За страницами учебника математики

Школьный тур олимпиады по математике  в 2013-2014 уч.г.

5 класс.

Время проведения – 60 мин. Максимальное количество баллов – 20 (каждое по 5 баллов)

Задача 1 :

Стороны четырёхугольника ABCD равняются: AB = 11, BC = 7, CD = 9, AD = 3, а углы A и C – прямые.
Чему равна площадь четырёхугольника?


А : 30; Б : 44; В : 48; Г : 52; Д :60 

Задача 2 :

Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками.
Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?
А : 15; Б : 30; В : 45; Г : 75; Д : 150 

Задача 3 :

Восемь карточек, занумерованных числами от 1 до 8, положили в коробки А и В так,
что суммы чисел в коробках равны.
Если известно, что в коробке А всего 3 карточки, то можно быть уверенным, что:
А : три карточки в коробке В с нечётными номерами; 
Б : 4 карточки в В имеют чётные номера;
В : карточка с номером 1 не в коробке В;
Г : карточка с номером 2 в коробке В;
Д : число 5 в коробке В 

Задача 4:

Комнаты отеля пронумерованы тремя цифрами. Первая цифра обозначает этаж, а следующие две – номер комнаты. Например, 125 означает 25 ю комнату на первом этаже.
В отеле 5 этажей, они пронумерованы от 1 до 5, с 35 комнатами, пронумерованными от 101 до 135 на первом этаже и аналогичным образом – на остальных.
Сколько раз при нумерации комнат использовали цифру 2?
А : 60; Б : 65; В : 95; Г : 100; Д : 105 

Решение задач :

Задача 1 :

Четырёхугольник разбивается ABCD диагональю BD на два прямоугольных треугольника, для каждого из которых вычисляется площадь как полупроизведение катетов. Итого искомая площадь составит - 48
Ответ В : 48. 

Задача 2 :

Сторона кубика должна быть наибольшим общим делителем чисел 30 и 50. НОД (30;50) = 10, значит, кубиков в коробку войдёт 45
Ответ В : 45. 

Задача 3 :

Сумма всех чисел на карточках равна 36, следовательно, на трёх карточках из А сумма 18.
Такую сумму можно получить тремя способами: 18 = 8 + 4 + 6 = 8 + 7 + 3 = 7 + 6 + 5.
Значит, у нас есть три варианта для карточек в коробке В: 1, 2, 3, 5, 7 или 1, 2, 4, 5, 6 или 1, 2, 3, 4, 8.
Убеждаемся, что из всех утверждений только утверждение Г всегда будет верным.
Ответ Г : карточка с номером 2 в коробке В. 

Задача 4 :

На каждом этаже двойка четырежды использовалась для нумерации единиц, и десять раз – в десятках.
К тому же, номера второго этажа дают ещё 35 двоек.
Всего их будет 14 х 5 + 35 = 105
Ответ Д : 105.

Школьный тур олимпиады по математике  в 2013-2014 уч.г.

6 класс.

Время проведения – 60 мин. Максимальное количество баллов – 25 (каждое по 5 баллов)

Задача № 1 :

Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого.
Найдите уменьшаемое и вычитаемое. 

Задача № 2 :

Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007?
Ответ обоснуйте. 

Задача № 3 :

Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов.
Какое наибольшее число клеток понадобится? 

Задача № 4 :

На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние.
Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки.
Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних.
Сколько больших породистых собак привезли на выставку? 

Задача № 5 :

Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны.
 Радиус каждой из окружностей равен 2 см.
Окружности касаются друг друга и сторон квадрата.
Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?

Ответы :

№ 1 : Ответ: 43 – 17.

№ 2 : Ответ: будет. 
Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007.
Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.

№ 3 : Ответ: 5 клеток.

№ 4 : Ответ: 7 больших породистых собак.

№ 5 : Ответ: 64 см

Ответы

Школьный тур олимпиады по математике

2013-2014

Время выполнения – 120 мин.

Максимальное количество баллов -35

9 класс

1. Постройте эскиз графика функции: .

2. При каких значениях параметраа уравнение  имеет корни одного знака?

3.В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

4. В пруд пустили 30 щук, которые постепенно поедали друг друга. Щука считается сытой, если она съедает трех щук (сытых или голодных). Каково наибольшее количество щук в этом пруду, которые могли бы почувствовать себя сытыми за достаточно большой промежуток времени?

( щука может быть в некоторый момент сытой, но потом съеденной)

5. Пусть х и у – такие целые числа, что 3х+7у делится на 19. Докажите, что 43х+75y тоже делится на 19.

Школьный тур олимпиады по математике

2013-2014

Время выполнения – 120 мин.

Максимальное количество баллов -35

10 класс

1. Постройте эскиз графика функции: .

2. Найдите все значения числового параметра а, при которых корни уравнения  положительны.

3. Общая хорда двух пересекающихся окружностей служит для одной  из них стороной правильного вписанного четырехугольника, а для другой стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей окружности равен 10 см.

4. М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20%, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки ему хотя бы на квас, если цены вырастут еще на 20%?

5. Существует ли выпуклый многоугольник, число диагоналей которого в 10 раз больше числа его сторон?

Школьный тур олимпиады по математике

2013-2014

Время выполнения – 120 мин.

Максимальное количество баллов -35

11 класс

1. Постройте эскиз графика функции: .

2. При каких значениях числового параметра а неравенство  верно при всех значениях х?

3. Треугольник со сторонами 4 см и 6 см вписан в окружность радиуса 12 см. Найдите длину третьей стороны треугольника.

4. По кругу сидят 2010 хамелеонов. Каждый из них может менять свой цвет в следующем порядке: синий, оранжевый, фиолетовый, зеленый, синий и т.д. Если прикоснуться к одному из хамелеонов, то он меняет свой цвет на следующий по порядку. При этом одновременно с ним меняют свой цвет трое хамелеонов, следующих за ним по часовой стрелке. Сначала все хамелеоны синие. Можно ли добиться того, чтобы все они стали зелеными?

5. В каком году родились люди, которым в 2010 году исполнилось столько лет, какова сумма цифр их года рождения?

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

5 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в 5 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

Задача 1 :

Стороны четырёхугольника ABCD равняются: AB = 11, BC = 7, CD = 9, AD = 3, а углы A и C – прямые. Чему равна площадь четырёхугольника?

А : 30; Б : 44; В : 48; Г : 52; Д :60

Задача 2 :

Коробку размером 30 х 30 х 50 нужно наполнить одинаковыми кубиками. Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?

А : 15; Б : 30; В : 45; Г : 75; Д : 150

Задача 3 :

Восемь карточек, занумерованных числами от 1 до 8, положили в коробки А и В так, что суммы чисел в коробках равны. Если известно, что в коробке А всего 3 карточки, то можно быть уверенным, что:

А : три карточки в коробке В с нечётными номерами;

Б : 4 карточки в В имеют чётные номера;

В : карточка с номером 1 не в коробке В;

Г : карточка с номером 2 в коробке В;

Д : число 5 в коробке В

Задача 4:

Комнаты отеля пронумерованы тремя цифрами. Первая цифра обозначает этаж, а следующие две – номер комнаты. Например, 125 означает 25 ю комнату на первом этаже. В отеле 5 этажей, они пронумерованы от 1 до 5, с 35 комнатами, пронумерованными от 101 до 135 на первом этаже и аналогичным образом – на остальных. Сколько раз при нумерации комнат использовали цифру 2?

А : 60; Б : 65; В : 95; Г : 100; Д : 105

Задача 5

Ваня, Коля и Антон могут одинаково быстро вскопать землю лопатой. Если любые два из этих мальчиков будут работать вместе, то справятся с земельным участком за полтора часа. За какое время ребята вскопают тот же участок, если будут работать все трое вместе.

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

6 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в 6 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

Задача № 1:

Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.

Задача № 2:

Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + ......+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.

Задача № 3:

Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов. Какое наибольшее число клеток понадобится?

Задача № 4:

На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 маленькие, остальные средние. Только 10 из участников выставки породистые, остальные дворняжки. Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних. Сколько больших породистых собак привезли на выставку?

Задача № 5:

Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр звездочки, нарисованной жирной линией?

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

7 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в7 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

Задача № 1 :

График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Задача № 2 :

Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы. Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы). Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собирается менять?

Задача 3 :

Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Задача 4 :

ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Задача 5 :

Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A, а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B? Если да, то как? Если нет, то почему?

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

8 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в 8 классе содержит 4 задания, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 60 минут.

Задача № 1 :

Сумма квадратов n простых чисел, каждое из которых больше 5, делится на 6. Докажите что и n делится на 6.

Задача № 2 :

Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2 очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все возможные варианты ответа и докажите, что других нет.

Задача № 3 :

Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату, обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:

1) требуемая дата еще не наступила,

2) требуемая дата уже прошла.

Ответ обосновать.

Задача № 4 :

В выпуклом четырехугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD перпендикулярны. Докажите, что AD+BC = AB+CD.

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в 9 классе содержит 5 заданий, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 90 минут.

Задача 1:

Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999.  Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?

Задача 2:

По определению, n ! = 1 · 2 · 3 ·.... n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! · 2! · 3! · .....· 20! , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?

Задача 3:

С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Задача 4:

Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20.

Задача 5:

На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

10 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в 10 классе содержит 4 задания, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 90 минут.

Задача 1:

Докажите, что уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x +24 = 0  не имеет решений.

Задача 2:

Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.

Задача 3:

Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности. Найдите разность длин сторон квадратов.

Задача 4 :

Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число  √2 + √3.

Задания всероссийской олимпиады школьников по математике

11 класс

Школьный уровень

2015 год

Пояснительная записка

Школьная олимпиада по математике в 11 классе содержит 4 задания, каждое задание максимально оценивается 7 баллами. Проведение олимпиады рассчитано на 90 минут.

Задача 1:

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Задача 2:

Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Задача 3:

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

Задача 4:

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1. Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце. Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке. Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.