №4 имени Заслуженного учителя РСФСР Почётного гражданина г.Заводоуковска Агафонова Леонида Устиновича»

Тема: «Приёмы быстрого счёта»

                                                                    Выполнили ученики 7а класса:

                                                                                 Шашков Семён

                                                                                 Плосков Андрей

                                                                                 Хлебосолов Егор

                                                                                 Руководитель:

                                                                                 учитель математики

                                                   Ваймер С.В.

с. Падун  2017 г.

Содержание

Введение……………………………………………………….…………...….….3

1. История возникновения вычислений……..……………..…………….……..4

2. Старинные способы быстрого счёта…………………...…………...….…….5

3. Приемы вычислений………………………………………………..……...….6

4. Практическая часть……………………………………………………...…….8

Заключение……………………………………………………………………....10

Список использованной литературы………………………………………...…11

Введение.

Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.  

Актуальность нашего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и многие  не умеют считать устно. Это снижает качество знаний по математике.  Поэтому мы хотим помочь учащимся нашего класса научиться считать быстро и правильно и показать, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

Гипотеза исследования: Если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и   будет легче решать  задачи.

Объект  исследования: различные алгоритмы счета

Предмет исследования: процесс вычислений.

Субъект исследования: учащиеся 7 класса.

Цель проекта: 

• изучить методы и приемы быстрого счета;
• показать  необходимость их  эффективного использования.

Задачи проекта:

• изучить историю возникновения вычислений;
• рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас;
• освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые помогут упростить вычисления;
• создать памятку “ Приемы быстрого счета”.

1. История возникновения вычислений

Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал считать. Однако десятки тысяч лет назад первобытный человек собирал плоды деревьев, ходил на охоту, ловил рыбу, научился делать каменный топор и нож, и ему приходилось считать различные предметы, с которыми он встречался в повседневной жизни. Постепенно возникала необходимость отвечать на жизненно важные вопросы: по сколько плодов достанется каждому, чтобы хватило всем, сколько расходовать сегодня, чтобы оставить про запас, сколько нужно сделать ножей и т.п. Таким образом, сам не замечая, человек начал считать и вычислять.

Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги. Полученные числа надо было как-то запоминать. Например, индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной “счетной книги”, попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке.

Это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак. Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у индийцев, и привез их в Европу. Чуть позже арабы упростили эти значки. Они похожи на многие наши цифры. Арабы нуль, или “пусто”, называли “сифра”. С тех пор и появилось слово “цифра”. Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся

Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.

Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы. Этот способ обозначения цифр называется цифирью

Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ:

• десять тысяч – тьма,
• десять тем – легион,
• десять легионов – леодр,
• десять леодров – ворон,
• десять воронов – колода.

Такой способ обозначения чисел был очень неудобен. Поэтому Петр I ввел в России привычные для нас десять цифр, которыми мы пользуемся до сих пор.

2. Старинные способы быстрого счета

Русский крестьянский способ умножения.

Умножим 47 на 35, для этого запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту; левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем); деление заканчивается, когда слева появится единица; вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;

Очень интересный “метод решетки” для умножения чисел.

Найдем произведение чисел 25 и 63, горизонтально запишем число 25, вертикально 63, чертим решетку, проводим диагонали, на пересечениях находим произведения чисел, складываем числа по диагоналям, получили результат: 1575

А какой необычный способ умножения чисел, которым пользуются даже в наше время в Японии.

Найдем произведение чисел 32 и 21, чертим 3 полоски, через промежуток, под углом чертим 2 и 1 полоски, считаем количество точек пересечения:

крайние правые - единицы – 2,  по диагонали – десятки – 7, крайние левые – сотни – 6, получили результат 672.

3. Приемы вычислений

Умножение на пальцах.

Способ  быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.   Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.  Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

Умножение чисел от 10 до 20

Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1. 16 * 18 = (16+8) * 10 + 6 * 8 = 288,

Пример 2. 17 * 19 = (17+9) * 10 + 7 * 9 = 323.

Умножение на 11.

Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Пример. 72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Пример. 94 ∙  11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 22, 33, ..., 99.

Чтобы двузначное число умножить на  22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙  11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример .   24 ∙  22 = 24 ∙  2 ∙  11 = 48 ∙  11 = 528

Умножение на 0,5;1,5; 2,5; 3,5 ...

Чтобы умножить число на 0,5, надо разделить это число на 2.
16 * 0,5 = 16: 2 = 8

Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:
16 * 1,5 = 16+8= 10+14=24

Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на 2 и прибавить половину числа:
16 * 2,5 = 16 * 2 + 8 = 32+8= 40

Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:
16 * 3,5 = 16 * 3+8=48+8 = 40+16=56

Умножение на 5, на 50, на 25, на 125

При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями: 

a ∙ 5=a ∙ 10:2               a ∙ 50=a ∙ 100:2  

a ∙ 25=a ∙ 100:4      а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

Пример 4. 96 ∙ 125=96 ∙ 1000:8=12 ∙ 1000=12000

Последовательное деление

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:

720:45 = (720:9):5 = 80:5 = 16

945:35 = (945:5):7 = 179:7 = 27

Деление на 0,5; 0,25; 0,125

Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:
32 : 0,5 = 32 * 2 = 60 + 4 = 64

Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:
32 : 0,25 = 32 * 4 = 120 + 8 = 128

Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
32 : 0,125 = 32 * 8 = 240 + 16 = 256

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.

Примеры:

352 = 3 * (3+1) и приписать 25, получим 352 = 122

752 = 7 * 8 и приписать 25, 752 = 5625

852 = 8 * 9, приписать 25,  852 = 7225 

45² = 4*5,  приписать 25,  45² = 2025

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Пример 1. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

Пример 2. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

Поразрядное вычитание

Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.

Пример1: 574-243 = (500-200) + (70-40) + (4-3) = 300+30+1=331.

Если меньше, то занимаем у высшего разряда:

Пример 2: 647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.

4. Практическая часть

Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков. Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.

Объект исследования: 7а  класс. Время проведения: март-апрель

Диагностика проводилась в два этапа. Для первичной диагностики была подготовлена проверочная работа, состоящая из 12 примеров на сложение, вычитание, деление и умножение. Мы провели эту работу в своем классе. Время выполнения – 10 минут.

Образец работы:

Главное условие – все вычисления ребята должны проводить в уме, а записывать только результат.

Затем мы изучили с одноклассниками приемы быстрого счета и провели еще одну проверочную работу.

Результаты   работ приведены в таблице.

Средний балл первой работы – 6,5

Средний балл второй работы – 8,3

Таким образом, мы видим, что наша первоначальная гипотеза о том, что знание и использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить скорость и качество счета, подтверждается.

Мы рассмотрели лишь немногие из способов быстрого счета. Используя некоторые из них на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Вычисления без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Устный счет – гимнастика ума!

Заключение

Необходимым условием успешной учебы является владение культурой счета. Основу культуры счета составляют вычислительные навыки, совершенствование которых возможно только в практической деятельности.

Счет является простым и легким делом только, когда владеешь особыми приемами и навыками. Каждый ученик может улучшить вычислительные навыки с использованием приемов быстрого счета. Отработка вычислительных навыков должна быть систематической, ежедневной, надо стремиться к тому, чтобы как можно больше освоить “хитрых” приемов, которые просты и доступны всем.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро выполнять подсчеты. Нужна постоянная вычислительная тренировка, из урока в урок, из года в год. Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами.

В следующем году мы планируем продолжить работу по этой теме для того, чтобы дополнить памятку другими способами быстрого счета, так как их нет в школьных учебниках. Мы считаем, что памятка для быстрого счета, будет очень полезной для всех учащихся. 

Результаты работы над проектом: изучили историю возникновения вычислений; рассмотрели правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас; освоили правила быстрого счета и научили пользоваться ими учащихся нашего класса; создали памятку «Приемы быстрого счета» о наиболее полезных для школьников способах вычислений.

Список использованной литературы

1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.

2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.

4. Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994

5. Просветов Г. И.  Быстрый счет. Задачи и решения, АСТ,2008

6.Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68

7.Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).

Интернет-источники

• www.school.edu.ru
• www.ik.net/~stepanov/
• http://www.junior.ru/students/chukhua/shestoe%20chyvstvo.htm
• http://portfolio.1september.ru/subject.php

Визитка команды.

Мы команда - просто класс!
Поприветствуйте-ка нас.
Сегодня будем мы играть,
Задачи сложные  решать.

Ну что ж, пора представиться,

Команда «Гексагон»

Пришла сюда прославиться,

Назваться чемпион.

Про каждого участника

Хотим вам рассказать,

И лучшие их качества

Начнем перечислять.

Александрова Софья

Ее тетради всем на диво,

В них чисто, аккуратно и красиво.

А чертежи – произведение искусства

И вызывают восхищения чувство

Степанова Алена

Тягаться в скорости  не каждый с ней решится

Записывает так, что мел в руке крошится.

Быстрее всех решит она примеры

И в уравнениях тоже будет первой.

Козодоенко Данил

Данила выделяет, без сомнения,

Его логическое мышление.

Задачи, как орешки он щелкает,

Решение красиво оформляет

Сторожилов Вадим

Он знает математики законы,

Не признает ни алгоритмы, ни шаблоны.

Ему присуще нестандартное мышление,

Всегда найдет отличное от всех решение.

Тупицын Андрей

Сообразительность, смекалка, гибкий ум

С задачами справляется он ловко

Любое правило запомнит на лету,

Его расскажет с чувством, с толком, с расстановкой

Сихвардт Владислав

Он в устных вычислениях скор,

В уме отнимет, сложит и умножит.

Гордился бы им даже Пифагор,

Жаль, в школу взять свою уже не сможет.

А вам, соперники, хотим мы пожелать

Сегодня показать себя на пять.

Соревнуясь вместе с вами

Мы останемся друзьями!

Наше мудрое жюри!

Ты зорко за борьбой следи.

Суди нас чётко, с толком

Без всяких кривотолков!