Подготовка к ЕГЭ

Задание 1 № 129 

Дано: а = B516, b = 2678. Какое из чисел х, записанных в двоичной системе, отвечает неравенству a < x < b?

 1) 101101102 =182

2) 101110002 =184

3) 101111002=188

4) 101111112=191

Пояснение.

Переведем числа в двоичную систему счисления:

B516 = 18110=101101012

2678 = 18310=101101112

181

Сравним эти числа с числами в условии.

Ответ: Правильный ответ указан под номером 1.

Задание 1 № 6940 

Даны 4 целых числа, записанных в шестнадцатеричной системе: A8, AB, B5, CA. Сколько среди них чисел, больших, чем 2658?

Представим все числа в какой-нибудь одной системе счисления, например, в десятичной:

 A816 = 16 · 10 + 8 = 16810,

AB16 = 16 · 10 + 11 = 17110,

B516 = 16 · 11 + 5 = 18110,

CA16 = 16 · 12 + 10 = 20210,

2658 = 2 · 82 + 6 · 8 + 5 = 18110.

 Таким образом из четырёх представленных чисел одно больше, чем 2658.

 Ответ: 1.

Задание 1 № 5440 

Дано  A = 3678,  B = F916. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A < C < B?

1) 111110002

2) 111110012

3) 110110002

4) 111101112

Пояснение.

Переведем все числа в десятичную систему счисления и затем сравним их:

A = 3678 = 24710,

B = F916 = 24910,

 247

111110002 = 248,

 111110012 = 249,

 110110002 = 216,

 111101112 = 247.

Ответ: Следовательно, правильный ответ указан под номером 1.

Задание 1 № 5472 

Дано  A = EA16,  B = 3548. Какое из чисел C, записанных в двоичной системе, отвечает условию A < C < B?

1) 111011002

2) 111010112

3) 111010102

4) 111011102

Пояснение.

Переведем все числа в десятичную систему счисления и затем сравним их:

A = EA16 = 23410,   B = 3548 = 23610,  234< C< 236

111011002 = 236,

 111010112 = 235,

 111010102 = 234,

 111011102 = 238,

Следовательно, правильный ответ указан под номером 2.

 Подготовка к ЕГЭ: Задание 11

Условие. Алгоритм вычисления значения функции F(n), где n – натуральное число, задан следующими соотношениями:

F(1) = 1;   F(n) = F(n–1) * n, при n >1

Чему равно значение функции F(5)?

В ответе запишите только натуральное число.

Решение.  Такие задачи удобно решать, вычисляя последовательно значения:

F(1) (оно известно из условия),

F(2) (вычисляется, если известно F(1)),

F(3) (вычисляется, если известно F(2))

и так далее.

В нашем случае получим:

      n=1 => F(1) = 1;

      n=2 => F(2) = F(1)*2 = 1*2 = 2;

      n=3 => F(3) = F(2)*3 = 2*3 = 6;

      n=4 => F(4) = F(3)*4 = 6*4 = 24;

      n=5 => F(5) = F(4)*5 = 24*5 = 120.

Ответ:  120

 Замечание 1. Бывает удобно  записывать вычисления в виде таблицы:

 Замечание 2 А еще решение можно записать так (это соответствует буквальному вычислению по рекурсивной формуле):

 F(5) = F(4)*5 =

       = (F(3)*4 )*5 = F(3)*4 *5 = F(3)*20 =

       = (F(2)*3 )*20 = F(2)*3 *20 = F(2)*60 =

       = (F(1)*2 )*60 = F(1)*2 *60 = F(1)*120 =    = 1*120=120

Замечание 3. Значение F(n) – это произведение всех натуральных чисел, не превосходящих n. Это число обозначается n! .

Подготовка к ЕГЭ: Задание 12

Условие: В терминологии сетей TCP/IP маской сети  называется двоичное число, определяющее, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая — к адресу самого узла в этой сети. Обычно маска записывается по тем же правилам, что и IP-адрес.  Адрес сети получается в результате применения поразрядной конъюнкции к заданному IP-адресу узла и маске.

По заданным  IP-адресу узла и маске  определите адрес сети.

IP –адрес узла:          217.233.232.3

Маска:                        255.255.252.0

При записи ответа выберите из приведенных в таблице чисел четыре элемента IP-адреса и запишите в нужном порядке соответствующие им буквы. Точки писать не нужно.

Пример.   Пусть искомый IP-адрес  192.168.128.0, и дана таблица

В этом случае правильный ответ будет записан в виде: HBAF

Решение 1:  Как сказано в условии задачи, чтобы найти адрес сети, нужно записать адрес узла сети и маску подсети в виде двоичных чисел и применить поразрядную конъюнкцию:

Адрес узла сети:         217.233.232.3 = 11011001.11101001.11101000.00000011

Маска подсети:           255.255.252.0 = 11111111.11111111.11111100.00000000

Поразрядная конъюнкция даст единицу при совпадении единиц и ноль в трех остальных случаях. Таким образом, применив её, получаем

Адрес узла сети:         217.233.232.0  = 11011001.11101001.11101000.00000000

Остается записать буквы вместо значений октетов: CDEA

Ответ: CDEA

Решение 2 Вычислим поразрядную конъюнкцию IP-адреса узда сети и маски

Значения 3-х из четырех байтов находятся легко.

Поразрядную конъюнкцию 232 & 252 придется вычислить

23210 = 128 + 64 + 32 + 8 = 27+26 + 25+23 = 1110 10002

25210 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 27+26 + 25 + 24 +23 +22 = 1111 11002

Итак, 232 & 252 = 111010002 = 27+26 + 25+23 = 232

Искомый адрес сети : 217.233.232.0

Замечание. Результат можно было бы получить сразу после перевода чисел в двоичную систему, заметив, что 6 единиц подряд в 111111002 сохраняют 6 левых разрядов в 111010002.

Осталось  только записать ответ в нужном виде. Выбираем из таблицы нужные  значения С=217, D=233, E = 232, A=0.

Ответ: CDEA.

Решение 3 (другой вариант записи решения 2) Адрес сети имеет вид 217.233.X.0, где X получается обнулением двух младших двоичных  разрядов в числе 232 (потому, что в числе 252 = 255-3 два нулевых разряда). Но число 232 делится на 22 = 4. Поэтому два младших разряда в двоичной записи числа 232 и так равны 0. Следовательно, X = 232.

Адрес узла сети:         217.233.232.0

Остается записать буквы вместо значений октетов: CDEA

Ответ: CDEA

Решение 2 Адрес сети имеет вид 217.233.X.0, где X получается обнулением двух младших двоичных  разрядов в числе 232. Но число 232 делится на 22 = 4. Поэтому два младших разряда в двоичной записи числа 232 и так равны 0. Следовательно, X = 232.

Адрес узла сети:         217.233.232.0

Остается записать буквы вместо значений октетов: CDEA

Ответ: CDEA

Подготовка к ЕГЭ:  Задание 13

Условие  Для регистрации на сайте некоторой страны пользователю требуется придумать пароль. Длина пароля – ровно 11 символов. В качестве символов используются десятичные цифры и 12 различных букв местного алфавита, причём все буквы используются в двух начертаниях: как строчные, так и заглавные (регистр буквы имеет значение!).

Под хранение каждого такого пароля на компьютере отводится минимально возможное и одинаковое целое количество байтов, при этом используется посимвольное кодирование и все символы кодируются одинаковым и минимально возможным количеством битов.

Определите объём памяти, который занимает хранение 60 паролей.

1)         540 байт         2)         600 байт         3)         660 байт         4)         720 байт

Решение Количество различных допустимых символов N = 10+12+12 = 34 (10 цифр, 12 строчных букв и 12 заглавных букв). Наименьшая степень двойки, которая больше или равна N, - это 26 = 64. Поэтому минимальное количество бит, которое можно использовать для хранения одной буквы – 6.

Для хранения 11 символов пароля требуется 11×6 = 66 бит. Далее, 66бит = 8байт + 2бит. Поэтому наименьшее целое количество байт, достаточное для хранения одного пароля – 9.

Для хранения 60 паролей нужно 60×9 = 540 байт.

Ответ: 1.

Задание 17.

Условие: В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросуШахматы? Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.

Решение:  Через Ответ(Z) будем обозначать множество страниц, найденных по запросу Z, а через   N(Z) – размер множества Ответ(Z), то есть количество страниц, найденных по запросу Z. В этих обозначениях множество Ответ(X&Y) = это пересечение множеств Ответ(X) и Ответ(Y), а множество Ответ(X | Y) – объединение Ответ(X) и Ответ(Y).

Если по запросу Шахматы | Теннис было найдено 7770 страниц, то среди них были страницы, содержавшие либо оба этих слова, либо только одно из них. Так как страниц, содержащих оба эти слова, было найдено ровно 1000, то из 5500 страниц, содержащих слово «Теннис», 1000 содержит также слово «Шахматы», а 4500 – не содержат этого слова. Поэтому из общего количества 7770 страниц, надо вычесть 4500, на которых есть слово «Теннис», но нет слова «Шахматы». Полученное число в 3270 страниц и будет результатом запроса «Шахматы» и, соответственно, ответом на задание.

Ответ:3270

Замечание. Приведенные рассуждения отражают следующий простой факт из теории множеств. Применительно к нашей задаче его можно записать так. Для любых запросов X и Y выполнено:

N(X | Y) = N(X)+N(Y) – N(X&Y)

Задание 18

К каждой задаче полезно нарисовать рисунок – числовую ось с отмеченными отрезками. Нарисуйте эти рисунки самостоятельно.

 A10.1

Варианты ответов:

1) [8, 20]

2) [12. 24]

3) [16, 28]

4) [18, 32]

Правильный вариант: 4

Решение:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [18, 32].

Ответ: [18, 32] (вариант 4).

A10-2

Варианты ответов:

1) [11, 31]

2) [21, 41]

3) [31, 51]

4) [41, 61]

Правильный вариант: 2

Решение:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [21, 41].

Ответ: [21, 41] (вариант 2).

A10-3

Варианты ответов:

1) [51, 72]

2) [62, 83]

3) [73, 94]

4) [84, 105]

Правильный вариант: 2

Решение 1:

Формула эквивалентна формуле (x Î A) →  (x Î P). Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [62, 83].

Решение 2:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда ¬(x Î A) истинно везде, где  (x Î P) ложно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  истинно). Последнее означает, что отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [62, 83].

Ответ: [62, 83] (вариант 2).

A10-4

Варианты ответов:

1) [31, 52]

2) [43, 64]

3) [55, 76]

4) [67, 98]

Правильный вариант: 3

Решение 1:

Формула эквивалентна формуле (x Î P) →  (x Î A). Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [55, 76].

Решение 2:

Формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда (x Î A) истинно везде, где  ¬(x Î P) ложно, т.е. (x Î P) истинно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  ложно). Последнее означает, что отрезок A целиком содержит отрезок P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [55, 76].

Ответ: [55, 76] (вариант 3).

A10-5

Варианты ответов:

1) [51, 72]

2) [62, 83]

3) [73, 94]

4) [84, 105]

Правильный вариант: 3

Решение 1:

Формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда ее отрицание тождественно истинно. Используя правило де Моргана, получим, что отрицание исходной формулы эквивалентно формуле

(x Î P) \/  ¬ (x Î A)

Последняя формула, в свою очередь, эквивалентна формуле

(x Î A) →  (x Î P).

Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Решение 2:

Формула ложна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда (x Î A) ложно везде, где ¬(x Î P) истинно, т.е. (x Î P) ложно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  истинно). Последнее означает, что отрезок A целиком лежит внутри отрезка P. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Ответ: [73, 94] (вариант 3).

A10-6

Варианты ответов:

1) [51, 72]

2) [62, 83]

3) [73, 94]

4) [84, 105]

Правильный вариант: 3

Решение 1:

Формула тождественно ложна тогда и только тогда, когда ее отрицание тождественно истинно. Используя правило де Моргана, получим, что отрицание исходной формулы эквивалентно формуле

¬ (x Î P) \/ (x Î A)

Последняя формула, в свою очередь, эквивалентна формуле

(x Î P) →  (x Î A).

Эта формула верна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Решение 2:

Формула ложна при любом значении переменной x тогда и только тогда, когда ¬(x Î A) ложно везде, где (x Î P) истинно (и, возможно при некоторых значениях x, для которых (x Î P)  ложно). То есть (x Î A) истинно везде, где (x Î P) истинно Последнее означает, что отрезок P целиком лежит внутри отрезка A. Этому условию удовлетворяет только отрезок [73, 94].

Ответ: [73, 94] (вариант 3).

Задание 20

Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает два числа a и b.  Укажите наибольшее из таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 5.

Решение:  Разберемся, что означают переменные x, a, b. При инициализации x – исходное натуральное число;  a=0, b=1. Посмотрим, что происходит при выполнении основного цикла

     нц пока x>0

         a:=a+1

         b:=b*mod(x,10)

         x:=div(x,10)

     кц

Значение a при каждом выполнении цикла увеличивается на 1, значит итоговое значение переменной a равно количеству выполнения цикла. От числа x при каждом выполнении цикла «отбрасывается» последняя цифра (операция x:=div(x,10) ). Таким образом, количество выполнений цикла (оно же – напечатанное значение переменной a) равно количеству цифр в исходном числе x. Значение переменой b умножается на выражение mod(x,10). Это — последняя цифра текущего значения x, т.е. очередная цифра исходного числа. Поэтому, итоговое значение переменной b равно произведению цифр исходного числа.

Пример выполнения цикла, если начальное значение x=423 приведен в таблице.

Таким образом, в задаче требуется найти наибольшее трехзначное число, в котором произведение цифр равно 5. Это число – 511.

Ответ: 511

B7.2  ( ege.yandex.ru – 2)  Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает два числа a и b.  Укажите наименьшее из таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 14.

Решение:  Разберемся, что означают переменные x, a, b. При инициализации x – исходное натуральное число;  a=0, b=1. Посмотрим, что происходит при выполнении основного цикла

     нц пока x>0

         a:=a+1

         b:=b*mod(x,10)

         x:=div(x,10)

     кц

Значение a при каждом выполнении цикла увеличивается на 1, значит итоговое значение переменной a равно количеству выполнения цикла. От числа x при каждом выполнении цикла «отбрасывается» последняя цифра (операция x:=div(x,10) ). Таким образом, количество выполнений цикла (оно же – напечатанное значение переменной a) равно количеству цифр в исходном числе x. Значение переменой b умножается на выражение mod(x,10). Это — последняя цифра текущего значения x, т.е. очередная цифра исходного числа. Поэтому, итоговое значение переменной b равно произведению цифр исходного числа.

Таким образом, в задаче требуется найти наименьшее трехзначное число, в котором произведение цифр равно 14. Число 14 можно только одним способом представить в виде произведения трех однозначных чисел (порядок чисел здесь не учитывается): 14 = 1 х 2 х 7. Наименьшее число, составленное из этих цифр — 127.

Ответ: 127

B7.3  ( ege.yandex.ru – 3)  Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает два числа a и b.  Укажите наибольшее из таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 2, а потом 8.

Решение:  Разберемся, что означают переменные x, a, b. При инициализации x – исходное натуральное число;  a=0, b=0. Посмотрим, что происходит при выполнении основного цикла

     нц пока x>0

         a:=a+1

         b:=b+mod(x,10)

         x:=div(x,10)

     кц

Значение a при каждом выполнении цикла увеличивается на 1, значит итоговое значение переменной a равно количеству выполнения цикла. От числа x при каждом выполнении цикла «отбрасывается» последняя цифра (операция x:=div(x,10) ). Таким образом, количество выполнений цикла (оно же – напечатанное значение переменной a) равно количеству цифр в исходном числе x. К значению переменой b прибавляется значение выражения mod(x,10). Это — последняя цифра текущего значения x, т.е. очередная цифра исходного числа. Поэтому, итоговое значение переменной b равно сумме цифр исходного числа.

Таким образом, в задаче требуется найти наибольшее двузначное число, в котором сумма цифр равно 8. Это число – 80.

Ответ: 80

B7.4  ( ege.yandex.ru – 4)  Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает два числа a и b.  Укажите наименьшее из таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 2, а потом 8.

Решение:  Разберемся, что означают переменные x, a, b. При инициализации x – исходное натуральное число;  a=0, b=0. Посмотрим, что происходит при выполнении основного цикла

     нц пока x>0

         a:=a+1

         b:=b+mod(x,10)

         x:=div(x,10)

     кц

Значение a при каждом выполнении цикла увеличивается на 1, значит итоговое значение переменной a равно количеству выполнения цикла. От числа x при каждом выполнении цикла «отбрасывается» последняя цифра (операция x:=div(x,10) ). Таким образом, количество выполнений цикла (оно же – напечатанное значение переменной a) равно количеству цифр в исходном числе x. К значению переменой b прибавляется значение выражения mod(x,10). Это — последняя цифра текущего значения x, т.е. очередная цифра исходного числа. Поэтому, итоговое значение переменной b равно сумме цифр исходного числа.

Таким образом, в задаче требуется найти наименьшее двузначное число, в котором сумма цифр равно 8. Это число – 17.

Ответ: 17

B7.5  ( ege.yandex.ru – 5)  Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает два числа a и b.   Сколько есть таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 2, а потом 10?

Решение:  Разберемся, что означают переменные x, a, b. При инициализации x – исходное натуральное число;  a=0, b=0. Посмотрим, что происходит при выполнении основного цикла

     нц пока x>0

         a:=a+1

         b:=b+mod(x,10)

         x:=div(x,10)

     кц

Значение a при каждом выполнении цикла увеличивается на 1, значит итоговое значение переменной a равно количеству выполнения цикла. От числа x при каждом выполнении цикла «отбрасывается» последняя цифра (операция x:=div(x,10) ). Таким образом, количество выполнений цикла (оно же – напечатанное значение переменной a) равно количеству цифр в исходном числе x. К значению переменой b прибавляется значение выражения mod(x,10). Это — последняя цифра текущего значения x, т.е. очередная цифра исходного числа. Поэтому, итоговое значение переменной b равно сумме цифр исходного числа.

Таким образом, в задаче требуется найти количество двузначных чисел, у которых сумма цифр равно 10. Таких чисел есть девять: 19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91.

Ответ: 9

Подготовка к ЕГЭ: Задание 20

Условие: Ниже на 4-х языках записан алгоритм. Получив на вход число x, этот алгоритм печатает два числа L и M.  Укажите наибольшее из таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

Решение:   Разберемся, что означают переменные x, L, M.  При инициализации x – исходное натуральное число;  L=0, M=0. Посмотрим, что происходит при выполнении основного цикла.

  нц пока x>0

    L:=L+1

    если M < mod(x,10)

      то

        M:= mod(x,10)

    все

    x:=div(x,10)

  кц

 Значение L при каждом выполнении цикла увеличивается на 1, значит итоговое значение переменной L равно количеству выполнений цикла. От числа x при каждом выполнении цикла «отбрасывается» последняя цифра (операция x:=div(x,10) ). Таким образом, количество выполнений цикла (оно же – итоговое значение переменной L) равно количеству цифр в исходном числе x. Значение переменой M сравнивается с выражением mod(x,10). Это - последняя цифра текущего значения x, т.е. очередная цифра исходного числа.   Если эта цифра больше M, то значение M  устанавливается равным этой цифре. Поэтому, итоговое значение переменной M равно максимальной цифре исходного числа.Таким образом, в задаче требуется найти наибольшее трехзначное число, в котором нет цифр больших, чем 7. Это число – 777.Ответ: 777

 Замечание [Лещинер и др. Оптимальный банк заданий для подготовки учащихся. Информатика 2012. Интеллект-центр. М. 2012].

Пусть в текстах программ в  предыдущей задаче операторы взятия остатка и целочисленного деления  X MOD 10 и X \ 10 ( и их аналоги на Паскале, Си и Алгоритмическом языке) заменены на X MOD 8 и X \ 8 соответственно.  Как и в рассмотренной задаче из демо-варианта требуется указать наибольшее из таких чисел x,  при вводе которых алгоритм печатает сначала 3, а потом 7.

  Решение: Для этого случая справедливы  все приведенные выше рассуждения, если считать, что число x записано в восьмеричной системе счисления. Поэтому, чтобы получить ответ в десятичной системе, нужно результат 7778 перевести из восьмеричной системы в десятичную. 7778 =  7*64 + 7*8 + 7 = 7*(64+8+1) = 7*73 = 511

Ответ: 511.

Задание 21

Условие задачи.
Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма, изображенного на рис.1 (для Вашего удобства алгоритм представлен на четырех языках программирования).

Рис.1. Запись алгоритма на четырех языках программирования.

2.2. Набросок решения

Для краткости мы ограничимся анализом записи алгоритма на Школьном Алгоритмическом Языке, см. Рис.2. Для удобства - перенумеруем строки (при использовании системы Кумир они будут перенумерованы так же).
1. В алгоритме используется вспомогательный алгоритм-функция F, этот алгоритм имеет единственный аргумент типа цел.  Значение F(x) при значении аргумента x - это значение квадратичного многочлена 4*(x-1)*(x-3). См. строки 15 - 18.
2. Алгоритм перебирает все целочисленные значения t от a=-20 до b=20. См. цикл от строки 6 до строки 11.
3. До начала цикла переменной M присваивается значение a, а переменной R - значение F(a). См. строку 5. Внутри цикла вычисляется значение F(t) для очередного значения переменной t. Если выполнено условие F(t) < M, то перевычисляются значения R и M, см. строки 7 - 10. Это означает, что переменная R хранит текущее минимальное значение величин F(t), а переменная M - первое (т.е. наименьшее) значение t, при котором был достигнут этот минимум. То, что хранится именно первая точка минимума, определяется тем, что в строке 7 проверяется строгое неравенство.
4. Таким образом, после выполнения цикла в строках 6 - 11 значение переменной M равно первой из точек минимума значений функции F(x) в целочисленных точках x=-20, …, 20.
5. Из курса алгебры (9 класс) известно, что квадратичная функция

F(x) = 4*(x-1)*(x-3)

достигает минимума в точке 2, см. ниже. Поэтому после завершения выполнения цикла переменная M будет иметь значение 2 и при выполнении команды вывод в строке 12 будет напечатано 2.
Ответ: 2

1     алг
2     нач
3       цел a, b, t, R, M
4       a:= -20; b:= 20
5       M:= a; R:= F(a)
6       нц для t от a до b
7         если F(t)< R
8           то
9             M:= t; R:= F(t)
10         все
11       кц
12       вывод M
13     кон
14
15     алг цел F(цел x)
16     нач
17       знач := 4*(x-1)*(x-3)
18     кон

Подготовка к ЕГЭ: Задание 23

1. Условие задачи.

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, ... x9, x10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

 ((x1 ≡ x2) \/ (x3 ≡ x4)) /\ (¬(x1 ≡ x2) \/ ¬(x3 ≡ x4)) =1

((x3 ≡ x4) \/ (x5 ≡ x6)) /\ (¬(x3 ≡ x4) \/ ¬(x5 ≡ x6)) =1

((x5 ≡ x6) \/ (x7 ≡ x8)) /\ (¬(x5 ≡ x7) \/ ¬(x7 ≡ x8)) =1

((x7 ≡ x8) \/ (x9 ≡ x10)) /\ (¬(x7 ≡ x8) \/ ¬(x9 ≡ x10)) =1

 В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x1, x2, ... x9, x10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

 2. Набросок решения.  

Решение состоит из двух этапов. Сначала попытаемся описать, как устроены все наборы значений переменных, удовлетворяющие данной системе. Далее подсчитаем число таких наборов.

            2.1. Как устроено множество решений

           А. Предварительный этап – упрощаем уравнения.

В системе фигурируют логические функции от следующих выражений:

(x1 ≡ x2),   (x3 ≡ x4),  (x5 ≡ x6),  (x7 ≡ x8),   (x9 ≡ x10)

Подобно тому, как это делается при решении алгебраических уравнений, сделаем замену переменных:

t1 =    x1 ≡ x2

t2 =    x3 ≡ x4

t3 =     x5 ≡ x6

t4 =     x7 ≡ x8

t5 =     x9 ≡ x10

 Общая формула замены (k=1, 2, 3, 4, 5):

tk = (x2k-1 ≡ x2k)

После замены получим:

(t1  \/  t2) /\ (¬t1  \/ ¬ t2 ) =1

(t2  \/  t3) /\ (¬t2  \/ ¬ t3 ) =1

(t3  \/  t4) /\ (¬t3  \/ ¬ t4 ) =1

(t4  \/  t5) /\ (¬t4  \/ ¬ t5 ) =1

Уравнения полученной системы имеют вид (k=1, 2, 3, 4):

(tk  \/  tk+1) /\ (¬tk  \/ ¬ tk+1 ) =1

            Это означает, что из каждых двух переменных tk  и  tk+1 ровно одна равна 1 и ровно одна равна нулю, т.е. эти переменные имеют разные значения. Таким образом, систему можно еще немного упростить и записать ее так:

 ¬(t1  ≡   t2 ) =1

¬(t2  ≡   t3 ) =1

¬(t3  ≡   t4 ) =1

¬(t4  ≡   t5 ) =1

            Б. Анализ системы.

В любом решении последней системы значения переменных чередуются. Поэтому такая система имеет ровно два решения: 01010 и 10101 (первая цифра – значение переменной t1,  вторая - значение   t2 и т.д.).

Далее, вспоминаем, что

tk = x2k-1 ≡ x2k

(здесь k=1, 2, 3, 4, 5).

Поэтому каждому значению tk соответствуют две пары значений переменных  x2k-1 и x2k:

 tk = 1 в двух случаях: { x2k-1 = x2k=1 } и { x2k-1 = x2k=0 },

 tk = 0 в двух случаях: { x2k-1 = 1; x2k=0 } и { x2k-1 = 0; x2k=1 }.

             2.2. Подсчет числа решений

Каждому из двух решений системы для переменных t соответствует 25 = 32 решения исходной системы. Поэтому исходная система имеет 2∙32 = 64 решения.

Ответ:64

Упражнение. Выпишите все решения. Это немного утомительно, но полезно.

A3 (базовый уровень, время – 2 мин)

Тема:  Построение таблиц истинности логических выражений.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (∧,∨,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  ∧ и ∨. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных  учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (∧,∨,¬), что еще раз подчеркивает проблему.

Что нужно знать:

• условные обозначения логических операций

¬ A,                 не A (отрицание, инверсия)

A ∧ B,                 A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A ∨ B,          A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B                         импликация (следование)

A ≡ B                         эквивалентность  (равносильность)

• операцию «импликация» можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A ∨ B или в других обозначениях  A → B = 

• иногда для упрощения выражений полезны формулы де Моргана:

¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B                

¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B                

• если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем  – «ИЛИ», «импликация», и самая последняя – «эквивалентность»
• таблица истинности выражения определяет его значения при всех возможных комбинациях исходных данных
• если известна только часть таблицы истинности, соответствующее логическое выражение однозначно определить нельзя, поскольку частичной таблице могут соответствовать несколько разных логических выражений (не совпадающих для других вариантов входных данных);
• количество разных логических выражений, удовлетворяющих неполной таблице истинности, равно , где  – число отсутствующих строк; например, полная таблица истинности выражения с тремя переменными содержит 23=8 строчек, если заданы только 6 из них, то можно найти 28-6=22=4 разных логических выражения, удовлетворяющие этим 6 строчкам (но отличающиеся в двух оставшихся)
• логическая сумма A + B + C + … равна 0 (выражение ложно) тогда и только тогда, когда все слагаемые одновременно равны нулю, а в остальных случаях равна 1 (выражение истинно)
• логическое произведение A · B · C · … равно 1 (выражение истинно) тогда и только тогда, когда все сомножители одновременно равны единице, а в остальных случаях равно 0 (выражение ложно)
• логическое следование (импликация) А→В равна 0 тогда и только тогда, когда из A (посылка) истинна, а B (следствие) ложно
• эквивалентность А≡B  равна 1 тогда и только тогда, когда оба значения одновременно равны 0 или одновременно равны 1

Пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

Какое выражение соответствует F?

1)  (x2 → x1) ∧ ¬x3 ∧  x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7 ∧ x8

2)  (x2 → x1) ∨ ¬x3 ∨  x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7 ∨ x8

3)  ¬(x2 → x1) ∧ x3 ∧  ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7 ∧ ¬x8

4)  (x2 → x1) ∨ x3 ∨  ¬x4 ∨ x5 ∨ ¬x6 ∨ x7 ∨ ¬x8

Решение:

1. перепишем выражение в более простой форме, заменив «И» (∧) на умножение и «ИЛИ» (∨) на сложение:

2. в этом задании среди значений функции только одна единица, как у операции «И», это намекает на то, что нужно искать правильный ответ среди вариантов, содержащих «И», «НЕ» и импликацию (это варианты 1 и 3)
3. действительно, вариант 2 исключён, потому что при x4=1 во второй строке получаем 1, а не 0
4. аналогично, вариант 4 исключён, потому что при x5=1 в первой строке получаем 1, а не 0
5. итак, остаются варианты 1 и 3; вариант 1 не подходит, потому что при x6=0 в третьей строке получаем 0, а не 1
6. проверяем подробно вариант 3, он подходит во всех строчках
7. Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

Какое выражение соответствует F?

1)  (x1 ∧ x2) ∨ (x3 ∧ x4) ∨ (x5 ∧ x6)

2)  (x1 ∧ x3) ∨ (x3 ∧ x5) ∨ (x5 ∧ x1)

3)  (x2 ∧ x4) ∨ (x4 ∧ x6) ∨ (x6 ∧ x2)

4)  (x1 ∧ x4) ∨ (x2 ∧ x5) ∨ (x3 ∧ x6)

Решение:

8. во-первых, обратим внимание, что в столбце F – все нули, то есть, при всех рассмотренных наборах x1, …, x6 функция ложна
9. перепишем предложенные варианты в более простых обозначениях:

x1⋅x2 + x3⋅x4 + x5⋅x6 

x1⋅x3 + x3⋅x5 + x5⋅x1

x2⋅x4 + x4⋅x5 + x6⋅x2

x1⋅x4 + x2⋅x5 + x3⋅x6 

10. это суммы произведений, поэтому для того, чтобы функция была равна 0, необходимо, чтобы все произведения были равны 0
11. по таблице смотрим, какие произведения равны 1:

1-я строка: x2⋅x5, x2⋅x6 и x5⋅x6

2-я строка: x3⋅x6

3-я строка: x2⋅x4, x2⋅x6 и x4⋅x6

12. таким образом, нужно выбрать функцию, где эти произведения не встречаются; отметим их:

x1⋅x2 + x3⋅x4 + x5⋅x6 

x1⋅x3 + x3⋅x5 + x5⋅x1

x2⋅x4 + x4⋅x5 + x6⋅x2

x1⋅x4 + x2⋅x5 + x3⋅x6 

13. единственная функция, где нет ни одного «запрещённого» произведения – это функция 2
14. Ответ: 2.

Пример задания:

(http://ege.yandex.ru) Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

Одно из приведенных ниже выражений истинно при любых значениях переменных x1, x2,x3, x4, x5. Укажите это выражение.

1)  F(x1,x2,x3,x4,x5)→x1

2)  F(x1,x2,x3,x4,x5)→x2

3)  F(x1,x2,x3,x4,x5)→x3

4)  F(x1,x2,x3,x4,x5)→x4

Решение:

15. во всех заданных вариантах ответа записана импликация, она ложна только тогда, когда левая часть (значение функции F) истинна, а правая – ложна.
16. выражение 1 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит
17. выражение 2 ложно для набора переменных в третьей строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит
18. выражение 3 истинно для всех наборов переменных, заданных в таблице истинности
19. выражение 4 ложно для набора переменных в первой строке таблицы истинности, где F(…) = 1 и , оно не подходит
20. ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

z1 ∧ ¬z2 ∧ ¬z3 ∧ ¬z4 ∧ z5

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

1)  1         2) 2        3) 31        4) 32

Решение:

21. задано выражение с пятью переменными, которые могут принимать 25 = 32 различных комбинаций значений
22. операция  ∧ – это логическое умножение, поэтому заданное выражение истинно только тогда, когда все сомножитель истинны, то есть в одном единственном случае
23. тогда остается 32 – 1 = 31 вариант, когда выражение ложно
24. ответ: 3.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

1)  (x1 ∨ x2) ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

2)  (x1 ∧ x2) ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ x7

3)  (x1 ∧ ¬x2) ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ ¬x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

4)  (¬x1 ∧ ¬x2) ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ x7

Решение:

1. в последнем столбце таблицы всего одна единица, поэтому стоит попробовать использовать функцию, состоящую из цепочки операций «И» (ответы 1, 3 или 4);
2. для этой «единичной» строчки получаем, что инверсия (операция «НЕ») должна быть применена к переменным x3, x5  и x7, которые равны нулю:

таким образом, остается только вариант ответа 1 (в ответов 3 и 4 переменная x3 указана без инверсии)

3. проверяем скобку (x1 ∨ x2): в данном случае она равна 1, что соответствует условию
4. ответ: 1.

Ещё пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1)  ¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z         2) X ∧ Y ∧ Z        3) X ∨ Y ∨ Z        4) ¬X ∨ ¬Y ∨ ¬Z

Решение (основной вариант):

5. нужно для каждой строчки подставить заданные значения X, Y и Z во все функции, заданные в ответах, и сравнить результаты с соответствующими значениями F для этих данных
6. если для какой-нибудь комбинации X, Y и Z результат не совпадает с соответствующим значением F, оставшиеся строчки можно не рассматривать, поскольку для правильного ответа все три результата должны совпасть со значениями функции F
7. перепишем ответы в других обозначениях:
                    1)          2)       3)         4)
8. первое выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая строка таблицы не подходит)
9. второе выражение, , равно 1 только при , поэтому это неверный ответ (первая и вторая строки таблицы не подходят)
10. третье выражение,, равно нулю при , поэтому это неверный ответ (вторая строка таблицы не подходит)
11. наконец, четвертое выражение,  равно нулю только тогда, когда , а в остальных случаях равно 1, что совпадает с приведенной частью таблицы истинности
12. таким образом, правильный ответ – 4 ; частичная  таблица истинности для всех выражений имеет следующий вид:

(красный крестик показывает, что значение функции не совпадает с F, а знак «–» означает, что вычислять оставшиеся значения не обязательно).

Решение (вариант 2):

1. часто правильный ответ – это самая простая функция, удовлетворяющая частичной таблице истинности, то есть, имеющая единственный нуль или единственную единицу в полной таблице истинности
2. в этом случае можно найти такую функцию и проверить, есть ли она среди данных ответов
3. в приведенной задаче в столбце F есть единственный нуль для комбинации
4. выражение, которое имеет единственный нуль для этой комбинации, это , оно есть среди приведенных ответов (ответ 4)
5. таким образом, правильный ответ – 4

Еще пример задания:

Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

1)  ¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z         2) X ∧ Y ∧ Z        3) X ∧ ¬Y ∧ ¬Z        4) X ∨ ¬Y ∨ ¬Z

Решение (вариант 2):

1. перепишем ответы в других обозначениях:
                    1)          2)       3)         4)
2. в столбце F есть единственная единица для комбинации , простейшая функция, истинная (только) для этого случая, имеет вид , она есть среди приведенных ответов (ответ 3)
3. таким образом, правильный ответ – 3.

Еще пример задания:

Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

X1 ∧ ¬X2 ∧ X3 ∧ ¬X4 ∧ X5

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение ложно?

1)  1         2) 2        3) 31        4) 32

Решение (вариант 2):

1. перепишем выражение в других обозначениях:
                    
2. таблица истинности для выражения с пятью переменными содержит 25 = 32 строки (различные комбинации  значений этих переменных)
3. логическое произведение истинно в том и только в том случае, когда все сомножители равны 1, поэтому только один из этих вариантов даст истинное значение выражения, а остальные 32 – 1 = 31 вариант дают ложное значение.
4. таким образом, правильный ответ – 3.

Ещё пример задания:

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

Какое выражение соответствует F?

1)  ¬x1 ∧ x2 ∧ ¬x3 ∧ x4 ∧ x5 ∧ ¬x6 ∧ ¬x7

2)  ¬x1 ∨ x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ ¬x5 ∨ ¬x6 ∨ x7

3)  x1 ∧ ¬x2 ∧ x3 ∧ ¬x4 ∧ x5 ∧ x6 ∧ ¬x7

4)  x1 ∨ ¬x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5 ∨ x6 ∨ ¬x7

Решение (вариант 2):

1. перепишем выражения 1-4 в других обозначениях:

2. поскольку в столбце F есть два нуля, это не может быть выражение, включающее только операции «ИЛИ» (логическое сложение), потому что в этом случае в таблице был бы только один ноль, поэтому варианты 2 и 4 отпадают:

аналогично, если бы в таблице был один ноль и две единицы, это не могла бы быть цепочка операций «И», которая всегда дает только одну единицу;

3. для того, чтобы в последней строке таблицы получилась единица, нужно применить операцию «НЕ» (инверсию) к переменным, значения которых в этой строке равны нулю, то есть к  и ; остальные переменные инвертировать не нужно, так как они равны 1; видим, что эти условия в точности совпадают с выражением 1, это и есть правильный ответ
4. Ответ: 1.
    

Задачи для тренировки^[1]:

1. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∨ ¬Y ∨ Z        2) X ∧ Y ∧ Z         3) X ∧ Y ∧ ¬Z         4) ¬X ∨ Y ∨ ¬Z 

2. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X ∨ Y ∨ ¬Z        2) X ∧ Y ∧ ¬Z         3) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z         4) X ∨ ¬Y ∨ Z 

3. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∧ Z        2) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z         3) X ∧ Y ∧ ¬Z         4) ¬X ∧ ¬Y ∧ ¬Z 

4. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z        2) ¬X ∨ ¬Y ∨ Z         3) X ∨ Y ∨ ¬Z         4) X ∨ Y ∨ Z 

5. Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

        1) A → (¬A ∨ ¬B)        2) A ∧ B         3) ¬A → B         4) ¬A ∧ ¬B 

6. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∧ Z        2) ¬X ∨ Y ∨ ¬Z         3) X ∧ (Y ∨ Z)         4) (X ∨ Y) ∧ ¬Z 

7. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∨ Y ∧ Z        2) X ∨ Y ∨ Z         3) X ∧ Y ∨ Z         4) ¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z 

8. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬(X ∧ Y) ∧ Z        2) ¬(X ∨ ¬Y) ∨ Z   3) ¬(X ∧ Y) ∨ Z         4) (X ∨ Y) ∧ Z 

9. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∧ Z        2) ¬X ∨ Y ∨ ¬Z   3) X ∧ Y ∨ Z         4) X ∨ Y ∧ ¬Z 

10. Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

        1) A → (¬(A ∧ ¬B))  2) A ∧ B         3) ¬A → B         4) ¬A ∧ B 

11. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∧ Z        2) ¬X ∨ ¬Y ∨ Z   3) X ∨ Y ∨ Z         4) X ∧ Y ∧ ¬Z 

12. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X ∨ Y ∨ Z        2) X ∧ Y ∧ ¬Z   3) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z        4) X ∨ ¬Y ∨¬ Z 

13. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X ∨ Y ∨ ¬Z        2) ¬X ∧ Y ∧ Z   3) X ∧ ¬Y ∧ ¬Z        4) ¬X ∨ ¬Y ∨ Z 

14. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X ∧ Y ∧ Z        2) X ∧ ¬Y ∧ ¬Z   3) X ∨ ¬Y ∨ ¬Z        4) ¬X ∨ Y ∨ Z 

15. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∧ Z        2) ¬X ∨ ¬Y ∨ Z   3) X ∨ Y ∨ Z        4) X ∧ Y ∧ ¬Z 

16. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∨ Z        2) ¬X ∨ ¬Y ∨ ¬Z   3) (X ∨ Y) ∧ ¬Z        4) (X ∨ Y) → Z 

17. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X ∨ ¬Y)→ Z        2) (X ∨ Y)→ ¬Z   3) X ∨ (¬Y → Z)        4) X ∨ Y ∧ ¬Z 

18. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∨ Z        2) (X ∨ Y)→ ¬Z   3) (¬X ∨ Y)∧ Z        4) X → ¬Y ∨ Z 

19. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X → Y)→ Z        2) X → (Y→ Z)   3) ¬X ∨ Y → Z        4) X ∨ Y ∧ ¬Z 

20. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (¬X ∨ ¬Y) ∧ Z        2) X ∧ Y ∨ Z   3) (X → Y) ∧  Z        4) X ∧ (Y ∨ Z) 

21. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X → Z)∧ Y        2) X ∧ Y ∨ Z   3) X ∨ Y ∨ Z        4) X ∧ (Y → Z) 

22. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∨ Z        2) (X ∨ Y)→ ¬Z   3) (¬X ∨ Y)∧ Z        4) X → (¬Y ∨ Z) 

23. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) (X ∨ ¬Y)→ Z        2) (X ∨ Y)→ ¬Z   3) X ∨(¬Y → Z)        4) X ∨ Y ∧ ¬Z 

24. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) ¬X ∧ Y ∧ Z        2) X ∧ ¬Y ∧ ¬Z   3) X ∨ ¬Y ∨ ¬Z        4) ¬X ∨ Y ∨ Z 

25. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу справа). Какое выражение соответствует F?

        1) X ∧ Y ∧ ¬Z        2) ¬X ∧ ¬Y ∧ Z   3) ¬X ∨ ¬Y ∨ Z        4) X ∨ Y ∨ ¬Z