ЕГЭ,ОГЭ

Уровень задания 17 (С3).

Тематика задания №17 в ЕГЭ 2015 г. в целом также совпадает с тематикой задания С3 вариантов КИМ прежних лет – это неравенства. Но в 2015 году в задании №17 требуется решить одно неравенство, а не систему неравенств, как прежде. Соответственно, с трёх до двух уменьшился балл, выставляемый за правильное решение.

Так как задание №17 «в два раза» проще задания С3, то упростились и критерии его выполнения. За правильное выполнение – 2 балла, а 1 балл выставляется за, в целом, верное решение, в котором допущены несущественные описки или вычислительные просчёты.

Среди различных причин такого изменения отметим внутреннюю для задач на решение неравенств. Дело в том, что критерии проверки задания С3 были весьма лаконичны, жестко структурированы, но в то же время и достаточно беспощадны. Вполне грамотный и хорошо подготовленный выпускник, который допускал в решении каждого из неравенств системы хотя бы по одной неточности, получал 0 из возможных 3 баллов, несмотря на все достижения, которые он продемонстрировал в процессе решения. Например, это приводило к тому, что оценка «2 балла» из трёх была более редкой, чем оценка «3 балла» из трёх.

При переходе к решению одного неравенства поле возможностей при выставлении 0, 1 или 2 баллов несколько расширяется. При этом сразу же подчеркнём, что в данном случае оценка «1 балл» не есть половина оценки «2 балла». Другими словами, утверждение «1 балл ставится, если задача решена наполовину» катастрофически неверно. Более точным является тезис, выражаемый равенством «1 = 2-» или словами «1 балл ставится, если задача почти решена». Для получения 1 балла за выполнение задания №17 необходимо получение итогового ответа и наличие верной последовательности всех шагов решения. Вот как в точности выглядят критерии оценивания выполнения задания №17.

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «», или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то следует выставлять оценку «0 баллов».

Приведем примеры заданий 2015 г. Их решения мы намеренно приводим в весьма лаконичном стиле. Кратко говоря, это «минимальное» решение, за которое можно выставить максимальный балл.

1.Досрочный  ЕГЭ 26.03.2015

Решите неравенство .

Решение.

Пусть ,  тогда  и

                         нет решений    

Ответ:

2. Решите неравенство .

Решение.

Относительно  неравенство имеет вид

.

Значит,  или . Возвращаясь к , получаем ,  или , .

Ответ: .

Критерии оценивания

3. Решите неравенство .

Решение.

Относительно  неравенство имеет вид

.

По методу интервалов,  или . Возвращаясь к , получаем , .

Ответ: .

Критерии оценивания

4. Резерв 2015 г. Решите неравенство

Решение.

, тогда  или

 или, так как ,

1.

2. , значит  

Рассмотрим некоторую историю задания данного уровня:

в 2010 г. критерии оценивания были следующие:

Не максимально возможное количество баллов за задачу ставилось в том случае, если в ее решении присутствовали ошибки, неточности или недостатки обоснования. Подчеркнем, что на экзамене оценивание решения задачи должно производиться в строгом соответствии с заранее утвержденными критериями.

Далеко не праздным является вопрос о том, какие способы решения неравенств и записи ответа допустимы на едином государственном экзамене. Главным требованием к решению была и остается его математическая правильность, а именно:

• в ответ необходимо включить только верные значения искомой величины, причем все;
• форма записи ответа может быть любой из употребляемых в современной учебной литературе;
• текст решения должен служить реальным обоснованием (точнее, доказательством) правильности полученного ответа;
• при решении неравенства приемлемы любые математические методы;
• рациональность решения, равно как и его нерациональность, на экзамене во внимание не принимается.

Рассмотрим решение неравенства С3 (июнь 2010).

Решите неравенство

Решение.

Пусть тогда неравенство принимает вид:

, поэтому  то есть

Получаем:          

Тогда ,      

Ответ:

Качество выполнения задания С3 2010 г. в Нижегородской области

Далее С3 2011 г. Решите неравенство

Решение.

1. .

2.

3. Пусть . Тогда

Значит, , откуда .

4. Учитывая условия п.1, получаем:

Ответ:

 и еще задания 2011 г. Решите неравенство

Решение.

1.    

2.

, , ,  , при условии , откуда .

3. Учитывая п.1, получаем

Ответ:

лето 2011 г.  Решите неравенство

Решение

1.  

2.

3.              

4. С учетом пункта 1, получаем: .

Ответ: .

Возможные методы решения неравенств:

1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем;
2. Расщепление неравенств;
3. Метод перебора;
4. Метод интервалов;
5. Введение новой переменной;
6. Метод рационализации;
7. Использование свойств функции: область определения функции, ограниченность функции, монотонность функции.

Метод сведения неравенства к равносильной системе или совокупности систем

Предварительные тесты для школьников, которые помогут им научиться осуществлять равносильные переходы.

Тест 1. В одном из приведенных ниже примеров неверно поставлен знак «». Укажите этот пример.

1)

2)

3)  

4)  

5)  

Тест 2. Одна из следующих пар предложений состоит из неравносильных предложений. Укажите эту пару.

1)  и

2)  и

3)  и

4)  и

5)  и .

Тест 3.

В одном из приведенных ниже примеров неверно поставлен знак «». Укажите этот пример.

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 4. В одном из приведенных ниже примеров неверно поставлен знак «». Укажите этот пример.

1) .

2)

3)

4)

5)

Тест 5. Среди приведенных высказываний найдите истинное:

1)

2)

3)

4)

5)

Ключ к тестам

Иррациональные неравенства.

Стандартные схемы перехода к равносильным системам или совокупности систем.

•    
•      
•      
• .
•          .

В последних двух неравенствах знак  можно заменить на один из знаков

Пример: Решите неравенство

Решение.

Ответ:

Показательные неравенства.

Стандартные схемы перехода к равносильным системам или совокупности систем.

Пример. Решите неравенство .

Решение.

Ответ: .

Логарифмические неравенства.

Стандартные схемы перехода к равносильным системам или совокупности систем.

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Решение каждой из получившихся систем не представляет особого труда. Решите их самостоятельно.

Ответ: .

Неравенства, содержащие знак модуля.

Стандартные схемы перехода к равносильным системам или совокупности систем.

•    
•    
•    .

Пример.

Решите неравенство  .

Решение.

1)

2)

Ответ:

Метод расщепления неравенств.

 или    

Пример.

Решите неравенство

Решение.

Приведем данное неравенство к следующему виду:

Последнее неравенство равносильно совокупности систем:

1)    

2) .

Ответ:

Перебор случаев.

Пример 1

Решите неравенство

Решение.

Данное неравенство определено при всех значениях . Рассмотрим два случая.

1. Пусть тогда неравенство примет следующий вид:

2. Если , то имеем:

Сравним два числа  и

Так как  то или или

Объединим решения, полученные в первом и втором случаях.

Ответ:

Пример 2

Решите неравенство

Решение.

Область определения неравенства  

,

1) Если , т.е. , мы рассматриваем исходное неравенство на промежутке  (1):

 .

Пересекая полученный промежуток с (1), получаем .

2) Если , то рассматриваем исходное неравенство на (2)

,

.

Пересекая с (2), получаем:

Объединим решения, полученные в первом и втором случаях.

Ответ:

Метод интервалов.

Основным способом решения данного неравенства считается перебор всех таких случаев знаков сомножителей , при которых произведение имеет требуемый в неравенстве знак.

Метод интервалов применяется для решения неравенств , где - целые числа. Он позволяет более организованно исследовать знак произведения, стоящего в левой части неравенства, опираясь на следующее рассуждение:

• точки разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых произведение имеет фиксированный знак;
• на самом правом из получившихся промежутков произведение заведомо положительно, так как на нем положителен каждый из его сомножителей;
• далее, если двигаться по числовой оси справа налево, то при переходе через очередной корень меняет знак множитель  и только он, поэтому знак произведения либо меняется – когда соответствующая степень  нечетна, либо не меняется – когда она четна;
• наконец, для завершения исследования достаточно выяснить, в каких точках произведение равно нулю, а в каких не имеет смысла, что определяется знаком степени .

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

1. Рассмотрим функцию , найдем ее область определения: .

Пусть  Тогда  и .

Т.е.

2. Нули функции    .

Получаем или

3. Промежутки знакопостоянства функции   

Отсюда  при всех значениях

Ответ:

Метод введения новой переменной.

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Сделаем замену  Тогда  

Итак,   

Ответ: .

Пример.

Решите неравенство

Решение.

Сделаем замену  Получим

Итак, исходное неравенство равносильно следующему:

-3

Ответ:

Метод рационализации

(метод декомпозиции, метод замены множителей, метод замены функции, правило знаков, метод логических схем равносильных высказываний)

Преимущества этого метода заключается в сокращении объема выкладок при переходе к рациональному неравенству.

Итак, заменяем сложное выражение  на более простое выражение , при которой неравенство  равносильно неравенству  в области определения выражения

Выделим некоторые выражения и соответствующие им рационализирующие выражения , где - выражения с переменной  , где - фиксированное число

Некоторые следствия (с учетом области определения неравенства):

• ;
• 
• ;
• 

Пример 1.

Решите неравенство .

Решение.

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство

Решение.

Ответ:

Пример 3.

Решите неравенство

Решение.

Ответ: .

Пример 4.

Решите неравенство

Решение.

На множестве исходное неравенство равносильно  .

Решая последнее неравенство методом интервалов и учитывая ограничение, приходим к ответу:

Пример 5.

Решите неравенство

Решение.

Множество, на котором определено неравенство, находится из условия   .

Произведем рационализацию неравенства :

Из последнего неравенства получаем  Все это множество принадлежит области определения, а потому оно и является ответом.

Ответ:

Пример 6.

Решите неравенство .

Решение.

Находим область определения неравенства

Далее неравенство преобразуем к виду  и совершаем переход:

.

Пересекая полученное множество с , приходим к ответу: .

Ответ:

Пример 7.

Решите неравенство

Решение.

Неравенство определено для значений переменной, удовлетворяющих условиям

При этих значениях равносильны преобразования

.

Пересечение полученного множества  с областью определения данного неравенства дает ответ .

Ответ: .

Пример 8.

Решите неравенство

Решение.

Разложим квадратные трехчлены на линейные множители, тогда исходное неравенство можно переписать в виде

Оно определено при

Переходя к основанию , имеем

Используя теперь схему рационализации, получим рациональное неравенство

которое равносильно данному на его множестве определения.

Таким образом,  

Ответ:

Использование свойств функции.

а) область определения функции

Пример

Решите неравенство

Решение.

Область определения неравенства задается условиями:  .

При получаем, что исходное неравенство обращается в неверное неравенство .

При имеем верное неравенство .

Ответ: 5.

б) ограниченность функции

Пример 1

Решите неравенство

Решение.

Область определения неравенства задается условиями: .

Для всех из полученного множества имеем  а

Следовательно, решением этого неравенства является промежуток .

Ответ: .

Пример 2.

Решите неравенство .

Решение.

Так как  и

приходим к системе  Получаем:  

Ответ: 2.

в) монотонность функции

Пример 1

Решите неравенство

Решение.

Область определения данного неравенства есть промежуток .

Функция  возрастает на этом промежутке как сумма возрастающих функций. Но при функция  принимает значение 2. Таким образом, исходное неравенство выполняется на всей области определения.

Ответ: .

Пример 2

Решите неравенство 

Решение.

Пусть , , тогда .

Функция определена на луче  и убывает, а функция  возрастает на всей прямой. Поскольку , то исходное неравенство равносильно условию

Ответ:

Практикум. Решите неравенства

Задачи на проценты.

1. Брюки дороже рубашки на 20% и дешевле пиджака на 46%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

2. Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

3. Объемы ежемесячной добычи газа на первом, втором и третьем месторождениях относятся как 7:6:14. Планируется уменьшить месячную добычу газа на первом месторождении на 14% и на втором – тоже на 14%. На сколько процентов нужно увеличить месячную добычу газа на третьем месторождении, чтобы суммарный объем добываемого за месяц газа не изменился?

4. За два года население города увеличилось с 20000 человек до 22050 человек. Найти средний годовой процент роста населения.

5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 60%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 2%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

6. Число 51,2 сначала три раза увеличили, а затем три раза уменьшили на одно и то же число процентов. В результате получилось число 21,6. Найти, на сколько процентов изменялось данное число каждый раз.

Задачи на смеси, сплавы и растворы.

1. Имеется металл двух сортов; с 5% содержанием никеля и с 40% содержанием. Сколько нужно взять металла каждого сорта, чтобы получить 140 т стали с 30% содержанием никеля?

2. Смешав 60%-ый и 30%-ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%-го раствора использовали для получения смеси?

Задачи на работу

1. Одна труба наполняет бассейн на 2 часа, а вторая – на 4,5 часа дольше, чем обе трубы вместе. За какое время наполняет бассейн каждая труба в отдельности?

2. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 5 часов после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. За сколько часов был выполнен весь заказ?

3. Том Сойер и Гек Финн вместе красят забор за 9 часов, Том и Бекки Тэтчер вместе  красят забор за 18 часов, а Гек и Беки вместе – за 12 часов. За сколько часов Том, Гек и Беки покрасят забор, если будут работать втроем?

4. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, выполняют всю работу за 7,5 часов; первый, третий и пятый – за 5 часов; первый, третий и четвертый – за 6 часов; второй, четвертый и пятый – за 4 часа. За какое время выполняют эту работу все пять человек, работая вместе?

Задачи на движение

1. Найти скорость и длину поезда, зная, что он проходит мимо неподвижного наблюдателя за 7 секунд и затрачивает 25 секунд на то, чтобы пройти с той же скоростью мимо платформы длиной 378 метров.

2. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 38 км/ч, а вторую – со скоростью 57 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

3. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 600 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 30 секундам.

4. Два поезда выезжают одновременно из пунктов  и навстречу друг другу. После их встречи первый прибывает в пункт  через 50 часов, а второй – в пункт  через 8 часов. Сколько времени прошло от начала движения поездов до их встречи, если они двигались с постоянными скоростями?

5. Пароход плывёт от  до по реке 4 суток, а от  до  - 7 суток. Определите, сколько суток плывёт плот   до , если известно, что собственная скорость парохода постоянна в течение всего пути.

Открытый банк заданий ЕГЭ.

1. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
2. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
3. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
5. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
6. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .
7. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .
8. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

9. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .
10. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .
11. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .
12. Найдите точку максимума функции
13. Найдите наименьшее значение  функции  на отрезке .

(37,6)

14. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

Критерии проверки и оценка решений заданий №17

вариантов КИМ ЕГЭ-2016

(по материалам ФИПИ для региональных предметных комиссий)

Введение текстовых задач экономического содержания в ЕГЭ-2015 по математике есть, пожалуй, наиболее заметное изменение во всем комплексе заданий КИМ с развёрнутым ответом. Во всех заданиях С1–С5 предыдущих лет условие с самого начала формулировалось в математических терминах и отдельно не предполагало построения какой-либо математической модели (частично этот момент мог присутствовать в некоторых способах решения заданий С5 с параметром). Некоторое исключение составляло задание С6, в котором явно текстовое, сюжетное, условие задачи на начальном этапе решения предполагало некоторый перевод на математический язык. Правда, сами тексты условий чаще всего уже активно использовали математическую терминологию: числа, записанные на доске, делимость, доли и дроби, средние величины и т.п.

В заданиях №17 существенно усилена сюжетная, практико-ориентированная, составляющая условия. Относительно существования (возможностей существования) непосредственных связей этих задач с окружающей нас действительностью можно составить отдельный трактат. Авторы ограничились лишь констатацией двух положений. Во-первых, сами сюжеты не есть прямые цитаты «из жизни», они априорно уже являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих ситуаций. Во-вторых, эти сюжеты условно можно разделить на два типа, использующих соответственно дискретные модели (проценты, погашения кредитов, …) и непрерывные модели (различные производства, протяженные во времени, объемы продукции, …). Приведем критерии оценивания выполнения заданий №17. 

Несколько подробнее, 1 балл можно выставлять в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (вычислительной, числовой, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи. Именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию и т.п. Грубо говоря, предъявленный текст должен включать направление, «продолжаемое» до верного решения. Оценка в 2 балла, разумеется, включает в себя условия выставления 1 балла, но существенно ближе к верному решению задачи. Здесь предполагается завершенное, практически полное решение соответствующей математической задачи. Типичные допустимые погрешности здесь – вычислительные ошибки (при наличии всех шагов решения) или недостаточно полные обоснования. Например, при отыскании экстремума решение ограничивается верным нахождением лишь критической точки, без надлежащей её проверки на экстремальность. Кратко, « 2 = 3- ».

Отмечается, что термин «математическая модель», быть может, излишне высокопарен для сравнительно простых задач экономического содержания, предлагаемых на ЕГЭ. Однако, по мнению авторов, он наиболее лаконичен, общеупотребим и достаточно ясен для того, чтобы пытаться отыскать ему адекватную замену. Следует подчеркнуть, что один и тот же сюжет может быть успешно сведен к различным математическим моделям (см. ниже задачу 2) и доведён до верного решения. По этой причине в критериях проверки нигде нет жесткого упоминания о какой-либо конкретной (алгебраической, геометрической, функциональной, …) модели.

Вообще, способов верного решения заданий этого типа никак не меньше, чем для привычных текстовых задач. Возможен и стиль, приближенный к высшей математике, и наивный подход, напоминающий арифметический способ решения текстовых задач, и метод, использующий специфические для математической экономики понятия (целевая функция, симплекс-метод и т.п.).

Примеры решения задач

Задача 1.

1. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?

Решение 1.1. («по-взрослому)

Минимизировать время выплат можно, только максимизировав сами выплаты. Решим задачу в общем виде. Пусть - сумма кредита (в тыс. руб.); - задолженность в - й  месяц; - выплата в - й месяц; ;  - коэффициент ежемесячного повышения, . Тогда

,  , , …

После предпоследней выплаты останется и тогда в последний, -й раз, кредит будет погашен. Значит,

  .

Относительно  получаем неравенство

,         .

По условию, ,  , , т.е. , .

Так как ,    , то , .

Ответ: 4.

Решение 1.1. («по-детски»)

Если бы банк не брал процентов, то долг можно было бы вернуть за 3 месяца. Банк за 3 месяца возьмет меньше, чем 3% от первоначальной суммы в 900 тыс., т.е. меньше 27 тыс. Поэтому то, что забирает банк, точно можно будет оплатить в 4-й месяц, потратив меньше 300 тыс.

Ответ: 4.

Для следующей задачи ниже предложено три весьма разных способа решения. В первом из них используется метод вспомогательного аргумента, известный из тригонометрии. Второй использует стандартную технику применения производных, а третий основан на традиционном для задач математической экономики использовании так называемого целевого вектора.

Задача 2

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме  Гбайт входящей в него информации выходит  Гбайт, а с сервера №2 при объеме  Гбайт входящей в него информации выходит  Гбайт обработанной информации; . Каков наибольший объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364  Гбайт?

Решение 2.1. (алгебра).

Пусть на сервере №1 обрабатывается , а на сервере №2 обрабатывается  Гбайт из всей первичной информации. Тогда , а обработано будет  Гбайт информации. Требуется найти максимум суммы  при условии

, , .

Так как , то ,  для некоторого угла . Так как , то  

для вспомогательного угла  с , . Следовательно, наибольшее значение суммы  равно . Оно достигается при , , , , т.е. для значений, удовлетворяющих условиям , .

Ответ: 1682.

Решение 2.2. (матем. анализ).

Пусть на сервере №1 обрабатывается , а на сервере №2 обрабатывается  Гбайт из всей первичной информации. Тогда , а обработано будет  Гбайт информации. Выразим через: . Требуется найти наибольшее значение функции .

,  , ,  ,  .

 - единственная критическая точка и  . Условия , выполнены. Если , то ,  и . Если , то . Поэтому - точка максимума. Значит,  .

Ответ: 1682.

Решение 2.3. (геометрия).

Пусть на сервере №1 обрабатывается , а на сервере №2 обрабатывается  Гбайт из всей первичной информации. Тогда , а обработано будет  Гбайт информации.

Так как , то задает окружность  радиуса с центром в начале координат. Проведем целевой вектор  и перпендикулярную ему прямую : , проходящую через начало координат. Луч, коллинеарный вектору , пересечет окружность  в точке . Прямая , проходящая через точку  и перпендикулярная вектору  будет касаться окружности и задаваться уравнением : со значением , наибольшим среди всех прямых, параллельных  и пересекающих . Условия , для точки выполнены. Значит, .

Ответ: 1682.

Комментарий к условию задачи 2. Ограничение  включено для того, чтобы объем выходящей информации   был меньше выходящей информации; хватило бы ограничения . Ограничение возникает из-за условий  и ; на самом деле . Отсутствие явной ссылки на справедливость неравенств , является тем недочетом, за который вряд ли разумно снижать оценку на 1 балл. Для такого снижения есть более серьезные недостатки. Например, отсутствие обоснования того, что критическая точка есть точка максимума.

Задача 3.

15 – го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Решение. Пусть 15-го числа текущего месяца долг равен  , а 15-го числа

предыдущего месяца долг равен . Тогда в конце предыдущего месяца долг равен  и поэтому выплата в первой половине текущего месяца равна

 .

Значит, в процентах от суммы кредита выплаты в феврале составили

, в марте составили , в апреле – , в мае –

, в июне – , а в июле . Следовательно, общая сумма выплат составила .

Ответ: 22,5.

   Задача 4 (демоверсия)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9930000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение. Пусть сумма кредита равна , ежегодный платеж равен рублей, а годовые составляют %. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент . После первой выплаты сумма долга составит:  . После второй выплаты сумма долга составит: .

После третьей выплаты сумма долга составит: .

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому , откуда При 9930000 и , получаем  и  рублей.

Ответ: 3993000.

Тренировочные задачи

1. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение. Пусть в банк была помещена сумма тысяч рублей и вкладчик дополнительно вносил ежегодно   тысяч рублей.  Тогда после первого взноса дополнительной суммы вклад составил   тысяч рублей, после второго – , после третьего –, после четвертого – .

Получаем уравнение .

.          .  .

Ответ: 210000.

2. Транснациональная компания «Amoco inc.»  решила произвести недружественное поглощение компании «First Aluminum Company» (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amoco inc. было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных Amoco inc. акций поглощаемой компании увеличивалось на 20%. Определите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составило $27 за одну акцию, а количество акций, выкупленных по второй цене, - 15 тысяч.

Решение. Предлагаемая цена покупки составляла соответственно  $27; $36; $48.                 Пусть первоначально было приобретено акций, тогда ;  .        Итак, было приобретено соответственно 12500 , 15000 и 18000 акций.

Ответ:    48;      45500.

3. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение. Пусть первоначальная цена одной акции составляла рублей и затем она возросла на  % и стала составлять рублей. Пусть первый брокер купил акций, а второй – акций.

По условию

 ;       ,       

Ответ: 37,5.

4. Максим хочет взять кредит 1,5 млн. рублей. Погашаться кредит должен раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после  начисления процентов по ставке 10% годовых. На какое максимальное количество лет может быть взят кредит, чтобы ежегодные выплаты не превосходили 350 тысяч рублей?

Решение.

Ответ:  6 лет.

5. 31 декабря Федор взял в банке кредит 6951000  на три года.  Погашаться кредит должен раз в год равными суммами после  начисления процентов по ставке 10% годовых.  На сколько рублей меньше Федор выплатил банку, если бы кредит был взят на два года?

Решение.

.

Ответ:  375100.

6. Требуется построить несколько одинаковых домов общей площадью . Стоимость дома площадью складываются из стоимости фундамента, пропорциональной  и стоимости наземной части, пропорциональной . Известно, что при строительстве дома площадью   затрат идет на фундамент. Сколько домов необходимо построить, чтобы общие затраты на строительство были наименьшими?

7. (МГУ. Эконом. ф-т, 1997) Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект , а остальные 60% - в проект . В зависимости от обстоятельств проект  может принести прибыль в размере от 19% до 24% годовых, а проект - от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты   и  .

Решение. Пусть общая сумма вкладов в банк составляет рублей, тогда вложения в проекты  и равны, соответственно,  и . Прибыль от проекта обозначим , от проекта - . По условию, ;  . Таким образом, общая прибыль  находится в пределах . Чистая прибыль банка находится в пределах от до . Следовательно, возможный уровень процентной ставки по вкладам находится в пределах от 10% до 20% годовых.

Ответ: 10%, 20%.

8. (ЕГЭ – 26.03.15).  Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно   часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара;  если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно   часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

 Решение.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся  часов, а на заводе, расположенном во втором городе,  часов. Тогда в неделю будет произведено  единиц товара, а затраты на оплату труда составят  рублей. В этом случае нужно найти наименьшее значение  при условии .

Выразим через :    ;  .

Значит, требуется найти наименьшее значение функции  

 при .

Для этого найдем производную функции  

.

Найдем точки экстремума:

 ;  ;  ,

то есть   - единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию . Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

  ,  ,  .

Наименьшее значение  равно , значит, наименьшая сумма, которую придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих, равна рублей.

Ответ: .

9. (ЕГЭ – 21.04.15).  Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно   часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара;  если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно   часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделить 5000000 рублей в неделю на оплату труда рабочих.  Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение 1. (матем. анализ)

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся  часов, а на заводе, расположенном во втором городе,  часов. Тогда в неделю будет произведено

 единиц товара, а затраты на оплату труда составят  рублей. В этом случае нужно найти наибольшее значение  при условии  

Выразим через : ;  ;  .

Значит, нам нужно найти наибольшее значение функции

 при .

 Для этого найдем производную функции  :

.

Найдем точки экстремума:

 ;  ;   ;  ;  ,

то есть  - единственная точка экстремума, удовлетворяющая условию . Найдем значения функции в найденной точке и на концах отрезка:

  ,  ,  .

Наибольшее значение  равно , значит, наибольшее количество единиц товара равно .

Ответ: .

Решение 2 (векторы)

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся  часов, а на заводе, расположенном во втором городе,  часов. Тогда в неделю будет произведено

 единиц товара, а затраты на оплату труда составят  рублей. В этом случае нужно найти наибольшее значение  при условии  

Рассмотрим векторы ;  .  

По условию, , следовательно, .  .

Согласно векторной форме неравенства Коши-Буняковского  .

Следовательно, .

Ответ: .

10. (ЕГЭ – 04.06.15).  15 – го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2 – го по 14 – е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15 – го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 – е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение.

Пусть сумма кредита равна S. По условию, долг перед банком по состоянию на 15 – е число должен уменьшаться равномерно: ,  , ….,  , ,  0.  

Первого числа каждого месяца долг возрастает на r%. Пусть , тогда последовательность размеров долга на 1 – е число каждого месяца такова:

,  , ….,  , ,  0.  

 Следовательно, выплаты должны быть следующими:

,   , … ,  ,    .

Всего следует выплатить .

Общая сумма выплат на 30% больше суммы, взятой в кредит, поэтому

 ;  ;  .

Ответ: 3.

Второе решение.

Пусть сумма кредита равна S и кредит взят на  месяцев. Тогда переплата за кредит  равна .

Отсюда  ; .

11. (ЕГЭ – 04.06.15).  Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены Р (в руб. за шт.) выражается формулой Q=15000-P, 1000≤P≤15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q+5000000 рублей.  Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Решение. Прибыль фирмы выражается как ,

то есть квадратично зависит от цены . Пусть первоначальная цена равнялась . После снижения цена стала равняться . Наибольшая прибыль достигается при значении , для которого  достигает максимума. График функции  - парабола с ветвями, направленными вниз, поэтому максимум  достигается в вершине параболы. Поскольку , вершина параболы находится в точке . Значит, нужно увеличить цену с  до , то есть на .

Ответ: 12,5%

12. (ЕГЭ – 21.06.15).  Строительство нового завода стоит 78 млн. рублей. Затраты на производство тыс. единиц продукции на таком заводе равны млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене   тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении   строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Решение. По условию, прибыль за год . Очевидно, прибыль будет наибольшей при . Таким образом, наибольшая прибыль составит    или .

, , , ,  ,  .

Ответ: 10.

13. (ЕГЭ – 27.09.15) Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят в конце года  . В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в  раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях  это возможно?

Решение. Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года , то в конце двадцать пятого года на его счете будет  тыс. рублей. Сравним числа  и :  .

Пусть . Тогда , если  и  , если . График функции  - парабола, ветви которой направлены вниз. Поскольку   , получаем, что если для некоторого натурального числа  выполнено , то для любого . Таким образом, ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года, если  и . Значит, , откуда , и , откуда .

Ответ: .

14. (ЕГЭ – 09.10.15).  Строительство нового завода стоит 100 млн. рублей. Затраты на производство тыс. единиц продукции на таком заводе равны млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене   тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. рублей) за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении   строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

Ответ: .

15. По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» - увеличивать эту сумму на 5% в первый год и на одинаковое целое число  процентов и за второй и за третий годы. Найдите наименьшее значение , при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

Решение. Пусть на каждый тип вклада была внесена одинаковая сумма .  На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 10%, т.е. умножается на коэффициент 1,1. Поэтому  через три года сумма на вкладе «А» будет равна . Аналогично, сумма на вкладе «Б» будет равна , где - некоторое натуральное число. По условию, требуется найти наименьшее натуральное решение неравенства , . При  неравенство , - верно, а при  неравенство ,  неверно, как и при всех меньших .

Ответ: 13.

Задания высокого уровня сложности с развернутым ответом 19

Задания 19 (задания № С6) проверяют умение строить и исследовать простые математические модели. Выполнение этих заданий не требует знаний специальных разделов олимпиадной математики, однако по своему содержанию и уровню сложности эти задачи, безусловно, следует отнести к олимпиадным. Их невозможно систематизировать и выделить какие-либо общие приемы решения. Возможно, единственное, что их объединяет - практически все эти задачи в натуральных или целых числах.

Типовые задания 19.

1. (ЕГЭ 2010) Найдите все пары натуральных чисел и , таких, что и .

Решение

Преобразуем исходное равенство:

;  ; ;  ,

 где , .

,  .

Следовательно, функция возрастает на промежутке  и убывает на промежутке . Так как , то равенство  может выполняться только при условии . Отсюда следует, что, причем   для каждого  может найтись не более одного значения , удовлетворяющего уравнению в паре с этим значением .

В случае из уравнения получаем:    , откуда следует , что невозможно.

В случае  уравнению удовлетворяет значение  :    , и это значение единственное.

Ответ: ;   .

2. Каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11 по одному записывают на 10 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 4, -5, 7, -8, 9, 10, -11. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные десять сумм перемножают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Решение.

а)  Среди десяти данных чисел нет противоположных. Значит, сумма чисел на каждой карточке не равна 0. Поэтому всё произведение не может равняться 0. Поэтому всё произведение не может равняться нулю.

б)  Среди десяти данных чисел шесть нечётных. Значит, на какой-то карточке попадётся два нечётных числа, и их сумма чётная. Поэтому всё произведение чётно и не может равняться 1.

в)  Среди десяти данных чисел шесть нечётных. Значит, хотя бы из двух карточках с обеих сторон написаны нечётные числа, и сумма чисел на каждой из этих карточек чётная. Поэтому всё произведение делится на 4.

Наименьшее целое положительное число, которое делится на 4, это 4. Оно получается при следующем наборе пар чисел на карточках: (1; -2);  (-2; 1); (-3; 4); (-4; 3);  (-5; 7); (7; -5); (-8; 9); (9; -8); (10; -11); (-11;10).

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  4.

3. Число равно произведению 10 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число ?

Решение

Докажем, что у любого числа  , удовлетворяющего условию, заведомо есть 56 различных делителей. Действительно, пусть , . Тогда числа

  попарно различны и являются делителями числа , а их количество равно . Значит, меньше, чем 56 делителей у числа быть не может.

 Приведем пример числа, удовлетворяющего условию, у которого ровно 56 различных делителей: .

Ответ: 56.

4. На доске написано более 30, но менее 40 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -10.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше, положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Решение

Пусть среди написанных чисел  положительных, - отрицательных и  нулей. Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому .

а) Заметим, что в левой части каждое слагаемое делится на 5. По условию , поэтому, . Таким образом, написано 35 чисел.

б) Приведем равенство  к виду . Так как , то получим, что . Следовательно, , т.е. отрицательных чисел больше, чем положительных.

в) (оценка) Подставим  в правую часть равенства :

, откуда . Так как , получаем: , , , . Таким образом, положительных чисел не более 15.

в) (пример) Приведем пример, когда положительных чисел ровно 15. Пусть на доске 15 раз написано число5, 18 раз написано число -10 и два раза написан 0. Тогда . Указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а) 35; б) отрицательных; в) 15.

5. Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 648, и а) пять; б) четыре; в) три из них образуют геометрическую прогрессию.

Решение

а) Покажем, что  пяти чисел, образующих геометрическую прогрессию, быть не может. Действительно, пусть пять таких чисел найдутся. Обозначим первый член прогрессии , а знаменатель . Тогда , т.е. 648 является пятой степенью. Противоречие.

б) Покажем, что  четырех чисел, образующих геометрическую прогрессию, быть не может. Пусть среди натуральных чисел, дающих в произведении 648, есть четыре целых числа, образующих геометрическую прогрессию. Обозначим первый член прогрессии , а знаменатель прогрессии  (и  - взаимно простые числа, причем ). Тогда произведение этих четырех чисел будет являться делителем числа 648. Так как числа  и   взаимно простые, простые множители числа   будут входить в состав произведения чисел в той степени, в которой они входят в число , то есть как минимум, в  шестой степени. Однако , то есть простых множителей, входящих в шестой степени, в составе этого числа нет.

в) Пример пяти чисел, произведение которых равно 648 и среди которых есть три числа, образующих геометрическую прогрессию: 1, 3, 9, 6, 4.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

6. Набор состоит из тридцати одного натурального числа, среди которых есть числа 3, 4 и 5. Среднее арифметическое любых двадцати шести чисел этого набора меньше 2.

а) Может ли такой набор содержать ровно двенадцать единиц?

б) Может ли такой набор содержать менее двенадцати единиц?

в) Докажите, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 27.

Решение

а) Да, может. Например, сумма любых двадцати шести чисел из набора, состоящего из пятерки, четверки, тройки,  шестнадцати двоек и двенадцати единиц не больше, чем , и их среднее арифметическое меньше 2.

б) Нет, не может. Выпишем все числа слева направо в порядке убывания и рассмотрим первые 26 чисел, считая слева. Их сумма меньше 52. Пусть количество единиц среди них равно . Тогда ; , то есть среди выбранных 26 чисел всегда есть семь единиц. Каждое из оставшихся пяти чисел равно 1, и поэтому во всём наборе есть как минимум, двенадцать единиц.

в) Используя двенадцать единиц и числа 3, 4, 5 можно составить все суммы от 1 до 24.

Если среди оставшихся шестнадцати чисел есть число от 3 до 26, то его можно добавить и получить в сумме 27.

Если среди оставшихся шестнадцати чисел нет чисел от 3 до 26, то каждое из них равно 1, или равно 2, или больше 26. Так как сумма этих шестнадцати чисел не больше 51, то только одно из чисел может быть больше 26. Значит, в этом случае как минимум пятнадцать чисел равны 1 или 2. Используя их и двенадцать единиц, всегда можно получить сумму, равную 27.

Ответ: а) да; б) нет.

7. Совокупность A  состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в A больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из A равно 210. Для  любых двух чисел из A их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из A делится на 1920 и не является квадратом никакого целого числа. Найти числа, из которых состоит A.

Решение.

Так как каждое из чисел, принадлежащих A, должно делить , то все числа из A состоят только из простых сомножителей 2, 3, 5, 7, входящих в эти числа в степени не выше первой. По условию, произведение всех чисел делится на . Следовательно, среди чисел, составляющих A, должно не менее семи четных чисел. Всем указанным условиям удовлетворяют следующие восемь чисел:  

;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  .

Если число входит в A, то любой другой элемент A обязан делиться на , т.к. по условию любые два числа из  A имеют общий делитель, отличный от . Значит в этом случае  (по условию число элементов в A не менее восьми). Однако в этом случае произведение всех выписанных чисел равно  является полным квадратом, что противоречит условию. Следовательно, число не входит в A. Числа ;  ;  ;  ;  ;  ;  могут входить в множество A, но оно не  может состоять только из этих чисел. Его необходимо дополнить хотя бы одним нечетным числом.  Пусть - одно из нечетных чисел, принадлежащих A. Так как наибольший общий делитель чисел  и  отличен от ,то  должно делиться на  (на оно не делится). Аналогично, должно делиться на и на 7. Значит, должно делиться на . Так как простые числа 3, 5, 7 входят в в степени, не выше первой, то

и других нечетных чисел в A быть не может.

Ответ: .

8. Каждый из группы учащихся сходил в  кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Решение.

а) Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше . Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, так как . Тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театр, ни кино, что противоречит условию.   В  пункте а) показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее число мальчиков в группе – 9.

в) Предположим, что какой-то мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой – только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли  девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только  в театр, или только в кино.

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр,  мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится. По условию, , , значит, , . Тогда , поэтому доля девочек в группе .

Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна .

Ответ: а)да;  б) 9;  в) .

9. Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть, по крайней мере, два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в сумме получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.

Обозначим суммы чисел в группах , , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через . Можно считать, что

   .

а) Чтобы число  равнялось 0, необходимо чтобы каждая из разностей  равнялась 0, то есть  = ==. Сумма всех двенадцати чисел =. С другой стороны,  она равна , но 78 не делится на 4, Значит, .

б) Чтобы число  равнялось 1, необходимо, чтобы все, кроме одной, разности   равнялась 0. Значит, <, но в этом случае каждая из сумм

,  не равны хотя бы одной из сумм , . Поэтому хотя бы три разности  не равны 0 и число  не меньше 3. Значит, .

в) Выразим число  через , , ,:

 Показано, что . Если  , то  = == или

 = ==. В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна  или , что неверно, т.к. 78 – четное число.

Можно привести следующий пример разбиения чисел на группы, при котором число : ; ; ; .

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

10. Найдите все натуральные числа, которые делятся на  и имеют ровно 99 различных натуральных делителей (считая 1 и само это число).

Решение

Сначала докажем следующее утверждение.

 Если разложение натурального числа  на простые множители имеет вид , (где - различные простые числа, - натуральные числа, ), то  - количество различных делителей числа  (считая  и само число ) находится по формуле:   .

Доказательство

Пусть - некоторый делитель числа . Так как  делится на , то в разложении числа на простые множители не может быть простых чисел, отличных от чисел , и при этом ни одно из чисел  не может входить в разложение на множители числа  в степени большей, чем оно входит в разложение числа . Следовательно, все делители числа  - это числа вида , где  для всех .

Чтобы подсчитать количество чисел указанного вида, заметим, что этих чисел ровно столько, сколько различных наборов целых чисел , где  для всех . Подсчитаем количество этих наборов: число  можно выбрать  способами (т.к. ), число -   способами (т.к. ) и т.д. Поэтому все чисел  можно выбрать  способами. Если , то набор состоит из   чисел, т.к. . Формула  доказана.

Теперь перейдем непосредственно к решению задачи.

Пусть - одно из искомых натуральных чисел. Так как  делится на 30, а , то в разложении числа  на простые множители обязательно присутствуют числа 2, 3, 5. Поэтому разложение числа на простые множители одного из двух видов: либо , где (если других простых делителей, кроме  чисел 2, 3, 5 у числа нет); либо , где , - различные простые числа, отличные от чисел 2, 3, 5  и .

2) По условию, количество делителей числа равно 99. По формуле  

      или         .

Последний  случай невозможен. - произведение трех простых чисел.     Каждое из четырех чисел , , ,   и каждое натуральное число , большее 1, либо само является простым, либо разлагается в произведение простых чисел. Таким образом, количество простых чисел не совпадает и .

3) Из равенства  следует, что два из чисел  , ,  равны 3, а одно – 11. Таким образом, возможны следующие три варианта:

а) ; ; ;  б) ; ; ;  с) ; ; .

Ответ: ;   ;   .

11. Найдите все такие пары натуральных чисел и , что если число  возвести  в квадрат и к полученному числу приписать справа десятичную запись числа , то получится число, большее произведения чисел и  ровно в три раза.

Решение.

Пусть количество цифр в десятичной записи числа  равно , т.е. . Тогда при возведении числа в квадрат и приписывании к полученному числу справа десятичной записи числа , получим число, равное . Таким образом, получим уравнение  . Отсюда ;  . Этому неравенству удовлетворяют лишь два натуральных числа: и . Подставим эти значения в уравнение , получим ;   и  ; , где .

Ответ: ;    и  ; , .

12. Найдите все такие пары натуральных чисел и , что  и выполняется равенство .

Решение.

Предположим, что числа и удовлетворяют условию задачи.

Поскольку , то , и, значит, .

Так как по условию , то , .

При этом так как , то  и .

Таким образом, для числа получена следующая оценка: .

Из равенства выразим  через : . Искомыми значениями являются те натуральные числа из промежутка , при которых число  является натуральным. Подставляя в выражение  все натуральные числа от 11 до 20, получаем все искомые значения и соответствующие им значения .

Ответ: ;   ;    ;    ;     .

13. Найдите все пары натуральных чисел  и , что каждое из чисел  и  делится на число .

Решение

Если оба числа  и  делятся на число , то и их разность  делится на  . Покажем, что <. Обозначим через  наибольшее из чисел  и , тогда <.

Так как  делится на   и <, то . Следовательно,  и  задача сводится к нахождению таких натуральных чисел , что  делится на .

;  ; ; .

Из этого равенства следует, что  является делителем 1, поэтому единственно возможное значение - это .

Ответ: .

14. Найдите все простые числа , для каждого из которых существует такое целое число , что дробь можно сократить на .

Решение. Воспользуемся алгоритмом Евклида.

Если целые числа  и  делятся на , то и их разность делится на .

Тогда число  делится на .

Тогда число  делится на .

Таким образом, искомое число - простой делитель числа 56, то есть 2 или 7.

Проверим, для каких из этих чисел существует число  .

Если  нечетное, то числитель и знаменатель данной дроби четные числа, поэтому дробь можно сократить на 2.

Если  кратно 7, то числитель и знаменатель данной дроби также кратно 7, поэтому дробь можно сократить на 7.

Ответ: 2; 7.

15. Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а  остальные числа, равные  n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.

Решение.

а)  Задуманные числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 дают требуемый набор, записанный на доске.

б)   Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе – это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе – это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел задуманного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть

22-1=21. Но этого числа в наборе нет, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в)  Число 7 – наименьшее число в наборе – является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе – это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части , то есть 5. Кроме того, числа 9 и 11 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41-7-9-11=14. Для задуманных чисел 7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ;  б) нет;  в)  7, 7, 7, 9, 11 и 7, 9, 11, 14.

16. Дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен 501, а разность равна 17. Каждый член прогрессии заменили суммой его цифр. С полученным числом поступили так же и действовали так до тех пор, пока не получилось однозначное число.

а)  Найдите 14-е число получившейся последовательности однозначных чисел.

б)  Найдите сумму первой тысячи чисел получившейся последовательности.

в)  Чему равна наибольшая возможная сумма 1010 чисел получившейся последовательности, идущих подряд?

17. Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доске в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

 а) На доске выписан набор -3, -1, 2, 4, 6, 7, 9. Какие числа были задуманы?

 Решение. Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если  бы  было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число – наименьшее в число в наборе, т.е. -3. Наибольшее число в наборе 9 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 2 и 7 дают в сумме  9. Значит, были задуманы числа -3, 2, 9.

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

Решение. Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно  нулей (нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел,  нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль). Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечетное количество нулей.

Поскольку на доске выписано ровно 6 нулей, среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано пять или меньше ненулевых чисел. Среди них есть положительные и отрицательные. Нуль получается тогда и только тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Сколько может быть одинаковых среди всевозможных сумм задуманных чисел одного знака? Одно задуманное число  даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа одного знака дают семь различных сумм, среди которых не более двух совпадают (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел); четыре различных задуманных числа одного знака дают пятнадцать  различных сумм, среди которых не может быть трех одинаковых. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более четырех. Таким образом, если было задумано не более пяти различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более четырех нулей.

Если были задуманы числа -5; -2; -1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно шесть нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел – 6.

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

Решение. Для задуманных чисел -3; 1; 2 и -2; -1; 3 на доске будет выписан один и тот же набор -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3. Нет, не всегда.  

Ответ: а) -3; 2; 7; б)  6; в) нет.

18. Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку – целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма – это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасывается наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

б)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться ?

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Решение. Обозначим рейтинг кинофильма, вычисленный по старой системе оценивания, через , а рейтинг кинофильма, вычисленный по новой системе оценивания, через .

а)  Заметим, что , , где  и - некоторые натуральные числа. Значит, . Если , то , что невозможно. Таким образом, разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, не может равняться  .

б)  Например, для оценок 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна  .

в) Пусть  - наименьшая,  - наибольшая, а  - сумма остальных пяти оценок. Тогда  

.

Для оценок экспертов 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10 разность. Значит, наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равна .

Ответ: а) нет; б) да; в) .

19. а)  Можно ли представить число 2052 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число 399 в виде суммы двух различных чисел с одинаковой суммой цифр?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Решение.

 а) Например, числа 2043 и 9 имеют одинаковую сумму цифр и в сумме дают 2052.

б) Предположим, что число 399 можно представить в виде суммы двух натуральных чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть одно из этих чисел состоит из  сотен,  десятков и  единиц. Тогда другое число состоит из   сотен,  десятков и единиц. Суммы цифр этих чисел равны  и  соответственно. Они имеют разную чётность и не могут быть одинаковыми.

в)  Наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой фиксированной суммой цифр, равно сумме шести наименьших чисел с этой суммой цифр.

Для сумм 1, 2, 3, 4 и 5 имеем соответственно:

1+10+100+1000+10000+100000=111111,

2+11+20+101+110+200=444,

3+12+21+30+102+111=279,

4+13+22+31+40+103=213,

5+14+23+32+41+50=165.

Если сумма цифр равна 6 или больше, то обозначим ее через . Тогда наименьшее из таких чисел – как минимум . Числа с одинаковой суммой цифр дают одинаковые остатки при делении на 9, поэтому идут как минимум через 9. Значит, их сумма не меньше, чем .

Получаем, что искомое число равно 165.

Ответ: а) да; б) нет; в) 165.

20. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причем и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а)  Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б)  Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в)  Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в этой группе?

Решение. а)  Пусть 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили 119 писем. Эти 119 писем можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б)  Пусть  юношей отправили по 4 письма и  юношей отправили по 21 письму. Эти письма можно поровну распределить между  девушками, если суммарное количество писем  делится на количество девушек. В этом случае число  также делится на . Если  не делится на , то делится на , что противоречит условиям , . Значит,   делится на . Наименьшее натуральное число, делящееся на , - это . Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведен в предыдущем пункте.

в)  Пусть  юношей отправили по 4 письма и  юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили  писем, а число полученных девушками писем не меньше  . Получаем ; .

При  имеем ; , что противоречит условию .

Если ,  , то суммарное количество отправленных писем равно  Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна – 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек – это 41.

Ответ: а) да; б) 17; в) 41.

21. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 75 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 6 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников,  сдавших тест, понизился и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 75 баллов, средний балл участников, сдавших тест, составил 85, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 60. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 89, а не сдавших тест – 61. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

 а) Пусть было 3 участника, которые набрали 94, 74 и 2 балла. Средний балл участников, не сдавших тест, составлял   баллов. После добавления баллов у участников оказалось 100, 80 и 8 баллов. Средний балл участников, не сдавших тест, составил 8 баллов.

б) В примере предыдущего пункта средний балл участников, сдавших тест, первоначально составлял 94 балла, а после добавления баллов составил  баллов.

в) Пусть всего было  участников теста, сдали тест  участников, после добавления баллов сдали тест  участников. Средний балл после добавления составил 81. Имеем два уравнения:  и , откуда , то есть , и , то есть . Поэтому, целое число делится на 5 и на 7, то есть делится на 35. Таким образом, .

Покажем, что  могло равняться 35. Пусть изначально 10 участников набрали по 55 баллов, 2 участника – 72 балла, 2 участника – 73 балла и 21 участник по 85 баллов. Тогда средний балл был равен 75, средний балл участников, сдавших тест, был равен 85, а средний балл участников, не сдавших тест, был равен 60. После добавления средний балл участников, сдавших тест, стал равен 89, средний балл участников, не сдавших тест, стал равен 61. Таким образом, все условия выполнены.

Ответ: а) да; б) да; в) 35.

22. На доске нарисована таблица 3х3, в каждой клетке которой написано одно из чисел 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22 или 26. При этом каждое из них написано только в одной из клеток таблицы. Рассмотрим шесть сумм троек чисел, стоящих в одной строке или в одном столбце.

а)  Приведите пример такой таблицы с числами, когда две из этих сумм делятся на 3.

б)  Могут ли три из этих сумм делиться на 3?

в)  Какое наибольшее количество из этих сумм может делиться на 5?

Решение.

а)  Например, следующая расстановка чисел удовлетворяет условию задачи    

 Суммы чисел, стоящих в первом и во втором столбцах делится на 3.

б)  Заметим, что среди перечисленных в условии чисел ровно четыре дают в остатке 1 при делении на 3 и ровно пять дают в остатке 2 при делении на 3. Чтобы сумма трех чисел делилась на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма их остатков от деления на 3 делилась на 3. Сумм трех возможных остатков может делиться на 3 в том и только том случае, когда эти остатки – три единицы или три двойки.

Три двойки не могут встретиться в качестве остатков при делении на 3 в двух различных строках или в двух различных столбцах, так как чисел с таким остатком всего 5. Если же три двойки встретились в качестве остатков в одном столбце и одной строке такой таблицы, то в ней нет ни одного столбца и ни одной строки с тремя единицами в качестве остатков.  В такой таблице ровно две из рассматриваемых сумм делятся на 3.

Если же три двойки встретились в качестве остатков только в одной строке или в одном столбце или не встретились вовсе, то в такой таблице тоже не может быть больше двух из рассматриваемых сумм, делящихся на 3, так как три единицы в качестве остатков также не могут встретиться более, чем в одной строке или в одном столбце.

в)  Следующий пример показывает, что четыре из рассматриваемых сумм могут делиться на 5. Это суммы чисел, написанных в первой и второй строках, первом и втором столбцах.    

Предположим, что пять или шесть из рассматриваемых сумм делятся на 5. Тогда найдутся либо три строки, либо три столбца, сумма чисел в которых делится на 5. Без ограничения общности можно считать, что нашлись три такие строки. Заметим, что сумма всех чисел  таблицы равна 122 и не делится на 5. С другой стороны, она равна сумме всех трех сумм чисел, стоящих в первой, второй и третьей строках, и, по предположению, должна делиться на 5. Получаем противоречие. Ответ: а) например,        б) нет;    в) 4.

Типовые и тренировочные задачи №4

1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

Решение. В сумме 6 очков имеют следующие упорядоченные пары чисел: (1;5); (2;4); (3;3); (4;2); (5;1). Общее количество возможных исходов равно 36. Таким образом, .

2. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых. 

Решение.  В сумме 16 очков имеют следующие шесть упорядоченных троек чисел: (4;6;6); (6;4;6); (6;6;4); (6;5;5); (5;6;5); (5;5;6). Общее количество возможных исходов равно 216.  Таким образом, .

3. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.  Элементарное событие - спортсменка, выступающая первой. Всего 20 возможных исходов, 5 благоприятных.  .

4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение. Всего 25 возможных исходов, из них 9 -  благоприятных. .

5. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Решение. Всего 80 исходов, благоприятных 18 – число выступлений, запланированных на третий день. .

6. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение. Не подтекают 995 насосов из 1000, следовательно, вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 0,995.

7. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение.  Из каждых  108 сумок 100 не имеют дефектов. .

8. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Решение. Всего 25 исходов, из них 9 - благоприятных. .

9. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение. Всего 25 исходов, из них 15 - благоприятных. .

10. Монету бросают три раза. Найдите вероятность элементарного исхода ОРО.

Первое решение. Всего возможно 8 элементарных исходов: ООО, РОО, ОРО, ООР, ОРР, РОР, РРО, РРР. Таким образом, вероятность элементарного исхода ОРО равна 0,125.

Второе решение.  Произошли три независимых события: при первом бросании выпал орел, при втором – решка, при третьем – орел. Вероятность каждого из них равна 0,5.

11. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Старт» играет по очереди с командами «Динамо», «Локомотив» и «Спартак». Найдите вероятность того, что «Старт» будет начинать только первую и третью игры.

Решение. Поскольку перед началом матча капитаны бросают монету, то условие задачи аналогично предыдущей. Также требуется найти вероятность исхода ОРО. Ответ: 0,125.

12. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение.  Применим формулу Бернулли. .

13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишень, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.  .

14. В классе 21 человек, среди них близнецы – Даша и Маша. Класс случайным образом делят на три группы по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Даша и Маша окажутся в разных группах. 

Решение.  Противоположное событие - Даша и Маша окажутся в одной группе (в первой, во второй или в третьей). Таким образом,  ;    .  

15. На фестивале органной музыки выступают 15 исполнителей, по одному от одной европейской страны. Порядок, в котором  они выступают, определяется жребием, Какова вероятность того, что представитель Венгрии будет выступать после представителя Сербии, но перед музыкантом из Австрии? 

Решение. Исполнители из трех указанных стран могут расположиться (не обязательно, подряд) шестью различными способами (число перестановок из трех). Благоприятствует данному условию только один из них. Ответ: .

Замечание  Ответ не зависит от общего числа исполнителей. Он определяется только числом участников, которых требуется расположить в заданном порядке.

16. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.  Определим события: А – кофе закончится в первом автомате; В – кофе закончится во втором автомате. По условию задачи,  и (отметим, что эти события не являются независимыми, в противном случае ). По формуле вероятности суммы, . Следовательно, вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах»  .

17. В банке три окна работы с клиентами. Вероятность того, что в случайный момент окно свободно, равна 0,3. Окна работают независимо друг от друга. В банк заходит клиент. Найдите вероятность того, что в этот момент свободно хотя бы одно окно.

Решение .

18. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в пятницу в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,72. Вероятность того, что пассажиров окажется меньше 20, равна 0,35. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.

Решение.  Определим события: А - пассажиров будет меньше 20; В - пассажиров будет от 20 до 29; С - пассажиров будет меньше 30. Очевидно, что события А и В несовместны и . Тогда . .

19. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Решение.  Пусть  - искомое число выстрелов. Вероятность промаха при первом выстреле равна 0,6, при всех последующих – 0,4. Получим

 ;

;             ;     ;      .

Ответ: 5 выстрелов

20. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Решение. Возможны две гипотезы:  - пациент болен; - пациент здоров. По условию, ; .

Событие  - анализ крови дал положительный результат. Тогда ; . Согласно формуле полной вероятности,  , где . Следовательно, .

Ответ: 0,0545.

Примечание: задача могла бы быть решена с помощью графов.

21. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение. Вероятность того, что 4 июля будет хорошая погода равна , отличная - .

Вероятность того, что 5 июля будет хорошая погода, равна , отличная - .

Вероятность того, что 6 июля будет хорошая погода, равна , отличная - .

22. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение. Пусть  - доля продукции первого хозяйства в общем объёме закупок. Тогда получим уравнение ;   .

.

23. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение. Возможны две гипотезы:  - револьвер пристреленный; - не пристреленный.  По условию, ; . Событие  - меткий выстрел. Тогда ; . Согласно формуле полной вероятности,  . .

Ответ: 0,52.

24. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Решение. .

Ответ: 0,0296.

25. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на  специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Решение. Событие - абитуриент поступил  на специальность «Лингвистика», событие - абитуриент поступил  на специальность «Коммерция»,   событие - абитуриент поступил  хотя бы на одну из этих специальностей. ,  . , .

Ответ: 0,408.

26.  Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
27. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

28.  Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

29. В пачке лежат 10000 билетов с номерами от 0000 до 9999. Назовем билет интересным, если разность каких-либо двух соседних цифр его номера равна 5. Найдите вероятность того, что взятый наудачу билет из пачки окажется интересным.

Решение. Число вида . Для любого  существует только одно , удовлетворяющее условию . Так как и - любые, то имеем 1000 вариантов. Для каждого из 9 оставшихся значений   существует только одно , удовлетворяющее условию . Таким образом,  имеем ещё 900 вариантов.  при 9 значениях . Каждому из них удовлетворяет одно значение . Получаем ещё 810 вариантов. .

30.   Спортсмен стреляет по пяти мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна . На каждую мишень спортсмен имеет две попытки.

а) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт в первую мишень.

б) Найдите вероятность того, что спортсмен попадёт ровно в четыре мишени.

Решение.

а) Спортсмен не попадёт в первую мишень, если обе его попытки будут неудачными. Вероятность этого равна . Значит, вероятность того, что он попадёт в первую мишень, равна .

б) Вероятность попадания в каждую мишеней равна . Число способов выбрать четыре мишени из пяти равно 5. Значит, искомая вероятность равна .

Ответ: а) ; б) .