Достижения моих учеников

Слайд 1

Слайд 2

V = a x b x Ф( x ) x =a x x x x b = x x Ф (x ) Ф (x ) Ф (x ) Ф (x ) Основная формула для вычисления объемов 0 1 2 i-1 I n 1 2 I n

Слайд 3

Теорема: Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. x A A 2 A 1 C 2 C 1 B B 2 B 1 O x h Дано: треуг. призма, объем = V , площадь основания = S , высота h . Док – ть: V = S*h Док – во: пусть т. O є ABC, OX┴ABC, проведем сечение пл – тью A 1 B 1 C 1 ┴ OX и = > A 1 B 1 C 1 ║ABC X - пересечение A 1 B 1 C 1 c OX, S(x) - площадь сечения ∆ A 1 B 1 C 1 = ∆ ABC = > S(x) = S. C V =∫ S(x)dx = ∫ S dx = S ∫ dx = S*x│ = S*h h h h h 0 0 0 0

Слайд 4

S 3 S 1 S 2 h V = (S1+S2+S3)h = Sh

Слайд 5

Теорема: Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту h M x A 1 C 1 C M 1 A B 1 B O OA 1 OM 1 x ——— ——— — OA OM h Дано: треуг. пирамида OABC, объем = V , площадь осн. - S , высота h Д – ть: V = S*h Д – во: проведём ось Ox , OM - высота пирамиды, сечение A 1 B 1 C 1 ┴Ox и => A 1 B 1 C 1 ║ABC, x - пересечение A 1 B 1 C 1 с осью Ox , S(x) - площадь сечения. A 1 B 1 ║AB, поэтому ∆O A 1 B 1 ~∆OAB => = A 1 B 1 OA 1 ——— ——— AB OA Прямоугольные ∆ OA 1 M 1 ~ ∆ OAM (имеют общий угол O ). Поэтому = = . Таким образом, = . Так же доказывается, что = и = = > ∆ A 1 B 1 C 1 ~ ∆ ABC с коэффициентом подобия .= > S(x) = x . A 1 B 1 x ——— — AB h B 1 C 1 x ——— — OM h C 1 A 1 x ——— — CA h x — h S — h 2 2

Слайд 6

S 1 S 2 S 3 h V =∫ S(x)dx = ∫ x dx = ∫ x dx = │ =⅓S*h h h h h 0 0 0 0 S — h S — h S — h x — 3 2 2 2 3 2 2 V = ⅓(S 1 +S 2 +S 3 )h =⅓S*h Следствие: Объем V усеченной пирамиды, высота которой равна h , а площади o снований равны S и S 1 , вычисляется по формуле V = ⅓h(S + S 1 + √S*S 1 )

Слайд 7

Теорема: Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Дано: конус, объем = V , радиус o снования = R , высота = h , O - вершина Д – ть: V = ⅓S*R Д – во: введем ось Ox ( OM - ось конуса).Произв. сечение конуса пл - тью, перпенд. к оси Ox , явл. кругом с центром в точке M1 пересечения этой пл – ти с осью Ox . Радиус этого круга R1 , а площадь сечения S(x), где x - абсцисса точки M1 .Из подобия прямоуг. ∆ OM1A1 и ∆ OMA следует, что OM 1 R 1 ——— — OM R x R 1 — — h R = , или = , откуда R 1 = x. Так как S(x) = П R 1 , то S(x) = x . Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при a = 0, b = h , получаем R — h 2 П R —— h 2 2 2 V =∫ x dx = ∫ x dx = │ =⅓ П R*h h h h 0 0 0 П R — h П R — h П R — h x — 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 M 1 O h x x R M A A 1 R 1

Слайд 8

O 1 P h r O A A 1 r 1 Следствие: Объем V усеченного конуса, высота которого равна h , а площади оснований равны S и S 1 , вычисляется по формуле V = ⅓h(S + S 1 + √S*S 1 )