Главные вкладки

    За страницами учебника математики

    Ваймер Светлана Викторовна

    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике  в 2013-2014 уч.г.

    5 класс.

    Время проведения – 60 мин. Максимальное количество баллов – 20 (каждое по 5 баллов)

    Задача 1 :

    Стороны четырёхугольника ABCD равняются: AB = 11, BC = 7, CD = 9, AD = 3, а углы A и C – прямые.
    Чему равна площадь четырёхугольника?


    А : 30; Б : 44; В : 48; Г : 52; Д :60 

    Задача 2 :

    Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками.
    Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?
    А : 15; Б : 30; В : 45; Г : 75; Д : 150 

    Задача 3 :

    Восемь карточек, занумерованных числами от 1 до 8, положили в коробки А и В так,
    что суммы чисел в коробках равны.
    Если известно, что в коробке А всего 3 карточки, то можно быть уверенным, что:
    А : три карточки в коробке В с нечётными номерами; 
    Б : 4 карточки в В имеют чётные номера;
    В : карточка с номером 1 не в коробке В;
    Г : карточка с номером 2 в коробке В;
    Д : число 5 в коробке В 

    Задача 4:

    Комнаты отеля пронумерованы тремя цифрами. Первая цифра обозначает этаж, а следующие две – номер комнаты. Например, 125 означает 25 ю комнату на первом этаже.
    В отеле 5 этажей, они пронумерованы от 1 до 5, с 35 комнатами, пронумерованными от 101 до 135 на первом этаже и аналогичным образом – на остальных.
    Сколько раз при нумерации комнат использовали цифру 2?
    А : 60; Б : 65; В : 95; Г : 100; Д : 105 

    Решение задач :

    Задача 1 :

    Четырёхугольник разбивается ABCD диагональю BD на два прямоугольных треугольника, для каждого из которых вычисляется площадь как полупроизведение катетов. Итого искомая площадь составит - 48
    Ответ В : 48. 

    Задача 2 :

    Сторона кубика должна быть наибольшим общим делителем чисел 30 и 50. НОД (30;50) = 10, значит, кубиков в коробку войдёт 45
    Ответ В : 45. 

    Задача 3 :

    Сумма всех чисел на карточках равна 36, следовательно, на трёх карточках из А сумма 18.
    Такую сумму можно получить тремя способами: 18 = 8 + 4 + 6 = 8 + 7 + 3 = 7 + 6 + 5.
    Значит, у нас есть три варианта для карточек в коробке В: 1, 2, 3, 5, 7 или 1, 2, 4, 5, 6 или 1, 2, 3, 4, 8.
    Убеждаемся, что из всех утверждений только утверждение Г всегда будет верным.
    Ответ Г : карточка с номером 2 в коробке В. 

    Задача 4 :

    На каждом этаже двойка четырежды использовалась для нумерации единиц, и десять раз – в десятках.
    К тому же, номера второго этажа дают ещё 35 двоек.
    Всего их будет 14 х 5 + 35 = 105
    Ответ Д : 105.



    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике  в 2013-2014 уч.г.

    6 класс.

    Время проведения – 60 мин. Максимальное количество баллов – 25 (каждое по 5 баллов)

    Задача № 1 :

    Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого.
    Найдите уменьшаемое и вычитаемое. 

    Задача № 2 :

    Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
    Ответ обоснуйте. 

    Задача № 3 :

    Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов.
    Какое наибольшее число клеток понадобится? 

    Задача № 4 :

    На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние.
    Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки.
    Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних.
    Сколько больших породистых собак привезли на выставку? 

    Задача № 5 :

    Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.
     Радиус каждой из окружностей равен 2 см.
    Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.
    Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?



    Ответы :

    № 1 : Ответ: 43 – 17.

    № 2 : Ответ: будет. 
    Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
    Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

    № 3 : Ответ: 5 клеток.

    № 4 : Ответ: 7 больших породистых собак.

    № 5 : Ответ: 64 см



    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике

     2013-2014

    Максимальное количество баллов – 50.

    7 класс.

    90 минут на выполнение работы

    Вопрос № 1 5алла(ов)

    Какая из цифр не встречается в десятичной записи числа 3/14?

    1

    2

    4

    5


    Вопрос № 2 6 балла(ов)

    У каждого из сыновей дедушки столько же детей, сколько и братьев. Общее количество сыновей и внуков дедушки равно его возрасту. Сколько лет дедушке, если ему больше 50, но меньше 70 лет?

    56

    60

    64 

    68

    69


    Вопрос № 3 5 балла(ов)

    Какой угол образуют стрелки часов на двенадцатичасовом циферблате часов в половине второго?

    165 градусов

    120 градусов

    130 градусов

    150 градусов

    135 градусов 


    Вопрос № 4 4 балла(ов)

    Гриша должен выполнить 4 задания: разделить круг одной или двумя линиями( не обязательно прямыми) на 2, 3, 4 и 5 частей ( не обязательно равных). Сколько из этих заданий он сможет выполнить?

    0

    1

    2

    3


    Вопрос № 5 6 балла(ов)

    Доберман съедает порцию корма за 4 минуты, а эрдельтерьер - за 6 минут. Сколько времени обе собаки будут есть вместе одну порцию корма, если не будут ссориться?

    90 секунд

    120 секунд

    144 секунды 

    150 секунд

    180 секунд


    Вопрос № 6 4 балла(ов)

    На одну чашку весов положили круг сыра, а на другую ¾ такого же круга и еще килограммовую гирю. Сколько весит круг сыра, если на весах установилось равновесие?

    2

    6

    8

    9


    Вопрос № 7 5 балла(ов)

    В некотором месяце три воскресения пришлись на четные числа. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?

    Понедельник

    Вторник

    Среда

    Четверг 

    Пятница


    Вопрос № 8 4 балла(ов)

    У флориста (составителя букетов из цветов) имеются розы: 42 красных, 24 белых и 36 желтых. Какое наибольшие количество одинаковых букетов из роз он может составить, если хочет использовать все имеющиеся у него розы?

    4

    8

    10

    12


    Вопрос № 9 6 балла(ов)

    На одной из чашек весов лежит груз массой в 27 граммов. Вася последовательно кладет на любую из двух чаш весов по одной гирьке. Масса первой из них равна 1 грамму, а каждая следующая гирька на 1 грамм тяжелее предыдущей. Какое наименьшее число гирь должен положить Вася, чтобы уравновесить весы?

    9 гирь 

    6 гирь

    7 гирь

    10 гирь

    15 гирь


    Вопрос № 10 5 балла(ов)

    Когда пассажиры вошли в пустой трамвай, то половина пассажиров заняли места для сидений. Сколько было пассажиров, если после первой остановки их число увеличилось на 8%

    30

    45

    50 

    54

    42

    Ответы

    Вопрос № 1 5 балла(ов)

    Какая из цифр не встречается в десятичной записи числа 3/14?

    1

    2

    3 Правильный ответ

    4

    5


    Вопрос № 2 6 балла(ов)

    У каждого из сыновей дедушки столько же детей, сколько и братьев. Общее количество сыновей и внуков дедушки равно его возрасту. Сколько лет дедушке, если ему больше 50, но меньше 70 лет?

    56

    60

    64 Правильный ответ

    68

    69


    Вопрос № 3 5 балла(ов)

    Какой угол образуют стрелки часов на двенадцатичасовом циферблате часов в половине второго?

    165 градусов

    120 градусов

    130 градусов

    150 градусов

    135 градусов Правильный ответ


    Вопрос № 4 4 балла(ов)

    Гриша должен выполнить 4 задания: разделить круг одной или двумя линиями( не обязательно прямыми) на 2, 3, 4 и 5 частей ( не обязательно равных). Сколько из этих заданий он сможет выполнить?

    0

    1

    2

    3

     Правильный ответ


    Вопрос № 5 6 балла(ов)

    Доберман съедает порцию корма за 4 минуты, а эрдельтерьер - за 6 минут. Сколько времени обе собаки будут есть вместе одну порцию корма, если не будут ссориться?

    90 секунд

    120 секунд

    144 секунды  Правильный ответ

    150 секунд

    180 секунд


    Вопрос № 6 4 балла(ов)

    На одну чашку весов положили круг сыра, а на другую ¾ такого же круга и еще килограммовую гирю. Сколько весит круг сыра, если на весах установилось равновесие?

    2

     Правильный ответ

    6

    8

    9


    Вопрос № 7 5 балла(ов)

    В некотором месяце три воскресения пришлись на четные числа. Каким днем недели было 20-е число этого месяца?

    Понедельник

    Вторник

    Среда

    Четверг Это правильный ответ

    Пятница


    Вопрос № 8 4 балла(ов)

    У флориста (составителя букетов из цветов) имеются розы: 42 красных, 24 белых и 36 желтых. Какое наибольшие количество одинаковых букетов из роз он может составить, если хочет использовать все имеющиеся у него розы?

    4

     Правильный ответ

    8

    10

    12


    Вопрос № 9 6 балла(ов)

    На одной из чашек весов лежит груз массой в 27 граммов. Вася последовательно кладет на любую из двух чаш весов по одной гирьке. Масса первой из них равна 1 грамму, а каждая следующая гирька на 1 грамм тяжелее предыдущей. Какое наименьшее число гирь должен положить Вася, чтобы уравновесить весы?

    9 гирь  Правильный ответ

    6 гирь

    7 гирь

    10 гирь

    15 гирь


    Вопрос № 10 5 балла(ов)

    Когда пассажиры вошли в пустой трамвай, то половина пассажиров заняли места для сидений. Сколько было пассажиров, если после первой остановки их число увеличилось на 8%

    30

    45

    50  Правильный ответ

    54

    42



    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике

    2013-2014

    Максимальное количество баллов – 50.

    8 класс.

    90 минут на выполнение работы.

    Вопрос № 1 3 балла(ов)

    Какая из следующих дробей самая большая?

    7/8 

    66/77

    555/666

    4444/5555

    33333/44444


    Вопрос № 2 6 балла(ов)

    Назовем число «удивительным», если оно равно произведению всех своих различных делителей (кроме самого числа). Например, 6 - самое маленькое (первое) «удивительное число». Укажите тринадцатое по величине «удивительное» число.

    33

    34

    35

    38 

    39


    Вопрос № 3 5 балла(ов)

    Сколько градусов составляет угол между часовой и минутной стрелкой на двенадцатичасовом циферблате часов в 7 часов 38 минут?

    5

    4

    3

    2


    Вопрос № 4 4 балла(ов)

    Четверо ребят: Алексей, Борис, Владимир и Григорий - участвовали в лыжных гонках. На следующий день на вопрос, кто какое место занял в соревнованиях, они ответили так: Алексей: «Я не был ни первым, ни последним», Борис: « я не был последним», Владимир: «Я был первым», Григорий: «Я был последним». Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один - ложным. Кто был первым?

    Алексей

    Владимир

    Борис 

    Григорий

    Все финишировали одновременно


    Вопрос № 5 4 балла(ов)

    В треугольнике АВС угол А в три раза больше угла В и равен половине угла С. Чему равен угол А?

    30 градусов

    36 градусов

    54 градуса 

    60 градусов

    72 градуса


    Вопрос № 6 4 балла(ов)

    Цена на сахар снизилась на 20%. На сколько процентов больше, чем раньше, можно купить сахара на те же самые деньги?

    20%

    25% 

    30%

    32%

    23%


    Вопрос № 7 6 балла(ов)

    Опытный дрессировщик может вымыть слона за 40 минут, а его сыну для этого требуется 2 часа. За сколько времени они вымоют трех слонов, работая вдвоем?

    90 минут 

    80 минут

    120 минут

    75 минут

    105 минут


    Вопрос № 8 6 балла(ов)

    У каждого из сыновей дедушки столько же детей, сколько и братьев. Общее количество сыновей и внуков дедушки равно его возрасту. Сколько лет дедушке, если ему больше 50, но меньше 70 лет?

    56

    60

    64 

    68

    69


    Вопрос № 9 6 балла(ов)

    Число 21000 не может быть равно:

    (45)10

    (((210)10)10

    2111*2889

    2999+2999

    2101010 


    Вопрос № 10 6 балла(ов)

    Лёша и Ира живут в одноподъездном доме, на каждом этаже которого 9 квартир. Номер этажа Лёши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Лёши?

    320

    230

    269

    296 

    290

    Ответы

    Школьный тур олимпиады по математике

    8 класс.

    90 минут на выполнение работы.

    Вопрос № 1 3 балла(ов)

    Какая из следующих дробей самая большая?

    7/8 Правильный ответ

    66/77

    555/666

    4444/5555

    33333/44444


    Вопрос № 2 6 балла(ов)

    Назовем число «удивительным», если оно равно произведению всех своих различных делителей (кроме самого числа). Например, 6 - самое маленькое (первое) «удивительное число». Укажите тринадцатое по величине «удивительное» число.

    33

    34

    35

    38 Правильный ответ

    39


    Вопрос № 3 5 балла(ов)

    Сколько градусов составляет угол между часовой и минутной стрелкой на двенадцатичасовом циферблате часов в 7 часов 38 минут?

    5

    4

    3

    2

     Правильный ответ


    Вопрос № 4 4 балла(ов)

    Четверо ребят: Алексей, Борис, Владимир и Григорий - участвовали в лыжных гонках. На следующий день на вопрос, кто какое место занял в соревнованиях, они ответили так: Алексей: «Я не был ни первым, ни последним», Борис: « я не был последним», Владимир: «Я был первым», Григорий: «Я был последним». Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один - ложным. Кто был первым?

    Алексей

    Владимир

    Борис Правильный ответ

    Григорий

    Все финишировали одновременно


    Вопрос № 5 4 балла(ов)

    В треугольнике АВС угол А в три раза больше угла В и равен половине угла С. Чему равен угол А?

    30 градусов

    36 градусов

    54 градуса  Правильный ответ

    60 градусов

    72 градуса


    Вопрос № 6 4 балла(ов)

    Цена на сахар снизилась на 20%. На сколько процентов больше, чем раньше, можно купить сахара на те же самые деньги?

    20%

    25%  Правильный ответ

    30%

    32%

    23%


    Вопрос № 7 6 балла(ов)

    Опытный дрессировщик может вымыть слона за 40 минут, а его сыну для этого требуется 2 часа. За сколько времени они вымоют трех слонов, работая вдвоем?

    90 минут  Правильный ответ

    80 минут

    120 минут

    75 минут

    105 минут


    Вопрос № 8 6 балла(ов)

    У каждого из сыновей дедушки столько же детей, сколько и братьев. Общее количество сыновей и внуков дедушки равно его возрасту. Сколько лет дедушке, если ему больше 50, но меньше 70 лет?

    56

    60

    64  Правильный ответ

    68

    69


    Вопрос № 9 6 балла(ов)

    Число 21000 не может быть равно:

    (45)10

    (((210)10)10

    2111*2889

    2999+2999

    2101010  Правильный ответ


    Вопрос № 10 6 балла(ов)

    Лёша и Ира живут в одноподъездном доме, на каждом этаже которого 9 квартир. Номер этажа Лёши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Лёши?

    320

    230

    269

    296 Правильный ответ

    290



    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике

    2013-2014

    Время выполнения – 120 мин.

    Максимальное количество баллов -35

    9 класс

    1. Постройте эскиз графика функции: .

    2. При каких значениях параметраа уравнение  имеет корни одного знака?

    3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

    4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

    ( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)

    5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.



    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике

    2013-2014

    Время выполнения – 120 мин.

    Максимальное количество баллов -35

    10 класс

    1. Постройте эскиз графика функции: .

    1. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения  положительны.

    1. Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной  из них стороной правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей окружности равен 10 см.

    1. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

    5. Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?



    Предварительный просмотр:

    Школьный тур олимпиады по математике

    2013-2014

    Время выполнения – 120 мин.

    Максимальное количество баллов -35

    11 класс

    1. Постройте эскиз графика функции: .

    1. При каких значениях числового параметра а неравенство  верно при всех значениях х?

    1. Треугольник со сторонами 4 см и 6 см вписан в окружность радиуса 12 см. Найдите длину третьей стороны треугольника.

    1. По кругу сидят 2010 хамелеонов. Каждый из них может менять свой цвет в следующем порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зеленый, синий и т.д. Если прикоснуться к одному из хамелеонов, то он меняет свой цвет на следующий по порядку. При этом одновременно с ним меняют свой цвет трое хамелеонов, следующих за ним по часовой стрелке. Сначала все хамелеоны синие. Можно ли добиться того, чтобы все они стали зелеными?

    1. В каком году родились люди, которым в 2010 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр их года рождения?



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    5 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в 5 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

    Задача 1 :

    Стороны четырёхугольника ABCD равняются: AB = 11, BC = 7, CD = 9, AD = 3, а углы A и C – прямые. Чему равна площадь четырёхугольника?

    А : 30; Б : 44; В : 48; Г : 52; Д :60

    Задача 2 :

    Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками. Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?

    А : 15; Б : 30; В : 45; Г : 75; Д : 150

    Задача 3 :

    Восемь карточек, занумерованных числами от 1 до 8, положили в коробки А и В так, что суммы чисел в коробках равны. Если известно, что в коробке А всего 3 карточки, то можно быть уверенным, что:

    А : три карточки в коробке В с нечётными номерами;

    Б : 4 карточки в В имеют чётные номера;

    В : карточка с номером 1 не в коробке В;

    Г : карточка с номером 2 в коробке В;

    Д : число 5 в коробке В

    Задача 4:

    Комнаты отеля пронумерованы тремя цифрами. Первая цифра обозначает этаж, а следующие две – номер комнаты. Например, 125 означает 25 ю комнату на первом этаже. В отеле 5 этажей, они пронумерованы от 1 до 5, с 35 комнатами, пронумерованными от 101 до 135 на первом этаже и аналогичным образом – на остальных. Сколько раз при нумерации комнат использовали цифру 2?

    А : 60; Б : 65; В : 95; Г : 100; Д : 105

    Задача 5

    Ваня, Коля и Антон могут одинаково быстро вскопать землю лопатой. Если любые два из этих мальчиков будут работать вместе, то справятся с земельным участком за полтора часа. За какое время ребята вскопают тот же участок, если будут работать все трое вместе.



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    6 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в 6 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

    Задача № 1:

    Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

    Задача № 2:

    Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.

    Задача № 3:

    Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов. Какое наибольшее число клеток понадобится?

    Задача № 4:

    На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние. Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки. Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних. Сколько больших породистых собак привезли на выставку?

    Задача № 5:

    Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    7 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в7 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

    Задача № 1 :

    График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

    Задача № 2 :

    Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять?

    Задача 3 :

    Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

    Задача 4 :

    ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

    Задача 5 :

    Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    8 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в 8 классе содержит 4 задания, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

    Задача № 1 :

    Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

    Задача № 2 :

    Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

    Задача № 3 :

    Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:

    1) требуемая дата еще не наступила,

    2) требуемая дата уже прошла.

    Ответ обосновать.

    Задача № 4 :

    В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD+BC = AB+CD.



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    9 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в 9 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 90 минут.

    Задача 1:

    Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.  Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

    Задача 2:

    По определению, n ! = 1 · 2 · 3 ·.... n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · .....· 20! , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

    Задача 3:

    С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

    Задача 4:

    Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20.

    Задача 5:

    На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    10 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в 10 классе содержит 4 задания, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 90 минут.

    Задача 1:

    Докажите, что уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0  не имеет решений.

    Задача 2:

    Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.

    Задача 3:

    Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.

    Задача 4 :

    Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число  √2 + √3.



    Предварительный просмотр:

    Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

    11 класс

    Школьный уровень

    2015 год

    Пояснительная записка

    Школьная олимпиада по математике в 11 классе содержит 4 задания, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 90 минут.

    Задача 1:

    Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

    Задача 2:

    Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

    Задача 3:

    Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

    Задача 4:

    В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.